3 Exponentiële verbanden
5.4 Functies vergelijken
a
1 𝑉(u�) = u�3
b 𝑉(u�) = 100 geeft u�3= 100 en dus u� = √100 ≈ 4,64 cm.3
Hoe groter u�, hoe groter ook de inhoud. Het antwoord op de vraag is daarom u� > √100 ≈ 4,64.3 c 𝐴(u�) = 6u�2
d 𝐴(u�) = 100 geeft 6u�2= 100 en dus u� = √1006 ≈ 4,08 cm.
Hoe groter u�, hoe groter ook de oppervlakte. Het antwoord op de vraag is daarom u� > √1006 ≈ 4,08. e Beide getallen zijn even groot als u�3= 6u�2.
Deze vergelijking kun je oplossen door ontbinden in factoren: u�3− 6u�2 = u�2(u� − 6) = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 6.
Er zijn nu twee mogelijkheden waarbij de inhoud ongelijk is aan de oppervlakte:
> u� is een getal tussen 0 en 6. Als je wat van die getallen invult zie je dat dan inderdaad 𝑉 kleiner is dan 𝐴.
> u� is een getal groter dan 6. Als je wat van die getallen invult zie je dat dan 𝑉 groter is dan 𝐴. a
2 u� ≈ 4,6
b u�3= 100 en dus (terugrekenen vanuit een derde macht) u� = √100 ≈ 4,6416 cm.3
c Je kijkt in de grafiek voor welke u� de functiewaarden van 𝑉(u�) boven de 100 liggen. Dat is als u� > √100.3 d Dat is als (let goed op de afronding!) u� ≥ 4,642, of als u� > 4,641.
(Bedenk dat beide uitdrukkingen op drie decimalen nauwkeurig hetzelfde betekenen.) a
3 u� ≈ 4,1
b 6u�6= 100 en dus u�2=1006 zodat u� = ±√1006 . Omdat het domein van beide functies alleen uit positieve waarden van u� bestaat vind je u� ≈ 4,0825 cm.
c Je kijkt in de grafiek voor welke u� de functiewaarden van 𝐴(u�) boven de 100 liggen. Dat is als u� > √1006 . d Dat is als (let goed op de afronding!) u� ≥ 4,083, of als u� > 4,082.
(Bedenk dat beide uitdrukkingen op drie decimalen nauwkeurig hetzelfde betekenen.) a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > FUNCTIES
b Bijvoorbeeld door ontbinden in factoren: u�3− 6u�2= u�2(u� − 6) = 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 6.
c Je kijkt in de grafiek voor welke u� de functiewaarden van 𝑉(u�) onder die van 𝐴(u�) liggen. Dat is als u� een getal tussen 0 en 6 is. Dat kun je opschrijven als 0 < u� < 6.
a
5 Doen.
b Ga na, dat f(4) ≥ g(4). c u� < −1 ∨ 0 < u� < 4 a
6 u�4= 8u�2geeft u�4− 8u�2= u�2(u�2− 8) = 0 en dus u� = 0 ∨ u� = ±√8.
b Doen. De bedoeling is dat je goed kunt zien van welke functie de functiewaarden het grootste zijn. Maak een tabel met zo weinig mogelijk u�-waarden.
c −√8 ≤ u� ≤ 0 ∨ 0 ≤ u� ≤ √8 a
7 u�3= 6u� − u�2 geeft u�3+ u�2− 6u� = u�(u�2+ u� − 6) = u�(u� + 3)(u� − 2) = 0 en dus u� = −3 ∨ u� = 0 ∨ u� = 2. Maak een schets van de grafieken van u�1= u�3 en u�2= 6u� − u�2.
Oplossing: 3 ≤ u� ≤ 0 ∨ u� ≥ 2.
b 0,5u� + 2 < 5 − u�2geeft 2u�2+ u� − 6 = 0 en dus u� =−1±√494 zodat u� = −2 ∨ 1 = 1,5. Maak een schets van de grafieken van u�1= 0,5u� + 2 en u�2= 5 − u�2.
Oplossing: −2 < u� < 1,5.
c u�4= 9u�2geeft u� = −3 ∨ u� = 0 ∨ u� = 3.
Maak een schets van de grafieken van u�1= u�4 en u�1= 9u�2. Oplossing: u� ≤ −3 ∨ u� = 0 ∨ u� ≥ 3.
a
8 Doen.
b De oplossing van f(u�) = 5 is u� ≈ 1,318 ∨ u� ≈ 4,682.
De oplossing van de ongelijkheid is daarom in twee decimalen nauwkeurig: u� ≤ 1,31 ∨ u� ≥ 4,69. Je kunt dit ook schrijven als u� < 1,32 ∨ u� > 4,68.
c Ga na, dat f(u�) < 3 geeft u� = 3 ± 4
√4.
Uit de grafiek volgt dan de oplossing van de ongelijkheid: 3 − 4
√4 < u� < 3 +√4.4 In twee decimalen nauwkeurig: 1,58 < u� < 4,42 of ook wel 1,59 ≤ u� ≤ 4,41.
d Geen enkele want 1 is de minimale waarde die een functiewaarde van f kan hebben.
e Precies één want 1 is de minimale waarde die een functiewaarde van f kan hebben. De oplossing is nu u� = 3.
f Oneindig veel, elke waarde van u� maakt de ongelijkheid waar. a
9 Gebruik de standaardfunctie u� = √u�.
Die moet je eerst 2 verschuiven in de u�-richting, dan met 0,25 vermenigvuldigen in de u�-richting en tenslotte 3 verschuiven in de u�-richting.
b De oplossing van g(u�) = 5 is u� = 2 +√−8.3
De oplossing van de ongelijkheid is daarom: u� ≤ 2 +√−8.3 a
10 Doen, bedenk hoe ze beide kunnen ontstaan uit de grafiek van u� = u�4.
b De oplossing van (u� + 1)4= (2 − u�)4is u� = 0,5 (trek een beide zijden de vierdemachts wortel). De oplossing van de ongelijkheid is daarom: u� ≤ 0,5.
a
11 Df= [0, →⟩ want de wortel uit een negatief getal is niet reëel.
b Je mag alleen u�-waarden kiezen die in het domein van beide functies horen. Dit betekent dat u� ≥ 0. Verder zie je aan de grafiek dat de functiewaarden van f kleiner zijn dan die van g als u� < 4.
c √u� = 3 geeft door kwadrateren u� = 9.
a
12 Eerst 3 verschuiven in de u�-richting, dan met −1 vermenigvuldigen in de u�-richting en tenslotte 6 verschuiven in de u�-richting.
b Je gaat terugrekenen: 6 − √u� − 3 = 4 geeft −√u� − 3 = −2 en dus √u� − 3 = 2 zodat u� − 3 = 22= 4 en u� = 7.
c Gebruik de grafiek: 3 ≤ u� < 7 a
13 Gebruik de standaardfunctie u� =1u�. (Let op de twee asymptoten!)
Die moet je eerst 3 verschuiven in de u�-richting, dan met 6 vermenigvuldigen in de u�-richting en ten-slotte 2 verschuiven in de u�-richting.
b Je gaat terugrekenen: u�−36 + 2 = 4 geeft u�−36 = 2 en dus u� − 3 = 3 zodat u� = 6. c Gebruik de grafiek: 3 < u� ≤ 6.
a
14 4𝜋u�2= 100 geeft u� = √1004𝜋 = √25𝜋. Je vindt dus u� > √25𝜋.
b 43𝜋u�3= 100 geeft u�3=1004
3𝜋 =75𝜋 en dus u� =√375𝜋. Je vindt dus u� > √375𝜋.
c 43𝜋u�3= 4𝜋u�2geeft u�3− 3u�2= u�2(u� − 3) = 0, dus u� = 0 ∨ u� = 3.
De oplossing van de ongelijkheid vind je door de grafieken van 𝑉(u�) en 𝐴(u�) te schetsen. Dit levert op 0 < u� < 3.
a
15 4 − u�2= 2 − u� geeft u�2− u� − 2 = (u� − 2)(u� + 1) = 0 en dus u� = 2 ∨ u� = −1.
Maak een schets van de grafieken van u�1 = 4 − u�2(bergparabool met top (0,4)) en u�2= 2 − u� (rechte lijn door (0,2) en (2,0)).
Oplossing: −1 < u� < 2.
b u�3= 9u� geeft u�3− 9u� = u�(u�2− 9) = u�(u� − 3)(u� + 3) = 0 en dus u� = −3 ∨ u� = 0 ∨ u� = 3.
Schets de grafieken van u�1= u�3(standaard derdegraads functie) en u�2= 4 − u� (rechte lijn door (0,0) en (1,4)).
Oplossing: u� < −3 ∨ 0 < u� < 3.
c u�3= 9u�2geeft u�3− 9u�2= u�2(u� − 9) = 0 en dus u� = 0 ∨ u� = 9.
Schets de grafieken van u�1 = u�3 (standaard derdegraads functie) en u�2 = 9u�2 (dalparabool met top (0,0)).
Oplossing: 0 < u� < 9.
d u�3− 6u�2+ 9u� = 0 geeft u�(u�2− 6u� + 9) = u�(u� − 3)2= 0 en dus u� = 0 ∨ u� = 3. Schets de grafiek van u� = u�3− 6u�2+ 9u� (tabel maken).
Oplossing: 0 < u� < 3 ∨ u� > 3. a
16 f(0) = −0,1 ⋅ (−3)2+ 62,5 = 54,4
b De grafiek van f ontstaat uit die van u� = u�4door de grafiek van deze standaardfunctie 3 in de u�-rich-ting te verschuiven, vervolgens met −0,1 te vermenigvuldigen in de u�-richu�-rich-ting en tenslotte 62,5 in de u�-richting te verschuiven.
c −0,1(u� − 3)4+ 62,5 = 0 geeft (u� − 3)4= 625 en dus u� − 3 = ±5 zodat u� = −2 ∨ u� = 8. Uit de grafiek van f lees je de oplossing af: −2 ≤ u� ≤ 8.
a
17 12u�4− 8u�2= 0 geeft u�4− 16u�2= u�2(u� − 4)(u� + 4) = 0 en dus u� = −4 ∨ u� = 0 ∨ u� = 4. b Maak voor f in ieder geval een tabel met voor u� de waarden −5, −4, −3, ..., 5.
c 12u�4− 8u�2= −u�2geeft u�4− 14u�2= u�2(u�2− 14) = 0 en dus u� = 0 ∨ u�2= 14 zodat u� = 0 ∨ u� = ±√14. Uit de grafieken lees je de oplossing af: −√14 < u� < 0 ∨ 0 < u� < √14.
a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > FUNCTIES
Schets de grafieken van u�1= 2√u� en u�2= 6. De oplossing is 0 ≤ u� < 9.
b 3√u� − 2 + 1 = 7 geeft √u� − 2 = 2 en dus u� = 6.
Schets de bijbehorende grafieken en je vindt als oplossing u� > 6. c 2u�3 = 1 geeft 2u� = 3 en dus u� = 1,5.
Uit de grafieken lees je de oplossing af: u� < 0 ∨ u� ≥ 1,5. d u�−23 + 1 = 1,5 geeft u� = 8.
Uit de grafieken lees je de oplossing af: 2 < u� ≤ 8. a
19 Invullen van 𝐿 = 0,40 geeft 𝑇 ≈ 1,3 s.
b Nee, vergelijk maar de slingertijd van een slinger van 0,5 m met die van 1 m. De slingertijd wordt √2 keer zo groot. (Hoe kun je dat uit de formule afleiden?)
a
20 2𝜋√9,8𝐿 = 1
b Je vindt na beide zijden delen door 2𝜋 en daarna kwadrateren dat 9,8𝐿 ≈ 0,0253. Daaruit volgt 𝐿 ≈ 0,248.