Asymptoten, perforatie en linkertop

www.examen-cd.nl www.havovwo.nl

wiskunde B pilot vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

Asymptoten, perforatie en linkertop

6 maximumscore 4 • ₅( ) 2 (2 5) 4 2 4 2 5 2 5 x x f x x x x − + = = + − − (voor x ≠212) 1

• Een vergelijking van de scheve asymptoot is y=2x (, want

4 lim 0 2 5 x→∞ x− = ) 1 • 1 0 2 1 cos 1 0 2 1     ⋅         β =     ⋅         ( 2 5 = ) (of 1 2 tanβ = ) 1 • β ≈27° (of nauwkeuriger) 1 of • ₅( ) 2 (2 5) 4 2 4 2 5 2 5 x x f x x x x − + = = + − − (voor x ≠212) 1

• Een vergelijking van de scheve asymptoot is y=2x (, want

4

lim 0

2 5

x→∞ x− = ) 1

• tanα =2 (dus α ≈63°), waarbij α de hellingshoek is van de scheve

asymptoot 1

• β (= 90° − α) ≈27° (of nauwkeuriger) 1

-www.examen-cd.nl www.havovwo.nl

wiskunde B pilot vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

7 maximumscore 7 • ( ) (8 10) (2 ) (4₂2 10 4) 2 (2 ) a x x a x x f ' x x a − ⋅ − − − + ⋅ = − 1 • f ' x = geeft _a( ) 0 _8x2_{−8ax+10a− =8 0 2}

• De oplossingen van deze vergelijking zijn

2

8 ( 8 ) 4 8 (10 8) 2 8

a a a

x= − − ± − − ⋅ ⋅ −

⋅ (of voor de linkertop geldt:

2 8 ( 8 ) 4 8 (10 8) 2 8 a a a x= − − − − − ⋅ ⋅ − ⋅ ) 1

• Voor de linkertop geldt: 8 64 2 320 256

16

a a a

x= − − + 1

• De linkertop ligt op de y-as als 64a2−320a+256 8= a 1 • Exact oplossen van 64a2−320a+256 8= a geeft 4

5

a = 1

8 maximumscore 6

• (a moet zo gekozen worden, dat geldt:) 4x2−10x+ =4 0 heeft dezelfde

oplossing als 2x a− =0 1

• _4x2_{−10x+ =4 0 exact oplossen geeft} 1 2

x = of x =2 1

• 1

2

x = geeft a =1, x =2 geeft a =4 (dus de grootste waarde van a is 4) 1

• f herleiden tot _{4 4}( ) 2 2 4 2 4 x f x x x − + = + − 1 • f x₄( ) 2 1= x− (voor x ≠2) 1

• Dus de coördinaten van de perforatie zijn (2, 3) 1 of

• (a moet zo gekozen worden, dat geldt:) _4x2_{−10x+ =4 0 heeft dezelfde}

oplossing als 2x a− =0 1

• 2x a− =0 exact oplossen geeft 1 2

x= a; substitutie in 4x2−10x+ =4 0

geeft a2−5a+ =4 0 1

• Exact oplossen van a2−5a+ =4 0 geeft a=1 of a =4 (dus de grootste

waarde van a is 4) 1 • f herleiden tot _{4 4}( ) 2 2 4 2 4 x f x x x − + = + − 1 • f x₄( ) 2 1= x− (voor x ≠2) 1

• Dus de coördinaten van de perforatie zijn (2, 3) 1

Opmerking

Als niet a =4, maar a =1 gekozen is, leidend tot het antwoord 1 2

( , 3)− , hiervoor 1 scorepunt in mindering brengen.