L voor zekere L ∈ S∗ als voor elke &gt

(1)

OPGAVEN BIJ ANALYSE 2015, LIMIETEN VAN FUNCTIES (14)

Resultaten

Definitie. Zij f : S → S^∗ een functie. Zij s0∈ S. We schrijven

s→slim0

f (s) = L

voor zekere L ∈ S^∗ als voor elke > 0 er een δ > 0 bestaat zodat d f (s), L < geldt als d(s, s₀) < δ.

Definitie. We noemen f : Rⁿ\ {0} → R homogeen van graad α als voor elke ~x 6= 0 en r > 0 geldt

f (r~x) = r^αf (~x).

Propositie. Zij f : Rⁿ\ {0} → R continu, homogeen van graad α en niet constant.

Dan is lim_~_x→~₀f (~x) = 0 als α > 0 en bestaat deze limiet niet als α ≤ 0.

Opgaven

Opgave 1. Ga voor de volgende functies f : R² \ {~0} → R na of lim_~_x→~₀f (~x) bestaat. Zo ja, bepaal de limiet.

(a) f (x, y) = xy x²+ y² (b) f (x, y) = xy

x²+ y⁴

(c) f (x, y) = x²y² x²+ y⁴ (d) f (x, y) = xy log(x²+ y²)

Opgave 2. Gebruik Taylorbenaderingen om te onderzoeken of lim_~_x→~₀f (~x) bestaat voor de volgende functies. Herinner : log(1 + z) =P∞

n=1 (−1)ⁿ⁺¹

n zⁿ. (a) f (x, y) = sin(xy)

x²+ y² (b) f (x, y) = log(1 + x²y²) x²+ y² Opgave 3. Bewijs dat de afbeelding f (~x) = k~xk continu is op R^k. Opgave 4. Bewijs dat de volgende functie R²→ R continu is:

f (x, y) =







e^x²^−y²− 1

x²− y² als x²6= y² 1 als x²= y²

L voor zekere L ∈ S∗ als voor elke  &gt

L voor zekere L ∈ S∗ als voor elke &gt