Ruimtemeetkunde
Het inwendig product van twee vectoren
Definitie
Als a = ha1, a2i en b = hb1, b2i vectoren zijn in het platte vlak dan heet a1b1 + a2b2 het inwendig product van a en b.
Als a = ha1, a2, a3i en b = hb1, b2, b3i vectoren zijn in de ruimte dan heet a1b1 + a2b2 + a3b3 het inwendig product van a en b.
Notaties
(a, b), ha, bi en a•b
Aan de laatste notatie ontleent het inwendig product de naam
‘dot product’.
Stelling
Laten a, b en c vectoren zijn en c een getal. Dan geldt:
1. a•b = b•a,
2. a•(b + c) = a•b + a•c, 3. (ca)•b = c(a•b),
4. a•a ≥ 0 en a•a = 0 ⇐⇒ a = 0, 5. a•a = |a|2.
Stelling
Als a en b vectoren zijn dan a•b = |a||b| cos(θ) waarbij θ de hoek is tussen a en b.
Deze stelling kan worden bewezen door gebruik te maken van de cosinusregel.
Pas de stelling van Pythagoras toe op de driehoeken ADC en DBC en trek de verkregen vergelijkingen van elkaar af.
c2 − 2cp = a2 − b2 a2 = b2 + c2 − 2cp Gebruik vervolgens dat cos θ = p
b
Dit geeft ( cosinusregel ): a2 = b2 + c2 − 2bc cos θ.
Definitie
Twee vectoren a en b, beiden verschillend van 0, staan loodrecht op elkaar of heten orthogonaal als hun ingesloten hoek gelijk is aan π
2.
Afspraak is dat 0 loodrecht op elk andere vector staat.
Gevolg
Twee vectoren a en b zijn orthogonaal dan en slechts dan als a•b = 0.
Vectorvergelijking van een lijn
Definities
Laat P0 een punt zijn op een lijn L. Dan heet r0 = −−→
OP0 een steunvector van L.
Als P1 een tweede punt is op l verschillend van P0 dan heet v = −−−→
P0P1 een richtingsvector van L.
Voor ieder punt P op L met r = ~OP is nu:
−→OP = −−→
OP0 + −−→
P0P ⇐⇒
−→OP = −−→
OP0 + t−−−→ P0P1⇐⇒
r = r0 + tv.
Definitie
r = r0 + tv heet een vectorvergelijking van lijn L.
Zijn r0 = hx0, y0i, v = ha, bi en r = hx, y i dan r = r0 + tv (t ∈ R) ⇐⇒
hx, y i = hx0, y0i + tha, bi (t ∈ R)
en zijn r0 = hx0, y0, z0i, v = ha, b, ci en r = hx, y , zi dan r = r0 + tv (t ∈ R) ⇐⇒
hx, y , zi = hx0, y0, z0i + tha, b, ci (t ∈ R)
Vergelijking van een vlak
Definities
Laat P0 een punt zijn in een vlak V .
Dan heet r0 = −−→
OP0 een steunvector van V .
Als n 6= 0 een vector is zodat n en −−→
P0P orthogonaal zijn (n ⊥−−→
P0P) voor elk punt P in V dan heet n een normaal- vector van V .
Is r = −→
OP dan n ⊥−−→
P0P ⇐⇒ n ⊥ r − r0 ⇐⇒ n•(r − r0) = 0.
Zijn r0 = hx0, y0, z0i, n = ha, b, ci en r = hx, y , zi dan
n•(r − r0) = 0 ⇐⇒ (1)
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 ⇐⇒ (2)
ax + by + cz = d (3)
waarbij d = ax0 + by0 + cz0.
(1) heet een vectorvergelijking en (2) een (scalaire) vergelijking van V .
(3) is een vergelijking van V in standaardvorm.
Functies van meerdere (meestal twee) variabelen
De grafiek van de functie f : R2 → R gegeven door:
f (x , y ) = xy x2+ y2
Vergelijking van een raakvlak Laat f : D → R en (x0, y0) ∈ D.
Veronderstel dat beide eerste orde parti¨ele afgeleiden van f bestaan en continu zijn op D.
Dan heeft het raakvlak aan de grafiek van f in (x0, y0, f (x0, y0)) als vergelijking:
z = f (x0, y0) + fx(x0, y0) (x − x0) + fy(x0, y0) (y − y0)
Linearisering
Laat f : D → R en (a, b) ∈ D.
Veronderstel dat beide eerste orde parti¨ele afgeleiden van f bestaan en continu zijn op D.
Dan heet de functie L : R2→ R die gegeven wordt door:
L(x , y ) = f (a, b) + fx(a, b) (x − a) + fy(a, b) (y − b) de linearisering van f in (a, b).
Voor x ≈ a en y ≈ b is dus:
f (x , y ) ≈ L(x , y ) = f (a, b) + fx(a, b) (x − a) + fy(a, b) (y − b)
Definitie
Laat f een functie zijn op D ⊂ R2, (a, b) ∈ D en u = hu1, u2i een vector met lengte 1.
Als lim
h→0
f (a + hu1, b + hu2) − f (a, b)
h bestaat en
gelijk is aan L dan heet L de richtingsafgeleide van f in (a, b) in de richting van u.
Notaties Duf (a, b) = ∂f
∂u(a, b)
