3 Exponentiële verbanden
5.3 Transformatie van standaardfuncties
a
1 D = ℝ en B = [0, →⟩.
b De grafiek schuift de waarde van u� omhoog (als u� > 0) of naar beneden (als u� < 0).
Dat heeft op het domein geen invloed. Op het bereik wel, bijvoorbeeld als u� = 3, dan is B = [3, →⟩. c De grafiek schuift de waarde van u� naar links (als u� > 0) of naar rechts (als u� < 0).
Dat heeft op het domein en op het bereik geen invloed.
d De grafiek rekt in de u�-richting uit als u� > 0. Als u� < 0 wordt de grafiek eerst gespiegeld in de u�-as en dan uitgerekt. Als u� = 0 wordt de grafiek een horizontale lijn, de u�-as als je verder de begininstellingen gebruikt.
Dat heeft op het domein geen invloed. Voor het bereik zijn drie mogelijkheden: als u� > 0 dan is B = [0, →⟩, als u� = 0 dan is B = {0}, als u� < 0 dan is B = ⟨←, 0].
e Doen, maak voor jezelf een overzicht.
Merk op dat voor oneven waarden van u� het domein en het bereik van de functie altijd gewoon ℝ is. Alleen voor even waarden van u� verandert het bereik af en toe, namelijk als er iets met u� en/of u� gebeurt.
a
2 Aan de macht in het functievoorschrift. Verder hoeft er alleen te worden opgeteld, afgetrokken of vermenigvuldigt.
b Zie tabel hieronder.
u� −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
u�4 16 1 0 1 16
(u� − 3)4 16 1 0 1 16
0,5(u� − 3)4 8 0,5 0 0,5 8
0,5(u� − 3)4+ 1 9 1,5 1 1,5 9
c Ja, de volgorde is belangrijk. In feite is de gegeven volgorde de juiste, eventueel mag je de eerste twee stappen verwisselen. De laatste twee stappen mag je echter niet verwisselen: eerst vermenigvuldigen en dan naar boven verschuiven.
d Bf= [1; →⟩.
Alleen wat gebeurt in de u�-richting beïnvloedt het bereik: je vermenigvuldigt de ondergrens van het bereik met 0,5 en telt er 1 bij op.
a
3 Je past de volgende transformaties toe.
> eerst een verschuiving van 2 eenheden in de u�-richting;
> daarna een vermenigvuldiging met factor −2 in de u�-richting;
> tenslotte een verschuiving van 5 eenheden in de u�-richting. b Zie tabel hieronder.
u� −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 u�4 16 1 0 1 16 (u� − 2)4 16 1 0 1 16 −2(u� − 2)4 −32 −2 0 −2 −32 −2(u� − 2)4+ 5 −27 3 5 3 −27 c Bg= ⟨←, 5]
d −2(u� − 2)4+ 5 = 0 geeft (u� − 2)4= 2,5 en dus u� − 2 = ±4
√2,5. Hieruit vind je u� ≈ 0,74 ∨ u� ≈ 3,26.
De gevraagde nulpunten zijn ongeveer (0,74; 0) en (3,26; 0). a
4 Je past de volgende transformaties toe.
> eerst een verschuiving van −1 eenheden in de u�-richting;
> daarna een vermenigvuldiging met factor −2 in de u�-richting;
> tenslotte een verschuiving van 5 eenheden in de u�-richting. b Zie tabel hieronder.
u� −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 u�3 −8 −1 0 1 8 (u� + 1)3 −8 −1 0 1 8 −2(u� + 1)3 16 2 0 −2 −16 −2(u� + 1)3+ 5 21 7 5 3 −11 c Bg= ℝ
d −2(u� + 1)3+ 5 = 0 geeft (u� + 1)3= 2,5 en dus u� + 1 = 3
√2,5 ≈ 1,36. Het gevraagde nulpunt is ongeveer (1,36; 0).
a
5 Aan de wortelvorm. Voor de rest worden er alleen getallen opgeteld en/of afgetrokken. b Doen. Gebruik eventueel de applet in het Practicum.
c f(u�) = √u� + 2 − 4 = 0 geeft √u� + 2 = 4 en dus u� + 2 = 42= 16 zodat u� = 14. (Denk om het opschrijven van het nulpunt!)
a
6 Je herkent dan beter dat je deze transformaties moet uitvoeren op de grafiek van u� = √u�:
> eerst een vermenigvuldiging met −2 in de u�-richting;
> tenslotte een verschuiving van 4 eenheden in de u�-richting. b Doen. Gebruik eventueel de applet in het Practicum.
c g(u�) = −2√u� + 4 = 0 geeft 2√u� = 4 en dus √u� = 2 zodat u� = 4. Het nulpunt is (4,0). a
7 Aan de gebroken vorm. Voor de rest worden er alleen getallen opgeteld en/of afgetrokken. b Doen. Gebruik eventueel de applet in het Practicum.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > FUNCTIES
d Het domein is ⟨←, −1⟩ ∪ ⟨−1, →⟩. Het bereik is ⟨←, 3⟩ ∪ ⟨3, →⟩.
e u�+12 + 3 = 0 geeft u�+12 = −3 en dus u� + 1 = −23 zodat u� = −123. Het gevraagde nulpunt is (−123, 0).
a
8 Je moet achtereenvolgens de grafiek van u� = 1u�:
> 2 in de u�-richting verschuiven;
> dan met 4 in de u�-richting vermenigvuldigen;
> tenslotte 1 eenheid in de u�-richting verschuiven. b Het domein is ⟨←, 2⟩ ∪ ⟨2, →⟩.
Het bereik is ⟨←, 1⟩ ∪ ⟨1, →⟩.
c g(u�) = u�−24 + 1 = 0 geeft u�−24 = −1 en dus u� − 2 = −4 zodat u� = −2. Het nulpunt is (−2,0). a
9 Voor een cilinder met straal u� en hoogte ℎ geldt: 𝑉 = 𝜋u�2ℎ. Nu is ℎ = 2u� en als je dit in de vorige formule invult, krijg je de in de intro gegeven formule.
b Uit de standaardfunctie u� = u�3. Je hoeft de grafiek van die standaardfunctie alleen met 2𝜋 te verme-nigvuldigen in de u�-richting. (En in plaats van u� en u� de letters u� en 𝑉 te kiezen.)
c Omdat je de waarden van 𝑉 kunt krijgen door u�3 met een constante te vermenigvuldigen. a
10 De grafiek van f kun je laten ontstaan uit die van u� = u�6en die grafiek heeft top (0,0). De grafiek van g kun je laten ontstaan uit die van u� = u�3en die grafiek heeft geen top.
b Doen. Controleer je antwoorden met de applet in het Practicum. Beide grafieken ontstaan uit die van hun standaardfunctie door hem:
> 3 eenheden in de u�-richting te verschuiven;
> tenslotte −4 eenheden in de u�-richting te verschuiven. c Eerst de grafiek van f.
Snijpunt met de u�-as: f(0) = 36− 4 = 725, dus (0; 725). Snijpunten met de u�-as: (u� − 3)6− 4 = 0 geeft u� = 3 ± 6
√4. De nulpunten zijn ongeveer (1,74; 0) en (4,26; 0).
Nu de grafiek van f.
Snijpunt met de u�-as: q(0) = 33− 4 = 23, dus (0; 23). Snijpunt met de u�-as: (u� − 3)3− 4 = 0 geeft u� = 3 + 3
√4. Het nulpunt is ongeveer (4,59; 0). a
11 De grafiek van f kun je laten ontstaan uit die van u� = √u� door:
> −3 eenheden in de u�-richting te verschuiven;
> dan met 2 in de u�-richting te vermenigvuldigen;
> tenslotte −1 eenheden in de u�-richting te verschuiven. b Het domein is [−3, →⟩ en het bereik is [−1, →⟩.
c Snijpunt met de u�-as: f(0) = 2√3 − 1, dus (0,2√3 − 1).
Snijpunten met de u�-as: 2√u� + 3−1 = 0 geeft √u� + 3 = 0,5 en dus u� = −2,75. Het nulpunt is (−2,75; 0). a
12 u�(u�) = −0,5√u� − 4 + 1
b Het domein is [4, →⟩ en het bereik is ⟨←, 1]. c Snijpunt met de u�-as is er niet.
Snijpunten met de u�-as: −0,5√u� − 4 + 1 = 0 geeft √u� − 4 = 2 en dus u� = 8. Het nulpunt is (8,0). a
13 Elke kWh kost je €0,15 plus de vaste kosten omgerekend per kWh.
b Je vermenigvuldigt eerst u� = 1u� met 85 in de u�-richting en daarna verschuif je de grafiek nog 0,15 in de u�-richting. (En dan nog de gebruikte letters aanpassen.)
c Het domein is ⟨0, →⟩ en het bereik is ⟨0,15; →⟩.
d Los op 85u� + 0,15 = 0,16. Je vindt u� = 8500. Dus moet u� > 8500 kWh. a
14 Gebruik (10u�)2=1001 u�2.
b De kwadratische functie u� = u�2met u� ≥ 0.
Je moet de grafiek van de standaardfunctie vermenigvuldigen met 0,0075 in de u�-richting en de letters aanpassen.
c 𝑅(120) = 0,0075 ⋅ 1202= 108 d 𝑅(80) = 48 m.
a
15 u� = √0,0075𝑅 ≈ 11,55√𝑅. b De wortelfunctie u� = √u�.
Je moet de grafiek van de standaardfunctie vermenigvuldigen met 11,55 in de u�-richting en de letters aanpassen.
c u�(120) ≈ 127 km/uur.