Loodrecht in de perforatie

(1)

wiskunde B vwo 2018-II

Loodrecht in de perforatie

1 maximumscore 3 • ( ) 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 x x x f x x x x − + + − + + + + = = ⋅ + + 1 • Dus ( ) 4 4( 1) (2 2 1) x f x x x − + + = + + 1 • Dit geeft 4 2 2 (1 1) 1 1 x x + x+ = + x+ (=h x( )) (voor x≠0) 1 of • ( ) 2 1 1 1 1 1 1 x h x x x − + = ⋅ + + − + (voor x≠0) 1 • Dus ( ) 2(1 1) 1 1 x h x x − + = − − (voor x≠0) 1 • Dit geeft 2 2 x 1 2 2 x 1 x x − + ₌− + + − (= f x( )) (voor x≠0) 1 of

• Als moet gelden f x( )=h x( )(voor x≠0), dan moet gelden

( 2 2− + x+ ⋅ +1) (1 x+ =1) 2x (voor x≠0) 1 • ( 2 2− + x+ ⋅ +1) (1 x+ = − +1) 2( 1 x+ ⋅ +1) (1 x+1) 1 • 2( 1− + x+ ⋅ +1) (1 x+ = − + + =1) 2( 1 x 1) 2x (dus f x( )=h x( )) (voor 0 x≠ ) 1 of

• Als moet gelden f x( )=h x( )(voor x≠0), dan moet gelden

( 2 2− + x+ ⋅ +1) (1 x+ =1) 2x (voor x≠0) 1

• ( 2 2− + x+ ⋅ +1) (1 x+ = − −1) 2 2 x+ +1 2 x+ +1 2(x+1) 1

• Dit is gelijk aan 2x (dus f x( )=h x( )) (voor x≠0) 1

(2)

wiskunde B vwo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

2 maximumscore 5 • ( ) 2 ₂ 1 2 1 (1 1) h' x x x − = ⋅ +

+ + (of een gelijkwaardige uitdrukking) 2

• 1 4 (0) h' = − 1 • 4x2 x 4x 1 x + ₌ _{+ (voor} 0

x≠ ), dus een vergelijking van k is y=4x+1 1

• 1

4

4⋅ − = − (dus de grafieken van h en k staan in P loodrecht op elkaar 1

en dus staan de grafieken van f en g in P loodrecht op elkaar) 1 Opmerking

(3)

wiskunde B vwo 2018-II

IJsbol

3 maximumscore 4

• Voor het bolvormige ijsklontje met straal r moet gelden 4 3

3π =r 27 1

• Dit geeft ₃ 81 4

r= _π (=1,86...) (cm) 1

• De oppervlakte van het bolvormige ijsklontje is

( )

2

3

81 4

4π⋅ _π (of 4π 1,86...⋅ 2) (cm2) 1

• Het gevraagde quotiënt is 1,61 1

of

• Voor het bolvormige ijsklontje met straal r moet gelden ₄ 3

3π =r 27 1 • Dit geeft 3 81 4 r= _π (=1,86...) (cm) 1 • 2₃ 4 3 4 3 A r V r r π = = π 1

• (De gevonden waarde van r invullen geeft) 1,61 1

• Het volume van het deel van de ijsbol onder het wateroppervlak is

(

2

)

1,5 2, 25 d a y y − π

∫

− 1 • Er moet gelden

(

2

)

1,5 2, 25 d 0, 92 14,137 a y y − π

∫

− = ⋅ 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost 2

• a≈0, 98 dus het gevraagde antwoord is 0,52 (cm) 1

of

• Het volume van het deel van de ijsbol boven het wateroppervlak is

(

)

1,5 2 1,5 2, 25 d h y y − π

∫

− 1 • Er moet gelden 1,5

(

2

)

1,5 2, 25 d 0, 08 14,137 h y y − π

_∫

− = ⋅ 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost 2

(4)

wiskunde B vwo 2018-II

• r t( )= ⋅ +a t 1, 5 (voor een constante waarde a) 1

• V(10)=7, 068... (=2, 25π) (cm3) 1 • Hieruit volgt _r₍₁₀₎=3_{1, 6875}_{( 1,190...}= _{) (cm)} ₁ • r(10)=10a+1, 5 1,190...= (of: (10) (0) 10 r r a= − ) geeft a= −0, 0309... 1

• −0, 0309...⋅ +t 1, 5=0 geeft t=48, 47..., dus het gevraagde antwoord is

49 (minuten) 1

of

• r t( )= ⋅ +a t 1, 5 (voor een constante waarde a) 1

• V(10)=7, 068... (=2, 25π) (cm3) 1

• De vergelijking 4 3

3π(10a+1, 5) =7, 068... moet worden opgelost 1 • De oplossing van deze vergelijking is a= −0, 0309... 1

• −0, 0309...⋅ +t 1, 5=0 geeft t=48, 47..., dus het gevraagde antwoord is

49 (minuten) 1

of

• (Na 10 minuten geldt:) 4 3 1 4 3

3π⋅r = ⋅ π⋅2 3 1, 5 1

• Beschrijven hoe hieruit de waarde van r berekend kan worden 1

• r=1,190... (cm) 1

• r neemt in 10 minuten af met 0,309… (cm), dus 0,0309… cm per

minuut 1

• 1, 5 48, 47...

(5)

wiskunde B vwo 2018-II

Constante verhouding

6 maximumscore 4 • ( ) 1( ) ln( ) ln(1 ) 2 (ln( ) ln(1 )) a a a a f x + f x = −x x a x + −x x x = x−x a x + x 1 • ₁ 2 ln(a x) ln(+ _ax)=ln(x )=2 ln( )x 2 • Dus ( ) 1( ) 2 2 ln( ) ln( ) 2 2 a a f x f x _x _x _x x x x + _{− ⋅} = = − (= f x₁( )) 1 of • f_a( )x = −x xln(a x)= −x xln( )a −xln( )x 1 • 1( ) ln(1 ) ln( ) ln( ) a a f x = −x x x = +x x a −x x 2 • Dus ( ) 1( ) 2 2 ln( ) ln( ) 2 2 a a f x f x _x _x _x x x x + ₋ = = − (= f x₁( )) 1 7 maximumscore 7 • x−xln(a x)=0 geeft ln(a x)=1 1

• Dit geeft a x=e dus x_S =_ae 1

• f ' x_a( ) 1 (ln(a x) x a ) a x

= − + ⋅ 2

• f ' x_a( )= −1 ln(a x) 1− = −ln(a x)=0 1

• Dit geeft a x=1, dus x_T = 1_a 1

• Dit geeft: S e₁a e

T a

x

x = = (en dus is de verhouding

S T

x

x constant) 1

Opmerking

(6)

wiskunde B vwo 2018-II

Gekanteld vierkant

• Omdat ∠PBC=90isPC een middellijn van de cirkel (Thales) 2

• Het middelpunt M is het midden van lijnstuk PC dus 1 2 ( 1, )

M − − 1

• De straal is 1 1 2 2 1

2CP= 2 6 +7 =2 85 (of een gelijkwaardige

uitdrukking) (=4, 609...) 1

• Een vergelijking van de cirkel is 2 1 2 1

2 4

(x+1) +(y+ ) =21 (of een

gelijkwaardige uitdrukking) 1

of

• Omdat ∠PBC=90isPC een middellijn van de cirkel (Thales) 2

• Het middelpunt M is het midden van lijnstuk PC dus 1 2 ( 1, )

M − − 1

• Een vergelijking van de cirkel is 2 1 2 2 2

(x+1) +(y+ ) =r 1

• Invullen van de coördinaten van P, B of C geeft 2 1 4 21

r = , dus een vergelijking van de cirkel is (x+1)2+(y+₂1)2 =211₄ (of een

of

• De middelloodlijn van lijnstuk BC heeft vergelijking 1

2 1 y= − x− (of vectorvoorstelling 2 2 0 1 x s y −       = +     ₋       ) 1

• De middelloodlijn van lijnstuk PB heeft vergelijking 1 2 2 1 y= x+ (of vectorvoorstelling ₁ 2 1 1 3 2 x t y       =_ _+          ) 1

• Berekenen van het snijpunt van de middelloodlijnen geeft middelpunt 1 2 ( 1, ) M − − 1 • De straal is 1 4 ( ) 21

CM =BM =PM = (of een gelijkwaardige

uitdrukking) (=4, 609...) 1

2 4

(x+1) +(y+ ) =21 (of een

(7)

wiskunde B vwo 2018-II

• Een vergelijking van de cirkel (met middelpunt ( , )a b en straal r) is

2 2 2

(x−a) +(y b− ) =r 1

• Invullen van de coördinaten van de punten B, C en P geeft

2 2 2

(4 )

a + −b =r , ( 4− −a)2+ − −( 4 b)2 =r2 en (2−a)2 + −(3 b)2 =r2 1

• Beschrijven hoe dit stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden

opgelost kan worden 1

• a= −1, 1 2

b= − en r= 21, 25 (=4, 609...) 1

(x+1) +(y+ ) =21, 25 (of een

• De lijn door P en D heeft vergelijking 1 2

5 14

y= − x+ 1

• De lijn door C loodrecht op de lijn door P en D heeft vergelijking 2

11( 4) 4

y= x+ − (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1

• Snijden van de twee lijnen geeft de vergelijking

2 1 11(x+ − = −4) 4 52x+14 1 • Dit geeft 1 25 3 x= 1 • Het antwoord Q 1 18 25 25 (3 ,−2 ) 1 of

• De lijn door P en D heeft vectorvoorstelling 2 2

(8)

wiskunde B vwo 2018-II

• Omdat ∠PQC=90isPC een middellijn van de cirkel (Thales), dus ligt Q op de cirkel door P, B en C met vergelijking 2 1 2 1

2 4

(x+1) +(y+ ) =21 1

3 11 x t y    ₌ ₊       ₋        1 • 2 1 2 1 2 4 (2t+3) + −( 11t+3 ) =21 geeft 125t2−65t=0 1 • Dit geeft 13 25 t= (t=0 voldoet niet) 1 • Het antwoord Q 1 18 25 25 (3 ,−2 ) 1 of

• Omdat ∠PQC=90isPC een middellijn van de cirkel (Thales), dus ligt Q op de cirkel door P, B en C met vergelijking 2 1 2 1

2 4

(x+1) +(y+ ) =21 1

• De lijn door P en D heeft vergelijking 1 2 5 14 y= − x+ 1 • 2 1 1 2 1 2 2 4 (x+1) + −( 5 x+14 ) =21 geeft 31₄1x2−1571₂x+190= 0 1

• Dit geeft (bijvoorbeeld met de abc-formule) 1 25 3 x= (x=2 voldoet niet) 1 • Het antwoord Q 1 18 25 25 (3 ,−2 ) 1 of

3 11 x t y       = +     ₋        1

• Dus Q heeft coördinaten (2 2 , 3 11 )+ t − t 1

• 2 2 2 CP =CQ +PQ geeft 62+72 = +(6 2 )t 2+ −(7 11 )t 2+(2 )t 2+ −( 11 )t 2 1 • Dit geeft 13 25 t= (t=0 voldoet niet) 1 • Het antwoord Q 1 18 25 25 (3 ,−2 ) 1 10 maximumscore 5

• De hoogte van driehoek CDQ, met basis CD, moet 2

3 deel zijn van de

zijde van het vierkant 1

(9)

wiskunde B vwo 2018-II

Anderhalf keer zo groot

• f ' x( )=2x, dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 2 p 1

• Een vergelijking van de raaklijn is 2

2 ( )

y= p x−p +p (of een

vergelijkbare uitdrukking) 1

• Hieruit volgt dat de x-coördinaat van A gelijk is aan 1

2 p 1

• De oppervlakte van driehoek OAP is 1 1 2 1 3

2⋅2 p p⋅ =4 p 1

• Een vergelijking van de lijn door O en P is y= px 1

• De oppervlakte van V is

(

2

)

0 d p px−x x

∫

1

• Een primitieve van 2

px−x is 1 2 1 3

2 px −3x 1

• De oppervlakte van V is 1 3

6 p , dus de oppervlakte van driehoek OAP is

anderhalf keer zo groot als de oppervlakte van V 1

of

• De oppervlakte van driehoek OPP', met P p'( , 0), is ₂1⋅ ⋅p p2 =1₂ p3 1

• De oppervlakte van V is 1 3 2 2 0 d p p −

∫

x x 1

• Een primitieve van 2

x is 1₃x3 1

• De oppervlakte van V is 1 3 1 3 1 3

2 p −3 p =6 p 1

• f ' x( )=2x, dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 2 p 1

• ' 2 ' P P p AP = , dus 2 2 ' p p AP = 1 • Hieruit volgt 2 1 2 ' 2 p AP p p = = , dus 1 1 2 2 ' ' OA=OP −AP = −p p= p 1

• De oppervlakte van driehoek OAP is 1 1 2 1 3

2⋅2 p p⋅ =4 p , dus de oppervlakte van driehoek OAP is anderhalf keer zo groot als de

(10)

wiskunde B vwo 2018-II

Een baan

• cos

(

π −a

)

sin 2

(

π −a

)

=cos

(

π −a

) (

sin 2π −2a

)

=cos

(

π − ⋅ −a

)

sin 2

( )

a 1

• cos

(

π − ⋅ −a

)

sin 2

( )

a = −cos

( )

a ⋅ −sin 2

( )

a =cos

( )

a ⋅sin 2

( )

a 1

• Dus de x-coördinaat van Pπ−a is gelijk aan de x-coördinaat van P (dusa

de lijn door P en _a P_π−_a is verticaal) 1

of

• De lijn door P en a Pπ−a is verticaal als de x-coördinaten van P en a Pπ−a

gelijk zijn 1

• Er moet dus gelden dat cos

(

π −a

)

sin 2

(

π −a

)

=cos

( ) ( )

a sin 2a 1

• −cos

( )

a ⋅ −sin 2

( )

a =cos

( )

a ⋅sin 2

( )

a en dus bevinden beide punten zich recht boven elkaar, waarmee het gestelde bewezen is 1

of

• Er moet bewezen worden dat cos

(

π −a

)

sin 2

(

π −a

)

=cos

( ) ( )

a sin 2a 1

• sin 2

(

π −a

)

=sin 2

(

π −2a

)

= −sin 2

( )

a 1

• Omdat cos

(

π −a

)

= −cos

( )

a geldt nu

(

)

(

)

( )

cos π − ⋅a sin 2 π −a = −cos a ⋅ −sin 2a =cos a ⋅sin 2a en dus bevinden beide punten zich recht boven elkaar, waarmee het gestelde

bewezen is 1

• Er moet gelden 2 x t⋅

( )

= y t

( )

1

• 2 cos⋅

( ) ( )

t sin 2t = cos

( )

t geeft cos

( )

t = of 0

( )

1 2 sin 2t = 1 • cos

( )

t = geeft 0 1 2 t= π of 1 2 1

t= π (en deze laten we buiten

beschouwing) 1 •

( )

1 2 sin 2t = geeft 1 6 2t= π + ⋅ π of k 5 6 2t= π + ⋅ πk 1 • De oplossing 11 12 t= π 1 Opmerkingen

(11)

wiskunde B vwo 2018-II

14 maximumscore 5 • Er geldt voor 3 4 t= π :

( ) ( )

( )

3 3 ₁ 4 4 ₂ 1 3 2 4 cos sin 2 ₂ 2 cos t OP −  _π _{⋅ π} _{ } _  _{ } _ =_ _{ }=  π  _{ } _    1

• x' t( )= −sin

( ) ( )

t sin 2t +cos

( )

t ⋅2 cos 2

( )

t 2

• y' t

( )

= −sin

( )

t 1 • Er geldt voor 3 4 t= π :

( ) ( )

( )

3 3 3 3 ₁ 4 4 4 4 ₂ 1 3 2 4

sin sin 2 2 cos cos 2 ₂

2 sin v − ₋ _π _{⋅ π +} _π _{⋅ π} _{ } _  _{ } _ =_ _{ }=  − π  _{ } _   

(en dus zijn

t

OP en v gelijk) 1

Opmerking

(12)

wiskunde B vwo 2018-II

Buiten een vierkant

• Een vergelijking van de cirkel is 2 2

(x−3) +(y−2) =5 1

• De lijn door A en C heeft vergelijking y= −4 x 1

• De cirkel snijden met deze lijn geeft _x2₋₅_x_{+ =}₄ ₀ ₁ • Dan volgt ( 1)(x− x−4)= dus de x-coördinaat van F is 1 (want 0 x=4

geeft punt A) 1

• F(1, 3) en omdat C(0, 4) en S(2, 2) (of: omdat F op CS ligt en

0 2 1 2 2 C S F x x

x = = + = + ) is F het midden van CS 1

of

• (Omdat C (0, 4) en S (2, 2) geldt:) het midden van CS is het punt (1, 3) 1

• De afstand tussen (1, 3) en (3, 2) is 5 1

• Ook geldt MA(=MB)= 5 1

• Dus (1, 3) ligt op de gegeven cirkel 1

• Dus is F het midden van CS 1

of

• (Omdat C(0, 4) en S(2, 2) geldt:) het midden van CS is het punt (1, 3) 1

• Een vergelijking van de cirkel is 2 2

(x−3) +(y−2) =5 1

• De lijn door A en C heeft vergelijking y= −4 x 1

• Omdat 2 2

(1 3)− + −(3 2) = ligt (1, 3) op de cirkel5 1

• Omdat 3= −4 1 ligt (1, 3) op de lijn door A en C (en dus is F het midden

(13)

wiskunde B vwo 2018-II

16 maximumscore 3 • 2 1 0 1 2 MF MB⋅ =_−   _{  }⋅ =       dus ∠(MF MB , )= °90 1 • 2 1 0 1 2 MG MA⋅ =_−  _{ }⋅ _= − −       dus ∠(MG MA , )= °90 1

• ∠( MF MB, )+ ∠(MG MA , )= ° + ° =90 90 180° (of: cirkelsector BMF is een kwart cirkel en cirkelsector GMA is een kwart cirkel), dus de

oppervlakte van de twee sectoren samen is gelijk aan de helft van de

oppervlakte van de cirkel 1

of • rc_MB = en 2 1 2 rc_FM = − dus rc_MB⋅rc_FM = − en dus 1 MB⊥MF   1 • rc_MA = − en 2 1 2 rc_GM = dus rc_MA⋅rc_GM = − en dus MA MG1 ⊥   1

• Dan volgt: cirkelsector BMF is een kwart cirkel en cirkelsector GMA is een kwart cirkel (of: ∠(MF MB, )+ ∠(MG MA, )= ° + ° =90 90 180°

   

), dus de oppervlakte van de twee sectoren samen is gelijk aan de helft van de

of • 2 2 1 1 3 cos( ( , )) 5 2 2 1 1 MF MG − −     ⋅   ₋      ∠ = = − −     ⋅   ₋        1 • 1 1 2 2 3 cos( ( , )) 5 1 1 2 2 MB MA     ⋅   ₋      ∠ = = −   _⋅    ₋        1

• cos(180° − α = −) cos( )α , dus ∠( MF MG, )+ ∠( MB MA, )=180°, dus de oppervlakte van de twee sectoren samen is gelijk aan de helft van de

Opmerking