Hoofdstuk 4

4 3 25 0 ₁ 1 0 '' ' 3 4 ' 4 3 0 25 25 0 1 ' 3 4 4 3 7 24 1 1 7 24 '' ' 25 3 4 24 7 25 2 I I I I II II I II II II        = ₋   _{= +}  ₋              _{ − } _{= −} _{ } ₋ = − _{ } _{ } − − − −        
































 4 7 ' ' '' '' I II I II I II        _{ }  _{ } −     

IV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire

Transformaties in

_ℝ

2

IV.0 Meetkundige inleiding: deklijnen en eigenvectoren

Bij veel toepassingen van de Gauss-Jordan methode gaat men uit van de deklijnen van een lineaire transformatie L in ℝ om de matrix L van deze lineaire transformatie op te stellen. 2 Zoals we verderop in deze paragraaf zullen zien hangen deklijnen samen met de zogenoemde eigenvectoren en eigenwaarden van een lineaire transformatie L in ℝ . 2

Een eerste voorbeeld van dit gebruik van deklijnen bij de Gauss-Jordan methode vormt de spiegeling

S

k in

2

ℝ in een lijn k. Voorbeeld

Dit voorbeeld is reeds in §III.5 aan de orde gekomen. Er is daar in

2

ℝ sprake van de spiegeling

S

_k in de lijn k x: ₂ = −3₄x₁ .

De vectoren langs de lijn k liggen na spiegeling nog steeds langs die lijn. Een voorbeeld van zo’n vector is 4

3 v=_ _ −    waarvan het beeld na spiegeling dezelfde vector is

S

_k( )v =v

Ook langs de lijn l loodrecht op k liggen de vectoren na spiegeling langs diezelfde lijn. De vectoren die langs l staan hebben hun tegengestelde vector als spiegelbeeld. Een voorbeeld vormt de vector

* 4 3 3 4 w=_ _ = _{ } −     

waarvan het beeld na spiegeling is

S

_k( )w = −w.

Uitgaande van deze vectoren v en w met hun resp. spiegelbeelden levert de Gauss-Jordan methode (zie ook §III.5)

Dit levert voor de matrix van de spiegeling

7 24 1 24 7 25 k S = _ − _ − −  

De lijnen k en l vormen de zogenoemde deklijnen van de spiegeling

S

_k

Definitie

In het platte vlak met standaard assenstelsel ( ,x x_{1 2}) is een deklijn van een lineaire

transformatie een lijn door de oorsprong met de eigenschap dat als een vector volgens die lijn is gericht dan ook het beeld van die vector volgens de lijn is gericht.

Anders gezegd:

Die lijnen door de oorsprong die door een lineaire transformatie op zichzelf worden afgebeeld heten de deklijnen van de lineaire transformatie.

Voordat we verder gaan met de definities van eigenwaarden en eigenvectoren nog een Voorbeeld

Gegeven In een standaard assenstelsel ( ,x x_{1 2}) de lijnen l x: ₂ = ₂1x₁ en m x: ₂ = −₃1x₁. Voor een lineaire transformatie L in ℝ2 geldt dat l een deklijn is De vectoren die langs l liggen hebben ook hun L -beeld langs l. De beeldvectoren zijn 3 keer zo lang als de originelen.

Ook de lijn m vormt een deklijn voor L . De beeldvectoren langs deze lijn zijn de tegengestelden van de originelen langs deze lijn.

Gevraagd

a) Verklaar dat de vector 2 1 v= _{ }

  

het beeld L( )v =3v heeft.

b) Geef hetL -beeld van de vector 3 1 w=_− _

  

c) Bepaal met behulp van de Gauss-Jordan methode de matrix L van de lineaire transformatie.

d) Geef de kentallen van beelden L( )e₁ resp. L( )e₂ van de standaardbasis e e₁, ₂. Bereken ook de lengtes van deze beeldvectoren.

e) Teken naast elkaar twee keer het standaard assenstel ( ,x x _{1 2})

In het linker assenstelsel zullen de originelen worden getekend en in het rechter de L -beelden.

f) Teken in het linker assenstelsel de vectoren e e₁, ₂ van de standaardbasis en arceer het vierkant dat zij opspannen. Teken daarin ook de lijnen l en m en verder de vectoren v en w als positievectoren

g) De vectoren L( )e₁ resp. L( )e₂ leggen een scheef assenstelsel ( ,k k_{1 2}) vast. Teken deze assen in het rechter diagram als streepjes lijnen. Teken ook de vectoren L( )e₁ en

2

( )e

L en arceer het parallellogram dat zij opspannen.Teken de lijnen l en m ook in het rechter assenstelsel.

h) De vector v′ heeft kentallen 2 en 1 ten opzichte van het scheve assenstelsel ( ,k k1 2),

dus v′ =2 ( ) 1 ( )e1 + e2

  

L L . Teken v′ als positievector in het rechter assenstelsel. Teken ook de vector w′ = −3 ( ) 1 ( )e1 + e2

  

L L die kentallen 3− en 1 heeft ten opzichte van ( ,k k1 2)

j) Bereken de kentallen van v′ ten opzichte van de standaard basis en laat met behulp hiervan zien dat v′ het L -beeld is van v

Bereken de kentallen van w′ ten opzichte van de standaard basis en laat met behulp hiervan w′ =L( )w .

2 3 5 0 ₁ 1 0 '' ' 1 1 ' 0 5 5 0 1 ' 3 2 6 3 3 24 1 1 3 24 '' ' 5 3 1 4 7 5 4 7 I I I I II II I II II II  −       =   _{= −}                  _{ } _{= +} _{ }  _{ } = _{ } _{ }  _{ } −             





























 ' ' '' '' I II I II I II   Oplossing

a) Op de lijn l x: ₂ = 1₂x₁ geldt als x₁=2 dan x₂ =1. De vector 2 1 v = _{ }

  

is dus gericht volgens l. Voor de vectoren langs l geldt dat de L -beelden 3 keer zo lang zijn, dus

( )v =3v L b) De vector 3 1 w=_− _   

is gericht volgens de lijn m. De L -beelden zijn hierbij tegengesteld gericht dus L( )w = −w

c) De Gauss-Jordan methode levert uitgaande van de gegevens uit a) en b)

De matrix van de lineaire transformatie is dus 3 24 1 4 7 5 L= _ _   d) ( )₁ 1 3 4 5 e =  _{ }    L en ( )₂ 1 24 7 5 e = _ _    L met lengtes ( )₁ 1 32 42 1 5 e = + = L resp. 2 2 2 1 ( ) 24 7 5 5 e = + = L e) f) g) h) Zie figuur h) 2 ( ) 1 ( )_{1 2} 2 1 3 1 24 3 2 3 ( ) 4 7 1 5 5 v′ = e + e = ⋅  _{ }+ _ _=  _{ }= v= v            L L L 1 2 3 24 3 1 1 3 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 4 7 1 5 5 w′ = − e + e = − ⋅ _{ } + _ _= −_− _= − =w w            L L L

Opmerkingen

1) Het antwoord op vraag h) bevestigt de lineariteit van L zoals besproken in §III.2. Immers v=2e₁+e₂ met L( )v =2L( )e₁ +L( )e₂ , en w= −3e₁+e₂ met

1 2

( )w = −3 ( )e + ( )e

L L L .

2) De lijnen l en m zijn de enige deklijnen van L . Zo is de vector 1

1 0 0 p p= _{ }= p _{ }= pe      

gericht volgens dex -as terwijl zijn beeld ₁ L( )p =L(pe₁)= pL( )e₁ gericht is volgens de k -as. De ₁ x -as valt niet samen met ₁ k -as. Op vergelijkbare manier is het ₁ L -beeld van de x -as en de niet ermee samenvallende ₂ k -as, want ₂ q=qe₂ is gericht volgens de x -as en ₂ L( )q =L (qe₂)=qL( )e₂ volgens de k -as. ₂

Met het bestaan van deklijnen hangt de volgende definitie samen Definitie

De eigenvergelijking van een lineaire transformatie L in ℝ is de vergelijking 2 ( )x =τx

L

Als er waarden van de scalar

τ

zijn waarbij er vectoren ≠0 zijn die aan de eigenvergelijking voldoen, dan heten deze waarden van de scalar de eigenwaarden van de transformatie L en de betreffende vectoren heten eigenvectoren van de transformatie L

Opmerkingen

1) In het laatste voorbeeld is L( )x =3x een eigenvergelijking met eigenwaarde τ =3 en een oplossing ervan is de eigenvector 2

1 v = _{ }

  

.

In het voorbeeld is de tweede eigenvergelijking L( )x = −x , die dus de eigenwaarde 1

τ = − heeft, en een oplossing ervan is de eigenvector 3 1 w=_− _

  

.

2) Als een vector v≠0 eigenvector is bij een eigenwaarde

τ

dan zijn ook de vectoren x=λv eigenvectoren bij dezelfde eigenwaarde. Immers

( )x = (λv)=λ ( )v = ⋅λ τv=τx

L L L

Gezien als positievectoren liggen zowel de eigenvectoren en als hun beelden alle langs de deklijn m x:=λv. Hierbij ligt eindpunt van een beeldvector L( )x een factor

τ

verder van de oorsprong dan het eindpunt van de bijbehorende origineelvector x. 3) Niet alle lineaire transformaties in ℝ hebben eigenwaarden en eigenvectoren. De 2 rotatieR_θ over een hoek θ in ℝ heeft bijna nooit eigenwaarden en eigenvectoren. 2 (Zie opgave IV.0.2 )

In deze paragraaf hebben we vanuit gegeven deklijnen en gegeven eigenvectoren met behulp van de Gauss-Jordan methode matrices opgesteld van lineaire transformaties in ℝ . 2

De centrale vraag in de volgende paragraaf is het omgekeerde:

Als van een lineaire transformatie in ℝ de matrix gegeven is hoe valt dan na te gaan of deze 2 transformatie eigenwaarden heeft, en zo ja wat zijn dan de bijbehorende eigenvectoren?

Voor het antwoord op deze vraag zullen we in die paragraaf de zogenoemde karakteristieke vergelijking afleiden.

In de volgende paragrafen spelen die eigenvergelijkingen de hoofdrol waarbij één van de eigenwaarden gelijk is aan 0. Het volgende voorbeeld gaat in op de meetkundige aspecten bij eigenwaarde 0, die ook worden besproken in het aanhangsel van §IV.3

Aanhangsel 1: Eigenwaarde 0, een voorbeeld

De scheve projectie is een voorbeeld van een lineaire transformatie met eigenwaarde 0. Voorbeeld

Gegeven De lijnen k x: ₂ = 1₂x₁ en l x: ₂ =3x₁ in een standaard assenstelsel (x x en de ₁, ₂) scheve projectie P_{k l,} in ℝ , die ook §III.5 al aan de orde is gekomen. 2

Gevraagd

a) Licht toe: Voor 2

1 v = _{ }    geldt _, 2 2 1 1 k l P    _{   }=      Voor 1 3 w= _{ }    geldt _, 1 0 3 0 k l P    _{   }=     

b) Bereken volgens de Gauss-Jordan methode de matrix van P_{k l,} .

c) Teken in een standaard assenstelsel ( ,x x de lijnen k en l. Teken ook de vectoren _{1 2})

1, 2

e e  van de standaardbasis. Teken ook de vectoren ven w als positievectoren d) Verklaar dat de lijnen k en l deklijnen zijn van de lineaire transformatie P_{k l,}

e) Langs welke lijn liggen de vectoren die een oplossing zijn van de eigenvergelijking

, ( ) 0 ( 0)

k l x = x =



 

P

met eigenwaarde τ =0. Welke van de in c) getekende vectoren is een oplossing (een eigenvector) bij deze eigenwaarde τ =0?

f) Langs welke lijn liggen de vectoren die een oplossing zijn van de eigenvergelijking

, ( ) 1

k l x = x

 

P

met eigenwaarde τ =1. Welke van de in c) getekende vectoren is een oplossing (een eigenvector) bij deze eigenwaarde τ =1?

g) Geef in de figuur de beelden P_{k l,} ( )v en P_{k l,} ( )w aan. h) De vectoren 5 5 a= _{ }    , 3 1 b = _{ }    en 2 4 c =_ _ −   

hebben alle hetzelfde P_{k l,} -beeld. Toon dit aan door berekening met de matrix P_{k l,}

i) Teken in de figuur de vectoren a, ben cals positievectoren en geef ook hun Pk l,

-beeld aan.

j) Teken een streepjeslijn langs de koppen van de vectoren uit i). Verklaar de richting van deze lijn.

k) Teken tenslotte de beeldvectoren P_{k l,} ( )e₁ en P_{k l,} ( )e₂ van de standaardbasis. l) Toon aan dat geldt P_{k l,}( )e₁ = −3P_{k l,} ( )e₂ , dus dat de beelden van de standaardbasis

2 1 5 0 ₁ 1 0 '' ' 1 3 ' 3 1 0 5 5 0 1 ' 1 2 2 0 6 2 1 1 6 2 '' ' 5 1 0 3 1 5 3 1 I I I I II II I II II II         =   _{= −}  ₋                 _{ } _{= −} _{ }  _{ − } = − _{ } _{ }  _{ } − _{ } _{ }  _{ }      































 ' ' '' '' I II I II I II     Oplossing

a) De vectoren langs k blijven bij de projectie P_{k l,} onveranderd. De vector 2 1 v = _{ }

  

ligt langs k en er geldt dus k l, ( )v =v

 

P .

De vectoren langs l worden bij de projectie P_{k l,} afgebeeld op de vector0. De vector 1

3 w= _{ }

  

is zo’n vector en er geldt dus P_{k l,} ( )w = =0 0w b)

De matrix van P_{k l,} is dus

, 6 2 1 3 1 5 k l P = _ − _ −    c) Zie figuur

d) De positievectoren langs k zijn voor en na de projectie P_{k l,} hetzelfde. De originelen en beelden zijn beide langs deze lijn gericht en dus is k een deklijn. De positievectoren langs l

hebben alle als beeld de vector 0. Originelen en beeld liggen dus op één lijn en daarom is ook l een deklijn.

e) De vector w ligt langs l en er geldt P_{k l,} ( )w =0w. De vector

x=w is dus een oplossing van de eigenvergelijking P_{k l,} ( )x =0x. Ook x=2w of x= −1₂w zijn oplossingen.

Alle oplossingen zijn dus volgens l gericht.

f) De vector v is volgens k gericht

en is oplossing van de eigenvergelijking k l, ( )x =1x

 

P . Alle vectoren x=λv, met λ een nader te bepalen scalar, zijn oplossingen van deze vergelijking en zijn alle gericht volgens k. g) Zie figuur. h) _, ( ) _, 5 1 6 2 5 1 6 5 ( 2)5 4 5 5 3 1 5 5 3 5 ( 1)5 2 k l a Pk l − ⋅ + −          = _{ }= _{  }= _{   }= − ⋅ + −             P , , 3 1 6 2 3 1 6 3 ( 2)( 1) 4 ( ) 1 5 3 1 1 5 3 3 ( 1)( 1) 2 k l b Pk l − ⋅ + − −          = _{ }= _{  }= _{   }= − − ⋅ + − −             P

, , 2 1 6 2 2 1 6 2 ( 2)( 4) 4 ( ) 4 5 3 1 4 5 3 2 ( 1)( 4) 2 k l c Pk l − ⋅ + − −          = _{ }= _{  }= _{   }= − − − ⋅ + − −             P i) Zie figuur.

j) De lijn door al deze koppen is evenwijdig aan l. Deze vectoren hebben daarom als beeld eenzelfde positievector op de lijn k waarvan de kop ook op deze lijn ligt. k) Teken vanuit de koppen van de standaardbasis e e₁, ₂ lijnen evenwijdig aan l. Dit

levert op k de resp. positievectoren P_{k l,} ( )e₁ en P_{k l,} ( )e₂ l) Uit de matrix L volgt _, ( )₁ 1 6 3 2

3 1 5 5 k l e     = _{ }= _{ }       P en _, ( )₂ 1 2 1 2 1 1 5 5 k l e −     = _{ }= − _{ } −       P Dus k l, ( )e1 = −3 k l,( )e2   P P .

In de figuur liggen deze vectoren beide langs de deklijn k, wat ook beteken dat zij van elkaar afhankelijk zijn

Opmerkingen

1) Uit de vragen k) en l) blijkt dat de beelden van standaardbasis e e1, 2

 

afhankelijk zijn. In de volgende paragraaf zal blijken dat dit altijd geldt als een lineaire transformatie eigenwaarde 0 heeft.

2) Uit de vragen i) en j) blijkt dat er verschillende vectoren zijn hetzelfde beeld hebben. In het aanhangsel van §IV.3 zal besproken worden dat alleen bij lineaire

transformaties met een eigenwaarde 0 het geval is. Is er geen eigenwaarde 0 dan hebben verschillende vectoren verschillende beelden.

Aanhangsel 2

Als afronding van deze paragraaf één stelling die we verder in het vervolg niet nodig hebben en die dus kan worden overgeslagen.

Stelling

Heeft een lineaire transformatie in ℝ twee verschillende eigenwaarden dan zijn de 2 bijbehorende eigenvectoren onafhankelijk.

Bewijs

Stel een lineaire transformatie L in ℝ heeft eigenwaarden 2

τ

1 en

τ

2 met

τ τ

1≠ 2.

Laat v≠0 een eigenvector zijn bij eigenwaarde

τ

1 , dus 1

( )v =

τ

v L

Laat w≠0 een eigenvector zijn bij eigenwaarde

τ

2 , dus 2

( )w =

τ

w L

We bewijzen vanuit het ongerijmde dat v en w onafhankelijk zijn.

Stel het tegendeel. De vectoren v en w zijn wel afhankelijk. Er is dan een scalar 0

λ≠ zodanig dat w=λv

De vector x=

λ

v≠0heeft eigenwaarde

τ

1, dus 1

( )x =

τ

x L

2

( )x =

τ

x L

Gevolg

Dit is strijdig met de aanname

τ τ

₁≠ ₂, dus is er een zogenoemde ongerijmdheid. De eigenvectoren bij

τ

₁ en

τ

₂ zijn dus onafhankelijk.

□ Opgaven

IV.0.1 De vermenigvuldiging

V

_k,λ in ℝ ten opzichte van een lijn k door de oorsprong met 2 een factor

λ

heeft eigenwaarden 1 en

λ

. Verklaar dit meetkundig.

IV.0.2 a) Verklaar meetkundig dat rotatie R_θ in ℝ over een hoek 2

θ

geen

eigenvectoren heeft behalve als

θ

= ⋅k 1800, waarbij k een geheel getal is. b) Verklaar meetkundig voor welke hoeken

θ

de rotatie R_θeigenwaarde 1−

heeft.

c) Verklaar meetkundig voor welke hoeken

θ

de rotatie R_θ eigenwaarde 1 heeft. IV.0.3 Een lineaire transformatie L in ℝ heeft als deklijnen 2 l x: ₂ = x₁ en m x: ₂ = −3x₁.

De eigenvectoren behorend bij de deklijn l hebben eigenwaardeτ =2en de eigenvectoren behorend bij de deklijn m hebben eigenwaarde τ = −1

a) Geef een eigenvector v met eigenwaarde τ =2 en een eigenvector w met eigenwaarde τ = −1

b) Toon met behulp van de Gauss-Jordan methode aan dat de matrix van deze lineaire transformatie is 1 5 3 9 1 4 L= _ _ −  

c) Licht de situatie meetkundig toe met een figuur als in het tweede voorbeeld

IV.0.4 Een lineaire transformatie L in 2

ℝ wordt vastgelegd door de matrix 0 2 2 4 L=_ _ −   Voor de vector 3 2 3 2 v=  _{ }    geldt

a) Waarom is veen eigenvector van L en welke eigenwaarde behoort bij deze vector?

3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 0 2 0 2 2 4 2 4 3 2 3 L_{ }  =_ _  _{  }  = ⋅ + ⋅ _ − − ⋅ + ⋅             =_{ }=  _{ }   _{ } 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 ( ) 0 0 x x x x x

τ

τ

τ

τ

τ τ

τ τ

τ τ

= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =     

b) Toon door berekening aan dat ook 2 2 v′ =_− _ −   

een eigenvector is met dezelfde eigenwaarde

c) Geef de formule van de bijbehorende deklijn m.

d) Geef de kentallen van debeelden L( )e₁ en L( )e₂ van de standaardbasis. e) Toon door berekening aan dat 3₂ ( )₁ 3₂ ( )₂ 3

3 e + e = _{ }

 

 

L L en bespreek het

verband met de gegeven figuur

Opmerking: In opgave IV.1.2 zal met behulp van de zogenoemde karakteristieke vergelijking blijken dat deze lineaire transformatie slechts één eigenwaarde en één deklijn heeft.

IV.0.5 De lineaire transformatie L in ℝ wordt vastgelegd door de matrix 2

0 4 1 0 L=_ _   a) De vectoren 2 1 v= _{ }    en 2 1 w=_− _   

zijn eigenvectoren van lineaire transformatie. Toon dit door berekening met de matrix aan en geef de bijbehorende eigenwaarden. b) De vector 1 1 a= _{ }   

is geen eigenvector van de lineaire transformatie. Toon dit aan.

c) Geef de formules van de deklijnen bij deze transformatie.

d) Licht de situatie meetkundig toe met een figuur als in het tweede voorbeeld Opmerking: In de volgende paragraaf komt in opgave IV.1.5 aan de orde hoe men de eigenvectoren van deze lineaire transformatie kan vinden met behulp van de

zogenoemde karakteristieke vergelijking IV.0.6 De glijschuiving 1 1 , 2 x

G in ℝ in de richting van de2 x -as met een factor _{1 2}1 wordt

vastgelegd door de matrix _

     = 1 0 1 ₂1 2 1 1 x G a) De vectoren 1 0 x=

λ

 _{ }   

, met λ ≠1, langs de x -as zijn eigenvectoren van deze ₁ glijschuiving. Toon dit aan en geef de bijbehorende eigenwaarde(n).

b) Verklaar meetkundig dat deze glijschuiving alleen deze vectoren als eigenvectoren heeft en geen andere,

IV.1 De karakteristieke vergelijking

In deze paragraaf bewijzen we een twee stellingen die, samen met de determinant (zie aanhangsel), direct leiden de zogenoemde karakteristieke vergelijking van een lineaire transformatie in ℝ , waarmee de eventuele eigenwaarden van de lineaire transformatie 2 kunnen worden berekend. Als de eigenwaarden eenmaal bekend zijn dan is het niet al te lastig om van een lineaire transformatie in ℝ de eigenvectoren te bepalen. 2

Stelling

Een lineaire transformatie L in ℝ heeft een eigenwaarde 0 dan en slechts dan als de 2 beelden L( )e₁ enL( )e₂ van de standaardbasis afhankelijk zijn.

Bewijs

- Stel de transformatie heeft eigenwaarde 0.

Er is dan een vector v=v e_{1 1} +v e_{2 2} ≠0 zodanig dat L( )v =0v. Ook geldt voor het beeld van vdat L( )v =v₁L( )e₁ +v₂L ( )e₂ . Gevolg

1 ( )1 2 ( )2 0

v

L

e +v

L

e =

Omdat v≠0 is ten minste één van de kentallen v en ₁ v ongelijk 0. Als ₂ v₂ ≠0 dan geldt

1 2 1 2 ( )e v ( )e v = −   L L

De beelden van de standaardbasis zijn dan dus afhankelijk. Het geval v₁ ≠0 levert een vergelijkbaar resultaat.

- Stel de beelden van de standaardbasis zijn afhankelijk.

Er is dan een scalar λzodanig dat L( )e₂ =

λ

L( )e₁ of een scalar µ zodanig dat

1 2

( )e =µ ( )e

L L . In het eerste geval is de vector

1 v=_−λ_

 



een eigenvector v≠0 met eigenwaarde 0 want 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) 0 0 v e e v λ = − + = =      L L L

In het tweede geval is de vector w 1

µ   =_{ } −   

een eigenvector w ≠0 met eigenwaarde 0. □

In de volgende stelling wordt het begrip determinant van een lineaire transformatie gebruikt, dat al eerder in de paragrafen §I.8, §I.9 en §III.6 aan de orde is gekomen. Voor wie niet op de hoogte is van dit begrip wordt in het aanhangsel van deze paragraaf een korte herhaling gegeven die onafhankelijk van de eerdere paragrafen kan worden bestudeerd.

Stelling

Een lineaire transformatie L in ℝ heeft een eigenwaarde 0 dan en slechts dan als de 2 determinant van de transformatie gelijk is aan 0, dus als

L

=0.

Bewijs

- Stel de lineaire transformatie heeft geen eigenwaarde 0.

Volgens de vorige stelling zijn de beeldvectoren L( )e₁ enL( )e₂ van de standaardbasis onafhankelijk en liggen dus niet volgens één lijn. Zij spannen dan een oppervlak ongelijk 0 op, dus O( ( ),e1 ( ))e2 ≠0

 

L L . In dat geval geldt dus

L

≠0 - Stel de lineaire transformatie heeft een eigenwaarde 0.

Volgens de vorige stelling zijn de beeldvectoren L( )e₁ enL( )e₂ van de standaardbasis afhankelijk en liggen dus volgens één lijn. Zij spannen dan een oppervlak gelijk 0 op, dus

1 2

( ( ), ( )) 0

O L e L e = . In dat geval geldt dus

L

=0

□ Deze laatste stelling levert direct de karakteristieke vergelijking die we nodig hebben om de eventuele eigenwaarden van een lineaire transformatie in ℝ te vinden. Het basisinzicht bij 2 het bewijs is dat zodra een lineaire transformatie L in ℝ een eigenwaarde 2

τ

bezit dan kan er een nieuwe lineaire transformatie L −τI worden gevormd die eigenwaarde 0 heeft.

Stelling

De eigenwaarden

τ

van een lineaire transformatie L in ℝ zijn alle de oplossingen van de 2 vergelijking

0

τ

− =

L

I

,

de zogenoemde karakteristieke vergelijking van L. Bewijs

Bij iedere eigenwaarde

τ

van L is er een vector v≠0 zodanig dat L( )v =τv dus zodanig dat L( )v −τv=0. Of iets anders gesteld

(L −τI )( )v =0v

Dit betekent dat bij iedere eigenwaarde

τ

de lineaire transformatie L −τI een eigenwaarde 0 heeft omdat v≠0. Volgens de vorige stelling is dit dan en slechts dan het geval als voor de determinant geldt 0

τ

− =

L

I

□ Dat het eenvoudig is om bij een lineaire transformatie in ℝ vanuit bekende eigenwaarden de 2 eigenvectoren te vinden blijkt uit het volgende

Voorbeeld

Gegeven: Een lineaire transformatie L in ℝ wordt vastgelegd door de matrix 2 3 1

4 3 L=_ _

 

Gevraagd: a) De eigenwaarden van L b) De eigenvectoren van L Oplossing

3 1 1 0 3 1 4 3 0 1 4 3 L τI τ τ τ −       − =_{ }− _{  }= _ −      

Dit levert als karakteristieke vergelijking

3 1 0 4 3 τ τ − = − Dus (3−τ)2 − ⋅ =4 1 0

De oplossingen van deze vergelijking zijn (zie opgave V.1.1) 1 of 5 τ = τ = b) De eigenwaarde τ =1 . Laat 1 2 0 v v v   =_{ }≠    

een eigenvector zijn bij deze eigenwaarde . Er is aldus de vergelijking 1 1 2 2 1 v v L v v     =         Dus 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 3 3 2 3 1 1 4 3 4 3 4 3 2 v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v + + = ⇒ = −            = ⇒ = ⇒            _{+ + = ⇒ = −}           Als v₁=1 dan is 1 2 v=_ _ −   

een eigenvector bij eigenwaarde τ =1 . Een andere

eigenvector bij τ =1 worden gegeven door 2 4 v=_− _

  

.

Algemeen geldt dat de eigenvectoren bij τ =1 worden gegeven door 1 2 x=λ_ _ −    , waarbij λ≠0een nader te kiezen scalar is.

De eigenwaarde τ =5 . Laat w ≠0een eigenvector zijn bij τ =5 . Om de berekening te vereenvoudigen kunnen we de waarde 1 voor het kental in de x -richting kiezen. ₁ Door deze keuze geldt w 1

w   =_{ }   

en is er slechts één onbekende, te weten w. Er is dus de vergelijking 1 1 5 L w w     =         Dus 3 1 1 1 3 5 3 5 2 5 4 3 4 3 5 4 3 5 2 w w w w w w w w w w + + = ⇒ =           = ⇒ = ⇒        ₊    _{+ = ⇒ =}           De vector 1 2 w= _{ }   

is dus een eigenvector bij eigenwaarde τ =5 . De andere

eigenvectoren bij τ =5 worden gegeven door 1 2 x=µ _{ }

  

, waarbij µ ≠0een nader te kiezen scalar is.

Opmerking

Bij de berekening van de tweede eigenvector hebben we het kental in de x -richting gelijk 1 1

gekozen om de berekening te vereenvoudigen. We hadden uiteraard ook de kentallen in de

2

x -richting gelijk 1 kunnen kiezen om de berekening te vereenvoudigen(zie opgave V.1.1) Aanhangsel: Het begrip determinant van een lineaire transformatie in het kort.

We geven definitie van de determinant, die al eerder in de paragrafen §I.8, §I.9 en §III.6 aan de orde is gekomen. Zoals hierboven gesteld kan het onderstaande kan onafhankelijk van deze paragrafen worden gelezen. We leiden derhalve nogmaals een stelling af over de meetkundige betekenis van de determinant als oppervlakte opgespannen door de beelden van de vectoren van de standaard basis.

Definitie

Stel een lineaire transformatie L in ℝ wordt vastgelegd door de matrix 2 p r L q s   =_{ }  

De determinant van deze matrix L is een getal dat genoteerd wordt als p r

q s , waarvoor

geldt p r ps qr

q s = −

Opmerking

Er is hier sprake van kruiselings vermenigvuldigen: Van linksboven naar rechtsonder, dus van p naar s, met een + teken; van rechtsonder naar linksboven, dus van q naar r, met een −teken. Vervolgens wordt er opgeteld.

Definitie

De determinant van de lineaire transformatie, notatie

L

of L , is de determinant van de matrix die de transformatie vastlegt. Dus

p r q s = L

De volgende stelling geeft, misschien nogmaals, de meetkundige betekenis van de determinant.

Stelling

De determinant

L

van de lineaire transformatie L in ℝ is, op het teken na, 2 gelijk aan de oppervlakte opgespannen door de beeldvectoren ( )e₁ p q   =_{ }    L en 2 ( )e r s   =_{ }    L van de standaardbasis e₁en e₂.

Bij positieve oriëntatie van de vector L( )e₁ naar de vector L( )e₂ , dus als 1 2 ( ( )e ( ))e 0 ∠ L  →L  > , geldt 1 2 ( ( ), ( )) p r O e e q s =   L L

Bij negatieve oriëntatie van de vector L( )e₁ naar de vector L( )e₂ , dus als

1 2 ( ( )e ( ))e 0 ∠ L  →L  < , geldt 1 2 ( ( ), ( )) p r O e e q s = −   L L Bewijs

We bekijken de vectoren L( )e₁ en L ( )e₂ in het eerste kwadrant.

Eerst het geval van positieve oriëntatie van de vector L( )e₁ naar de vector L( )e₂ , dus als

1 2

( ( )e ( ))e 0

∠ L  →L  > . In de volgende figuur links is de oppervlakte O(L ( ),e₁ L( ))e₂ van het parallellogram opgespannen door de vectoren L( )e₁ en L( )e₂ wit aangegeven. Verschuiving van de oppervlakten O en ₁ O levert de figuur rechts. ₃

Uit de figuur rechts volgt dat voor O(L( ),e₁ L ( ))e₂ geldt

1 2 2 ( ( ), ( )) p r O e e ps O ps qr q s = − = − =   L L

Vervolgens het geval ∠(L( )e₁ →L( ))e₂ <0. We verwisselen we in de figuur de vectoren

1

( )e

L en L( )e₂ met als resultaat

2 1 ( ( ), ( )) ( ) p r O e e rq sp ps qr q s = − = − − = −   L L _□ Opgaven

IV.1.1 Verdergaand bij het laatste voorbeeld

a) Toon aan dat (3−τ)2− ⋅ =4 1 0 als oplossingen heeft τ =1 of τ =5. b) Bereken in het laatste voorbeeld de eigenvectoren bij keuze voor het

IV.1.2 De lineaire transformatie L in ℝ uit opgave IV.0.4 die wordt vastgelegd door de 2 matrix 0 2 2 4 L=_ _ −   heeft slechts één eigenwaarde.

a) Bewijs dit met behulp van de karakteristieke vergelijking. b) Bereken enkele eigenvectoren bij deze eigenwaarde.

IV.1.4 Een lineaire transformatie L in ℝ wordt vastgelegd door de matrix 2 5 1

3 3 L=_ _

  a) Bereken de eigenwaarde(n).

b) Bereken de bijbehorende eigenvectoren.

c) Geef de vergelijkingen van de deklijnen van deze lineaire transformatie. IV.1.5 De lineaire transformatie L in ℝ uit opgave IV.0.5 wordt vastgelegd door de matrix 2

0 4

1 0

L=_ _

 

a) Bereken de eigenwaarden van L met behulp van de karakteristieke vergelijking.

b) Bereken bij ieder van de eigenwaarden twee eigenvectoren. IV.1.6 Een lineaire transformatie L in ℝ wordt vastgelegd door de matrix 2

1 0 1 2 L=_− _

−

 

a) De vector e₂ is een eigenvector met eigenwaarde τ =2.

Hoe volgt direct dit uit de matrix L, dus zonder berekening met de karakteristieke vergelijking?

b) Bereken de tweede eigenwaarden van L met behulp van de karakteristieke vergelijking.

c) Bereken bij ieder van de eigenwaarden twee eigenvectoren. IV.1.7 De rotatie in ℝ over 2 60 vastgelegd door de matrix 0

        = − 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 0 60 R

a) Toon dit aan

b) Deze rotatie heeft geen eigenvectoren. Bewijs dit met behulp van de karakteristieke vergelijking

IV.1.8 De glijschuiving

1,

x µ

G in ℝ in de richting van de2 x -as met een factor 1 µ wordt

vastgelegd door de matrix

1, 1 0 1 x G _µ =_

µ

_  

Bereken met behulp van de karakteristieke vergelijking de eigenwaarde(n) en bereken de bijbehorende eigenvectoren.

IV.1.9 Een lineaire transformatie L in ℝ wordt vastgelegd door de matrix 2         = 4 1 4 1 4 1 4 3 3 3 L a) Bereken de eigenwaarde(n).

b) Bereken de bijbehorende eigenvectoren.

c) Toon aan dat eigenvectoren van verschillende eigenwaarden onderling loodrecht staan.

d) Leg dat L een projectie moet zijn.

e) Op welke lijn is deze projectie? (Geef de formule en de hoek met de x -as ₁ vanuit het antwoord in b.)

IV.1.10 Verklaar meetkundig dat de determinant van een projectie in ℝ gelijk is aan 0. 2 IV.1.11 De spiegeling S_k in ℝ in een lijn k die een hoek van 2 30 maakt met de 0 x -as heeft ₁

als matrix         = −1₂ 2 1 2 1 2 1 3 3 k S

a) Toon dit aan met de Gauss-Jordan methode

b) Bereken de eigenwaarden met behulp van de karakteristieke vergelijking. c) Geef de formules voor de deklijnen.

IV.1.12 De eigenvectoren van een lineaire transformatie L in _{ℝ kunnen ook worden} 2

berekend met behulp van de volgende Stelling De karakteristieke vergelijking 0

τ

− =

L

I

,

van een lineaire transformatie L in ℝ heeft dan en slechts een oplossing 2

τ

als de vectoren L( )e₁ −τe₁ enL( )e₂ −τe₂ afhankelijk zijn.

Verder geldt dat als deze vectoren afhankelijk zijn dan zijn er scalars v en ₁ v , niet ₂ beide gelijk 0, zodanig dat

1( ( )1 1) 2( ( )2 2) 0

v

L

e −

τ

e +v

L

e −

τ

e =

en is de vector

1 1 2 2

v=v e +v e

een eigenvector van L behorend bij de eigenwaarde

τ

a) Bewijs deze stelling

b) Bereken de eigenvectoren bij het laatste voorbeeld met behulp van deze stelling Opmerking

De bestudering van §IV.3, die onafhankelijk is van de volgende paragraaf §IV.2, geeft meer inzicht in deze stelling en wel in het bijzonder het aanhangsel ervan.

IV.2 Symmetrische transformaties

Een belangrijke klasse van lineaire transformaties wordt gevormd door de zogenoemde symmetrische transformaties. In ℝ blijken deze transformaties altijd twee onafhankelijke 2 eigenvectoren te bezitten die bovendien altijd onderling loodrecht staan.

Het grote belang van de symmetrische transformaties komt vooral naar voren in het volgende hoofdstuk over kegelsneden.

Definitie

Een lineaire transformatie A in ℝ heet symmetrisch als bij alle vectoren v2 en w in ℝ voor 2 het inproduct geldt

( ),v w v, ( )w 〈A  〉=〈 A  〉

Opmerking

Voor een herhaling van het inproduct zie aanhangsel 2. Definitie

Een 2 2× matrix A p r q s

 

=_{ }

  heet symmetrisch als q=r, dus als de matrix A van de vorm is p q A q s   =_{ }   Stelling

Een lineaire transformatie A in ℝ is symmetrisch dan en slechts dan als de 2 22 × matrix A die de lineaire transformatie vastlegt symmetrisch is.

Bewijs

- Stel de lineaire transformatieA is symmetrisch. Om de bijbehorende matrix A p r

q s

 

=_{ }

  te onderzoeken bekijken we het effect van A op de basisvectoren e₁ en e₂. Uit de definitie van de symmetrie vanA volgt

1 2 1 2 ( ),e e e, ( )e 〈A   〉=〈 A  〉 Nu geldt 1 1 0 0 p r p A q s q        = =               Dus ( ),_{1 2} 1 0 0 0 1 1 p e e A q q         〈 〉= _{       }= =           i i A Verder geldt 0 0 1 1 p r r A q s s        = =               Dus ₁, ( )₂ 1 0 1 0 1 0 r e e A r s         〈 〉=_{       }= =           i i A Resultaat q=r

De matrix A is dus symmetrisch.

- Stel de matrix A is symmetrisch, dus A p q q s

 

=_{ }

 . We onderzoeken nu het effect op twee willekeurige vectoren 1

2 v v v   =     en 1 2 w w w   =     Er geldt 1 1 1 2 2 2 1 2 v p q v pv qv A v q s v qv sv +        = =       ₊          Gevolg 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 ( ), ( ) ( ) ( ) v w pv qv w v w A pv qv w qv sv w v w qv sv w pv w q v w v w sv w +         〈 〉= _{    }= _{  }= + + + +         = + + +   i i

A

Verder geldt 1 1 1 2 2 2 1 2 w p q w pw qw A w q s w qw sw +        = =       ₊          Gevolg 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) v w v pw qw v w A v pw qw v qw sw v w v qw sw pv w q v w v w sv w +         〈 〉=      = ₊ = + + +         = + + +  i i

A

Voor ieder tweetal vectoren v en w geldt dus ( ),v w v, ( )w 〈A  〉=〈 A  〉 en daarom is de lineaire transformatie A symmetrisch

□

We bewijzen vervolgens twee stellingen over resp. de eigenwaarden en de eigenvectoren van een symmetrische transformatie er vervolgens een omgekeerde stelling.

Stelling

Een symmetrische transformatie A in ℝ heeft altijd twee verschillende eigenwaarden, 2 behalve als de symmetrische transformatie de schaaltransformatie is.

Bewijs

Laat A p q q s

 

=_{ }

  de matrix zijn die de transformatie A vastlegt. Er geldt dan p q A I q s τ τ τ −   − =_{ } −  

Dit levert als karakteristieke vergelijking 0 p q q s τ τ − = −

Gevolg (opgave III.2.2) τ2 −(p+s)τ+ ps−q2 =0 Voor de discriminant geldt

2 2 2 2 2 2 2 ( ( )) 4 1 ( ) 2 4 ( ) 4 D p s ps q p ps s q p s q = − + − ⋅ ⋅ − = − + + = − +

Deze discriminant is altijd groter of gelijk nul, dus D≥0. De discriminant is alleen dan nul, 0

D= , als p=sen q=0 In alle andere gevallen geldt D>0. De eigenwaarden 2 2 ( ) 4 2 p s p s q τ₊ = + + − + en 2 2 ( ) 4 2 p s p s q τ₋ = + − − + bestaan dus altijd.

Deze eigenwaarden zijn altijd verschillend, behalve als p=sen q=0.

Bij twee dezelfde eigenwaarden geldt dus voor de matrix die de transformatie A vastlegt 0 0 p A p   =_{ }  

Dit is de schaaltransformatie

V

_p met een scalar p.

□ Stelling

Als A een symmetrische transformatie is in ℝ en v2  en w zijn eigenvectoren van A bij twee verschillende eigenwaarden τ₊ en τ₋ dan zijn deze eigenvectoren orthogonaal (loodrecht). Bewijs Er geldt 〈A( ),v w 〉=〈v,A( )w 〉 waarbij 〈A( ),v w 〉=〈τ₊v w , 〉=τ₊〈v w , 〉 en 〈v,A( )w 〉=〈v,τ₋w〉=τ₋〈v w , 〉 Gevolg τ₊〈v w , 〉=τ₋〈v w , 〉 ⇒ (τ τ₊− ₋) ,〈v w 〉=0

Omdat τ₊ ≠τ₋ volgt hieruit 〈v w , 〉=0en dus zijn de vectoren v en w onderling loodrecht. □ In verband met de toepassing van symmetrische transformaties op kwadratische vormen en kegelsneden (zie §V.1) de volgende

Definitie

De deklijnen van een symmetrische transformatie in ℝ voorzien van dezelfde schaal als die 2 van het standaard assenstelsel heten haakse assen.

Opmerkingen

1) De haakse assen van een symmetrische transformatie geven we met x en y aan. De reden is dat deze eigenassen een orthonormaal assenstelsel vormen.

Stel ven w zijn orthogonale eigenvectoren van een symmetrische transformatie in

2

ℝ , dus met 〈v w , 〉=0. Definieer hieruit eigenvectoren met lengte één door ex 1 v

v =    en e_y 1 w w =    .

Deze vectoren vormen een orthonormaal stelsel basisvectoren in ℝ , want 2

en

Analoog 〈e ey, y〉=1  

De schaal die door deze vectoren langs de deklijnen van de symmetrische transformatie ontstaat is gelijk aan de schaal bij het standaard assen stelsel. Het orthonormale stel basisvectoren e e _x, _y is daarom de basis behorend bij de haakse assen..

2) We zullen de eigenwaarde bij de eigenvectore_x 1 v v

=

 

 in het vervolg aangeven met τx

en de eigenwaarde bij de eigenvectorey 1 w

w

=

 

 in het vervolg aangeven met τ_y.

Voorbeeld

Gegeven: De symmetrische transformatie A in ℝ vastgelegd door de matrix 2

5 2 2 8 A=_ − _ −   Gevraagd

a) De eigenwaarden van deze symmetrische transformatie b) Een orthormale basis behorend bij de haakse assen vanA .

c) Een figuur met het standaard assenstelsel en met de eigenassen vanA . Oplossing a) Er geldt 5 2 1 0 5 2 2 8 0 1 2 8 A τI τ τ τ − − −       − =_{ }− _{  }= _ − − −       2 1 1 , , 1 , 1 , 1 , x x e e v v v v

v v behoud schaling inproduct v v v definitie norm v v 〈 〉=〈 〉 = 〈 〉 = 〈 〉= 〈 〉              1 1 , , 1 , 1 0 0 x y e e v w v w

v w behoud schaling inproduct v w orthogonaliteit v w 〈 〉=〈 〉 = 〈 〉 = =            

Dit levert als karakteristieke vergelijking 5 2 0 2 8 τ τ − − = − − Dus 2 (5−τ)(8− − − − =τ) ( 2)( 2) 0 ⇒ τ −13τ+36=0 ⇒ (τ−4)(τ− =9) 0 De eigenwaarden van deze symmetrische transformatie zijn τ_x=4 en τ_y =9

(We zijn vrij in de keuze van wat x is en wat y is. We hadden dus ook kunnen kiezen 9 x τ = en τy =4.) b) Laat v 1 v   =_{ }   

een eigenvector zijn bij τx =4 .

1 1 4 A v v     =         Dus 5 2 1 5 2 5 2 4 2 4 4 2 8 1 2 8 1 2 8 4 2 v v v v v v v v v v − − − = ⇒ =           = ⇒ = ⇒  ₋     _{− +}    _{− + = ⇒ =}           De vector 2 1 v= _{ }   

is dus een eigenvector bij eigenwaarde τ_x=4 . De eigenvector met

lengte één hierbij is 1 1 2 1 5 x e v v   = = _{ }      Vanwege de orthogonaliteit van de eigenvectoren vinden we een eigenvector met lengte één bijτ_y =9 met de

nevenvector van e_x * 1 1 2 5 y x e =e = _− _     c) De eigenvector 2 1 v= _{ }    is voldoende om de haakse assen te tekenen.

De richting van de x-as in het standaard assenstel (x x1, 2) ligt hiermee vast. Teken

met de geodriehoek loodrecht hierop de y-as. Teken verder met behulp van de

geodriehoek langs de x-as en langs de y-as dezelfde schaal als langs de standaard assenx₁ en x₂

Omgekeerd is het de vraag of er bij ieder orthonormaal assenstelsel (x y, )en ieder tweetal scalars τ_x en τ_y er een lineaire transformatie A bestaat waarvan de scalars de eigenwaarden zijn en waarvan de haakse assen het gegeven assenstelsel (x y, )zijn.

Stelling

Als v en w vectoren zijn in ℝ , onderling orthogonaal en beide 2 ≠0, en er zijn twee willekeurige scalars τx en τy, dan bestaat er een symmetrische transformatieA in

2

ℝ waarvan v en w eigenvectoren zijn behorend bij de resp. eigenwaardenτ_x en τ_y. Bewijs

Laat τ_xv het beeld zijn van de vector v en τ_yw het beeld van de vector w. Toepassing van de Gauss-Jordan methode op de 4 2× matrix

[ ]

,

, x y v w v w

τ τ

      _{ }       levert de matrix van de transformatie A . Van deze transformatie zijn v en w de eigenvectoren behorend bij de resp. eigenwaardenτ_x en τ_y.

Rest ons de symmetrie van de transformatie te bewijzen. Kies als orthonormale basis ex 1 v

v =    , ey 1 w w =  

 . Voor een willekeurige vector a geldt

x x y y

a=a e +a e met ax =〈e ax, 〉  

en ay =〈e ay, 〉  

(zie aanhangsel 2 en §I.5) Voor willekeurige vectoren a en bgeldt ( ), ( ), ( ) ( ), , , , x x y y x x y y x x x y y y x x x y y y a b a e a e b a e a e b lineariteit operator a e a e b eigenwaarden a e b a e b

τ

τ

τ

τ

〈 〉=〈 + 〉 =〈 + 〉 =〈 + 〉 = 〈 〉+ 〈 〉               

A

A

A

A

_{x x x y y y} lineariteit inproduct a b a b orthormaliteit

τ

τ

= + en analoog , ( ) ( ), _{x x x y y y} a b b a symmetrie inproduct b a b a

τ

τ

〈 〉=〈 〉 = +    

A

A

Gevolg 〈

A

( ),a b 〉=〈a,

A

( )b 〉 □ Aanhangsel 1: Spectraalstelling

De twee eigenwaarden

τ

_x en

τ

_y van een symmetrische transformatie A in ℝ vormen het 2 zogenoemde spectrum van de symmetrische transformatieA .

Verder geldt volgens het voorgaande dat iedere symmetrische transformatie in ℝ twee 2 eigenvectoren ≠0 heeft die orthogonaal zijn.

Volgens de laatste stelling geldt omgekeerd in ℝ dat bij ieder tweetal vectoren 2 ≠0 die onderling loodrecht staan en bij ieder tweetal scalars er een symmetrische transformatie bestaat waarvan het tweetal vectoren eigenvectoren zijn en de twee scalars de eigenwaarden. Dit is hierboven bewezen met de Gauss-Jordan methode, maar wordt op een meer

Spectraalstelling

Als x en y twee willekeurige lijnen zijn inℝ door de oorsprong die orthogonaal staan en 2

τ

_x en

τ

_y zijn twee scalars dan

1) De lineaire transformatie in ℝ 2

x x y y

τ

τ

= +

A

P

P

,

met

P

x de projectie op de lijn x en

P

y de projectie op de lijn y, heeft

τ

x en

τ

y als

eigenwaarden en verder zijn de positievectoren ≠0 langs de lijn x eigenvectoren bij

x

τ

en zijn de positievectoren ≠0 langs de lijn y eigenvectoren bij

τ

y

2) De lineaire transformatie A is symmetrisch

Meetkundige toelichting op de stelling

In de figuur heeft de vector a de projectie x( )a 

P

op de lijn x en de projectie y( )a 

P

op de lijn y. Er geldt hierbij ( ) ( ) x y a=

P

a +

P

a

De projectie op de lijn x wordt vermenigvuldigd met de scalar

τ

_x waardoor de vector

τ

_x

P

_x( )a ontstaat. De projectie op de lijn y wordt vermenigvuldigd met de scalar

τ

_y waardoor de vector

( )

y y a

τ

P

 ontstaat.

De som van deze vectoren levert het beeld

A

( )a van de origineelvector a bij de transformatie A

( )a =

τ

_{x x}( )a +

τ

_{y y}( )a

A

P

P

(In de figuur geldt

τ

_x >0en

τ

_y <0) Bewijs van de stelling

1) Laat v≠0 een positievector zijn gericht langs de lijn x. Dan geldt

P

_x( )v =v en ( ) 0 y v =  

P

. Gevolg ( ) ( ) ( ) 0 x x y y x y x v v v v v

τ

τ

τ

τ

τ

= + = + =      

A

P

P

Dus v≠0 langs de lijn x is eigenvector bij eigenwaarde

τ

_x

Laat w ≠0 een positievector zijn gericht langs de lijn y. Dan geldt

P

_x( )w =0 en ( ) y w =w  

P

. Gevolg ( ) ( ) ( ) 0 x x y y x y y w w w w w

τ

τ

τ

τ

τ

= + = + =      

A

P

P

Dus w≠0langs de lijn y is eigenvector bij eigenwaarde

τ

_y

2) Volgens § III.3 wordt in ℝ wordt de projectie 2

P

_k van vectoren ten opzichte van de lijn k vastgelegd door de matrix

2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 k k k k P k k k k   =      hierbij is 1 2 k k k   =_{ }   

een vector gericht langs de lijn k.

De matrix P_k is symmetrisch dus is de projectie

P

_k symmetrisch.

(Voor een meetkundig argument van de symmetrie van

P

_k zie opgave IV.3.5) Omdat de projecties

P

_x en

P

_y symmetrische transformaties zijn is ook de lineaire transformatie

A

=

τ

_x

P

_x+

τ

_y

P

_y symmetrisch. Want de bilineariteit van het inproduct levert voor alle vectoren ven w in 2

ℝ ( ), ( )( ), ( ), ( ), x x y y x x y y v w v w v w v w lineariteit inproduct

τ

τ

τ

τ

〈 〉=〈 + 〉 = 〈 〉+ 〈 〉        

A

P

P

P

P

, ( ) , ( ) , ( )( ) , ( ) x x y x x x y y v w v w symmetrie projectie v w lineariteit inproduct v w

τ

τ

τ

τ

= 〈 〉+ 〈 〉 =〈 + 〉 =〈 〉        

P

P

P

P

A

□ Aanhangsel 2: Herhaling inproduct

Hieronder volgen op een iets ander manier de definities en stellingen van §I.5, maar zonder toelichting met getallenvoorbeelden.

Definitie

Aan ieder tweetal vectoren 1

2 a a a   =     en 1 2 b b b   =    

in ℝ is een reëel getal toegevoegd, 2 genaamd het inproduct van deze vectoren en genoteerd als 〈a b, 〉

  , gegeven door 1 1 2 2 , a b a b a b 〈 〉_{= +} Opmerking

Uitgedrukt in alleen de kentallen van de vectoren 1

2 a a a   =     en 1 2 b b b   =    

noteert men het inproduct met een punt

1 1 1 1 2 2 2 2 a b a b a b a b     = +        i

De volgende stelling geeft de algemene algebraïsche eigenschappen van het inproduct. Stelling

, , a b b a 〈 〉=〈 〉 commutativiteit , , , a b c a b a c 〈 +〉=〈 〉+〈 〉 behoud optelling , , a λb λ a b 〈 〉= 〈 〉 behoud schaling

Verder geldt nuleigenschap

Bewijs Commutativiteit Voor 1 2 a a a   =     en 1 2 b b b   =     in ℝ geldt 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , , a b a b a b b a b a b a 〈 〉_{= + = + =}〈 〉 Behoud vectoroptelling

Als verder geldt 1

2 c c c   =     dan 1 1 2 2 b c b c b c +   + = ₊     _ en dus 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , ( ) ( ) , , a b c a b c a b c a b a c a b a c a b a b a c a c a b a c 〈 + 〉= + + + = + + + = + + + =〈 〉+〈 〉        Behoud schaling 1 1 2 2 1 1 2 2 , ( ) ( ) ( ) , a

λ

b a

λ

b a

λ

b

λ

a b a b

λ

a b 〈 〉_{= + = + =} 〈 〉 Nuleigenschap 2 2 1 1 2 2 1 2 , a a a a a a a a 〈 〉= + = +

Dit is altijd positief behalve als zowel a₁ =0 als a₂ =0, dus behalve als a=0

□ Opmerkingen

1) Voor alle vectoren a, ben c in ℝ en voor iedere scalar 2

λ

geldt verder

, , , a b c a b b c 〈+ 〉=〈 〉+〈 〉 behoud optelling , , a b a b λ λ 〈  〉= 〈 〉 behoud schaling

Dit kan net als hierboven worden bewezen, maar volgt ook direct uit de stelling vanwege de commutativiteit

, , , , , ,

a b c c a b c a c b a c b c

〈+ 〉=〈 + 〉=〈 〉+〈 〉=〈 〉+〈 〉 en 〈λa b,〉=〈b,λa〉=λ〈b a,〉=λ〈a b,〉

2) Als een bewerking op vectoren zowel optelling behoud als schaling dan noemt men een dergelijke bewerking lineair. Omdat behoud optelling en behoud schaling tussen de haken zowel links als rechts van de komma geldt, dus dubbel, noemt men het inproduct van twee vectoren ook wel een bilineaire vorm.

Definitie

De lengte of norm van een vector a in ℝ , notatie 2 a , is per definitie a = 〈a a , 〉 Definitie

Twee vectoren in ℝ heten orthogonaal als hun inproduct gelijk nul is. 2 Dus twee vectoren a en b in ℝ zijn orthogonaal als geldt 2 〈a b, 〉=0

  , 0 met 0 , 0 a a a a a 〈 〉≥ = ⇔ 〈 〉=      

Definitie

Twee vectoren in ℝ heten orthonormaal als zij orthogonaal zijn en als zij beide norm 1 2 hebben (beide van lengte 1 zijn).

Opmerking over notatie van orthonormale assenstelsels in ℝ 2 Het assenstelsel behorend bij een orthonormale basis wordt een orthonormaal assenstelsel genoemd.

Als we spreken over een x-as en een bijbehorende y-as in ℝ dan 2 zullen we altijd een orthonormaal assenstelsel bedoelen. De bijbehorende basisvectoren noteren we dan als e_x resp.e_y. Dit betekent dat in deze notatie altijd moet gelden

, 1 x x e e 〈  〉= , 1 y y e e 〈  〉= , 0 x y e e 〈  〉= Stelling

Als in ℝ 2 e_x de eenheidsvector is in de richting van een vector k en e_y =e_x* is de nevenvector van e_x dan vormen de vectoren e_x,e_y vormen een orthonormale basis in ℝ 2 Bewijs

We moeten aantonen dat voor de vectoren e_x en e_y geldt

, 1 x x e e 〈  〉= , 〈e e _y, _y〉=1 en 〈e e _x, _y〉=0 Er geldt e_x k k =  

 dus e e_x, _x k , k k k,₂ behoud schaling

k k _k 〈 〉 〈 〉=〈 〉=         _ 2 , 1 , k k definitie norm k k 〈 〉 = = 〈 〉     Als 1 2 x u e u   =_{ }    dan 1 1 ₁2 ₂2 2 2 , 1 x x u u e e u u u u     〈 〉=_{   }= + =      

i . Dit betekent voor de nevenvector

2 2 2 2 2 1 1 1 , ( ) 1 y y u u e e u u u u − −     〈 〉=_{   }= − + =       i en ook 1 2 _{1 2 2 1} 2 1 , ( ) 0 x y u u e e u u u u u u −     〈 〉=_{   }= − + ⋅ =       i □ Stelling

Als in ℝ de vector a2  ten opzichte van de orthonormale basis e_x,e_y de resp. kentallen a en _x

y

a heeft en de vector b de resp. kentallen b en x b , dus als geldty a= ⋅ + ⋅a ex x ay ey

  

en

x x y y

b= ⋅ + ⋅b e b e , dan geldt voor het inproduct van deze vectoren

, x x y y

a b a b a b 〈 〉= +