Het inwendig product van twee vectoren

Het inwendig product van twee vectoren

Definitie

Als u = hu1, u2(, u3)i en v = hv1, v2(, v3)i dan heet u1v1 + u2v2( + u3v3) het inwendig product van u en v.

Notaties

(u, v), hu, vi en u^•v.

Stelling

Laten u, v en w vectoren zijn en t een scalar. Dan geldt:

1. u^•v = v^•u,

2. u^•(v + w) = u^•v + u^•w, 3. (tu)^•v = t(u^•v),

4. u^•u ≥ 0 en u^•u = 0 ⇐⇒ u = 0, 5. u^•u = |u|².

Stelling

Als u en v vectoren zijn dan u^•v = |u||v| cos(θ) waarbij θ de hoek is tussen u en v.

Deze stelling kan worden bewezen door gebruik te maken van de cosinusregel.

Pas de stelling van Pythagoras toe op de driehoeken ADC en DBC en trek de verkregen vergelijkingen van elkaar af.

c² − 2cp = a² − b² a² = b² + c² − 2cp Gebruik vervolgens dat cos θ = p

b

Dit geeft ( cosinusregel ): a² = b² + c² − 2bc cos θ.

Definitie

Twee vectoren u en v, beiden verschillend van 0, staan loodrecht op elkaar of heten orthogonaal als hun ingesloten hoek gelijk is aan π

2.

Afspraak is dat 0 loodrecht op elk andere vector staat. Gevolg

Twee vectoren u en v zijn orthogonaal dan en slechts dan als u^•v = 0.

Definitie

Twee vectoren u en v, beiden verschillend van 0, staan loodrecht op elkaar of heten orthogonaal als hun ingesloten hoek gelijk is aan π

2.

Afspraak is dat 0 loodrecht op elk andere vector staat.

Gevolg

Twee vectoren u en v zijn orthogonaal dan en slechts dan als u^•v = 0.

O v

u

uv

Notaties ˆ

v voor de eenheidsvector in de richting van v en

uv voor de loodrechte projectie van u op de drager van v.

Definitie

De scalaire projectie van u op v is gelijk aan

s = u^•v

|v| = |u| cos(θ).

Stelling

De vectorprojectie van u op de drager van v is gelijk aan sˆv = (u^•v

|v| ) v

|v| = u^•v

|v|² v.

Voorbeeld

Laat langs een vector s een constante kracht F worden uitgeoefend. Dan is de verrichte arbeid W gelijk aan

|F| cos(θ)|s| = F^•s. Hierbij is θ de hoek tussen F en s.

Generalisatie

Definitie

Rⁿ = { hu₁, u₂, · · · , u_ni | u_i ∈ R (i = 1, 2, · · · , n) } Opmerking

Als e1 = h1, 0, · · · , 0i, e2 = h0, 1, · · · , 0i, · · · , e_n = h0, 0, · · · , 1i dan

u = hu₁, u₂, · · · , u_ni = u₁e₁ + u₂e₂ + · · · , u_ne_n. Voor n = 2 en n = 3 moet dit bekend voorkomen.

Definitie

Als u, v ∈ Rⁿ, u = hu1, u2, · · · , uni en v = hv₁, v2, · · · , vni dan heet u1v1 + u2v2 + · · · + unvn het inwendig product van u en v.

Notaties

(u, v), hu, vi en u^•v

Het inwendig product van twee vectoren

Definitie

De lengte van u = hu1, u2, · · · , uni is gelijk aan q

u²₁ + u²₂ + · · · + u²_n = √ u^•u . Notaties

||u|| of |u|.

Stelling

Laten u, v en w vectoren zijn in Rⁿen t een scalar. Dan geldt:

1. u^•v = v^•u,

2. u^•(v + w) = u^•v + u^•w, 3. (tu)^•v = t(u^•v),

4. u^•u ≥ 0 en u^•u = 0 ⇐⇒ u = 0, 5. u^•u = |u|².

Stelling, de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz Als u en v ∈ Rⁿ dan |u^•v| ≤ |u||v|.

Definitie

Als u en v ∈ Rⁿ\{0} dan kan de hoek θ, 0 ≤ θ ≤ π gedefineerd worden door: cos(θ) = u^•v

|u|||v|.

§10.3 Het uitwendig product van twee vectoren

Definitie

Als u en v vectoren zijn in de ruimte, u = hu1, u2, u3i en v = hv₁, v2, v3i,

dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan de vector hu₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁i .

Notatie u × v

Het uitwendig product van vectoren u 6= 0 en v 6= 0, die geen veelvoud zijn, is de vector die

loodrecht staat op de vectoren u en v,

een lengte heeft die gelijk is aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door u en v,

bij u en v past volgens de ’rechterhandregel’.

In alle overige gevallen is het uitwendig product van u en v gelijk aan 0.