Machtreeksen
Besselfunctie van de orde 0 (§11.8, voorbeeld 3)
Speciale reeksen De reeks
∞
P
k=1
1
kp is convergent als p > 1 en divergent als 0 < p ≤ 1
De reeks
∞
P
k=1
(−1)k−1 1
kp is convergent voor alle p > 0.
Opmerking
Uit het voorgaande volgt dat de reeks
∞
P
k=1
(−1)k−1 1
kp absoluut convergent voor p > 1 en relatief convergent voor 0 < p ≤ 1.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2014 1
De quoti¨enttest (d’Alembert)
We onderzoeken de convergentie van de reeks
∞
P
k=1
ak.
Als lim
k→∞
ak+1 ak
= L
< 1
> 1
dan is deze reeks
absoluut convergent.
divergent.
In het geval dat L = 1 kan geen conclusie over de convergentie van deze reeks worden getrokken.
Toepassingen van machtreeksen
Met behulp van machtreeksen kunnen (o.a.)
gewone differentiaalvergelijkingen worden opgelost, limieten worden bepaald,
bepaalde integralen worden benaderd.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2014 3
Machtreeksen
Een machtreeks is een reeks waarvan de termen van machten van x − a afhangen.
We kunnen ons afvragen voor welke waarde(n) van x deze reeks convergeert en wat dan de som is van deze reeks. Natuurlijk zal de som van x afhangen.
Definitie De reeks
∞
P
k=0
ck(x − a)k (a, c0, c1, c2, · · · ∈ R) heet een machtreeks rond a met als co¨effici¨enten c0, c1, c2, · · · .
Definitie
x ∈ R |
∞
P
k=0
ck(x − a)k is convergent
heet het convergen- tiegebied van de machtreeks.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2014 5
Opmerking
Als x = a dan is de machtreeks
∞
P
k=0
ck(x − a)k convergent en heeft als som c0.
We kunnen nu de quoti¨enttest toepassen om het convergentiegebied van de machtreeks te vinden.
Als x 6= a dan is de absolute waarde van het quoti¨ent van twee opeenvolgende termen gelijk aan
ck+1(x − a)k+1 ck(x − a)k
=
ck+1
ck (x − a)
= |x − a|
ck+1 ck
.
We onderscheiden nu de volgende drie gevallen.
k→∞lim |x − a|
ck+1 ck
= |x − a| · 0 = 0,
k→∞lim |x − a|
ck+1 ck
= |x − a| · L voor zekere L > 0,
lim
k→∞|x − a|
ck+1 ck
= ∞.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2014 7
Geval 1 Als lim
k→∞|x − a|
ck+1 ck
= |x − a| · 0 = 0 dan is de machtreeks absoluut convergent voor alle x ∈ R.
Het convergentiegebied is dus R.
Geval 2 Als lim
k→∞|x − a|
ck+1 ck
= |x − a| · L voor zekere L > 0 dan is de machtreeks absoluut convergent voor alle x ∈ R met
|x − a| · L < 1 en divergent voor alle x met |x − a| · L > 1.
Of de machtreeks convergent is voor |x − a| · L = 1 moet apart worden onderzocht.
Het convergentiegebied van de machtreeks is dus (a − 1
L, a + 1
L), [a − 1 L, a +1
L), (a − 1 L, a +1
L] of [a − 1
L, a +1 L].
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2014 9
Geval 3 Als lim
k→∞|x − a|
ck+1 ck
= ∞ dan is de machtreeks alleen convergent voor x = a.
Het convergentiegebied van de machtreeks is dus {a}.
Omdat het convergentiegebied in zekere zin steeds een
symmetrisch interval is rond a is het begrip convergentiestraal ge¨ıntroduceerd. De convergentiestraal R is in de drie hiervoor beschreven gevallen gelijk aan
R = ∞, R = 1
L en R = 0.
I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
29 september 2014 11
