Polynomen en machtreeksen

Analyse: van R naar R

hoorcollege

Machtreeksen (3)

Gerrit Oomens

G.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Polynomen en machtreeksen

Depolynomen vormen een klasse functies van de vorm

f (x ) =

N

X

n=0

a_nxⁿ = a₀+ a₁x + a₂x²+ · · · + a_N−1x^N−1+ a_Nx^N.

We kunnen dit uitbreiden naar zogenaamdemachtreeksen:

f (x ) =

∞

X

n=0

a_nxⁿ = a₀+ a₁x + a₂x²+ · · · .

Als een dergelijke machtreeks convergeert, definieert f een functie op (een deelverzameling) van R.

Convergentie van machtreeksen

Bekijk een machtreeks P a_nxⁿ. Voor welke x convergeert deze?

We passen het wortelkenmerk toe en kijken naar α = lim sup

n→∞

|a_nxⁿ|^1/n = |x | lim sup

n→∞

|a_n|^1/n. De reeks convergeert als α < 1, dus als

|x| < 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n =: R.

We noemen dit getal R de convergentiestraalvan de machtreeks.

Voor |x | > R convergeert de reeks zeker niet, voor x = ±R weten we het niet. We hebben bewezen:

Stelling 23.1

Zij P a_nxⁿ een machtreeks en definieer R als boven. Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert hij voor |x | > R.

Convergentiestraal

Stelling 23.1

ZijP a_nxⁿ een machtreeks en definieer R = ¹

lim sup |an|^1/n als boven.

Dan convergeert de reeks voor |x | < R en divergeert voor |x | > R.

Voorbeeld: P xⁿ. Er geldt R = ¹

lim sup 1^1/n = 1. De reeks

convergeert dus zeker op (−1, 1). Merk op dat de reeks in x = ±1 niet convergeert: hetinterval van convergentieis (−1, 1).

Herinner: als lim ^an+1_a

n

 bestaat, dan is deze limiet gelijk aan lim sup |a_n|^1/n. Dit is soms makkelijker, bijvoorbeeld bij P ₁

n!xⁿ. Hier is

a_n+1

a_n = n!

(n + 1)! = 1

n + 1 → 0,

dus R = ∞. De reeks convergeert dus op heel R.

Machtreeksen en convergentie van functies

Een machtreeks definieert een functie f (x ) =P∞

n=0a_nxⁿ op het interval van convergentie I . Deze functie is de limiet van de functies

s_n(x ) =

n

X

k=0

a_kx^k :

voor elke x ∈ I geldt lim_n→∞s_n(x ) = f (x ). De s_n zijn polynomen, dus continu en differentieerbaar. Betekent dit dat f dat ook is?

Meer algemeen: stel dat we een rij continue functies f_n hebben met f_n(x ) → f (x ) voor elke x in een zeker interval. Is f dan continu op dat interval?