4. Connecties en IJktheorie
4.1.1. Abelse ijktheorie
We gaan dus een systeem bekijken waarvan de fysische interpretatie invariant is onder de transformaties van een niet-abelse groep. We kunnen bijvoorbeeld kijken naar de quantummechanische beschrijving van een deeltje, door zijn golffunctie. Alle fysische eigenschappen van dat zo een deeltje, zoals zijn (verwachtte) positie en zijn (verwachtte) snelheid, kunnen berekend worden aan de hand van die golffunctie. De complexe fase van de golffunctie heeft echter geen invloed op de uitkomst van die berekeningen. De fysische eigenschappen van het deeltje zijn dus invariant onder faseveranderingen.
Als deze complexe fase toch niets uitmaakt, waarom kunnen we deze fase dan niet gewoon kiezen en dan van het probleem af zijn? Als het deeltje echter in interactie is met een ander deeltje, dan maakt het wel degelijk uit wat de fase van het deeltje is ten opzichte van de fase van het andere deeltje. Dit is experimenteel vastgelegd1, en verklaart waarom het wel belangrijk is om de fase van de golffunctie van een deeltje serieus te nemen.
Als het voor de goffunctie van een enkel deeltje niet uitmaakt wat de fase is, kunnen we die golffunctie dus met een arbitraire fase vermenigvuldigen. Dus de transformatie
ψ → ψ0 = eiqξψ (4.1) heeft geen effect op de fysische eigenschappen van het deeltje. Hierin stelt q de sterkte van de transformatie voor. Merk op dat deze fase eiqξ constant is in de ruimte. Zo een transformatie noemen we een globale transformatie, omdat in de gehele ruimte met dezelfde fase vermenigvuldigd wordt. We zien dat voor de complex geconjugeerde van de golffunctie geldt dat deze globale transformatie er als volgt uitziet
¯
ψ → ¯ψ0 = e−iqξψ.¯ (4.2) We zien nu duidelijk dat er geldt dat
|ψ0|2 = ¯ψ0
ψ0 = e−iqξψe¯ iqξψ = ¯ψψ = |ψ|2, (4.3) waaraan te zien is dat inderdaad de (verwachtte) plaats van het deeltje invariant is onder deze globale transformatie. Voor veel andere fysische eigenschappen zoals de (verwachtte) snelheid van het deeltje, zullen we kijken naar termen met een afgeleide erin zoals ¯ψ∂µψ. Hiervoor geldt dat
¯
ψ0∂µψ0 = e−iqξψ∂¯ µ(eiqξψ) = ¯ψ∂µψ, (4.4)
omdat eiqξ constant is en daarom voor de afgeleide gehaald mag worden. We zien
dus dat alle fysische eigenschappen van het deeltje invariant zijn onder deze globale transformaties.
Maar stel nu dat we een systeem bekijken, dat niet alleen invariant is onder deze globale transformaties, maar ook onder zogenaamde lokale transformaties (of ijktrans- formaties). Deze lokale transformaties zien er als volgt uit
ψ(x) → ψ0(x) = eiqξ(x)ψ(x), (4.5) waar φ(x) een differenti¨eerbare functie van x = (x0, x1, x2, x3) is en q weer de sterkte van
de transformatie aangeeft. Op ieder punt in de ruimte tijd kan de fase van oplossingen van dit systeem dus los gekozen worden (als het maar op een differenti¨eerbare manier is). De complex geconjugeerde transformeert dan uiteraard volgens
¯
ψ(x) → ¯ψ0(x) = e−iqξ(x)ψ(x).¯ (4.6)
1Een voorbeeld van een experiment dat het belang hiervan heeft aangetoond, is het Aharonov-Bohm- experiment [1]
We zien nu duidelijk dat net zoals bij globale transformaties de modulus van ψ invariant is onder lokale transformaties (zie vergelijking 4.3). Echter als er een afgeleide in het spel komt gaat het mis. We krijgen in dit geval namelijk dat
∂µψ0(x) = ∂µ(eiqξ(x)ψ(x)) = eiqξ(x)∂µ(ψ(x)) + iq∂µ(ξ(x))ψ0(x) (4.7)
Er geldt nu dus dat ( ¯ψ(x)∂µψ(x))0 6= ¯ψ(x)∂µψ(x), waardoor fysische eigenschappen die
van deze afgeleide afhangen niet invariant zijn onder ijktransformaties.
Dit geeft een probleem, want we wilden een systeem bekijken waarvan alle fysische eigenschappen onafhankelijk waren van ijktransformaties. De oplossing die voor dit probleem gevonden is is de volgende: we voeren een covariante afgeleide Dµ in, die
meetransformeert met de oplossing ψ zodanig dat (Dµψ(x))0 = Dµ0ψ
0
(x) = eiqξ(x)Dµψ(x). (4.8)
Deze zal van de vorm zijn
Dµψ(x) = (∂µ− iqAµ(x))ψ(x), (4.9)
waar Aµ een viervector is die meetransformeert met de ijktransformatie, ofwel Dµ0 =
∂µ− iqA0µ(x). Deze Aµ wordt het ijkveld genoemd. De vraag is nu alleen nog hoe Aµ
moet transformeren om aan vergelijking (4.8) te voldoen. Er moet dus gelden dat eiqξ(x)(∂µ− iqAµ(x))ψ(x) = eiqξ(x)Dµψ(x) = D0µψ
0
(x) (4.10)
= ∂µψ0(x) − iqA0µ(x)ψ 0
(x) (4.11)
= eiqξ(x)(∂µ+ iq∂µ(ξ(x)) − iqA0µ(x))ψ(x). (4.12)
Hieruit volgt duidelijk dat het ijkveld Aµ moet transformeren als
Aµ → A0µ= Aµ− ∂µ(ξ). (4.13)
Op deze manier hebben we dus een covariante afgeleide (4.8) gevonden, die meetrans- formeert met de ijktransformatie, omdat Aµ meetransformeert met de ijktransformatie.
We kunnen nu een Lagrangiaan maken die helemaal invariant is onder ijktransfor- maties, door alleen termen zoals ¯ψDµψ en ¯ψψ te gebruiken. Als de Lagrangiaan van
het systeem invariant is onder bepaalde transformaties, dan moet het gehele systeem wel invariant zijn onder die transformaties, aangezien de Lagrangiaan het hele systeem beschrijft. Aan de Lagrangiaan is dus te zien of een systeem ijkinvariant is.
Merk op dat we door het invoeren van een covariante afgeleide het probleem vergroot hebben. We hebben namelijk een onbekende functie Aµ(x) toegevoegd aan de Lagran-
giaan. De oplossing zal nu dus niet meer alleen een expliciete uitdrukking voor ψ zijn, maar ook een expliciete uitdrukking voor Aµ.
Iets anders dat invariant blijkt te zijn onder ijktransformaties is de veldsterkte. Deze wordt met behulp van het ijkveld Aµ gedefini¨eerd als
De veldsterkte is dus een soort van afgeleide van het ijkveld2. Deze blijkt erg veel te maken te hebben met de commutator van de covariante afgeleide in twee richtingen [Dµ, Dν] gebruikmakend van (4.9) kan dit namelijk uitgeschreven worden, waaruit blijkt
dat
Fµν =
i
q[Dµ, Dν]. (4.15) Deze veldsterkte blijkt invariant te zijn onder ijktransformaties, aangezien
Fµν0 = ∂µA0ν − ∂νA0µ (4.16)
= ∂µAν − ∂µ∂ν(ξ) − ∂νAµ+ ∂ν∂µ(ξ) (4.17)
= ∂µAν − ∂νAµ = Fµν (4.18)
De term Fµν is dus een term die voor kan komen in de Lagrangiaan van een ijkinvariant
systeem. Een typische Lagrangiaan van een systeem waar alleen de ijkvelden oplossingen zijn is bijvoorbeeld L = −14F2
µν.