Lie-algebra-waardige 1-vormen

Een Lie-groep is een topologische groep met een structuur die op een gladde manier lokaal op Rn lijkt. Zo een groep heeft dus, naast een groepsstructuur, ook de structuur van een gladde vari¨eteit. Van een Lie-groep G kan dus de raakruimte T G bekeken worden en in het bijzonder kan de raakruimte aan het eenheidselement TeG bekeken worden.

Met behulp van de ´e´en-op-´e´en-correspondentie tussen linksinvariante vectorvelden op G en elementen uit TeG, kan het Lie-haakje [·, ·], dat al gedefini¨eerd is voor vectorvelden,

overgenomen worden voor elementen uit TeG. De ruimte TeG met daarop het Lie-haakje

[·, ·] noemen we de Lie-algebra van de groep G.

Voor matrix-Lie-groepen5_{, geldt vaak dat de Lie-algebra ook een of andere verzameling}

n × n matrices is en dat het Lie-haakje de commutator is, ofwel voor A en B in de Lie- algebra van een matrix-Lie-groep met Lie-haakje [·, ·] geldt

[A, B] = AB − BA, (4.59) waar met AB en BA het standaard matrixproduct wordt bedoeld. Deze Lie-algebra’s, die we al kort hebben zien langskomen in de vorige paragraaf, zullen in de rest van deze tekst een belangrijke rol spelen.

We gaan nu een bepaalde functie bekijken van de Lie-algebra naar zichzelf, die we uit- eindelijk nodig zullen hebben voor het defini¨eren van een connectie. Daarvoor defini¨eren we eerst voor iedere g in een Lie-groep G, de functie Adg : G → G door conjugatie met

g, dus Adg(h) := g · h · g−1 voor alle h ∈ G. Er geldt dat Adg(e) = e voor alle g ∈ G,

dus

adg := TeAdg (4.60)

de differentiaal van Adg is een functie van de Lie-algebra G naar zichzelf.

Stel nu dat G een matrix-Lie-groep is en A is een element uit de bijbehorende matrix- Lie-algebra G. Er geldt dan dat A ∈ TeG, en dus dat er een pad α : [−ε, ε] → G is zodat

α(0) = e en α0(0) = A. In dat geval geldt dat adg(A) = d dt(g · α(t) · g −1 ) t=0 = g · d dtα(t)   t=0· g −1 = g · A · g−1, (4.61) waar met “·” de standaard matrixvermenigvuldiging bedoeld wordt. In het geval van een matrix-Lie-groep geldt dus dat de differentiaal van conjugatie in de groep, conjugatie in de Lie-algebra oplevert.

5

Matix-Lie-groepen zijn Lie-goepen die een ondergroep zijn van GL(n, F), waar F een willekeurig lichaam is

We zullen straks 1-vormen bekijken, die waarden aannemen in de Lie-algebra van een bepaalde Lie-groep. Daarvoor bekijken we eerst het algemene geval van vectorwaardige 1-vormen. Stel M is een gladde vari¨eteit, dan is een 1-vorm op M een functie die aan ieder punt van de vari¨eteit op een gladde manier een lineaire afbeelding van de raakruimte aan dat punt naar R toekent. Dus stel dat ω een 1-vorm is op M, dan geldt voor iedere p ∈ M dat ω(p) = ωp : TpM → R een lineaire afbeelding is.

Deze definitie kunnen we veralgemeniseren, door niet R als domein van deze lineaire afbeelding te nemen, maar een willekeurige vectorruimte V. Dit noemen we dan een V-waardige 1-vorm ω op M , die dus aan ieder punt p ∈ M een lineaire afbeelding ωp : TpM → V toekent. De uitwendige afgeleide van zo een V-waardige 1-vorm wordt

componentsgewijs ten opzichte van een basis van V gedefini¨eerd en blijkt onafhankelijk van de gekozen basis te zijn. Dus de uitwendige afgeleide van vectorwaardige 1-vormen is een goedgedefini¨eerd object.

Een Lie-algebra is ook een vectorruimte, dus we kunnen nu ook praten over Lie- algebra-waardige 1-vormen. Merk op dat deze 1-vormen gedefini¨eerd kunnen worden op een willekeurige vari¨eteit M , die niets te maken hoeft te hebben met de Lie-algebra G, of de Lie-groep G waar de Lie-algebra bij hoort. Meestal zal dit natuurlijk wel het geval zijn en in deze tekst zullen de meeste voorbeelden van Lie-algebra-waardige 1-vormen ofwel op de bijbehorende Lie-groep zelf, ofwel op de basisruimte of totale ruimte van een principale bundel met de bijbehorende Lie-groep als vezel gedefini¨eerd zijn.

Een belangrijk voorbeeld van een Lie-algebra-waardige 1-vorm is de zogenaamde Car- tan kanonieke 1-vorm. Als G een Lie-groep is en G zijn Lie-algebra, dan is de Cartan kanonieke 1-vorm een op natuurlijke wijze gedefini¨eerde G-waardige 1-vorm op G. Deze wordt namelijk als volgt gedefini¨eerd.

Definitie 4.2.2. Stel G is een Lie-groep en G is de Lie-algebra van G. Dan geldt voor elke g ∈ G en v ∈ TgG dat de G-waardige Cartan kanonieke 1-vorm Θ op G geeft

Θ(g)(v) = Θg(v) := (TgLg−1)(v), (4.62)

waar Lg−1 : G → G linksvermenigvuldiging met g−1 is en T_gL_g−1 daar de differentiaal

van voorstelt.

We zien dat TgLg−1 een functie is van T_gG naar T_eG, dus dit kunnen we opvatten als

Lie-algebra-waardige 1-vorm.

Zoals gezegd zullen we ook Lie-algebra waardige 1-vormen bekijken op de totale ruimte van een principale bundel. Voor ieder punt x in de totale ruimte E geeft dit dus een line- aire afbeelding van TxE naar G. Het interessante is dat we ook al een lineaire afbeelding

van G naar TxE hebben gezien, namelijk Teσx (zie vergelijking (4.58)). Deze afbeelding

identificeert de Lie-algebra G met het verticale deel van de raakruimte Vert(TxE).

We kunnen een Lie-algebra-waardige 1-vorm op de totale ruimte van een principale bundel voor ieder punt dus zien als een afbeelding van TxE naar Vert(TxE). Als we dit

nu voor ieder punt als een projectie op Vert(TxE) kunnen opvatten, kunnen we hiermee

misschien naast een verticale richting in de bundel ook een horizontale richting defini¨eren (door de kern van deze projectie als horizontale richting te nemen). Met dat in gedachten defini¨eren we een connectie als volgt.

Definitie 4.2.3. Stel (E, M, π, G) is een gladde principale bundel, met rechtswerking σ : E × G → E en laat G de Lie-algebra van G zijn. Een connectie op deze bundel is een gladde G-waardige 1-vorm ω op E, die voldoet aan

1. Voor alle g ∈ G geldt (σg)∗ω = adg−1◦ ω. Ofwel voor alle g ∈ G, x ∈ E en v ∈ T_xE

geldt ωx?g((Txσg) · v) = adg−1(ω_x(v)).

2. Voor alle x ∈ E geldt ωx◦ Teσx= IdG.

De tweede conditie zegt eigenlijk dat een connectie een soort projectie6is op Vert(TxE).

Om dit in te zien bewijzen we eerst het volgende lemma.

Lemma 4.2.4. Stel X en Y zijn verzamelingen en f : X → Y en g : Y → X zijn functies tussen deze verzamelingen, dan geldt dat g ◦ f = IdX dan en slechts dan als f

injectief is, g surjectief is en f ◦ g idempotent is.

Bewijs. “⇒” Stel g ◦ f = IdX, dan geldt dat g ◦ f injectief is, dus f is injectief. Er

geldt ook dat g ◦ f surjectief is, dus g is surjectief. Bovendien geldt er dat (f ◦ g)2 ₌

f ◦ g ◦ f ◦ g = f ◦ g, dus f ◦ g is idempotent.

“⇐” Stel f is injectief, g is surjectief en f ◦ g is idempotent en neem een x ∈ X willekeurig. Er geldt dat g surjectief is dus er is een y ∈ Y zodat x = g(y). We weten dat f ◦ g idempotent is, dus

f (x) = (f ◦ g)(y) = (f ◦ g ◦ f ◦ g)(y) = f ((g ◦ f )(x)).

Er geldt dat f injectief is, dus voor alle x ∈ X geldt x = (g ◦ f )(x), dus g ◦ f = IdX.

Uit de tweede conditie uit de definitie van een connectie volgt dus dat Teσx ◦ ωx

idempotent is. De functie Teσx◦ ωx is dus een projectie op im(Teσx◦ ωx) = im(Teσx) =

Vert(TxE). Aangezien dit allemaal lineaire afbeeldingen zijn geldt nu duidelijk dat

TxE = Vert(TxE) ⊕ ker (Teσx◦ ωx) = Vert(TxE) ⊕ ker (ωx). We kunnen dus defini¨eren

Hor(TxE) := ker (ωx), (4.63)

zodat geldt

TxE = Vert(TxE) ⊕ Hor(TxE). (4.64)

Met behulp van een connectie kunnen we dus een horizontale richting in de bundel defini¨eren. Maar wat heeft dat te maken met het probleem dat we hadden bij Dirac’s magnetische monopool? Daar zullen lemma 4.3.1 en lemma 4.3.2, die we in de volgende paragraaf zullen formuleren, een antwoord op geven.

6_{Stel f is een functie van een ruimte naar zichzelf en f ◦f = f , dan noemen we f idempotent. Elementen} uit im(f ) moeten dan door f naar zichzelf gestuurd worden en de rest van de ruimte wordt op im(f ) “geprojecteerd”. Een idempotente afbeelding kan dus gezien worden als een projectie.