Principale bundels en connecties in ijktheorie

Differentiaalvormen, en dus ook Lie-algebra-waardige 1-vormen op een vari¨eteit N kun- nen teruggetrokken worden naar een vari¨eteit M door een functie f : M → N , wat resulteert in een Lie-algebra-waardige 1-vorm op M . Op deze manier kan dus met een 1-vorm op N een 1-vorm op M verkregen worden. Dit gebeurt met de pullback van f . Stel M en N zijn vari¨eteiten, f : M → N is een gladde functie en ω is een (al dan niet vector-waardige) 1-vorm op N , dan is de pullback van ω door f gedefini¨eerd door

(f∗ω)p = ωf (p)◦ Tpf (4.65)

voor iedere p ∈ M . Hiermee verkrijgen we dus een 1-vorm f∗ω op M .

We kunnen direct een aantal voorbeelden hiervan bekijken. Stel (E, M, π, G) is een principale G-bundel en G is de Lie-algebra van de matrix-Lie-groep G. Laat Uα en

Uβ twee trivialiserende omgevingen in M met Uα ∩ Uβ 6= ∅ en gαβ : Uα ∩ Uβ → G

de bijbehorende transtiefunctie. Laat bovendien Θ de Cartan kanonieke 1-vorm op G zijn. Deze kunnen we nu terugtrekken naar Uα∩ Uβ (wat een open deelverzameling is

van een vari¨eteit en daarmee zelf ook een vari¨eteit). Voor deze pullback geldt dan voor p ∈ Uα∩ Uβ en γ0(0) = v ∈ Tp(Uα∩ Uβ) = TpM dat ((gαβ)∗Θ)p(v) = Θgαβ(p)((Tpgαβ)(v)) (4.66) = Θgαβ(p)((gαβ ◦ γ) 0 (0)) (4.67) = (Tgαβ(p)L(gαβ(p))−1)((gαβ ◦ γ) 0 (0)) (4.68) = d dt (gαβ(p)) −1_{· g} αβ(γ(t))
  t=0 (4.69) = (gαβ(p))−1· d dt gαβ(γ(t))
  t=0 (4.70) = (gαβ(p))−1· (Tpgαβ)(v). (4.71)

Hiermee hebben we dus een Lie-algebra-waardige 1-vorm op Uα ∩ Uβ gemaakt. Als

{x1, · · · , xn} lokale co¨ordinaten op M rondom p zijn, kan met de kettingregel zelfs aan-

getoond worden dat

(gαβ(p))−1· (Tpgαβ)(v) = (gαβ(p))−1· ( ∂gαβ ∂x1     p dx1+ · · · + ∂gαβ ∂xn     p dxn)(v), (4.72) waar ∂gαβ ∂xi   

p gezien kan worden als afgeleide van een pad in G (door alleen de i-de

co¨ordinaat een klein beetje te laten vari¨eren) en dus als element van Tgαβ(p)G, waardoor

(gαβ(p))−1· ∂gαβ ∂xi    p

een element wordt van TeG = G wordt en waardoor het geheel dus

inderdaad een Lie-algebra-waardige 1-vorm op Uα∩ Uβ wordt.

We kunnen ook een connectie terugtrekken naar de basisruimte met behulp van een lokale sectie. Stel (E, M, π, G) is een principale bundel, ω is een connectie hierop en s : U → E is een lokale sectie op U ⊂ M . Dan geldt dus dat s∗ω een Lie-algebra- waardige 1-vorm op U geeft.

Als (Ψα, Uα) een lokale trivialisatie van de bundel is, dan induceert dit een kanonieke

lokale sectie sα. Deze wordt voor p ∈ Uα gegeven door

sα(p) = Ψ−1α (p, e). (4.73)

Met een connectie ω op een principale bundel (E, M, π, G) zijn dus meteen ook Lie- algebra-waardige 1-vormen gedefini¨eerd op de lokaal triviale omgevingen Uα van M .

Dit gezien hebbende zullen we nu twee belangrijke lemmas formuleren, die zowel een oplossing zullen bieden voor het probleem met Dirac’s magnetische monopool, als een opmerkelijke gelijkenis tussen de twee theorie¨en uit dit hoofdstuk onthullen. We zullen deze lemma’s niet bewijzen omdat deze bewijzen niet instructief zijn, en het zal alleen het resultaat zijn dat we nodig hebben. Voor een volledig bewijs verwijzen we door naar Topology, Geometry and Gauge fields van Gregory L. Naber [5].

Lemma 4.3.1. Stel G een matrix-Lie-groep en G de bijbehorende Lie-algebra. Laat (E, M, π, G) een gladde principale G-bundel, met lokale trivialisaties (U1, Ψ1), (U2, Ψ2),

waar U1∩ U2 6= ∅, en g1,2 : U1∩ U2 → G de transitiefunctie van de bundel. Laat Θ de

Cartan kanonieke 1-vorm op G, s1 en s2 de kanonieke lokale secties op U1 en U2 en ω

een connectie op de bundel. Defini¨eer A1 := s∗1ω en A2 := s∗2ω, dan geldt

A2 = ad(g1,2)−1 ◦ A1+ (g1,2) ∗

Θ. (4.74)

Ofwel, voor alle p ∈ U1∩ U2 en v ∈ TpM geldt

A2(p)(v) = (g1,2(p))−1· A1(p)(v) · g1,2(p) + (g1,2(p))−1· (Tpg1,2)(v), (4.75)

waar voor het laatste deel van deze laatste vergelijking, vergelijking (4.71) is gebruikt. We zien een gelijkenis met de ijktheorie uit paragraaf 4.1, door vergelijking (4.75) met vergelijking (4.30) te vergelijken, zeker als we ook vergelijking (4.72) toepassen op het laatste deel van (4.1). De ijkvelden Aµen Wµkomen overeen met Lie-algebra-waardige 1-

vormen op de basisruimte van een principale bundel. De vezelgroep van deze bundel komt uiteraard overeen met de ijkgroep uit de ijktheorie en de basisruimte is in ijktheorie vaak de ruimte-tijd (of alleen de ruimte). Dat is echter een samentrekbare ruimte, waardoor alle principale bundels hierover triviaal zijn. Door fysische factoren zal deze bundel soms toch niet triviaal zijn, bijvoorbeeld omdat ´e´en punt in de ruimte is weggelaten (zoals bij de magnetische monopool) of omdat het punt in oneindig toegevoegd kan worden (zoals bij de instantonoplossigen van de Yang-Mills-vergelijkingen in paragraaf 5.2 het geval zal zijn).

Als we (4.75) vergelijken met (4.30) zien we dat lemma 4.3.1 in feite zegt dat op de overlap van U1 en U2, A2 een ijkgetransformeerde is van A1. Deze ijktransformatie is

echter alleen op U1∩ U2 gedefini¨eerd. Als g1,2 continu voortgezet zou kunnen worden tot

U1∪ U2, zou daarmee ook een lokale trivialisatie op het hele gebied U1∪ U2 gedefini¨eerd

kunnen worden. Als de principale bundel in kwestie niet triviaal is zijn er dus zeker twee lokaal triviale omgevingen waar dit niet kan en waar de ijktransformatie dus slechts op de overlap gedefini¨eerd kan worden. Wat we hieraan zien is dat we dus soms naar

ijktransformaties moeten kijken die niet op de hele ruimte gedefini¨eerd zijn, als we op een niet triviale bundel werken.

De omkering van lemma 4.3.1 geldt ook. Deze wordt geformuleerd in het volgende lemma.

Lemma 4.3.2. Stel G is een matrix-Lie-groep met Lie-algebra G en (E, M, π, G) is een gladde principale G-bundel met trivialisaties {(Uα, Ψα)|α ∈ J }, zodat

S

α∈JUα = M .

Laat gαβ : Uα∩ Uβ → G de transitiefuncties zijn en laat Θ de Cartan kanonieke 1-vorm

op G zijn.

Stel voor iedere α ∈ J is Aα een G-waardige 1-vorm op Uα en er geldt als Uα∩ Uβ 6= ∅

dat

Aβ = ad(gαβ)−1◦ Aα+ (gαβ) ∗

Θ op Uα∩ Uβ, (4.76)

dan bestaat er een unieke connectie ω op E, zodat voor elke α ∈ J , Aα = (sα)∗ω. Hierin

is sα de kanonieke lokale sectie op Uα, voor alle α ∈ J .

We zijn ons probleem met Dirac’s magnetische monopool (zie het begin van paragraaf 4.2) ge¨eindigd met vergelijking (4.50). Gezien de vorm van deze vergelijking hopen we lemma 4.3.2 te kunnen toepassen, om zo met een connectie een globale oplossing van het probleem te kunnen vinden.

We hadden al opgemerkt dat de vectorpotentiaal, waar we naar op zoek zijn, belangrijk is, omdat het invloed heeft op de complexe fase van de golffunctie van geladen deeltjes. Als we nu een deeltje met lading q en quantummechanische golffunctie ψ beschouwen dat zich in de buurt van de magnetische monopool bevindt, dan komt de term

ˆ

p − q ~A = −i(∇ − iq ~A) (4.77) voor in de Hamiltoniaan van dit deeltje, waar ~ gelijk aan 1 gesteld is. We kunnen dus een ijktransformatie

ψ → ψ0 = eiqξ(x)ψ (4.78) toepassen als we ook ~A als

~

A → ~A0 _{= ~A − ∇(ξ(x)) (4.79)}

laten transformeren (zie 4.13), waar x = (x1, x2, x3) ∈ R3\{~0}. De Schr¨odinger-vergelijking

is invariant onder deze ijktransformatie, dus het systeem is dat ook. Met A als differen- tiaalvorm wordt deze transformatie

A → A0 = A − dξ. (4.80) Laat nu ψ+ en ψ− oplossingen zijn van de Schr¨odinger-vergelijking met respectivelijk

A+ of A− als vectorpotentiaal (op U+∩ U−). Dan moet dus (gezien vergelijking (4.49))

gelden dat ψ+(r, φ, θ) = ei2gqφψ−(r, φ, θ). Maar (r, φ, θ) geeft dezelfde plek in de ruimte

aan als (r, φ + 2π, θ), dus zowel ψ+(r, φ, θ) = ψ+(r, φ + 2π, θ) als ψ−(r, φ, θ) = ψ−(r, φ +

2π, θ) en dus ook ei2gqφ _{= e}i2gq(φ+2π)_{. Er moet dus gelden dat}

wat de Dirac kwantisatie conditie wordt genoemd. Als de lading van een deeljte een continu spectrum aan waardan aan zou kunnen nemen, zou dit betekenen dat de moge- lijke waarden van de sterkte van een magnetische monopool g afhangen van de lading van het deeltje dat “erbij in de buurt is”. Gelukkig geldt dat de lading van een deel- tje gekwantiseerd is, dus de Dirac kwantisatie conditie impliceert dat de sterkte van de magnetische monopool ook gekwantiseerd is. Dit zullen we later nodig hebben.

Aangezien de expliciete waarde van de lading van het deeltje niet uitmaakt zullen we vanaf nu aannemen dat het deeltje lading q = 1 heeft. Vergelijking (4.50) reduceert dan tot

iA+= e−i2gφ(iA−)ei2gφ+ e−i2gφd(ei2gφ). (4.82)

Met (4.78) en (4.79) kunnen we de vectorpotentialen A+ en A− beschouwen als ijk-

velden van een ijktheorie met ijkgroep S1 _{= {z ∈ C}∗ : |z| = 1} = {eit _{∈ C}∗ _{: t ∈ R}} (met de multiplicatie overgenomen van C∗). De Lie-algebra van deze groep is de raak- lijn aan de cirkel in het complexe vlak aan het eenheidselement 1. Dit is dus de lijn {1 + ix ∈ C : x ∈ R}, die we kunnen identificeren met Im(C) = {ix ∈ C : x ∈ R}. We zullen daarom vanaf nu gebruiken dat Im(C) de Lie-algebra van S1 _is.

Dit betekent dat iA+ en iA−gezien kunnen worden als Lie-algebra waardige 1-vormen

op S+ respectivelijk S−, voor de Lie-groep S1. Stel nu g−+: S+∩ S− → S1 een functie is

gedefini¨eerd door g−+(φ, θ) = ei2gφ. Deze functie is goedgedefini¨eerd, want op S+∩ S−

is de co¨ordinaat φ eenduidig bepaald en hij is continu omdat 2g ∈ Z. Deze definitie gebruiken in vergelijking (4.82) geeft met behulp van vergelijking (4.72) dat voor alle p ∈ S+∩ S− en alle v ∈ Tp(S+∩ S−) geldt dat

(iA+)(p)(v) = (g−+(p))−1· (iA−)(p)(v) · g−+(p) + (g−+(p))−1· (Tpg−+)(v), (4.83)

ofwel (zie vergelijking (4.75))

iA+= ad(g−+)−1 ◦ (iA−) + (g−+) ∗

Θ. (4.84)

Bovendien kunnen we de groep S1 _{zien als groep van complexwaardige 1 × 1-matrices}

en dus zien als een matrix-Lie-groep.

Met lamma 4.3.2 kunnen we nu concluderen dat er een connectie ω bestaat op de principale S1_{-bundel over S}2 _{met g}

−+ als transitiefunctie, zodat iA+= (s+)∗ω en iA− =

(s−)∗ω, waar s+ en s− de kanonieke lokale secties op S+ respectivelijk S− voorstellen.

Deze ω is dus een globale beschrijving van de vectorpotentiaal van Dirac’s magnetische monopool.

We hebben in voorbeeld 3.4.5 gezien dat er voor ieder geheel getal een principale S1_{-bundel over S}2 _{bestaat. Bovendien wordt bepaald welke bundel dit wordt door de}

homotopieklasse van g−+ beperkt tot de evenaar van S2. Gezien als functie van S1 naar

S1 wordt dit eiφ 7→ ei2gφ

waar, zoals we gezien hebben, 2g ∈ Z. De benodigde bundel zal dus corresponderen met het getal 2g ∈ Z en voor g = 1₂ zal dus een connectie op de Hopf-bundel nodig zijn (zie nogmaals voorbeeld 3.4.5).

Als laatste in dit hoofdstuk zullen we de kromming van een connectie defini¨eren en zien dat dat erg veel te maken heeft met de veldsterkte (4.31) uit de ijktheorie. We

hebben gezien dat als (E, M, π, G) een principale bundel is, we met behulp van een connectie op die bundel een horizontale richting kunnen defini¨eren. Voor elke x ∈ E kunnen we TxE schrijven als

TxE = Vert(TxE) ⊕ Hor(TxE). (4.85)

Elke v ∈ TxE is dus op een unieke manier te schrijven als v = vV + vH, waar vV ∈

Vert(TxE) en vH ∈ Hor(TxE). We kunnen zelfs expliciete uitdrukkingen geven voor vV

en vH, namelijk

vV = (Teσx◦ ωx)(v) en vH = v − (Teσx◦ ωx)(v). (4.86)

De afbeeldingen v 7→ vV en v 7→ vH zijn dus gladde afbeeldingen.

Dit gezegd hebbende, kunnen we de definitie van de kromming van een connectie ω geven.

Definitie 4.3.3. Stel (E, M, π, G) is een principale bundel en ω is een connectie op deze bundel. Dan is de kromming Ω van ω een Lie-algebra-waardige 2-vorm op E, die gedefini¨eerd wordt door

Ωx(v, w) := (dω)x(vH, wH) (4.87)

voor alle x ∈ E en alle v, w ∈ TxE en met vH en wH de door ω bepaalde horizontale

componenten van v en w.

De kromming van een connectie ω is dus de uitwendige afgeleide van ω ge¨evalueerd op het horizontale deel van de vectoren. Het is in het algemeen niet makkelijk om de kromming van een connectie met behulp van de definitie uit te rekenen. De Cartan structuur vergelijking ([5]) kan hierbij helpen. Deze zegt namelijk dat voor een connectie ω op een principale bundel (E, M, π, G) met kromming Ω er voor iedere x ∈ E en v, w ∈ TxE geldt dat

Ωx(v, w) = (dω)x(v, w) + [ωx(v), ωx(w)]. (4.88)

Hierin stelt [·, ·] het Lie-haakje van de Lie-algebra G van G voor. Voor iedere lokale trivialisatie (Uα, Ψα) van de bundel bestaat er een kanonieke lokale sectie sα en kunnen

we dus defini¨eren Aα = (sα)∗ω (zoals in lemma 4.3.2) en Fα = (sα)∗Ω. Er geldt dat de

pullback van een functie en de uitwendige afgeleide commuteren en bovendien geldt in dit geval ook dat de pullback binnen de Lie-haakjes gehaald kan worden. Er geldt dus voor alle p ∈ Uα en v, w ∈ TpM dat

(Fα)p(v, w) = (dAα)p(v, w) + [(Aα)p(v), (Aα)p(w)]. (4.89)

Dit komt nu overeen met vergelijking (4.31) in de niet-abelse ijktheorie. Bovendien geldt voor een abelse Lie-groep, dat het Lie-haakje gelijk aan nul wordt, dus in het abelse geval geldt dat

Omdat de pullback van de connectie naar de basisruimte correspondeert met de ijk- velden uit de ijktheorie, zien we hieraan dat de pullback van de kromming naar de basisruimte correspondeert met de veldsterkte. De ruimte-tijd is een samentrekbare ruimte, dus hierop kan altijd een lokale trivialisatie gemaakt worden met kanonieke lo- kale sectie s. We kunnen dus F = s∗Ω en A = s∗ω bekijken, wat de kromming en de connectie teruggetrokken naar de ruimte tijd voorsteld. Met vergelijking 4.89 kan dan gecontroleerd worden dat hiervoor inderdaad geldt dat

F = X

0≤µ<ν≤3

Gµνdxµ∧ dxν. (4.91)

We zien dus dat er erg veel overlap bestaat tussen de theorie over connecties op principale bundels en ijktheorie, waardoor beide theorie¨en van elkaar kunnen leren. Een interessant verschil tussen de theorie¨en, is dat in de theorie over principale bundels alles met rechtswerkingen gedefini¨eerd is, terwijl de werkingen uit de ijktheorie linkswerkingen zijn. Dit is vaak de oorzaak van de incidentele verschillen tussen vergelijkingen uit beide theorie¨en die te maken hebben met inverses van groepselementen. Deze verschillen zijn gelukkig erg overkomenlijk en we zullen daar dan ook verder geen aandacht aan besteden. Met deze theorie¨en op zak kunnen we in het volgende hoofdstuk instantonoplossingen van de Yang-Mills-vergelijkingen gaan bekijken. Eerst zullen we echter zien wat het eigenlijk inhoud om een instantonoplossing te zijn en we zullen het laagdimensionale voorbeeld bekijken van instantonoplossingen in het dubbele-potentiaalput-systeem.

In document Instantonen (pagina 44-50)