Wiskunde voor
3 havo
deel 2, Antwoordenboek
Versie 2013
Samensteller
bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.
Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aanspra- kelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal
Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 Nederland Licentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).
Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en is speciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de website www.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren te bekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via info@math4all.nl.
Ook houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.
Inhoud
1 Kwadratische verbanden 2 1.1 Kwadratische functies 2 1.2 Nulpunten en top 5
1.3 Kwadratische vergelijkingen 8 1.4 Handig oplossen 11
1.5 Totaalbeeld 15
2 Ruimtemeetkunde 19 2.1 Lichamen 19 2.2 Aanzichten 22 2.3 Doorsneden 28
2.4 Inhoud en oppervlakte 32 2.5 Totaalbeeld 35
3 Exponentiële verbanden 38 3.1 Groeiactoren 38
3.2 Exponentiële groei 40 3.3 Exponentiële functies 43 3.4 Totaalbeeld 46
4 Statistiek 48 4.1 Steekproeven 48
4.2 Frequenties en klassen 50 4.3 Centrum en spreiding 54 4.4 Kansen 56
4.5 Wegen en bomen 58 4.6 Totaalbeeld 59
5 Functies 63
5.1 Wat is een functie? 63 5.2 Domein en bereik 66
5.3 Transformatie van standaardfuncties 69 5.4 Functies vergelijken 72
5.5 Families van functies 75 5.6 Totaalbeeld 77
1 Kwadratische verbanden
1.1 Kwadratische functies
1 Maak een tabel en eventueel een grafiek. En misschien weet je nog wel hoe je uit zo’n formule het hoogste punt afleest. De bal komt hoogstens 1,5 m boven de grond.
a
2 Omdat de macht van de onafhankelijk variabele een kwadraat is (en er geen andere machten voorko- men). En er is sprake van een functie omdat de formule de vorm ℎ = ... heeft.
b Je vindt dan ℎ = 1,01.
c De toenames worden telkens 0,08 kleiner. Dus die rij met veranderingen van de toenames is steeds
−0,08.
d Eigen antwoord.
a
3 Neem u� = 0 en vul dit in de formule in. Je vindt ℎ = 65.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN
b Doen, de verandering van de afnames moet steeds hetzelfde getal opleveren, namelijk 0,2.
c Na 140 m is de hoogte van het punt op de kabel weer gelijk aan die bij de linker toren. Dus de torens staan 140 m uit elkaar.
d Het punt (70,16), dus de kabel zit dan 16 m boven het wegdek.
a
4 Omdat het kwadraat niet met een negatief getal wordt vermenigvuldigd. In de applet moet je u� = 1 kiezen, dus een positief getal voor u� nemen.
b Dan weet je welke u�-waarden je moet kiezen in de tabel.
c Zie tabel.
u� −2 −1 0 1 2 3 4
u� 12 7 4 3 4 7 12
d Zie de tabel.
u� −2 −1 0 1 2 3 4
u� 12 7 4 3 4 7 12
afname −5 −3 −1 1 3 5
verandering 2 2 2 2 2
e Ja, die is steeds 2.
a
5 Een bergparabool met top 𝑇(−1, − 4) en symmetrieas u� = −1. Er is een maximum van −4 voor u� = −1.
b Een dalparabool met top 𝑇(4,1) en symmetrieas u� = 4. Er is een minimum van 1 voor u� = 4.
c Een bergparabool met top 𝑇(√3, 2) en symmetrieas u� = √3. Er is een maximum van 2 voor u� = 3.
a
6 u� = (2u� − 4)2+ 3 = (2(u� − 2))2+ 3 = 4(u� − 2)2+ 3
b Het is een dalparabool met top 𝑇(2,2) en symmetrieas u� = 2. Er is een minimum van 2 voor u� = 2.
a
7 Doen.
b (u� − 1)2− 3 = 0 geeft (u� − 1)2= 3 en dus u� − 1 = ±√3 zodat u� = 1 ± √3.
De snijpunten zijn (1 − √3, 0) en (1 + √3, 0).
c De symmetrieas is u� = 1. Beide punten liggen daar √3 van af.
d (−0,73; 0) en (2,73; 0).
a
8 Voor het snijpunt met de u�-as geldt u� = 0 en dat levert op u� = −284. Het snijpunt met de u�-as is dus (0, − 284).
b Voor de snijpunten met de u�-as geldt u� = 0 en dus −4(u� − 8,5)2+ 5 = 0. Deze vergelijking los je op door terugrekenen: (u� − 8,5)2 = 1,25 geeft u� = 8,5 + √1,25 ∨ u� = 8,5 − √1,25. De bijbehorende snijpunten zijn (8,5 + √1,25; 0) en (8,5 − √1,25; 0).
a
9 Omdat van een kwadratische functie de symmetrieas altijd verticaal is en de raaklijn in de top alleen maar geen andere punten met de parabool gemeen heeft als hij loodrecht op die symmetrieas staat.
b Dat kan alleen als u� = 2.
c De lijn u� = 5.
d Het is een dalparabool en die ligt boven de raaklijn door de top en kan daarom niet door de u�-as gaan.
Een snijpunt met de u�-as is er bij een kwadratische functie altijd. Hier is het (0,14).
a
10 u� = 1
b De lijn u� = −3.
c De waarde van u� bepaalt alleen of er sprake is van een dalparabool of een bergparabool en hoe steil de grafiek loopt. De top van de parabool wordt door u� niet beïvloed.
a
11 Een bergparabool omdat het kwadraat met −0,5, dus een negatief getal wordt vermenigvuldigd. De top is 𝑇(6,10).
b Er is een maximum van 10 voor u� = 6.
c Zie tabel. Teken een bijpassende grafiek.
u� 0 2 4 6 8 10 12
u� −8 2 8 10 8 2 −8
d Ja, alle toenames veranderen met dezelfde waarde 4.
u� 0 2 4 6 8 10 12
u� −8 2 8 10 8 2 −8
toename 10 6 2 −2 −6 −8
verandering 4 4 4 4 4
a
12 Een dalparabool met top 𝑇(−5,7). Er is een minimum van 7 voor u� = −5.
b Een bergparabool met top 𝑇(12,45). Er is een maximum van 45 voor u� = 12.
c Een dalparabool met top 𝑇(−√2, −√3). Er is een minimum van −√3 voor u� = −√2.
d Een bergparabool met top 𝑇(2,5,5). Er is een maximum van 5,5 voor u� = 2.
a
13 u� = 0 geeft u� = −13. Het gevraagde punt is dus (0, − 13).
b u� = −2(u� − 3)2+ 5 = 0 geeft u� = 3 +12√10 ∨ u� = 3 −12√10. Schrijf nog wel even de juiste coördinaten op!
c De gevraagde afstand is √10.
a
14 Op de u�-as geldt u� = −0,5(u� − 10)2+ 40 = 0 en dus (u� − 10)2 = 80. Dit geeft u� = 10 + √80 ∨ u� = 10 − √80. De snijpunten met de horizontale as zijn dus (10 + √80 < m : mn >< m : mo > , < m : mo > 0 < m : mn >) en (10 − √80 < m : mn >< m : mo > , < m : mo > 0 < m : mn >).
Op de u�-as geldt u� = 0 en dus u� = −10 zodat het snijpunt met de verticale as (0, − 10) is.
b De lijn moet dan door de top (10,40) van de parabool gaan. Dat is zo als u� = 40.
c De lijn moet dan lager liggen dan de top (10,40) van de parabool. Dat is zo als u� < 40.
d De lijn moet dan hoger liggen dan de top (10,40) van de parabool. Dat is zo als u� > 40.
a
15 Dat kun je zien aan het getal −4 (nogal steile bergparabool), maar ook aan de top (2,5; 85) van de baan (nogal dicht bij de toren, maar wel 15 m hoger dan het afschietpunt).
b 85 m.
c Los op: −4(u� − 2,5)2+ 85 = 0. Je vindt u� = 2,5 + √22,25 ≈ 7,2 m.
a
16 De top kun je uit de formule aflezen: (0,10). Het rechter ophangpunt zit bij u� = 50. Als je dit invult in de formule krijg je inderdaad u� = 100.
b 82,9 m.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN
1.2 Nulpunten en top
1 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 = 100 geeft u� + 𝐵𝐶 + u� = 100 en dus 𝐵𝐶 = 100 − 2u�.
En dus is 𝐴 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐵𝐶 = u�(100 − 2u�) = 100u� − 2u�2.
Om de grootste waarde van 𝐴 te bepalen, maak je een grafiek van 𝐴. Eerst maak je een tabel, neem voor u� getallen als 10, 20, 30, ..., 100.
a
2 De vergelijking u�(100 − 2u�) = 0 bestaat uit twee factoren die vermenigvuldigt 0 opleveren. Daarom kun je de vergelijking meteen splitsen in u� = 0 ∨ 100 − 2u� = 0.
b Zie tabel. Maak er een grafiek bij.
u� 0 10 20 30 40 50
u� 0 800 1200 1200 800 0
c De symmetrieas is u� = 25.
Het getal 25 is het gemiddelde van de u�-waarden van de nulpunten.
d Vul u� = 25 in de formule in en je krijgt 𝐴 = 1250. De maximale oppervlakte van het landje is dus 1250 m2.
a
3 0, 5 (u� − 2) (u� − 6) = 0 geeft (u� − 2) (u� − 6) = 0 en dus u� = 2 ∨ u� = 6.
De nulpunten zijn (2, 0) en (6, 0).
b Deze lijn ligt midden tussen beide nulpunten in. Het gemiddelde van 2 en 6 is 4.
c u� = 4 invullen geeft u� = −2. De top is (4, − 2).
d Hij gaat door de nulpunten en de top. Voor de volledigheid kun je nog enkele andere u�-waarden invullen om een nette grafiek te krijgen.
a
4 Ontbinden geeft: u� = (u� − 2)(u� − 3).
(u� − 2)(u� − 3) = 0 geeft u� = 2 ∨ u� = 3.
De nulpunten zijn (2,0) en (3,0).
b u� = 2,5.
c u� = 2,5 invullen geeft u� = −0,25. De top is (2,5; −0,25).
d Hij gaat door de nulpunten en de top. Voor de volledigheid kun je nog enkele andere u�-waarden invullen om een nette grafiek te krijgen.
a
5 Doen.
b 𝑇(0,5; 1,25) a
6 Nulpunten: (2,0) en (5,0).
Symmetrieas: u� = 3,5.
Top: 𝑇(3,5, − 2,25).
b Nulpunten: (0,0) en (5,0).
Symmetrieas: u� = 2,5.
Top: 𝑇(2,5,12,5).
c Controleer je antwoorden met de applet. Werk eventueel met iemand samen.
a
7 u� = 3u�2+ 42u� + 120 = 3(u�2+ 14u� + 40) = 3(u� + 4)(u� + 10) De nulputen zijn (−4,0) en (−10,0).
b De symmetrieas is u� = −7, dus de top van de bijbehorende parabool is (−7, − 27)
Er is sprake van een dalparabool, dus van een minimum van −27 voor u� = −7.
a
8 Omdat dan aan beide zijden van het isgelijkteken het getal −1 staat. Door aan beide zijden 1 op te tellen verdwijnen deze getallen beide en blijft er een uitdrukking over die gemakkelijk te ontbinden is door 2u� buiten haakjes te halen.
b u� = 0+32 = 1,5
c Dat kan op dit moment alleen door inklemmen. Je weet waar beide nulpunten ongeveer moeten zitten.
Daar maak je dan een nauwkeurige tabel.
a
9 1,5u�2+ 3u� − 4,5 = −4,5 geeft 1,5u�2+ 3u� = 0 en dus 1,5u�(u� + 2) = 0, zodat u� = 0 ∨ u� = −2.
Je vindt (0; −4,5) en (−2; −4,5).
b 𝑇(−1, − 6) en dit komt overeen met de applet.
c Controleer je antwoorden met behulp van de applet. (Zorg er dus wel voor dat je parabool in beeld is!) a
10 −0,5u�2+ 50u� = −0,5u�(u� − 100) = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 100.
De nulpunten zijn (0,0) en (100,0).
b 𝑇(50,1250) en dit komt overeen met de applet.
c Met de gevonden top en nulpunten is de schets eenvoudig te maken.
a
11 Vul u� = 0 in de formule in. Je vindt ℎ = 0,42.
De bal wordt op 42 cm hoogte geraakt.
b De nulpunten zijn (−2,0) en (21,0).
De bal komt na 21 m weer op de grond.
c De nulpunten zijn (−2,0) en (21,0).
De symmetrieas is daarom u� = 9,5.
De top van de parabool is (9,5; 1,3225) a
12 Nulpunten: (0,0) en (30,0).
Symmetrieas: u� = 15.
Top: 𝑇(15, − 450). Dalparabool, dus is er een minimum van −450 voor u� = 15.
b Top: 𝑇(2,5; −1). Dalparabool, dus is er een minimum van −1 voor u� = 2,5.
Nulpunten: (u� − 2.5)2− 1 = 0 geeft u� = 2,5 ∨ u� = 3,5. Dus (2,5; 0) en (3,5; 0).
c Nulpunten: (4,0) en (−1,0).
Symmetrieas: u� = 1,5.
Top: 𝑇(1,5; 3,125). Bergparabool, dus is er een maximum van 3,125 voor u� = 1,5.
d Top: 𝑇(3,1). Dalparabool, dus is er een minimum van 1 voor u� = 3.
Nulpunten: (u� − 3)2+ 1 = 0 heeft geen oplossing. Dus er zijn geen nulpunten.
e De formule kan worden geschreven als u� = (u� − 4)2− 7,5
Top: 𝑇(4; −7,5). Dalparabool, dus is er een minimum van −7,5 voor u� = 4.
Nulpunten: (u� − 4)2− 7.5 = 0 geeft u� = 4 − √7,5 ∨ u� = 4 + √7,5. De nulpunten zijn dus (4 − √7,5; 0) en (4 + √7,5; 0).
f Top: 𝑇(−1,0). Bergparabool, dus is er een maximum van 0 voor u� = −1.
Nulpunt is (−1,0) want dit is een dalaparabool met zijn top op de u�-as.
a
13 0,5u�2− u� − 4 = 0 geeft u�2− 2u� − 8 = (u� − 4)(u� + 2) = 0 en dus u� = 4 ∨ u� = −2 De nulpunten zijn (4,0) en (−2,0).
b De top is (1; −4,5).
c Je hebt al drie punten van de grafiek. Bereken er nog een paar en maak dan je grafiek.
a
14 0,5u�2− u� + 1 = 1 geeft u�2− 2u� = 0 en dus u� = 0 ∨ u� = 2 De punten zijn (0,1) en (2,1).
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN
b De symmetrieas is u� = 1.
De top is (1; 0,5).
c Je hebt de top. Bereken nog een paar punten, maak een tabel en maak dan je grafiek.
a
15 Oplossen: u�2+ 8u� + 2 = 2 geeft u� = 0 ∨ u� = −8.
Top: 𝑇(−4, − 14).
b Oplossen: u�2− 2u� + 10 = 10 geeft u� = 0 ∨ u� = 2.
Top: 𝑇(1,9).
c Oplossen: 2u�2+ 10u� − 8 = −8 geeft u� = 0 ∨ u� = −5.
Top: 𝑇(−2,5; −20,5).
d Nulpunten: (−3,0) en (8; 0).
Symmetrieas: u� = 2,5.
Top: 𝑇(2,5; 121).
e Oplossen: 0,5u�2+ u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = −2.
Top: 𝑇(−1; −0,5).
f Oplossen: −u�2+ 6u� − 4 = −4 geeft u� = 0 ∨ u� = 6.
Top: 𝑇(3,5).
a
16 In de tabel kun je zien, dat elke keer als de prijs met 5 toeneemt, het aantal verkochte koppen soep met −10 toeneemt (dus eigenlijk afneemt). De richtingscoëfficiënt van de lijn die je door de punten in de tabel kunt tekenen is daarom −10 /5 = −2 .
De formule wordt daarmee u� = −2u�+u� en het invullen van één van de punten in de tabel geeft u� = 340.
En daarmee vind je de formule die is gegeven.
b Bereken steeds u� ⋅ u� en ga na dat de uitkomst daarvan groter wordt als u� kleiner wordt.
c Nee, op zeker moment wordt zijn prijs per kop zo laag, dat hij nauwelijks inkomsten overhoudt.
d 𝑅 = −2u�2+ 340u� als je de haakjes uitwerkt. Deze formule past bij een bergparabool, dus er is een maximum.
e De nulpunten van 𝑅 vind je uit 𝑅 = u�(340 − 2u�) = 0 en dat levert op u� = 0 ∨ u� = 170.
De symmetrieas van de bergparabool die bij deze formule past is u� = 85. De maximale opbrengst vind je dus bij u� = 85 en die is 14450, dus €144,50.
Voor een zo groot mogelijke opbrengst moet hij €0,85 per kop vragen.
f Nee, want je moet ook rekening houden met de kosten voor het maken van de erwtensoep. Zie volgende opgave.
a
17 Bij winst houd je ook rekening met de gemaakte kosten en bij opbrengst let je alleen op de inkomsten als gevolg van van de verkoop.
b De winst per kop soep is u� − 50 cent en het aantal verkochte koppen soep is 340 − 2u�. Om de winst uit te rekenen moet je deze twee uitdrukkingen vermenigvuldigen.
c (u� − 50)(340 − 2u�) = 0 geeft u� − 50 = 0 ∨ 340 − 2u� = 0 en dus u� = 50 ∨ u� = 170. Bij deze prijzen is de winst op de verkoop van de koppen soep 0, dus dan wordt er geen winst gemaakt en ook geen verlies geleden.
d De symmetrieas van de bergparabool die bij de formule voor de winst past is u� = 110. De maximale winst vind je dus bij u� = 110 en die is 7200, dus €72,00.
Voor een zo groot mogelijke winst moet hij €1,10 per kop vragen.
1.3 Kwadratische vergelijkingen
1 u�2+ 6u� + 8 = (u� + 2)(u� + 4) = 0 geeft u� = −2 ∨ u� = −4.
2 Dat kun je (waarschijnlijk) niet. In deze paragraaf ga je leren hoe dit kan: je leert de abc-formule te gebruiken.
a
3 Doen.
b Ja, ze komen overeen.
c u� ≈ −1,586 ∨ u� ≈ −4,414 d Lees af: u� = 1, u� = 6 en u� = 8.
Oplossing: u� = −6±√62⋅12−4⋅1⋅8=−6±√42 .
Dit kun je herleiden tot u� = −6±22 en dat betekent u� = 2 ∨ u� = 4. Nu zie je dat beide oplossingen overeen komen.
e Omdat als u� = 0 het kwadraat wegvalt en er dus geen kwadratische vergelijking, maar een lineaire vergelijking overblijft.
f Je schrijft de vergelijking eerst als 2u�2− 6u� + 4 = 0.
Lees af: u� = 2, u� = −6 en u� = 4.
Oplossing: u� = 6±√(−6)
2−4⋅2⋅4
2⋅2 =6±√44 .
Omdat nu de wortel uitkomt vind je u� =6+24 = 2 ∨ u� =6−24 = 1.
a
4 Lees af: u� = 1, u� = 12 en u� = 4.
Oplossing: u� = −12±√122⋅12−4⋅1⋅4=12±√1282 .
Dit kun je herleiden tot u� = 12±√1282 =12±8√22 = 6 ± 4√2.
b Lees af: u� = 2, u� = 5 en u� = −10.
Oplossing: u� = −5±√522⋅2−4⋅2⋅−10 =−5±√1054 .
Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.
c Schrijf de vergelijking eerst als u�2− 5u� − 7 = 0.
Lees af: u� = 1, u� = −5 en u� = −7.
Oplossing: u� = 5±√(−5)
2−4⋅1⋅−7
2⋅1 =5±√532 .
Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.
d Schrijf de vergelijking eerst als 9u�2+ 10u� − 17 = 0.
Lees af: u� = 9, u� = 10 en u� = −17.
Oplossing: u� = −10±√102⋅92−4⋅9⋅−17= −10±√71218 . Dit hoef je niet verder te herleiden.
e Je schrijft de vergelijking eerst als 2u�2− 12u� + 16 = 0. (Eventueel deel je ook nog beide zijden door 2.) Lees af: u� = 2, u� = 12 en u� = 16.
Oplossing: u� = 12±√(−12)
2−4⋅2⋅16
2⋅2 =12±√44 .
Omdat nu de wortel uitkomt vind je u� =12+24 = 3,5 ∨ u� =12−24 = 2,5.
f Lees af: u� = 3, u� = 8 en u� = −3.
Oplossing: u� = −8±√82⋅32−4⋅3⋅−3= −8±√1006 .
Omdat nu de wortel uitkomt vind je u� =−8+106 =13∨ u� = −8−106 = −3.
a
5 Lees af: u� = 2, u� = −6 en u� = −1.
En dus is 𝐷 = u�2− 4u�u� = (−6)2− 4 ⋅ 2 ⋅ −1 = 44.
b De oplossing is u� =6±√44.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN
c De oplossing is u� ≈ 3,2 ∨ u� ≈ −0,2.
d Lees af: u� = 2, u� = −6 en u� = 4,5.
En dus is 𝐷 = (−6)2− 4 ⋅ 2 ⋅ 4,5 = 0. De uitdrukking onder de wortel valt daarom weg.
De oplossing is u� =6±√04 = 1,5.
e Lees af: u� = 2, u� = −6 en u� = 6.
En dus is 𝐷 = (−6)2− 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = −12. De discriminant is negatief en de wortel uit een negatief getal heeft geen reële uitkomst.
a
6 Lees af: u� = 2, u� = 5 en u� = −20.
En dus is 𝐷 = 52− 4 ⋅ 2 ⋅ −20 = 185.
De oplossing is u� =−5±√1854 .
b Schrijf de vergelijking als 3u�2− 9u� + 11 = 0.
Lees af: u� = 3, u� = −9 en u� = 11.
En dus is 𝐷 = (−9)2− 4 ⋅ 3 ⋅ 11 = −51 < 0.
Geen reële oplossing.
c Schrijf de vergelijking als 3u�2− 4u� + 1 = 0.
Lees af: u� = 3, u� = −4 en u� = 1.
En dus is 𝐷 = (−4)2− 4 ⋅ 3 ⋅ 1 = 4 > 0.
De oplossing is u� =4±√44 en dat geeft u� = 1,5 ∨ u� = 0,5.
d Lees af: u� = 4, u� = −20 en u� = 25.
En dus is 𝐷 = (−20)2− 4 ⋅ 4 ⋅ 25 = 0.
De oplossing is u� =208 = 2,5.
a
7 Omdat je de vergelijking in de vorm u�u�2+ u�u� + u� = 0 moet brengen om de abc-formule te kunnen toepassen.
b Doen.
c Het kwadraat van −5 is −5 ⋅ −5 = 25 en niet −52= −5 ⋅ 5.
d u� = 5+√132 ≈ 4,30 ∨ u� =5−√132 ≈ 0,70 a
8 b c d e f a
9 Als je de haakjes uitwerkt lijkt er een kwadratische vergelijking te ontstaan. Maar nee, want aan beide zijden van het isgelijkteken kun je dan u�2aftrekken en dan blijft er geen kwadraat meer over.
b u�2+ 8u� + 16 = 4 + u�2wordt 8u� + 12 = 0.
c Op 0 herleiden was achteraf niet handig. Deze vergelijking los je op met de balansmethode. Nu krijg je 8u� = −12 en dus u� = −12 /8 = −1,5 .
10 Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.
a
11 u�2+ 6u� + 5 = (u� + 5)(u� + 1) = 0 levert de juiste u�-waarden op.
b Je kunt in de figuur zien dat er twee snijpunten zijn.
c Bijvoorbeeld door invullen in u�2= 2u� − 4. Bij u� = −5 krijg je dan u� = 2 ⋅ −5 − 4 = −14 en bij u� = −1 krijg je dan u� = 2 ⋅ −1 − 4 = −6.
d Nee, beide formules moeten dezelfde bijbehorende u�-waarden opleveren.
a
12 Eerst u�2+ 3u� + 1 = −u� − 2 op 0 herleiden tot u�2+ 4u� + 3 = 0.
Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft u� = −3 ∨ u� = −1.
De snijpunten zijn (−3,1) en (−1, − 1).
b Eerst u�2− u� − 6 = 2u� + 4 op 0 herleiden tot u�2− 3u� − 10 = 0.
Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft u� = −2 ∨ u� = 5.
De snijpunten zijn (−2,0) en (5,14).
c Je moet nu u�2= 2 oplossen.
Zo’n eenvoudige vergelijking doe je niet met de abc-formule. Je vindt u� = ±√2.
De snijpunten zijn (−√2, 2) en (√2, 2).
a
13 (u� + 1)2= 4 − u�2
b Eerst u�2+ 2u� + 1 = 4 − u�2op 0 herleiden tot 2u�2+ 2u� − 3 = 0.
De discriminant is 𝐷 = 22− 4 ⋅ 2 ⋅ −3 = 28 en dat is een positief getal maar geen kwadraat.
c Met de abc-formule vind je u� =−2±√284 , dus u� ≈ −1,823 ∨ u� ≈ 0,823.
De snijpunten zijn (op twee decimalen nauwkeurig) (−1,82; 0,68) en (0,82; 3,32).
a
14 Oplossing: u� = −5±√212
b Oplossing: u� = 3±√254 dus u� = 2 ∨ u� = −0,5.
c Eerst op 0 herleiden: −5u�2− 7u� − 1 = 0.
Oplossing: u� = 7±√29−10 .
d Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleiden: 2u�2+ 3u� − 3 = 0.
Oplossing: u� = 3±√334 .
e Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleiden: 2u�2= 0.
Oplossing: u� = 0.
f Nu kun je meteen splitsen: u� = 0 ∨ 2u� + 3 = 0.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = −1,5.
g Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleiden: u�2− 2u� − 17 = 0.
Oplossing: u� = 2±√722 = 1 ± 3√2.
h Nu kun je meteen splitsen: u� + 3 = 0 ∨ u� − 5 = 0.
Oplossing: u� = −3 ∨ u� = 5.
i Nu kun je meteen worteltrekken: 2u� + 5 = ±√5.
Oplossing: u� = −5±√52 . a
15 𝐷 = 52− 4 ⋅ 2 ⋅ −1 = 33, dus twee oplossingen.
b Eerst op 0 herleiden: 5u�2− u� − 1 = 0.
𝐷 = (−1)2− 4 ⋅ 5 ⋅ −1 = 21, dus twee oplossingen.
c Eerst op 0 herleiden: −2u�2+ 6u� − 18 = 0.
𝐷 = 62− 4 ⋅ −2 ⋅ −18 = −108, dus geen reële oplossingen.
d Hier kun je meteen worteltrekken: 1 − 2u� = ±√12.
Er zijn dus twee oplossingen.
e Als je dit schrijft als (u� − 1)2= −4 zie je meteen dat er geen reële oplossingen zijn: een kwadraat kan niet negatief zijn.
a
16 Er zijn twee snijpunten met gehele coördinaten. Dus is 𝐷 > 0 en een kwadraat.
b Er zijn twee snijpunten, maar niet met gehele coördinaten. Dus is 𝐷 > 0, maar geen kwadraat.
c Er zijn geen snijpunten. Dus is 𝐷 < 0 en dus geen kwadraat.
d Er zijn twee nulpunten met gehele coördinaten. Dus is 𝐷 > 0 en een kwadraat.
e Er zijn geen nulpunten. Dus is 𝐷 < 0 en dus geen kwadraat.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN
a
17 −2u�2+ 8u� = 2u� − 36 geeft u�2− 3u� − 18 = 0 en dus u� = −3 ∨ u� = 6. De snijpunten zijn (−3,42) en (6, − 24).
b (u� − 10)2− 50 = 10 − 5u� geeft u�2− 15u� + 40 = 0 en dus u� =15±√652 . De snijpunten zijn (3,5; −7,3) en (11,5; −47,7).
a
18 In die vorm kun je meteen de top van de bijbehorende parabool aflezen. Bovendien kun je de nulpunten exact berekenen door terugrekenen.
b Dat kun je doen met een figuur zoals die in ?Toepassen?, of door aan de rechterkant de haakjes weer uit te werken.
c u� = u�2+ 8u� + 2 = (u� + 4)2− 16 + 2 = (u� + 4)2− 14 en de top is dus (−4, − 14).
d u� = u�2+ 6u� − 12 = (u� + 3)2− 9 − 12 = (u� + 3)2− 21 e u� = u�2− 4u� + 9 = (u� − 2)2− 4 + 9 = (u� − 2)2+ 5
f u� = u�2+ 5u� = (u� + 2,5)2− 6,25 a
19 Je krijgt na kwadraat afsplitsen (u� + 3)2− 8 = 0.
Terugrekenen levert op u� = −3 ± √8.
b Kwadraat afsplitsen: (u� + 4)2− 31 = 0.
Oplossing: u� = −4 ± √31.
c Kwadraat afsplitsen: (u� − 4)2− 14 = 0.
Oplossing: u� = 4 ± √14.
d Eerst beide zijden delen door 2.
Dan kwadraat afsplitsen: (u� − 2)2− 3 = 0.
Oplossing: u� = 2 ± √3.
20 Nu moet je heel nauwkeurig werken en met breuken en wortels rekenen.
Eerst deel je door 3 en splits je een kwadraat af. Dit geeft (u� +76)2−3736= 0.
Dan worteltrekken en naar de oplossing toewerken: u� = −76±16√37.
21 Een pittig klusje... De complete uitwerking vind je in de ?Theorie?, onder ‘Bewijs’.
1.4 Handig oplossen
1 Manier I, de abc-formule gebruiken:
Eerst op 0 herleiden: 2u�2+ 12u� + 10 = 0.
Oplossing: u� = −10±√644 en dus u� = −2 ∨ u� = −3.
Manier II, een kwadraat afsplitsen:
Eerst op 0 herleiden en delen door 2: u�2+ 6u� + 5 = 0.
Dit geeft (u� + 3)2= 4 en dus u� + 3 = ±2 zodat u� = −2 ∨ u� = −3.
Manier III, ontbinden in factoren:
Eerst op 0 herleiden en delen door 2: u�2+ 6u� + 5 = 0.
Dit geeft (u� + 2)(u� + 3) = 0 en dus u� = −2 ∨ u� = −3.
Eigenlijk zou manier III het snelst moeten gaan...
2 De abc-formule gebruiken, of een kwadraat afsplitsen is nu beslist niet handig. Ontbinden in factoren is het handigst.
Eerst delen door 2: u�2+ 6u� = 0.
Dit geeft u�(u� + 6) = 0 en dus u� = 0 ∨ u� = −6.
a
3 Vergelijk je antwoorden met die van ?opgave? en ?opgave?.
b Dit wordt een drieterm.
c Ja, als je na het op 0 herleiden ook nog met 2 vermenigvuldigt (of door 0,5 deelt) aan beide zijden. Je krijgt dan u�2− 8u� + 12 = (u� − 2)(u� − 6) = 0. Dit geeft u� = 2 ∨ u� = 6.
d Op 0 herleiden en met 2 vermenigvuldigen (of door 0,5 delen) geeft u�2− 8u� + 10 = 0.
Dit kun je niet met gehele getallen in factoren ontbinden en dus neem je de abc-formule (of kwadraat afsplitsen): u� = 8±√242 = 2 ± √6.
e Het wordt een tweeterm en dan heb je de abc-formule niet nodig, ontbinden gaat gemakkelijk.
f Je schrijft de vergelijking eerst als u�2− 18u� = u�(u� − 18) = 0.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 18.
a
4 Met 10 vermenigvuldigen, haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft u�2− 2u� − 10 = 0. Ontbinden lukt niet dus pas je de abc-formule toe: u� =2±√442 = 1 ± √11.
b Met 10 vermenigvuldigen en worteltrekken geeft u� − 2 = ±√20 en dus u� = 2 ± √20.
c Meteen splitsen geeft 0,1u� = 0 ∨ u� − 2 = 0 en dus u� = 0 ∨ u� = 2.
d Met 10 vermenigvuldigen, haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft u�2− u� − 20 = 0. Dit kun je ontbinden: (u� − 5)(u� + 4) = 0 en dus krijg je u� = 5 ∨ u� = −4.
a
5 Splitsen geeft u� − 2 = 0 ∨ u� + 3 = 0 en dus u� = 2 ∨ u� = −3.
b Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: u�2+ u� − 12 = 0.
Dit kun je ontbinden tot (u� + 4)(u� − 3) = 0 zodat u� = −4 ∨ u� = 3 c Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: u�2+ u� − 13 = 0.
Dit kun je niet ontbinden en dus gebruik je de abc-formule: u� =1±√532 . a
6 De variabele komt maar op één plaats voor. Je kunt dus terugrekenen.
b Eerst beide zijden +1 geeft (2u� − 7)2= 10.
Worteltrekken levert op 2u� − 7 = ±√10 zodat u� = 7±√102 . a
7 Delen door 3 en op 0 herleiden: u�2+ 2u� − 3 = 0.
Ontbinden geeft (u� + 3)(u� − 1) = 0 zodat u� = −3 ∨ u� = 1.
b Delen door 15 en op 0 herleiden: u�2− u� − 2 = 0.
Ontbinden geeft (u� − 2)(u� + 1) = 0 zodat u� = 2 ∨ u� = −1.
c Delen door 0,5: u�2= 64 en dus u� = ±8.
d Delen door 0,25 en op 0 herleiden: u�2− 12u� = 0.
Ontbinden geeft u�(u� − 12) = 0 en dus u� = 0 ∨ u� = 12.
e Beide zijden +8 geeft (u� − 4)2= 13.
Worteltrekken: u� − 4 = ±√13 en dus u� = 4 ± √13.
f Op 0 herleiden: 6u�2− 4u� − 1 = 0.
De abc-formule toepassen: u� =4±√4012 =2±√106 . g Haakjes uitwerken: u�2− 4 = 1.
Dit geeft (terugrekenen): u�2= 5 en dus u� = ±√5.
h Op 0 herleiden: u�2− 2u� + 1 = 0.
Ontbinden: (u� − 1)2= 0 geeft u� = 1.
a
8 Haakjes uitwerken, op 0 herleiden en delen door 3 geeft u�2− 8u� + 7 = 0.
Ontbinden in factoren geeft u� = 1 ∨ u� = 7.
b Worteltrekken geeft u� + 2 = 5 − 2u� ∨ u� + 2 = −(5 − 2u�).
En dit levert op u� = 3 − 2u� ∨ u� + 2 = −5 + 2u� en dus 3u� = 3 ∨ −u� = −7 zodat u� = 1 ∨ u� = 7.
a
9 Worteltrekken geeft u� + 1 = ±(2u� + 4).
Deze twee vergelijkingen los je met de balansmethode op: u� = 3 ∨ u� = −5.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN
b Worteltrekken geeft u� − 2 = ±(−u� + 3).
Deze twee vergelijkingen los je met de balansmethode op. De éne vergelijking heeft geen oplossing en de andere geeft u� = 2,5.
c Worteltrekken: 2u� − 2 = ±6.
Dus krijg je u� = 4 ∨ u� = −2.
d Worteltrekken geeft 5 + 3,5u� = ±u�.
Deze twee vergelijkingen los je met de balansmethode op: u� = 2 ∨ u� = −109. a
10 Haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft 2u�2+ 5u� − 12 = 0.
Met de abc-formule vind je u� =5±√1214 en levert dezelfde u�-waarden op als in het voorbeeld.
b Omdat je dan door 0 zou kunnen delen en dat mag niet. Je moet er daarom rekening mee houden dat u� + 4 = 0 er ook voor zorgt dat aan beide zijden van het isgelijkteken dezelfde uitkomst (namelijk 0) ontstaat.
c Zodra er bij een vergelijking aan beide zijden dezelfde factor voorkomt.
a
11 De vergelijking is te schrijven als 5u�(u� − 3) = 6(u� − 3).
Je kunt hem dus splitsen in 5u� = 6 ∨ u� − 3 = 0. Oplossing: u� =65 ∨ u� = 3.
b Deze vergelijking kun je direct splitsen: u� + 1 = 5 ∨ u� = 0.
Oplossing: u� = 4 ∨ u� = 0.
c Deze vergelijking kun je direct splitsen: u� = 6 ∨ u� = 0 en klaar...
d Deze vergelijking kun je direct splitsen: 4u� + 1 = u� ∨ 2u� − 5 = 0.
Oplossing: u� = −13∨ u� = 2,5.
a
12 u� = 0 ∨ u� = 1
b Beide zijden +1 en worteltrekken. Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 2.
c Je krijgt u�2= 2.
Oplossing: u� = ±√2.
d Ontbinden in factoren: u� buiten haakjes halen.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 1.
e Op 0 herleiden en de abc-formule toepassen.
De discriminant is negatief, dus geen reële oplossingen.
f Op 0 herleiden en de abc-formule toepassen.
Oplossing: u� = −2±√442 = −1 ± √11.
g Ontbinden in factoren.
Oplossing: u� = −1.
h Haakjes uitwerken geeft u�2= 18.
Oplossing: u� = ±√18.
i Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: u�2+ u� − 26 = 0.
Oplossing: u� = −1±√1052 .
j Direct splitsen: 2 − u� = 3 ∨ u� = 0.
Oplossing: u� = −1 ∨ u� = 0.
a
13 Haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft 2u�2− 5u� = 0.
Ontbinden: u�(2u� − 5) = 0.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 2,5
b Direct splitsen: 2u� − 3 = 0 ∨ u� − 1 = 0. Oplossing: u� = 1,5 ∨ u� = 1.
c Herleiden tot (u� − 3)2= −5.
Als je probeert te worteltrekken dan zie je dat er geen reële oplossingen zijn.
d Herleiden tot (u� + 1)2=94 en dan worteltrekken geeft u� + 1 =32∨ u� + 1 = −32. Oplossing: u� = 12∨ u� = −52.
e Haakjes uitwerken, op 0 herleiden en de abc-formule toepassen.
Oplossing: u� = 3±√212 .
f Meteen worteltrekken: u� − 2 = 4 − 3u� ∨ u� − 2 = −4 + 3u�.
Oplossing: u� = 1,5 ∨ u� = 1.
g Herleiden tot 2(u� − 1)2= 0.
Oplossing: u� = 1.
h Direct splitsen geeft u� − 1 = 0 ∨ 3u� = u� + 1.
Oplossing: u� = 1 ∨ u� = 0,5.
i Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: u�2− 7u� + 11 = 0.
Oplossing: u� = 7±√52 .
j Met 2 vermenigvuldigen en op 0 herleiden geeft u�2− 8u� − 20 = 0. Dan ontbinden in factoren.
Oplossing: u� = 10 ∨ u� = −2.
14 Van de lijn 𝐴𝐵 is de richtingscoëfficiënt 12−610−0 = 0,6.
Bij de lijn 𝐴𝐵 hoort de formule u� = 0,6u� + 6.
Voor de snijpunten van lijn en parabool geldt: 0,25(u� − 2)2+ 5 = 0,6u� + 6.
Haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft 0,25u�2− 1,6u� = 0. Dit kun je door ontbinden in factoren oplossen: u� = 0 ∨ u� = 6,4.
Conclusie: punt 𝐶 heeft de coördinaten (6,4; 9,84).
a
15 Je moet daarvoor oplossen −6u�2+ 100u� − 246 > 0. De waarden voor u� moeten op twee decimalen nauwkeurig worden afgerond omdat het om honderdtallen Blu-Ray spelers gaat.
−6u�2+ 100u� − 246 = 0 geeft met de abc-formule u� = −100±√4000−12 . Afgerond op drie decimalen levert dit u� ≈ 13,604 ∨ u� ≈ 3,062 op.
Er wordt winst gemaakt als 3,07 ≤ u� ≤ 13,60. Dus bij een verkoop vanaf 307 tot en met 1360 spelers per week.
b Het gaat hier om de top van de bij de gegeven formule horende bergparabool. Die top ligt op de sym- metrieas, en dus op de lijn die loodrecht op de u�-as staat en die as midden tussen de twee nulpunten snijdt. Dat is de lijn u� ≈ 8,333.
De maximale winst wordt gemaakt bij een wekelijkse verkoop van ongeveer 833 Blu-Ray spelers en de maximale winst bedraagt €166666,60. (Denk om de duizendtallen!)
a
16 Dat wordt in ?Voorbeeld? toegepast.
Eigenlijk doe je bij deze strategie dit: 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐶 geeft 𝐴 ⋅ 𝐵 − 𝐴 ⋅ 𝐶 = 0 en dus 𝐴 ⋅ (𝐵 − 𝐶) = 0 zodat 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝐶.
b Beide zijden van de vergelijking 𝐴𝐵 =𝐶𝐷 vermenigvuldigen met 𝐵 ⋅ 𝐷.
c Eerst kruiselings vermenigvuldigen en dan op 0 herleiden, ontbinden in factoren en splitsen.
a
17 Splitsen: u� = 0 ∨ u�2= 4.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = ±2.
b Splitsen: u�2= 0 ∨ 3(u� − 5) = 1.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� =163.
c Splitsen: u� − 1 = 0 ∨ 4(u� − 1)2= 1. Vervolgens in de rechter vergelijking worteltrekken.
Oplossing: u� = 1 ∨ u� = 1,5 ∨ u� = 0,5.
d Worteltrekken: u�2+ 1 = ±2 geeft u�2= −1 ∨ u�2= 3.
Oplossing: u� = ±√3.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > KWADRATISCHE VERBANDEN
e Worteltrekken: 2u� + u�2− 4 = u� + 1 ∨ 2u� + u�2− 4 = −u� − 1 geeft u�2+ u� − 5 = 0 ∨ u�2+ 3u� − 3 = 0.
Oplossing: u� = −1±√212 ∨ u� = −3±√212 . a
18 Kruiselings vermenigvuldigen en haakjes uitwerken geeft 2u�2+ 5u� + 3 = u�2+ 5u� + 6. Herleiden tot:
u�2= 3.
Oplossing: u� = ±√3. (Controleer wel even dat voor deze u�-waarden zowel u� + 2 ≠ 0 als 2u� + 3 ≠ 0.) b Kruiselings vermenigvuldigen en haakjes uitwerken geeft 4u�2−2u� = u�−u�3. Op 0 herleiden en ontbinden
geeft u�(5u� − 3) = 0.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 35. (Controleer wel even dat voor deze u�-waarden zowel 2u� − 1 ≠ 0 als 1 − u� ≠ 0.) c Splitsen: 2u� − 1 = 0 ∨ 3u� = u� + 2.
Oplossing: u� = 0,5 ∨ u� = 1. (Controleer wel even dat voor deze u�-waarden zowel 3u� ≠ 0 als u� + 2 ≠ 0.) d Je ziet meteen: u� − 2 = 5.
Oplossing: u� = 7. (Controleer wel even dat voor deze u�-waarde 2u� ≠ 0.) e Links en rechts vermenigvuldigen met 2u� (als u� ≠ 0) geeft 1 − u� = 2u� − 4.
Oplossing: u� = 53. (Ga na, dat u� = 0 geen oplossing kan zijn.) f Je oefent met AlgebraKIT.
1.5 Totaalbeeld
a
1 u� = 0 geeft ℎ = 1, 75, dus op 1,75 m hoogte.
b De top van deze parabool is (150,4).
c Je moet daarvoor oplossen −0,0001(u� − 150)2+ 4 = 0. Dat geeft (terugrekenen) (u� − 150)2= 40000 en dus u� − 150 = ±√40000 = ±200. Van beide u�-waarden kan alleen de positieve waarde de gevraagde afstand zijn.
Dus komt deze kogel na 350 m op de grond.
a
2 Haakjes uitwerken.
b Een minimum van −0,5 voor u� = 3.
c Je moet daarvoor de factor12 buiten haakjes halen en daarna ontbinden in factoren.
d Die kun je uit de formule bij c zo aflezen: (2,0) en (4,0).
3 De functie heeft nulpunten (−2,0) en (5,0) en snijdt de u�-as in (0,3).
De top ligt op de symmetrieas, dus op u� = 1,5.
Deze waarde invullen levert op u� = 3,675 dus de top is (1,5; 3,675) Je tekent nu de parabool na nog een paar extra punten uit te rekenen.
a
4 Gebruik de abc-formule met u� = 1, u� = 3 en u� = −5.
Oplossing: u� = −3±√292
b Nu kun je ontbinden in factoren: (u� + 4)(u� − 1) = 0.
Oplossing: u� = −4 ∨ u� = 1.
c Op 0 herleiden en delen door 2 geeft u�2− 2u� − 24 = 0.
Ontbinden in factoren: (u� − 6)(u� + 4) = 0.
Oplossing: u� = 6 ∨ u� = −4.
d Met 2 vermenigvuldigen en ontbinden: u�(u� + 10) = 0.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 5.
e Gebruik na op 0 herleiden de abc-formule met u� = 3, u� = √3 en u� = −2.
Oplossing: u� = −√3±√276 en dus u� =16√3 ∨ u� = −12√3.
f Haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft −3u� = 2.
Oplossing: u� = −23. a
5 Worteltrekken: 2u� − 6 = ±√11.
Oplossing: u� = 6±√112 .
b Rechterzijde ontbinden: u�(u� − 2) = 5(u� − 2).
Splitsen: u� = 5 ∨ u� − 2 = 0.
Oplossing: u� = 5 ∨ u� = 2.
c Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: 2u�2− 11u� = 0.
Ontbinden in factoren: u�(2u� − 11) = 0.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 5,5.
d Meteen splitsen: u� − 3 = 0 ∨ 2u� − 5 = 0.
Oplossing: u� = 3 ∨ u� = 2,5.
e Worteltrekken: u�2− 3 = ±(2u� + 1).
Beide vergelijkingen op 0 herleiden: u�2− 2u� − 4 = 0 ∨ u�2+ 2u� − 2 = 0.
Bij beide vergelijkingen pas je nu de abc-formule toe.
Oplossing: u� = 2±√202 ∨ u� = −2±√122 en dus u� = 1 ± √5 ∨ u� = −1 ± √3.
f Haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft u�3− 3u�2− 4u� = 0.
Ontbinden: u�(u�2− 3u� − 4) = u�(u� − 4)(u� + 1) = 0.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 4 ∨ u� = −1.
a
6 De vergelijking 4u� = −0,5u�2+ 6u� kun je schrijven als −0,5u�2+ 2u� = 0 en die vergelijking heeft twee oplossingen.
b −0,5u�2+ 2u� = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 4.
De snijpunten zijn (0,0) en (4,16).
c Je moet daarvoor −0,5u�2+ 2u� − 2 = 0 oplossen.
De oplossing hiervan is u� = −2.
Het enige snijpunt is dus (−2,10).
a
7 In de formule is de top (81,33). Dus zit de top 33 m boven het wegdek.
b 162 m.
c Vul u� = 0 in de formule in en je vindt u� ≈ −22,1.
De parabool zit ongeveer 22,1 m onder het wegdek aan de torens vast.
d u� = 0 oplossen door terugrekenen geeft u� ≈ 81 ± √3928,6.
De gevraagde afstand is ongeveer 2√3928,6 ≈ 125,4.
a
8 Je moet oplossen: −2u�2− 8u� + 12 = 0.
Dit kan door gebruik te maken van de abc-formule, of door ontbinden in factoren.
Nulpunten: (−2 ± √10 < m : mn >< m : mo > , < m : mo > 0 < m : mn >).
b −2u�2− 8u� + 12 = 2u� + 12 geeft 2u�2+ 10u� = 0 en dus 2u�(u� + 5) = 0.
De snijpunten zijn (−5,2) en (0,12).
a
9 Op 0 herleiden en ontbinden: (u� + 4)(u� − 1) = 0.
Oplossing: u� = −4 ∨ u� = 1.
b Eerst op 0 herleiden en dan de abc-formule.
Oplossing: u� = −15±√5134 . Dus u� ≈ −9,41 ∨ u� ≈ 1,91.
c Delen door 3 en worteltrekken.
Oplossing: u� = ±4.
d Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: 2u�2− 10u� = 0.
Ontbinden: 2u�(u� − 5) = 0.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 5.
e Oplossing: u� = 2 ∨ u� = 3.
f Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: 2u�2− 8u� − 24 = 0.
Delen door 2 en ontbinden: (u� − 6)(u� + 2) = 0.
Oplossing: u� = −2 ∨ u� = 6.
g Worteltrekken: u�2= 9 ∨ u�2= −9.
Worteltrekken: u� = ±3 en de tweede vergelijking heeft geen reële oplossingen.
Oplossing: u� = ±3.
h Ontbinden: 3u�6(u�2+ 3) = 0.
Oplossing: u� = 0.
i Ontbinden: u�(u� − 2)(u� − 3) = 0.
Oplossing: u� = 0 ∨ u� = 2 ∨ u� = 3.
j Terugrekenen: (3 − u�)2= 16 en 3 − u� = ±4.
Oplossing: u� = −1 ∨ u� = 7.
k Op 0 herleiden en de abc-formule.
Oplossing: u� = 1±√654 . Dus u� ≈ −1,77 ∨ u� ≈ 2,27.
l Op 0 herleiden en ontbinden: (u�2− 9)(u�2+ 1) = 0.
Oplossing: u� = ±3.
10 Breedte u� meter, geeft lengte 2u� m.
Oppervlakte zonder boswal: 2u�2m2. Oppervlakte met boswal: (u� + 10)(2u� + 5).
Nu moet 2 ⋅ 2u�2= (u� + 10)(2u� + 5).
Haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft 2u�2− 25u� − 50 = 0.
De abc-formule geeft u� = 25±√10254 .
De breedte van het land zonder boswal is ongeveer 14,3 m en de lengte is ongeveer 28,5 m.
11 Je kunt dit probleem oplossen door gewoon een tabel van de opbrengst te maken, want het gaat om gehele personen.
Als je met een formule wilt werken, dan noem je (bijvoorbeeld) het aantal extra deelnemers u�. De opbrengst voor het reisbureau is dan 𝑇𝑂 = (40 + u�)(600 − 10u�) = 24000 + 200u� − 10u�2.
Dit is een kwadratisch verband waarbij een grafiek hoort met top (10,27500). De maximale opbrengst voor het reisbureau is €27500,= en dat is meer dan de €24000,= die ze zonder extra passagiers verdie- nen. Zelfs bij 14 extra passagiers springen ze er goed uit.
a
12 Omdat de u�-waarde van de punten 𝑃 en 𝑄 varieert tussen −5 en 0. En voor zowel u� = −5 als u� = 0 vallen 𝑃 en 𝑄 samen.
b 𝑃(u� < m : mn >< m : mo > , < m : mo > 2 < m : mn > u� + 12) en 𝑄(u� < m : mn >< m : mo > , <
m : mo > −2 < m : mn > u�2− 8u� + 12).
c Om deze lengte te berekenen moet je de u�-coördinaat van 𝑃 aftrekken van de u�-coördinaat van 𝑄.
d De top van deze bergparabool is (−2,5; 12,5). Dus het maximum is 12,5.
a
13 Omdat je de opbrengst krijgt door de verkochte hoeveelheid te vermenigvuldigen met de prijs per eenheid product.
b 𝑇𝑂 = u�u� = u�(500 − 2u�) 𝑇𝑊 = 2000 + 5u�
c Doen.
d u� = −2⋅−2510 = 127,50 geeft een maximale winst van €28012,50.
2 Ruimtemeetkunde
2.1 Lichamen
1 𝐴𝐶 = √102+ 42= √116 vanwege de stelling van Pythagoras in Δ𝐴𝐵𝐶.
En dan is u�u�u�(∠𝐶𝐴𝐺) = 5
√116, zodat ∠𝐶𝐴𝐺 ≈ 24,9∘. a
2 12 hoekpunten, 18 ribben en 8 grensvlakken.
b In elk van de opstaande zijvlakken zijn 2 zijvlaksdiagonalen. In het ondervlak zitten 6 diagonalen. In totaal dus 2 ⋅ 6 + 6 ⋅ 2 = 24 zijvlaksdiagonalen.
Een lichaamsdiagonaal loopt vanuit een hoekpunt van 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 naar een hoekpunt van 𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿. Uit elk hoekpunt van 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 kun je er 4 trekken, maar dan krijg je ze allemaal dubbel. Er zijn dus
6⋅4
2 = 12 lichaamsdiagonalen.
c Teken een cirkel met straal 4 en pas daarop zes punten af die 4 cm van elkaar af liggen. Je krijgt dan de regelmatige zeshoek 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹.
Zo’n regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van 4 cm. Elke gelijkzij- dige driehoek kun je verdelen in twee congruente driehoeken met zijden van 4, 2 en 2√3 cm. Daaruit volgen de lengtes van de lichaamsdiagonalen.
d Dit diagonaalvlak is een rechthoek van 8 cm bij 6 cm.
Omdat u�u�u�(∠𝐸𝐵𝐾) =68 = 0,75 is ∠𝐸𝐵𝐾 ≈ 37∘.
e Dit diagonaalvlak is een rechthoek van 4√3 cm bij 6 cm.
Omdat u�u�u�(∠𝐹𝐵𝐿) = 6
4√3 is ∠𝐹𝐵𝐿 ≈ 23∘. a
3 Omdat elke verbinding tussen twee hoekpunten in een grensvlak ligt.
b 3 ⋅ 2 = 6
c Doen. Je kunt de lengte van 𝐴𝑀 en 𝐵𝑀 opmeten in een vierkant van 6 cm bij 6 cm, of deze lengte berekenen. Je vindt 𝐴𝑀 = 𝐵𝑀 = √62+ 32= √45 = 3√5.
d Maak in Δ𝐴𝐵𝑀 een rechte hoek door hoogte 𝑀𝑁 te tekenen. Dan is u�u�u�(∠𝑁𝑀𝐵) = 3
3√5en dus ∠𝑁𝑀𝐵 ≈ 26,6∘.
En dus is ∠𝐴𝑀𝐵 ≈ 53∘. a
4 Alleen 6 zijvlaksdiagonalen in het grondvlak. En daarbij horen ook 6 diagonaalvlakken.
b Maak in Δ𝐵𝑇𝐸 een rechte hoek door hoogte 𝑇𝑆 te tekenen. Dan is u�u�u�(∠𝐵𝑇𝑆) = 246 = 0,25 en dus
∠𝐵𝑇𝑆 ≈ 14,5∘.
En dus is ∠𝐵𝑇𝐸 ≈ 29∘.
c Maak in Δ𝐵𝑇𝐹 een rechte hoek door hoogte 𝑇𝑃 te tekenen. Dan is u�u�u�(∠𝐵𝑇𝑃) = 3√324 en dus ∠𝐵𝑇𝑃 ≈ 12,5∘.
En dus is ∠𝐵𝑇𝐹 ≈ 25∘. a
5 𝐴𝐵𝐶𝐷 is een rechthoek van 8 bij 6 cm. Dus is driehoek 𝐴𝐵𝐶 een rechthoekige driehoek waarin je de stelling van Pythagoras kunt doen: 𝐴𝐶 = √82+ 62= 10.
b Teken eventueel rechthoek 𝐴𝐶𝐺𝐸.
𝐴𝐺 = √102+ 52= √125 en 𝐶𝑁 = √52+ 52= √50 cm.
c Δ𝐴𝐶𝑁 ∼ Δ𝐺𝑀𝑁 omdat ∠𝐴𝑁𝐶 = ∠𝐺𝑁𝑀 (overstaande hoeken) en ∠𝐶𝐴𝑁 = ∠𝑀𝐺𝑁 (Z-hoeken). Dus hebben beide driehoeken gelijke hoeken en zijn ze gelijkvormig.
d Omdat 𝐴𝐶 : 𝐺𝑀 = 2 : 1 en Δ𝐴𝐶𝑁 ∼ Δ𝐺𝑀𝑁 zijn de zijden van Δ𝐴𝐶𝑁 2 keer zo groot dat die van Δ𝐺𝑀𝑁. En dus is 𝐶𝑁 = 23𝐶𝑀 = 23√50 ≈ 4,71.
a
6 Werk bijvoorbeeld in diagonaalvlak 𝐴𝐶𝐺𝐸, een rechthoek met zijden van 𝐴𝐶 = √42+ 42 = 4√2 en 𝐶𝐺 = 4 cm.
Daarin is lichaamsdiagonaal 𝐴𝐺 = √(4√2)2+ 42 = 4√3. Alle andere lichaamsdiagonalen zijn even lang.
b Teken eventueel diagonaalvlak 𝐴𝐵𝐺𝐻, een rechthoek met zijden van 𝐴𝐵 = 4 en 𝐵𝐺 = 4√2 cm.
Hierin vind je de rechthoekige driehoek 𝐴𝐻𝑀 met rechthoekszijden 𝐻𝑀 = 2 en 𝐴𝐻 = 4√2 cm.
Dus is 𝐴𝑀 = √22+ (4√2)2= √36 = 6 cm.
a
7 Ja, een piramide met als grondvlak een driehoek. Dat noem je wel een viervlak. Zoek maar eens op internet hoe een viervlak er uit ziet als je je dit niet goed kunt voorstellen.
b 16 hoekpunten, 24 ribben en 10 grensvlakken.
c Ja, ga maar na bij b.
d Bol, kegel en cilinder.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE
a
8 De piramide is regelmatig, dus alle opstaande driehoeken zijn congruent. De hoogtes 𝑁𝑇 en 𝑀𝑇 in dergelijke driehoeken zijn daarom gelijk.
b Omdat van ∠𝑁𝑇𝑆 de overstaande en de aanliggende rechthoekszijden bekend zijn. Je kunt echter ook eenvoudig 𝑁𝑇 berekenen en dan kun je ook met sinus of cosinus werken.
c Omdat 𝐴𝐶 = √62+ 62= 6√2 is 𝐴𝑆 = 3√2.
En dan is u�u�u�(∠𝐴𝑇𝑆) =3√28 zodat ∠𝐴𝑇𝑆 ≈ 27,9∘en ∠𝐴𝑇𝐶 ≈ 56∘. a
9 𝐴𝑃 = √42+ 12= √17. Omdat de driehoeken 𝐴𝑆𝐵 en 𝑃𝑆𝐻 gelijkvormig zijn (waarom ?) en de verhou- ding van hun overeenkomstige zijden 1 : 4 is, is 𝐴𝑆 =45√17.
b In rechthoek 𝐴𝐵𝐺𝐻 is u�u�u�(∠𝐴𝐵𝐻) = 4√24 en dus ∠𝐴𝐵𝐻 ≈ 54,7∘. Verder is u�u�u�(∠𝐵𝐴𝑃) =4√21 en dus ∠𝐵𝐴𝑃 ≈ 80,0∘.
Dit betekent ∠𝐴𝑆𝐵 ≈ 180∘− 80,0∘− 54,7∘≈ 45∘
10 Bereken eerst de omtrek van de grondcirkel 𝑃 = 2𝜋 ⋅ 4 = 8𝜋 ≈ 25,13 cm.
Maak dan de figuur zoals die in het voorbeeld, maar nu correct op schaal.
11 Als een rechthoek met een lengte die net zo groot is als de omtrek van de grondcirkel en een breedte van 8 cm. Daar zitten dan twee cirkels met een straal van 4 cm aan vast, eentje aan de bovenkant en eentje aan de onderkant.
12 Teken de kubus.
∠𝐻𝐵𝐷 ligt in diagonaalvlak 𝐷𝐵𝐹𝐻, een rechthoek van 4,5√2 bij 4,5. Dus is u�u�u�(∠𝐻𝐵𝐷) = 4,5
4,5√2zodat
∠𝐻𝐵𝐷 ≈ 35∘.
Δ𝐴𝐶𝐹 is gelijkzijdig, dus ∠𝐴𝐶𝐹 = 60∘. a
13 Teken de piramide.
In het grondvlak is 𝐴𝐶 = √82+ 62= 10. Als 𝑆 het snijpunt is van 𝐴𝐶 en 𝐵𝐷, dan is 𝑆𝑇 de hoogte van de piramide. Met de stelling van Pythagoras vind je 𝑆𝑇 = √102− 52= √75 = 5√3.
b Omdat u�u�u�(∠𝐴𝑇𝑆) =105 = 0,5 is ∠𝐴𝑇𝑆 = 30∘en dus ∠𝐴𝑇𝐶 = 60∘.
∠𝐵𝐴𝑇 ligt in de gelijkbenige driehoek 𝐴𝐵𝑇. Dus u�u�u�(∠𝐵𝐴𝑇) = 102 = 0,2 zodat ∠𝐵𝐴𝑇 ≈ 78,5∘. a
14 Teken de balk.
b Antwoord c Antwoord a
15 Een regelmatig achtzijdig prisma.
b De achthoek bestaat uit acht gelijkbenige driehoeken met een tophoek van 360∘/8 = 45∘. De hoeken van de achthoek worden gevormd door twee basishoeken en zijn daarom 135∘. c Zie figuur. 𝐴𝑃 = 7,8 ⋅ u�u�u�(67,5) ≈ 7,21. Dus 𝐴𝐶 ≈ 14,41.
En daardoor is 𝐴𝑀2+ 𝑀𝐶2= 2𝐴𝑀2≈ 14,412en dus 𝐴𝑀 ≈ √103,86 ≈ 10,19.
Het langste staafje op de bodem heeft een lengte van 2 ⋅ 𝐴𝑀 ≈ 20,38 ≈ 20,4 cm.
d Ongeveer √20,382+ 3,32≈ 20,6 cm.
a
16 √32+ 82= √73 b √82− 42= √48 a
17 Zie figuur. De piramide is niet regelmatig, want het grondvlak is geen vierkant.
b 𝐸𝑃 = √52+ 42= √41 en dus is 𝐴𝐸 = √41 + 32= √50. Zo lang zijn alle opstaande ribben.
c Neem aan, dat 𝑀 het midden van 𝐵𝐶 is, dan is 𝑀𝐹 = √52+ 32= √34.
Dus is u�u�u�(∠𝑀𝐵𝐹) =√344 zodat ∠𝑀𝐵𝐹 ≈ 56∘. De gevraagde hoeken zijn daarom 56∘, 56∘en 68∘. d u�u�u�(∠𝑃𝐴𝐸) = √413 zodat ∠𝑃𝐴𝐸 ≈ 58∘. De gevraagde hoeken zijn daarom 58∘, 58∘, 122∘en 122∘.
2.2 Aanzichten
1 Dit is een halve balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹 met als grondvlak rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 met 𝐴𝐵 = 10 en 𝐵𝐶 = 6 cm. Zie verder de figuur.
Je moet wel 𝐴𝐸 berekenen met de stelling van Pythagoras: 𝐴𝐸 = √102+ 62= √136 ≈ 11,7 cm.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE
a
2 8 cm, namelijk de lengte van (bijvoorbeeld) 𝐶𝐹. (Denk aan het voorgaande onderdeel, of kijk nog even terug als je niet meer weet waarom 𝐶𝐹 = 8 cm.)
b 4√3 cm, namelijk de lengte van (bijvoorbeeld) 𝐵𝐷. (Denk aan het voorgaande onderdeel, of kijk nog even terug als je niet meer weet waarom 𝐵𝐷 = 3√3 cm.)
c Alleen in het vooraanzicht.
d Zie figuur.
e Zie figuur.
a
3 Neem aan, dat 𝑆 het midden is van de cirkel door de hoekpunten van het grondvlak. Dan kun je in Δ𝐴𝑆𝑇 de stelling van Pythagoras toepassen.
𝑆𝑇 = √122− 42= √128 ≈ 11,3 cm.
b Zie figuur.
c Zie figuur.
d Alleen de ribben 𝐴𝑇 en 𝐷𝑇 in het vooraanzicht.
e Zie figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE
a
4 Om een regelmatig driezijdig prisma.
b De hoogte van het vooraanzicht is hetzelfde als de hoogte van het zijaanzicht.
In het vooraanzicht kun je die hoogte uitrekenen: √62− 32= √27 = 3√3.
c Zie figuur.
a
5 Doen. Lees in het voorbeeld na hoe het vooraanzicht wordt getekend.
b Zie figuur.
c 𝑀 is het midden van 𝐴𝐷.
Gebruik de stelling van Pythagoras in Δ𝐴𝑀𝐸.
De gevraagde hoogte wordt √42− 32+ 6 = 6 + √7 ≈ 8,65 cm.
d u�u�u�(∠𝐴𝐸𝑀) =34 = 0,75 zodat ∠𝐴𝐸𝑀 ≈ 48,6∘en ∠𝐴𝐸𝐷 ≈ 97.2∘≈ 97∘.
6 Doen. Het bovenaanzicht is een vierkant van 4 bij 4 cm met daarin de twee diagonalen getekend als aanzicht van de vier ribben van de piramide. Voor het vooraanzicht en het zijaanzicht moet je (bijvoor- beeld) eerst de hoogte 𝑇𝑆 van de piramide berekenen waarin 𝑆 het snijpunt van 𝐴𝐶 en 𝐵𝐷 is. Ga na dat 𝑇𝑆 = 2√2.
Zet de letters op de juiste plek bij de aanzichten. Laat je antwoord even controleren.
a
7 Het aantal kubusjes in het vooraanzicht van een balk bepaalt de oppervlakte van het rechthoekige voorvlak. En hetzelfde voor het zijvlak.
b Nee.
c Er is dan geen aanzicht met een oppervlakte van 8 kubusjes.
8 Maak weer een tabel zoals in ?Voorbeeld?.
De enige mogelijkheid is 10 ⋅ 3 ⋅ 7 = 210 kubusjes.
9 De breedte is altijd 432 /72 = 6 uitkomt.
Het zijaanzicht kan bestaan uit 1 ⋅ 6 = 6, 2 ⋅ 6 = 12, 3 ⋅ 6 = 18, 4 ⋅ 6 = 24, 6 ⋅ 6 = 36, 8 ⋅ 6 = 48, 9 ⋅ 6 = 54, 12 ⋅ 6 = 72, 18 ⋅ 6 = 108, 24 ⋅ 6 = 144, 36 ⋅ 6 = 216, of 62 ⋅ 6 = 432 kubusjes.
10 De mogelijkheden zijn: 2 ⋅ 22 ⋅ 3 = 132, 4 ⋅ 11 ⋅ 6 = 264, 22 ⋅ 2 ⋅ 33 = 1452 en 44 ⋅ 1 ⋅ 66 = 2904 kubusjes.
a
11 Een gelijkbenige driehoek met een basis van 8 cm en een hoogte van 6 cm. Dat kan niet anders omdat het lichaam een veelvlak is en er dus geen gebogen grensvlakken zijn.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE
b Dat staat in het voorbeeld. Merk nog op dat je die hoogte in het zijaanzicht kunt zien! Het is de linker van de twee gelijke benen van het zijaanzicht. Als je daar dan een hoogtelijn vanuit 𝑇 in tekent, dan kun je de hoogte van Δ𝐴𝐵𝑇 berekenen met de stelling van Pythagoras.
c De totale oppervlakte is 8 ⋅ 6 + 2 ⋅ 12√3 + 2 ⋅ 6√5 = 48 + 24√3 + 12√5 ≈ 116,40 cm2. 12 Dit is een regelmatig driezijdig prisma.
Alle drie de opstaande grensvlakken zijn vierkanten met een oppervlakte van 4 ⋅ 4 = 16 cm2. De twee gelijkzijdige driehoeken hebben een oppervlakte van 12⋅ 4 ⋅ 2√3 = 4√3 cm2.
De totale oppervlakte is dus 48 + 8√3 cm2. a
13 Zie figuur. Bereken eerst 𝑀𝑇 = √52− 32= 4.
b Eerst bereken je 𝑀𝐵 = √62− 32= 3√3.
En dan is 𝐵𝑇 = √(3√3)2+ 42= √43 cm.
c u�u�u�(∠𝑀𝑇𝐵) = 5
√43 geeft ∠𝑀𝑇𝐵 ≈ 50∘.
14 Het bovenaanzicht is een vierkant 𝐴𝐵𝐸𝐷 met zijden van 4 cm. Lijnstuk 𝐹𝐶 verbindt de middens van 𝐷𝐸 en 𝐴𝐵.
Omdat 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = √22+ 42= √20 = 2√5 is de totale oppervlakte 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 ⋅ 2√5 + 2 ⋅ 12⋅ 4 ⋅ 4 = 32 + 16√5.
a
15 Teken eerst een vierkant van 5 bij 5 cm. Verbind dan de middens van de onderste en de bovenste zijde en laat deze lijn aan beide zijden 2,5 cm uitsteken. Je krijgt dan deze figuur.
b Maak een schets van de figuur met de letters op de juiste plek. Neem aan dat 𝑃 het midden van 𝐴𝐵 is en dat 𝑄 op 𝐸𝐹 ligt met 𝐸𝑄 = 25 cm.
Je weet dan dat 𝑃𝑄 = 100 cm, de hoogte van het beeld.
Verder is 𝐵𝑄 = √1002+ 252 = √10625. Daaruit volgt dat 𝐵𝐸 = √10625 + 252 = √11250 ≈ 106,1 cm.
c Het grondvlak hoeft niet, daar staat het beeld op. Het gaat daarom om de trapeziums 𝐵𝐶𝐸𝐹 en 𝐷𝐴𝐸𝐹 en de gelijkbenige driehoeken 𝐴𝐵𝐸 en 𝐶𝐷𝐹.
Beide gelijkbenige driehoeken hebben een basis van 50 cm en een hoogte van 𝑃𝐸 = √1002+ 252 =
√10625. Hun oppervlakte is 25√10625.
De oppervlakte van één van beide trapeziums is 12⋅ (100 + 50) ⋅ √10625 = 75√10625.
De totale oppervlakte is daarom 200√10625 ≈ 20616 cm2. 16 Maak een tabel met alle mogelijkheden.
Je vindt minimaal 120 kubusjes en maximaal 960 kubusjes.
a
17 Teken eerst een vierkant van 5 bij 5 cm. Verbind dan de middens van de onderste en de bovenste zijde en laat deze lijn aan beide zijden 2,5 cm uitsteken. Je krijgt dan deze figuur.
b Maak een schets van de figuur met de letters op de juiste plek. Neem aan dat 𝑃 het midden van 𝐴𝐵 is en dat 𝑄 op 𝐸𝐹 ligt met 𝐸𝑄 = 25 cm.
Je weet dan dat 𝑃𝑄 = 100 cm, de hoogte van het beeld.
Verder is 𝐵𝑄 = √1002+ 252 = √10625. Daaruit volgt dat 𝐵𝐸 = √10625 + 252 = √11250 ≈ 106,1 cm.
a
18 Antwoord
b Antwoord c Antwoord d Antwoord
a
19 Antwoord
b Antwoord c Antwoord
2.3 Doorsneden
a
1 De figuren I en IV zijn fout. De punten van deze vierhoeken op de ribben van de kubus liggen niet in een plat vlak maar op een gebogen oppervlak. Pak er eventueel een draadmodel van een kubus bij en maak daarin de figuren door touwtjes te spannen. Alleen als het mogelijk is om alle touwtjes precies achter elkaar te zien als je de kubus in een geschikte stand houdt, liggen ze allemaal in één plat vlak.
b Dat kan op verschillende manieren.
c Die doorsnede is een rechthoek van 2 cm bij √22+ 12= √5 cm.
a
2 Dan ligt diagonaalvlak 𝐴𝐶𝐺𝐸 recht voor je en dat is een rechthoek van √50 = 5√2 bij 5. In de figuur zie je nu de punten 𝐴, 𝑃, 𝐺 en 𝑄 op één lijn liggen.
b Nee, dat is onmogelijk.
c Ze zijn allemaal zijden van een rechthoekige driehoek van 5 bij 2,5 cm waarvan de langste rechthoeks- zijde horizontaal (evenwijdig met het grondvlak van de kubus) is. En daarom zijn ze ook even lang.
