3 Exponentiële verbanden
5.5 Families van functies
1 Zo’n rechte lijn heeft een formule van de vorm u� = u�u� + 2.
Bij raken moet zo’n lijn precies één punt met de parabool gemeen hebben en dus moet de vergelijking (u� − 3)2− 1 = u�u� + 2 precies één oplossing hebben. Even de haakjes uitwerken en op 0 herleiden en vervolgens met de discriminant werken.
Dit geeft u� = −6 ± √24. a
2 (u� − 3)2− 1 = u�u� + 2 geeft u�2+ (−6 − u�)u� + 6 = 0 en daarvan moet 𝐷 = (6 + u�)2− 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 0 zodat (6 + u�)2= 24 en u� = −6 ± √24.
Je krijgt dus de raaklijnen u� = (−6 + √24)u� + 2 en u� = (−6 − √24)u� + 2.
b Nee, voor punten op de parabool is er steeds precies één raaklijn. Voor punten binnen de parabool geldt dat je geen raaklijn aan de parabool kunt maken.
a
3 Daarvan is er precies één.
b (u� − 3)2− 1 = −2u� + u� geeft u�2− 4u� + 8 − u� = 0 en daarvan moet 𝐷 = 16 − 4(8 − u�) = 0 zodat u� = 4. Je krijgt dus de raaklijn u� = −2u� + 4.
a
4 Alle functies van deze vorm hebben als grafiek een dalparabool. Nu is u� = 2 en dan is de top 𝑇(3,2).
b Voor u� = 0.
c Als fu�(0) = 2, dus als (0 − 3)2+ u� = 0 ofwel u� = −9. a
5 𝑇(1,5; 2,25)
b Je vindt waarschijnlijk al snel u� = 4. De andere waarde voor u� is moeilijker te vinden. De top van de parabool valt dan buiten de figuur.
c De bijbehorende u�-waarde is fu�(12u�) = −(12u�)2+ u� ⋅12u� = 14u�2. d 14u�2= 6 −12u� geeft u�2+ 2u� − 24 = 0 en dus u� = 4 ∨ u� = −6.
a
6 Je vindt u� ≈ 3,9 ∨ u� ≈ −5,9.
b −u�2+ u�u� = 6 − u� geeft −u�2+ (u� + 1)u� − 6 = 0.
a
7 Als je u� = 0 invult, vind je 𝑇 = 80°C.
b Het water gaat afkoelen, dus 𝑇 moet kleiner worden. De grafiek moet langzaam dalen naar 𝑇 = 20°C. c 20 + 60 ⋅ u�10= 40 geeft u�10= 20 /60 =13 en dus u� = 10√13≈ 0,90.
8 Als je u� = 0 invult, vind je 𝑇(0) = 20 + u� ⋅ u�0= 100 en dus u� = 80.
Als je u� = 20 invult, vind je 𝑇(20) = 20 + 80 ⋅ u�20 = 30 en dus u�20 = 10 /80 = 0.125 , zodat u� =
20
√0,125 ≈ 0.90. a
9 Twee. Werk met de applet.
b Wellicht kun je het antwoord op deze vraag wel met de applet vinden. Je moet het echter ook zelf kunnen berekenen.
fu�(u�) = u�2− u�u� + 2u� = 0 moet twee oplossingen voor u� hebben. Dat betekent 𝐷 = u�2− 8u� > 0. Nu geldt 𝐷 = u�2− 8u� = 0 als u� = 0 ∨ u� = 8. Omdat de discriminant zelf een dalparabool is, is 𝐷 > 0 als u� < 0 ∨ u� > 8.
c De top is (12u�, −14u�2+ 2u�).
Dit vul je in de formule van de lijn in: −14u�2+ 2u� = 12u�. Dit levert op u� = 0 ∨ u� = 6. d Nu moet −14u�2+ 2u� = −4. Dit levert op u� = 4 ± 4√2.
a
10 Bij deze lijnen horen functies van de vorm u�(u�) = u�u� + 6.
Nu moet de vergelijking 4−u�2= u�u�+6 precies één oplossing voor u� hebben. Dus moet van u�2+u�u�+2 = 0 gelden 𝐷 = u�2− 8 = 0. Dit betekent dat u� = ±√8.
De twee gevraagde lijnen zijn dus u� = √8 ⋅ u� + 6 en u� = −√8 ⋅ u� + 6. b Bij deze lijnen horen functies van de vorm u�(u�) = 2u� + u�.
Nu moet de vergelijking 4 − u�2= 2u� + u� precies één oplossing voor u� hebben. Dus moet van u�2+ 2u� + u� − 2 = 0 gelden 𝐷 = 4 − 4(u� − 4) = 0. Dit betekent dat u� = 5.
De gevraagde lijn is dus u� = 2u� + 5. a
11 Er zijn drie nulpunten als u�3− u�u� = 0 drie verschillende waarden voor u� oplevert. Ontbinden geeft u�(u�2− u�) = 0 en dus u� = 0 ∨ u� = ±√u�.
Er zijn drie verschillende oplossingen zodra u� > 0. b u�3− u�u� = u� geeft u� = 0 ∨ u�2= 1 + u�.
Er is altijd de oplossing u� = 0, dus al deze functies hebben het punt (0,0) met de lijn u� = u� gemeen. Er zijn geen andere oplossingen als 1 + u� ≤ 0, dus als u� ≤ −1.
a
12 𝑇(0) = 20 − u� ⋅ u�0= 6 geeft u� = 14.
b 𝑇(10) = 20 − 14 ⋅ u�10= 18 geeft u� = 10√17 ≈ 0,82. En dan is 𝑇(25) ≈ 20 − 14 ⋅ 0,8225≈ 19,9°C. a
13 u�(u�) = 10 ⋅ u� +12 ⋅ 2 ⋅ u�2= 10u� + u�2 b u�(5) = 75 m.
c Nu geldt u�(u�) = 10u� +12u�u�2.
Omdat u�(8) = 80 + 32u� = 200 is u� = 120 /32 = 3,75 m/s2. d Nu geldt u�(4) = 4u�(0) + 8u� = 80 en u�(10) = 10u�(0) + 50u� = 260.
Dit is een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Je hebt geleerd hoe je dat moet oplos-sen. Je vindt u� = 2 m/s2en u�(0) = 16 m/s.
a
14 Nu is 110 km/uur gelijk aan 110 /3,6 = 3059 m/s.
Omdat de beginsnelheid 0 is, geldt u� ⋅ 17 = 3059 en dus u� ≈ 1,80 m/s2. De afgelegde afstand is dan u�(17) ≈12⋅ 1.80 ⋅ 172≈ 260 m.
b De cheetah houdt de jacht ongeveer 17 + 450 /3059 ≈ 31,7 seconden vol. Hij legt daarin ongeveer 260 + 450 = 710 m af. De zebra legt in die tijd 440 m af en had al 300 m voorsprong; de zebra wordt
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > FUNCTIES
dus net niet ingehaald.
5.6 Totaalbeeld
a
1 Bij elke waarde van u� hoort precies één waarde van u�. b f(u�) = −0,5u�2+ 4u� − 6
c f(3) = −0,5 ⋅ 32+ 4 ⋅ 3 − 6 = 1,5 en f(−3) = −0,5 ⋅ (−3)2+ 4 ⋅ −3 − 6 = −22,5. d −0,5u�2+ 4u� − 6 = 0 geeft (u� − 2)(u� − 6) = 0 en dus u� = 2 ∨ u� = 6.
a
2 De wortel heeft alleen reële uitkomsten als u� + 1 ≥ 0, dus als u� ≥ −1. Het domein van de functie is 𝐷g= [1, →⟩.
b g(0) = 4 − √1 = 3, dus het snijpunt met de u�-as is (0,3).
u�(u�) = 4 − √u� + 1 = 0 geeft √u� + 1 = 4 en dus u� = 15. Het snijpunt met de u�-as is (15,0).
c Maak een tabel met voor u� de waarden −1, 0, 1, 2, .... (Je kunt in plaats daarvan ook werken met transformaties vanuit de standaard wortelfunctie.)
Je ziet dan dat het startpunt (−1,4) het hoogste punt van de grafiek is die verder langzaam daalt. Het bereik is 𝐵g= ⟨←< m : mn >< m : mo > , < m : mo > 4 < m : mn >].
a
3 Door 0 delen kan niet, dus u� = 2 heeft geen functiewaarde. Het domein van de functie is 𝐷h= ⟨←, 2⟩ ∪ ⟨2, →⟩.
b h(0) = −14 + 3 = −1, dus het snijpunt met de u�-as is (0, − 1).
h(u�) =u�−14 + 3 = 0 geeft u�−14 = −3 en dus u� − 1 =43 zodat u� =73. Het snijpunt met de u�-as is (73, 0). c Eerst 1 verschuiven in de u�-richting.
Vervolgens vermenigvuldigen met 4 in de u�-richting. Tenslotte 3 verschuiven in de u�-richting.
d De horizontale asymptoot wordt u� = 3 en die functiewaarde wordt al enige nooit aangenomen. Het bereik van de functie is 𝐵h= ⟨←, 3⟩ ∪ ⟨3, →⟩.
a
4 Maak een grafiek bij deze tabel.
u� −3 −2 −1 0 1 2 3
f(u�) 12 −2 −4 0 4 2 12
g(u�) −6 −4 −2 0 2 4 6
b −u�3+ 5u� = 2u� geeft u�3− 3u� = u�(u�2− 3) = 0 en dus u� = 0 ∨ u� = ±3.
Uit de grafiek lees je nu de oplossing van de ongelijkheid af: −3 < u� < 0 ∨ u� > 3. a
5 Een kwadratische functie heeft een positief maximum als de grafiek een bergparabool is met twee snijpunten met de u�-as. Dus moet u� < 0 en 𝐷 > 0.
𝐷 > 0 betekent 16 − 4u�2> 0 en dus −2 < u� < 2. Omdat ook u� < 0 geldt 0 < u� < 2. b u�u�2− 4u� + u� = 2u� moet dan één oplossing hebben.
Dus moet voor u�u�2− 6u� + u� = 0 gelden 𝐷 = 36 − 4u�2= 0. Dat is het geval als u� = ±3. a
6 𝐵(140) = 5 euro.
b Van 90 tot en met 120 minuten. c Doen. Het wordt een trapgrafiek.
d Bij elke waarde van u� hoort precies één waarde van 𝐵, maar het omgekeerde geldt niet. a
7 Kwadraat afsplitsen: g(u�) = −(u� − 3)2+ 6. Hieruit vind je meteen de top 𝑇(3,6).
Voor de nulpunten moet je oplossen −(u� − 3)2+ 6 = 0 en dit geeft u� = 3 ± √6. De nulpunten zijn (3 ± √6, 0).
Teken beide grafieken, maak eerst een geschikte tabel. b 𝐷g= ℝ en 𝐵g= ⟨←, 6].
c −u�2+ 6u� − 3 = 7 − u� geeft u�2− 7u� + 10 = 0 en dus u� = 2 ∨ u� = 5. Uit de grafiek lees je de oplossing van de ongelijkheid af: u� < 2 ∨ u� > 5. a
8 u�(0) = 6 dus het snijpunt met de u�-as is (0,6). u�(u�) = 6 − 0,5u�4= 0 geeft u�4= 12 en dus u� = ±4
√12 ≈ ±1,86. De snijpunten met de u�-as zijn ongeveer (±1,86; 0).
b Eerst vermenigvuldigen met −0,5 in de u�-richting en dan 6 verschuiven in de u�-richting. c 6 − 0,5u�4= −2 geeft u�4= 16 en dus u� = ±4
√16.
Uit een schets van de grafiek lees je de oplossing van de ongelijkheid af: −4
√16 < u� < √16.4 a
9 Door hem 3 in de u� te verschuiven.
b Haakjes uitwerken geeft v(u�) = u�3− (u� − 3)3= 3u�2− 9u� + 27.
v is een dalparabool en heeft een minimum voor u� =96 = 1,5 van u�(1,5) = 6,75. a
10 u�(40) ≈ 3572 ⋅ √40 ≈ 22591 m, dus ongeveer 22,6 km. b 3572 ⋅ √u� = 20000 geeft ℎ ≈ 31,3 m.
c Die moet dan 9 keer zo groot worden. a
11 ℎ(u�) = 40u� − 4,9u�2= 0 geeft u� = 0 ∨ u� = 40 /4,9 ≈ 8,2 . Dus na ongeveer 8,2 seconden.
b De grafiek van ℎ is een bergparabool met top bij u� ≈ 4,1. Omdat ℎ(4,1) ≈ 81,6 komt de vuurpijl maximaal 81,6 m hoog.
Het bereik van ℎ(u�) is [0; 81,6].
c 40u�−4,9u�2= 30 geeft 4,9u�2−40u�−30 = 0. Dit los je op met de abc-formule. Je vindt u� ≈ 0,84∨u� ≈ 7,33. De vuurpijl is daarom 5 − 0,84 ≈ 4,2 seconden zichtbaar.
a
12 𝐷 = 4u�2− 4u�00 geeft u� = 0 ∨ u� = 1. 𝐷 > 0 als u� < 0 ∨ u� > 1.
b u�2− 2u�u� + u� = −6 moet één oplossing voor u� hebben.
Dus voor u�2− 2u�u� + u� + 6 = 0 moet gelden 𝐷 = 4u�2− 4(u� + 6) = 0. Dit geeft u� = −2 ∨ u� = 3. a
13 Hij heeft 100 /10 + 3 = 13 minuten per keer nodig.
Hij kan dus 60 /13 ≈ 4,6 keer storten. Dat is in de praktijk dus 4 keer. b u�(u�) = 0,1u�+360
c Dan moet 10 ≤ u� < 11. Bij u� = 10 vind je (vergelijking oplossen) u� = 30. Bij u� = 11 vind je (vergelijking oplossen) u� ≈ 24,5. Dus 24,5 ≤ u� ≤ 30.
d Als u� = 0 kan er 20 keer per uur worden gelost. Dat is het maximum.
e Omdat u� ≥ 0 is het domein van deze functie [0, →⟩ en binnen dit domein heeft elke u�-waarde een functiewaarde. Een verticale asymptoot kan dus niet.
De u�-as is de horizontale asymptoot: voor hele grote waarden van u� nadert de grafiek deze as. En dat heeft ook betekenis: u� = 0.1 betekent bijvoorbeeld dat bij de bijbehorende afstand er in het schip één keer per 10 uur graan kan worden gestort. Niet erg praktisch natuurlijk, maar niet onmogelijk. a
b 𝑅(u�) =u�9 +228,6u�2 ≈ 0,1111u� + 0,0044u�2 c Je moet nu oplossen 0,1111u� + 0,0044u�2= 90.
Dat doe je door op 0 herleiden en de abc-formule te gebruiken. Je vindt u� ≈ 131 km/uur. d Bij 1 mm regen hoort u� = 0,40 en bij 2 mm regen hoort u� = 0,30.
De remweg bij u� = 0,40 is 40,4 m. De remweg bij u� = 0,30 is 52,2 m.
Dat is een toename van 52,2−40,440,4 ⋅ 100 ≈ 29%. 15 Nu is 𝑅(u�) = 0,14u� + 0,005u�2.
Omdat de bijdrage van de reactietijd even groot is als de bijdrage van het remmen, moet de vergelijking 0,14u� = 0,005u�2 worden opgelost. Dat geeft u� = 0 ∨ u� = 28. Dus bij een snelheid van ongeveer 28 km/uur.
door de auteurs van Math4All. Indien u in uw klas een andere volgorde wilt hanteren, maar een boek nog steeds op prijsstelt nodigen we u uit om gebruik te maken van de Math4All maatwerkdienst waarmee u zelf boeken kunt genereren.