Computerpracticum bij het college Grenslaagstromingen
2e periode 2003-2004 Opgave 1: Geschematiseerde grenslaag
Beschouw onderstaand (eenvoudig) model van een viskeuze stroming over een vlakke plaat met deuk, gelegen op een interval 0≤ x ≤ 1. Het stromingsveld wordt gesplitst in een niet-viskeus gebied en een viskeus gebied, in sterke interactie met elkaar.
In het niet-viskeuze gebied nemen we aan dat de stroming een potentiaalstroming is die met dunne-draagvlak theorie beschreven wordt. De stroming bestaat dan uit een component afkomstig van de stroming langs de ‘kale’ plaat, plus een correctie t.g.v. grenslaageffecten. Voor de langssnelheid betekent dit
ue(x) = ue0(x) + 1 π
Z 1 0
dδ∗/dξ
x− ξ dξ, (1)
waarin ue0 de langssnelheid van de ongestoorde stroming is. Deze langssnelheid is gegeven door (zie Figuur 1 waarin ampl = 0.2 is gekozen):
ue0(x) = 1− ampl ∗ exp[−30(x − 0.5)2]. (2) De grenslaag wordt benaderend beschreven m.b.v. een algebraische relatie tussen de langs- snelheid ue en de verdringingsdikte δ∗. Deze relatie luidt:
ue(x) = aδ∗+ b + c/δ∗. (3)
De coefficienten a, b en c zijn gegeven door:
a = 0.04Re1/2, b = 0.55 en c = 0.6Re−1/2. In Figuur 2 is relatie (3) uitgezet.
In x = 0 kiezen we ue(0) = ue0(0), en δ∗(0) volgens (3). Aan het rechteruiteinde bij x = 1 geldt als randvoorwaarde dδ∗/dx = 0.
Het stelsel vergelijkingen (1) en (3) beschrijft de volledige stroming. Gevraagd wordt dit stel- sel op te lossen voor een aantal waarden van Re en ampl, en voor een drietal interactiemethoden:
direct, semi-invers en (quasi-)simultaan.
De Hilbert integraal wordt gediscretiseerd met nx punten (neem om te beginnen nx = 20) op het interval [0, 1]. De discretisatie verloopt verder zoals in § 7.3 van het dictaat. Deze discretisatie behoeft niet zelf uitgevoerd te worden.
Een PASCAL programma (interakt.p) bestaande uit een hoofdprogramma en een proce- dure voor het berekenen van de coefficienten voor de discrete Hilbert integraal is bijgeleverd.
Voor de drie iteratiemethoden dienen zelf de corresponderende procedures geschreven te worden.
NB. Een FORTRAN versie is eveneens beschikbaar (interakt.f).
Door te rekenen gevallen:
1. Test het programma met ampl = 0. Wat moet er dan uitkomen?
2. Ga verder met ampl = 0.1 en kies Re = 105 en 107. Bepaal de oplossing met de directe methode, de semi-inverse methode en de simultane methode. Probeer systeem te ontdekken in de waarde van de relaxatiefactor die benodigd is voor de directe methode en de semi- inverse methode (kies eventueel andere waarden voor Re). Klopt dit met de theorie?
1
3. Neem vervolgens ampl = 0.2 en kies Re = 104 en 105. Probeer wederom de oplossing te bepalen met elk van de drie interactiemethoden. Observeer dat de directe methode niet aan de praat is te krijgen. Verklaar dit m.b.v. Figuren 1 en 2. Merk verder het verschil op in convergentiesnelheid van de semi-inverse methode en de simultane methode. Voer het Reynolds getal Re op, en probeer een schatting te krijgen van de grootste waarde waarvoor de semi-inverse c.q. de simultane methode nog aan de praat te krijgen is. Vergelijk de bevindingen met de gegeven theorie in § 7.4. Probeer met name een verklaring te vinden voor het feit dat er een bovengrens bestaat voor het Reynolds getal.
4. Wie zin heeft kan nx opvoeren om te zien hoeveel effect dit heeft op de maximale Re die haalbaar is (bijv. nx = 50).
Opmerkingen bij opgave 1:
1. Ophalen van programma’s:
cp ~csg901/grenslaag/interakt.{p,f,gnu} . Bestaande files worden overschreven!
2. Vertalen van programma:
pc interakt.p respectievelijk g77 interakt.f 3. Runnen van programma:
a.out
Na invullen van de parameters verschijnt het resultaat in de vorm van een tabel. De resultaten van de som kunnen ook als plaatje worden gepresenteerd (data komen op file interakt.dat). Deze plaatjes kunnen worden bekeken met Gnuplot. Aanroep (bijv.
vanuit ander window):
gnuplot interakt.gnu
Hierna verschijnt het eerste plaatje met de snelheidsverdeling. Het tweede plaatje met de verdringingsdikte volgt na <Enter>.
2
Opgave 2: Echte grenslaag
Met het programma practur.f kan een echte grenslaag worden doorgerekend op basis van een integraalmethode. Deze grenslaag wordt beschreven door de Von K´arm´an vergelijking, plus enkele sluitingsrelaties. Zowel laminaire als turbulente stroming kunnen worden gesimuleerd.
Voor laminaire stroming (model=1) zijn er twee relaties om H en cf als functie van δ∗ vast te leggen:
H = 2.5541 e−Λ/6 met Λ = Re (δ∗)2 due
dx ; cf = 2Hf2
Re δ∗ue
met f2=
( 0.3149 e2.5541−H − 0.08, H ≤ 7, (0.3149 e2.5541−7.0− 0.08) ∗ 7.0/H, H > 7.
Deze relaties zijn gebaseerd op de oplossingen van de Falkner-Skan vergelijking.
Voor turbulente stroming (model=2 of 3) wordt gebruik gemaakt van Head’s entrainment methode
1 ue
d dx
ueδ∗H1 H
= 0.0306(H1− 3.0)−0.6169; een relatie tussen H en H1 (zoals op het NLR gebruikt)
IF (H.LE.2.732) THEN
H1=(0.5*H +1.0)*H/(H-1.0) ELSE
ht=0.5*(H-2.732)+2.732 IF (ht.LE.4.0) THEN
H1=(0.5*ht+1.0)*ht/(ht-1.0) ELSE
H1=1.75 + 5.52273*ht/(ht+5.818181) ENDIF
ENDIF
en een relatie voor de schuifspanning in twee varianten: de Ludwig-Tillman relatie (met altijd positieve schuifspanning) (model=2)
cf = 0.246 × 10−0.678HRe−0.268θ ,
of een relatie van het NLR (die negatieve schuif- spanning toelaat) (model=3)
cf0 = 0.01013
log Reθ− 1.02 − 0.00075, h0r = 1.0− 6.55qcf0/2,
cf = cf0
0.9
H h0r− 0.4− 0.5
.
Als geometrie wordt de inmiddels bekende deuk gebruikt; nu op het interval 1≤ x ≤ 4. De buitenstroming E wordt gegeven door de Hilbert integraal (1).
Het programma biedt de mogelijkheid tot simultaan, quasi-simultaan en semi-invers rekenen.
De simultane methode ontstaat door in vergelijking (7.6) uit het collegedictaat I = E te kiezen.
3
Bij de quasi-simultane methode wordt in de interactiewet alleen de bijdrage tot de Hilbert integraal van de intervallen ter weerszijden van xi meegenomen, dus
Iδ∗=−2h π
d2δ∗
dx2 =− 2
πhδi−1∗ + 4
πhδi∗− 2 πhδi+1∗ . De invoerfile is practur.in en biedt als invoermogelijkheden:
– het Reynoldsgetal;
– het model (1=laminair; 2 en 3 = turbulent);
– het aantal roosterpunten in x-richting (60 is een geschikte waarde);
– de diepte van de deuk (< 0 is deuk, > 0 is bobbel);
– de interactiemethode (0 = semi-invers; 1 = quasi-simultaan; 2 = simultaan);
– de relaxatiefactor voor semi-invers;
– het maximum aantal iteratieslagen (50 is genoeg voor (quasi-)simultaan, semi-invers vereist meer slagen).
Het programma is compleet en kan meteen vertaald worden: g77 -O practur.f. Resulta- ten worden weggeschreven op de file practur.res, en kunnen worden bekeken via gnuplot practur.gnu.
• Onderzoek allereerst de (quasi-)simultane interactiemethoden:
- Begin laminair (model=1) met een deukdiepte van -0.03 en een Reynoldsgetal van 106. Houd de diepte vast en voer het Reynoldsgetal op tot 5.106. Om nog hoger te komen met Re zijn goede beginschattingen nodig.
- Ga nu over op turbulente stroming bij Re = 5.106. Vergelijk het turbulente antwoord met het laminaire. Wat is het grote verschil? Voer vervolgens de diepte verder op: -0.75 is haalbaar. Observeer dat simultaan iets robuuster is dan quasi-simultaan. Maakt de keuze van de schuifspanningsrelatie (d.w.z. model=2 of 3) veel uit voor ue, δ∗, of H?
• Onderzoek tenslotte de semi-inverse methode. Probeer een of meer van bovenstaande stro- mingen door te rekenen. Merk op dat het vinden van een geschikte relaxatiefactor lastig is, en dat goede beginschattingen essentieel zijn (Re verlagen kan soms helpen, of starten vanaf een simultaan antwoord . . . (???) ).
Files ophalen
cp ~csg901/grenslaag/practur.{com,f,in,gnu} .
4
