Een test voor alternerende reeksen (Leibniz)
Als {bk}∞k=1 een dalende rij zijn met positieve termen en limiet 0 dan is de reeks
∞
P
k=1
(−1)k−1bk convergent.
Is sn =
n
P
k=1
(−1)k−1bk en s = lim
n→∞sn dan geldt bovendien
|s − sn| ≤ bn+1.
Definitie Een reeks
∞
P
k=1
ak heetabsoluut convergentals de reeks
∞
P
k=1
|ak| convergent is.
Voorbeelden De reeks
∞
P
k=1
(−1)k−1 1
k2 is absoluut convergent.
Verder is de reeks
∞
P
k=1
(−1)k−1 1
k convergent maar niet absoluut convergent.
Stelling Als de reeks
∞
P
k=1
ak absoluut convergent is dan is de reeks zelf convergent.
Opmerking
De omgekeerde bewering is niet juist .
Een convergente reeks is niet altijd absoluut convergent.
Een reeks die convergent is maar niet absoluut convergent heet relatief convergent.
De quoti¨ enttest (d’Alembert)
Als lim
k→∞
ak+1
ak
= L < 1 dan is de reeks
∞
P
k=1
ak
absoluut convergent.
Als lim
k→∞
ak+1
ak
= L > 1 dan is de reeks
∞
P
k=1
ak divergent.
Als lim
k→∞
ak+1 ak
= 1 dan kan geen conclusie worden getrokken over de convergentie of divergentie van de reeks
∞
P
k=1
ak .
De worteltest (Cauchy)
Als lim
k→∞
p|ak k| = L < 1 dan is de reeks
∞
P
k=1
ak
absoluut convergent.
Als lim
k→∞
p|ak k| = L > 1 dan is de reeks
∞
P
k=1
ak divergent.
Als lim
k→∞
p|ak k| = 1 dan kan geen conclusie worden getrokken over de convergentie of divergentie van de reeks
∞
P
k=1
ak .
De cosinusregel
Pas de stelling van Pythago- ras toe op de driehoeken ADC en DBC en trek de twee verkregen vergelijkingen van elkaar af .
c2 − 2cp = a2 − b2 a2 = b2 + c2 − 2cp
Gebruik vervolgens dat cos φ = p b
Dit geeft ( cosinusregel ): a2 = b2 + c2 − 2bc cos φ
Het inwendig product van twee vectoren
Als u, v ∈ Rn, u = hu1, u2, · · · , uni en v = hv1, v2, · · · , vni dan is hetinwendig product van u en v gelijk aan een getal en wel u1v1 + u2v2 + · · · + unvn .
Notaties
(u, v), hu, vi en u • v
Definitie
Delengtevan u is gelijk aan q
u21 + u22 + · · · + u2n = √ u • u . Notaties
||u|| en |u|
Belangrijkste eigenschappen
Laten u, v, w ∈ Rn, c ∈ R.
Dan geldt
u • v = v • u.
(c u) • v = c (u • v).
(u + v) • w = u • w + v • w.
u • u ≥ 0 en u • u = 0 ⇔ u = 0.
Het uitwendig product van twee vectoren
Als u, v ∈ R3, u = hu1, u2, u3i en v = hv1, v2, v3i dan is hetuitwendig productvan u en v gelijk aan een vector in R3 en wel hu2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1i .
Notatie u × v
Het uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van u en v is de vector die loodrecht staat op de vectoren u en v ,
een lengte heeft die gelijk is aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door u en v ,
bij u en v past volgens de ’rechterhandregel’.
Belangrijkste eigenschappen
Laten u, v, w ∈ Rn, c ∈ R.
Dan geldt
u × v = −(v × u).
(c u) × v = c (u × v).
(u + v) × w = u × w + v × w.
u • (v × w) = (u × v) • w
|u • (v × w)| is de inhoud van het parallellepipedem opgespannen door u, v en w.
Machtreeksen
Een machtreeks is een reeks waarvan de termen van machten van x − a afhangen.
We kunnen ons afvragen voor welke waarde(n) van x deze reeks convergeert en wat dan de som is van deze reeks. Natuurlijk zal de som van x afhangen.
De reeks
∞
P
k=0
ck(x − a)k (a, c0, c1, c2, · · · ∈ R) heet eenmachtreeks rond amet als co¨effici¨enten c0, c1, c2, · · · .
x ∈ R |
∞
P
k=0
ck(x − a)k is convergent
heet hetconvergentie-
Als x = a dan is de machtreeks
∞
P
k=0
ck(x − a)k convergent en heeft als som c0.
We kunnen nu de quoti¨ententest of de worteltest toepassen om het convergentiegebied van de machtreeks te vinden.
Als x 6= a dan is de absolute waarde van het quoti¨ent van twee opeenvolgende termen gelijk aan
ck+1(x − a)k+1 ck(x − a)k
=
ck+1
ck (x − a)
= |x − a|
ck+1 ck
.
