Praktijkonderzoek Master Wiskunde: Waarom en waarop lopen leerlingen vast op exponentiÃ«le en lineaire verbanden?

(1)

Praktijkonderzoek Master Wiskunde

Waarom en waarop lopen leerlingen vast op exponentiële en lineaire verbanden?

Naam student:

Ruby Klos

Studentnummer:

500614600

(2)

Inhoudsopgave

H0: Introductie Blz. 5

H1: Deelonderzoek 1: Probleemstelling Blz. 6 t/m 7

§1.1 Inleiding bij deelonderzoek 1

§1.2 Onderzoeksvraag bij deelonderzoek 1 §1.3 Methode bij deelonderzoek 1

§1.4 Verwachte onderzoeksresultaten bij deelonderzoek 1 §1.5 Resultaten deelonderzoek 1

§1.6 Conclusie en discussie deelonderzoek 1

H2: Deelonderzoek 2: Achtergrondinformatie bij probleemstelling Blz. 8 t/m 10 §2.1 Inleiding bij deelonderzoek 2

H3: Deelonderzoek 3: Kennis van de huidige havo 4 en havo 5 Blz. 11 t/m 23 leerlingen over lineaire en exponentiële verbanden

§3.1 Inleiding bij deelonderzoek 3 §3.2 Theorie bij deelonderzoek 3

§3.3 Verantwoording van de gebruikte literatuur §3.4 Onderzoeksvraag bij deelonderzoek 3 §3.5 Methode bij deelonderzoek 3

3.5.1 Beschrijving van de methode 3.5.2 Uitvoering

§3.6 Verantwoording methode bij deelonderzoek 3 3.6.1 Verantwoording van de methode

3.6.2 Verantwoording van de uitvoering

§3.7 Verwachte onderzoeksresultaten bij deelonderzoek 3 §3.8 Resultaten deelonderzoek 3 3.8.1 Mindmap havo 4 3.8.2 Mindmap havo 5 3.8.3 Formules havo 4 3.8.4 Formules havo 5 3.8.5 Tabellen havo 4 3.8.6 Tabellen havo 5 3.8.7 Grafieken havo 4 3.8.8 Grafieken havo 5

§3.9 Conclusie en discussie deelonderzoek 3 §3.10 Vooruitblik komend(e) deelonderzoek(en)

H4: Deelonderzoek 4: Inventarisatie gebruik van de methode Blz. 24 t/m 26 door mijn collega's

H5: Deelonderzoek 5: Verdieping in de literatuur Blz. 27 t/m 31 §5.1 Inleiding bij deelonderzoek 5

(3)

H6: Deelonderzoek 6: Vergelijking van de methode met de Blz. 32 t/m 37 aanbevelingen vanuit de literatuur

6.5.1 Mavo Lineaire verbanden 6.5.2 Mavo Exponentiële verbanden 6.5.3 Havo Lineaire verbanden 6.5.4 Havo Exponentiële verbanden 6.5.5 Vwo Lineaire verbanden 6.5.6 Vwo Exponentiële verbanden §6.6 Conclusie en discussie deelonderzoek 6

H7: Resultaten deelonderzoek 1 t/m 6 Blz. 38 t/m 42

§7.1 Conclusie

§7.2 Beantwoording onderzoeksvraag

§7.3 Discussie en voorstellen voor verbetering §7.4 Verbetering van de praktijk

§7.5 Suggesties voor vervolgonderzoek

H8: Nabeschouwing Blz. 43

H9: Referenties Blz. 44

H10: Bijlagen Blz. 45 t/m 141

§10.1 Bijlage 1: Uitgetypte bespreking probleemstelling §10.2 Bijlage 2: Examenopgave

§10.3 Bijlage 3: De 4 opdrachten bij deelonderzoek 3 lineaire en exponentiële verbanden

10.3.1 Mindmap 10.3.2 Formules 10.3.3 Tabellen 10.3.4 Grafieken

§10.4 Bijlage 4: Uitwerking van de opdrachten die worden gebruikt bij deelonderzoek 3

10.4.1 Formules 10.4.2 Tabellen 10.4.3 Grafieken

§10.5 Bijlage 5: Leerlingenwerk deelonderzoek 3 10.5.1 Havo 4

10.5.2 Havo 5

§10.6 Bijlage 6: Operationalisatietabellen bij leerlingwerk uit deelonderzoek 3 10.6.1 Mindmap havo 4 10.6.2 Mindmap havo 5 10.6.3 Formules havo 4 10.6.4 Formules havo 5 10.6.5 Tabellen havo 4 10.6.6 Tabellen havo 5 10.6.7 Grafieken havo 4 10.6.8 Grafieken havo 5

§10.7 Bijlage 7: Geanonimiseerde reacties op rondgestuurde mail uit deelonderzoek 4

(4)

10.7.1 Reacties via de mail 10.7.2 Mondelinge reacties

§10.8 Bijlage 8: Vergelijkingstabellen Moderne Wiskunde met aanbevelingen uit de literatuur

10.8.1 Mavo Lineaire verbanden 10.8.2 Mavo Exponentiële verbanden 10.8.3 Havo Lineaire verbanden 10.8.4 Havo Exponentiële verbanden 10.8.5 Vwo Lineaire verbanden 10.8.6 Vwo Exponentiële verbanden

(5)

H0: Introductie

Sinds 2012 ben ik werkzaam op een mavo-, havo-, vwo-school. Op deze school zitten momenteel zo’n vijftienhonderd leerlingen en werkt circa honderdvijftig man personeel. De sectie wiskunde bestaat in schooljaar 2018-2019 uit veertien docenten: negen vrouwen en vijf mannen. Van mijn wiskundecollega’s hebben er vier een eerste graads bevoegdheid. Net als veel van mijn collega’s werk ik parttime. Verdeeld over een werktijdfactor van 0,47 geef ik dit schooljaar les aan een vwo-brugklas, een mavo 2 klas en een havo 4 klas. Het is dit schooljaar voor het eerst dat ik lesgeef aan een bovenbouwklas.

(6)

H1: Deelonderzoek 1: Probleemstelling

§1.1 Inleiding bij deelonderzoek 1

Omdat ik in de toekomst steeds meer les zal gaan geven in de bovenbouw en ik met dit onderzoek graag iets wil betekenen voor de wiskundesectie, wil ik mij met dit onderzoek richten op (vakdidactische) problemen die op dit moment in de bovenbouw spelen. Het doel van dit eerste deelonderzoek is om tot een onderwerp te komen waarvan de wiskundesectie het nuttig acht dat hier onderzoek naar gedaan wordt.

§1.2 Onderzoeksvraag bij deelonderzoek 1

Dit eerste deelonderzoek zal ik uitvoeren onder al mijn dertien wiskundecollega's: hoe groter de input, des te groter is de kans dat ik tot een onderzoeksonderwerp kom. Meerdere

collega's met alleen een tweedegraads bevoegdheid hebben ook al eens lesgegeven aan een bovenbouw klas en doordat wij als sectie geregeld met zijn allen in overleg gaan, zijn ook meerdere collega's met alleen een tweedegraads bevoegdheid op de hoogte van de problemen die in de bovenbouw spelen.

De onderzoeksvraag die ik in dit deelonderzoek beantwoord hoop te krijgen, luidt: Welke vakdidactische problemen spelen op dit moment in de bovenbouw bij wiskunde?

§1.3 Methode bij deelonderzoek 1

Al mijn sectiegenoten zal ik via de mail om input vragen, waarin ik de volgende vraag stel: "Zijn er in de bovenbouw (liefst ook in havo 4, daar geef ik zelf les aan) specifieke

onderwerpen waar de leerlingen tegen problemen aanlopen (omdat er op dit onderwerp bijvoorbeeld altijd weer slecht gescoord wordt) of misschien wel waar juist de docenten tegenaan lopen (hoe pak je de uitleg van dit onderwerp het beste aan, bijvoorbeeld) of wel mee zouden willen experimenteren (ik noem maar iets: misschien denken jullie er al een tijdje aan om de uitleg van een bepaalde vaardigheid eens anders aan te pakken)?" Het rondsturen van deze mail lijkt me een prima methode om antwoord op de

onderzoeksvraag van dit eerste deelonderzoek te krijgen: mijn collega's kunnen hier op het moment dat het hun uitkomt op reageren; het is een veel snellere manier van informatie verzamelen dan wanneer ik bij iedere wiskunde collega langs zou gaan om deze vraag voor te leggen en ik 'verlies' geen tijd aan collega's die, net als ik, geen zicht hebben op de problemen die mogelijk in de bovenbouw spelen. Mocht ik naar aanleiding van de reactie(s) op deze mail behoefte hebben aan toelichting, dan kan ik vervolgens altijd nog heel gericht enkele collega's opzoeken.

§1.4 Verwachte onderzoeksresultaten bij deelonderzoek 1

Omdat ik zelf pas sinds dit schooljaar (gedeeltelijk) les geef in de bovenbouw, heb ik geen duidelijk beeld van de problemen die mogelijk in de bovenbouw spelen. Ik heb om deze reden geen verwachtingen over de input waar mijn collega's mee zullen komen.

§1.5 Resultaten deelonderzoek 1

Twee van mijn sectiegenoten met eerste graads bevoegdheid droegen mogelijke

onderwerpen aan en beide collega's gaven aan dat leerlingen in 4 havo en ook in 5 havo vaak niet het verschil weten tussen lineair en exponentieel: de enige twee verbanden die ze moeten kennen en die altijd in de examens zitten. Eén van deze twee collega's mailde mij: “Wat ik heel ongrijpbaar vind is, hoe lastig het met name voor leerlingen met HAVO

wiskunde A is om een lineaire formule op te stellen en een exponentiële formule op te stellen.

Eigenlijk vanaf de tweede krijgen ze dit bij Moderne Wiskunde aangeleerd, dan zou je verwachten dat dat zo’n inzicht en routine moeten hebben in 5 havo dat dit niet fout kan gaan.

(7)

Het is verbijsterend hoe nogal wat leerlingen aan het einde van 5 havo richtingscoëfficiënt noemen, waar ze groeifactor bedoelen, maar ook denken dat de formule voor exponentieel groei A= b + g^t is. Of een groeifactor per dag berekenen door de groeifactor per week te delen door 7. Of niet weten hoe ze het startgetal moeten bepalen hetzij bij exponentieel groei, hetzij bij lineaire groei. Inzicht/overzicht wat ze doen lijkt dan toch te ontbreken. Hoe kan dat na al die mooie opbouw en scholing en uitleg?

Is het dat ze deels op inzicht/ logisch verstand(?) willen varen, deels de klok hebben horen luiden van een schematische aanpak en dan alles wat door elkaar rommelen???”

Hoewel ik naar aanleiding van deze mails nog helemaal niet weet waarom en waarop de leerlingen vastlopen en ik dus ook nog helemaal niet weet welke kant een mogelijk

onderzoek over dit onderwerp op zal gaan, spreekt het onderwerp mij direct aan. Dit, omdat het een onderwerp betreft waar ik affiniteit mee heb: lineaire en exponentiële verbanden zijn onderwerpen die al in de onderbouw aan bod komen.

§1.6 Conclusie en discussie deelonderzoek 1

Volgens het citaat uit paragraaf 1.5 blijkt dat de leerlingen lineaire en exponentiële

verbanden in de onderbouw onderwezen hebben gekregen, maar dat ze de kennis blijkbaar niet doorgrond en begrepen hebben: de verbanden blijken een probleem te vormen voor zowel de leerlingen in havo 4 als in havo 5. Lineaire en exponentiële verbanden komen later in dit schooljaar in 4 havo aan bod, dus dit is niet een probleem waar ik zelf al met mijn klas tegenaan ben gelopen.

Omdat lineaire en exponentiële verbanden een cruciale rol binnen de algebraïsche wiskunde spelen en daarnaast de basis vormen voor meer ingewikkelde verbanden en (algebraïsche) vraagstukken, is het belangrijk dat de leerlingen een goed begrip van deze twee verbanden ontwikkelen. Op dit moment is het mij nog onduidelijk waar en wanneer het precies fout gaat. Om daadwerkelijk met het aanpakken van dit probleem aan de slag te kunnen gaan, zal ik extra informatie moeten verzamelen bij deze probleemstelling. Dit zal ik doen in deelonderzoek 2.

(8)

H2: Deelonderzoek 2: Achtergrondinformatie bij probleemstelling

Aan de hand van de antwoorden op de e-mail die ik bij de uitvoering van deelonderzoek 1 aan mijn sectiegenoten heb gestuurd, blijkt dat lineaire en exponentiële verbanden al jaren een probleem vormen in de bovenbouw. Dit is wonderlijk, omdat deze twee verbanden al in de onderbouw behandeld worden en vervolgens in de bovenbouw wederom aan bod komen. Hoe komt het dat deze kennis bij veel van de leerlingen op de school waar ik werk niet lijkt te blijven hangen? Om hier verderop in het onderzoek dieper op in te kunnen gaan, wil ik in dit deelonderzoek meer te weten komen over de toedracht van het aandragen van de

probleemstelling.

Dit tweede deelonderzoek zal ik uitvoeren onder (één van) mijn sectiegenoten die dit probleem hebben aangedragen. Omdat deze collega's degenen zijn die aangeven het probleem rondom lineaire en exponentiële verbanden te ervaren, zullen zij mij ongetwijfeld meer informatie over dit probleem kunnen verschaffen.

De onderzoeksvraag die in dit tweede deelonderzoek centraal staat, luidt:

Wat is voor mijn collega's de aanleiding geweest voor het aandragen van deze probleemstelling en hoe uit het probleem zich in de praktijk?

Om een antwoord op de onderzoeksvraag bij dit tweede deelonderzoek te krijgen, zal ik gebruik maken van een diepte-interview. Het interview zal ik met mijn telefoon opnemen, zodat ik dit later kan uitwerken. Ik vind het fijn om niet mee te hoeven schrijven, zodat ik mijn volledige aandacht bij het interview te kan houden. Deze onderzoeksmethode is veel te tijdrovend om onder al mijn veertien wiskundecollega's af te nemen, maar nu ik een beeld van de probleemstelling heb, kan ik heel gericht met één, eventueel twee, collega's in

gesprek gaan. Het voordeel van een interview is dat ik kan doorvragen wanneer iets nog niet helemaal duidelijk is en ik gaandeweg het interview door middel van mijn vragen voortdurend kan bijsturen naar datgene wat ik te weten wil komen: wat is de reden dat mijn collega's dit probleem hebben aangedragen? Waarom vormt dit een probleem? Hoe uit dit probleem zich? Hoewel het uitwerken van een interview even een werk is, verkrijg ik zeer waarschijnlijk veel sneller geschikte informatie dan wanneer ik dit via de mail zou doen: elke keer wanneer iets nog niet helemaal duidelijk is, volgt er een mailwisseling waarin ik afhankelijk ben van wanneer mijn collega tijd heeft om hierop te reageren.

Met het lesgeven in de onderbouw heb ik al te maken gehad met het behandelen van de onderwerpen lineaire groei en exponentiële groei. Mijn ervaring is dat leerlingen met name het opstellen van exponentiële formules en dan met name het vinden van de juiste

groeifactor erg lastig vinden. Mijn verwachting is dan ook dat voornamelijk problemen rond het opstellen van en werken met exponentiële formules de aanleiding zal zijn geweest voor het aandragen van deze probleemstelling.

Eén van de eerste bijeenkomsten van Praktijkonderzoek op de HvA sloot toevalligerwijs zeer goed aan bij dit tweede deelonderzoek. Tijdens deze bijeenkomst heb ik met twee van mijn wiskundecollega's, een medestudent en de vakdocent gesproken over de probleemstelling die in deelonderzoek 1 is genoemd. Van de twee collega's geeft de één net als ik sinds dit schooljaar les in de bovenbouw en geeft de ander sinds drie jaar les in de bovenbouw. Deze laatstgenoemde collega (degene die in het vervolg van dit onderzoek bedoeld wordt met 'mijn collega') is niet een van de twee collega's die op mijn mail hadden gereageerd, maar kon mij, vanwege de nauwe samenwerking met hen, wel precies vertellen wat voor mijn andere twee collega's de aanleiding was om deze probleemstelling aan te dragen. Om deze laatstgenoemde reden was het niet nodig om nog met één van de collega's die de

(9)

probleemstelling hebben aangedragen in gesprek te gaan en gebruik ik het gesprek dat tijdens de bijeenkomst van Praktijkonderzoek heeft plaatsgevonden in dit tweede

deelonderzoek. Het gesprek heb ik opgenomen en uitgewerkt en is terug te vinden in bijlage 1.

Omdat de opdracht was dat mijn probleemstelling besproken zou worden zonder dat ik mij in het gesprek zou mengen, heb ik niet als interviewer op kunnen treden. Toch is uit het gesprek zeer bruikbare informatie gekomen over de aanleiding van de probleemstelling. Uit het gesprek blijkt het havo 5 wiskunde A eindexamen van schooljaar 2017 - 2018 de aanleiding te zijn geweest voor de reacties op mijn rondgestuurde mail. De laatste opgave van dit examen (zie bijlage 2) was een onderzoeksopgave en daar moesten de leerlingen zelf twee formules opstellen bij twee situaties: één exponentieel en de ander lineair en ze hadden geen idee wat ze moesten doen. Volgens mijn collega schuilt het probleem in de vraagstelling. Zo zouden leerlingen prima een lineaire formule kunnen maken wanneer het onderwerp gegeven is, bijvoorbeeld als de paragraaf "lineaire formules" heet of wanneer in de vraag expliciet benoemd wordt dat het om een lineair verband gaat. Evenzo voor

exponentiële formules. Echter, op het moment dat de woorden 'lineair' en 'exponentieel' ontbreken en de leerlingen zelf moeten bedenken "is dit exponentieel of is dit lineair?", zoals ook het geval was bij de opgave in het eindexamen, dan gaat het alle kanten op: bij

exponentieel gaan ze met lineaire formules aan de slag, of bij allebei exponentieel. Het probleem zou volgens de vakdocent ook kunnen schuilen in het begrip wat de leerlingen hebben van exponentiële en lineaire groei. In dat geval zou het volgens hem kunnen betekenen dat de leerlingen bij geen enkele opgaven over lineaire of exponentiële groei weten wat ze moeten doen omdat ze bij wijze van spreken zijn vergeten dat dit onderwerp ooit is behandeld.

Uit eigen bestudering van de literatuur volgen enkele toelichtingen op uitspraken van

mijn collega's, de medestudent en de vakdocent. Wanneer in dit onderzoek gesproken wordt over wiskundig begrip, gaat het over de combinatie van de betekenis van het woord 'begrip' zoals deze in de Van Dale wordt gegeven: de abstracte, algemene inhoud van een

voorstelling en 'wiskundig denken' zoals door Drijvers (2015) geformuleerd: 'wiskundig denken is bedenken hoe je wiskundig gereedschap kunt gebruiken om een probleem aan te pakken'. In deze laatste definitie wordt 'gereedschap' ruim opgevat: het kan specifiek en

concreet zijn, zoals de abc-formule, maar het omvat ook het ontwikkelen van strategieën en theoretisch-methodisch gereedschap zoals logisch redeneren, bewijzen, inductie en

deductie. Het woord 'gebruiken' slaat niet alleen op het toepassen van een kant-en-klare methode, maar juist om het ontwikkelen daarvan, of om het op maat maken en aanpassen van een bestaande methode voor een specifiek doel. Een “probleem”, ten slotte, is niet zomaar een opgave, maar een vraag waarvoor de leerling nog geen kant-en-klare

oplossingsmethode ter beschikking heeft, een niet-standaard opgave van binnen of buiten de wiskunde, die de leerling (nog) niet routinematig kan oplossen (Drijvers, 2015).

Uit paragraaf 2.5 blijkt dat een onderzoeksopdracht, waarin de termen "exponentieel" en "lineair" ontbraken, voor mijn collega's de aanleiding is geweest om de problematiek rondom lineaire en exponentiële verbanden als mogelijk onderwerp voor dit onderzoek aan te

dragen. Mijn vermoeden dat het probleem voornamelijk bij exponentiële verbanden zou liggen, blijkt dus niet helemaal juist.

Uit het gesprek met zowel mijn collega als met de vakdocent is het vermoeden ontstaan over twee mogelijke oorzaken die ten grondslag liggen aan dit probleem: het soort opgave dat aan de leerlingen wordt voorgelegd of het begrip dat leerlingen van lineaire en exponentiële groei hebben. Bij de eerstgenoemde oorzaak heeft mijn collega het vermoeden dat eigenlijk alleen opgaven waarin leerlingen zelf moeten bedenken wat ze moeten doen voor problemen zorgen. Omdat dit ook net het soort opgaven zijn die op examens

voorkomen en er dus eigenlijk nooit getoetst wordt of leerlingen ruim nadat hier in de lessen aandacht aan is besteed bijvoorbeeld nog een lineaire of exponentiële formule op kunnen stellen wanneer de termen "lineair" en / of "exponentieel" wel expliciet worden genoemd, kan ik er niet zomaar vanuit gaan dat wanneer de oorzaak van het probleem bij het soort opgave lijkt te liggen alleen een specifieke soort opgave voor problemen zorgt.

(10)

Om uiteindelijk duidelijk te krijgen welke oorzaak op de school waar ik lesgeef ten grondslag aan het probleem lijkt te liggen en waar het probleem ontstaat, zal ik nog enkele

deelonderzoeken uit gaan voeren waarbij ik iedere keer weer een stapje dichter bij de oorzaak van het probleem hoop te komen.

(11)

H3: Deelonderzoek 3: Kennis van de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen

over lineaire en exponentiële verbanden

Uit bestudering van de lesboeken uit de verschillende jaarlagen blijkt dat lineaire en exponentiële verbanden tot de voorkennis van onze havo 4 (en dus ook havo 5) leerlingen zouden moeten behoren: in de onderbouw van de havo zijn deze onderwerpen aan bod gekomen. Ook voor de leerlingen die vanaf de mavo of vanuit 3 vwo komen geldt dat de stof tot de voorkennis zou moeten behoren. Dat de stof tot de voorkennis zou moeten behoren, wil niet zeggen dat al deze leerlingen een goed begrip van lineaire en exponentiële

verbanden hebben. Sterker nog, uit de voorgaande deelonderzoeken blijkt dat dit onderwerp eigenlijk ieder jaar weer voor problemen zorgt. In paragraf 2.5 zijn zowel door mijn collega als door de vakdocent mogelijke oorzaken van deze problemen met opgaven over lineaire en exponentiële verbanden aangedragen.

Aan de hand van de resultaten van dit derde deelonderzoek hoop ik te kunnen

achterhalen of één of een combinatie van de eerdergenoemde mogelijke oorzaken het meest waarschijnlijk lijkt, of dat er misschien een andere, niet eerdergenoemde oorzaak ten

grondslag aan het probleem lijkt te liggen. Als mijn leerlingen best kunnen vertellen wat lineaire groei en wat exponentiële groei inhoudt en de verschillende representaties van lineaire en exponentiële groei kunnen herkennen, dan wil ik me vervolgens gaan richten op "Bij wat voor soort opdrachten gaat het nou fout en welke opgaven zorgen niet voor

problemen?". Als blijkt dat mijn leerlingen eigenlijk helemaal geen idee hebben van lineaire en exponentiële verbanden en de verschillende representaties, dan wil ik gaan onderzoeken hoe het komt dat de kennis over lineaire en exponentiële verbanden niet is blijven hangen. Mocht het onderzoek de kant van de verschillende soorten opgaven op gaan, dan hoop ik op basis van de resultaten van dit derde deelonderzoek ook de opgaven ter detectie van de problemen beter te kunnen kiezen. Ook hoop ik te kunnen achterhalen hoe het probleem zich in de bovenbouw (havo 4 en havo 5) ontwikkelt. Mocht uit dit derde deelonderzoek blijken dat de kennis over lineaire en exponentiële verbanden niet is blijven hangen, dan hoop ik aan de hand van de vooraf bestudeerde literatuur (zie paragraaf 3.2) al enigszins te kunnen detecteren welke mogelijke oorzaken hieraan ten grondslag liggen.

§3.2 Theorie bij deelonderzoek 3

Ook aan de hand van de literatuur zijn bij mij vermoedens ontstaan over mogelijke oorzaken voor de problematiek rond lineaire en exponentiële verbanden, zowel op het gebied van didactiek als op het gebied van (verwerking van het) aanbod.

Zo wordt in het artikel van Ellis (et al., 2016) een hypothetisch leertraject voor exponentiële groei omschreven en beschrijft Ellis (2009) in een eerder artikel een

hypothetisch leertraject voor lineaire groei en het belang van het selecteren van de juiste opgaven bij dit leertraject. In het artikel over een hypothetisch leertraject voor exponentiële groei wordt als aanleiding voor het onderzoek onder andere gegeven dat leerlingen, wellicht vanwege het ontbreken van een verkenningsfase bij de behandeling van exponentiële groei, niet altijd even goed weten wat het inhoudt als data exponentieel groeit en moeite hebben met het algebraïsch uitdrukken van exponentiële relaties. Bij deze twee beschreven leertrajecten kan de vraag gesteld worden in hoeverre Moderne Wiskunde en de wiskundelessen die op de school waar ik werk worden gegeven hierbij aansluiten.

Kop en Hoekstra (2012) beschrijven de begrippen concept image en concept

definition, die tezamen het cognitief schema vormen, volgens de definitie van Tall en Vinner (1981) en geven aan dat een onvoldoende rijk cognitief schema over de verschillende type functies bij leerlingen er onder andere voor zorgt dat leerlingen slechts een beperkt beeld van de eigenschappen van de verschillende functies hebben, dat leerlingen moeilijk kunnen schakelen tussen de verschillende representaties van een functie en dat leerlingen

bovendien problemen ondervinden bij het maken van onderscheid tussen de verschillende soorten functies. Met concept image wordt de totale voorstelling die een persoon van een bepaald onderwerp heeft bedoeld, inclusief alle mentale beelden en bijbehorende

eigenschappen en processen. Het concept image wordt opgebouwd door de jaren heen door allerlei soorten ervaringen en verandert naarmate de persoon ouder wordt en met nieuwe

(12)

stimuli wordt geconfronteerd. Met concept definition wordt de omschrijving in woorden om een onderwerp te specificeren bedoeld. Deze omschrijving kan al dan niet betekenisvol door een persoon worden aangeleerd en kan bovendien in meerdere of mindere mate gerelateerd zijn aan het concept image (Tall en Vinner,1981). Met het cognitief schema wordt in dit geval het rijke schema bedoeld van een type functie: de verschillende representaties (verbaal, grafisch, numeriek, algebraïsch) en de onderlinge relatie tussen al deze representaties, situaties en concepten (Van Streun, 2012). Deze kennis zou leerlingen volgens Van Streun (2012) in staat stellen te redeneren, vragen te stellen en vragen te beantwoorden: hoe rijker het cognitief schema, hoe beter leerlingen in staat zijn om tussen de verschillende

representaties te schakelen en hoe beter leerlingen in staat zijn om hun oplossingsmethode op het probleem (zie definitie in paragraaf 2.5) af te stemmen. Janvier (1987) heeft een tabel ontwikkeld die de overgangen tussen de verschillende representaties in beeld brengt (zie tabel 1):

Tabel 1: Overgangen tussen functierepresentaties door Janvier (1987) Bron: Handboek Wiskundedidactiek, pagina 97.

Hoewel er over functies wordt gesproken met betrekking tot het cognitief schema in plaats van verbanden, waar dit onderzoek zich op richt, is mijn inschatting dat deze literatuur ook op dit onderzoek van toepassing kan zijn. Een functie heeft het specifieke kenmerk dat er bij elke waarde van ! precies één waarde van " hoort en een verband is als het ware een groter, minder specifiek geformuleerd begrip, waar functies onder vallen. Op kleine

verschillen na, zoals in de analytisch/algebraïsche representatie van een functie (die begint met '#(!) =') en die van een formule (die begint met '" ='), zijn de verschillende

functierepresentaties zoals in tabel 1 omschreven zowel van toepassing op verbanden als op functies.

In een onderzoek van Van Dooren (et al., 2008) wordt beschreven dat leerlingen op alle niveaus en in alle jaarlagen geneigd zijn om de kenmerken en eigenschappen van lineariteit te gebruiken in situaties die zich hier niet voor lenen. Dit overmatige gebruik van lineariteit kan volgens de onderzoekers verschillende oorzaken hebben, zoals het feit dat lineair redeneren, bewust of onbewust, al vanaf de basisschool een toenemende rol speelt in wiskundeonderwijs. Daarnaast zouden volgens Van Dooren (et al., 2008) veel

wiskundemethodes zo in elkaar zitten, dat leerlingen vaak zonder na te denken met lineariteit aan de slag gaan wanneer een opgave op een bepaalde wijze is geformuleerd of wordt gepresenteerd.

Ten slotte beschrijft onder andere Prenger (2005) de rol van taal in het

wiskundeonderwijs en concludeert zij dat met name taalzwakke leerlingen moeite kunnen hebben met (grote) contextopgaven. Hierdoor zijn leerlingen volgens Prenger (2005)

mogelijk niet in staat om te achterhalen of in een opgave een lineair of exponentieel verband van toepassing is.

§3.3 Verantwoording van de gebruikte literatuur

De literatuur achter de in paragraaf 3.2 beschreven theorieën heb ik gedeeltelijk zelf opgezocht en gedeeltelijk min of meer aangeleverd gekregen van twee docenten.

De twee artikelen over hypothetische leertrajecten, voor exponentiële groei (Ellis et al., 2016) en voor lineaire groei (Ellis, 2009), zijn voor een opdracht voor vakdidactiek aan de HvA over functiebegrip bij leerlingen door de vakdocenten gemaild. Bij het lezen van deze

naar van

1. verbaal 2. numeriek 3. grafisch 4. analytisch/ algebraïsch 1. verbaal herformuleren uitrekenen

tabel maken

schets maken formaliseren modelleren 2. numeriek interpreteren doorrekenen tekenen grafiek opstellen formule

of vergelijking 3. grafisch interpreteren aflezen uitbreiden

combineren

benaderen met een formule 4. analytisch/

algebraïsch

(13)

artikelen werd mij duidelijk dat ik wellicht ook voor dit onderzoek iets aan deze literatuur zou kunnen hebben. De theorieën van Van Streun (2012), Kop en Hoekstra (2012) en Janvier (1987) komen uit een boek over wiskundedidactiek. Ook uit dit boek werden door de

docenten van vakdidactiek hoofdstukken geselecteerd die zeer goed bleken aan te sluiten bij het onderwerp van dit praktijkonderzoek: het hoofdstuk over functies en het hoofdstuk over het leren en onderwijzen van wiskunde.

In mijn eigen zoektocht naar geschikte, aanvullende literatuur ben ik in eerste instantie op een zeer grote hoeveelheid artikelen gestuit. Zo'n groot aantal, dat het

ondoenlijk was om van alle artikelen de abstract door te nemen en te beoordelen of ik hier wat aan zou kunnen hebben voor mijn onderzoek. Gelukkig volgde snel een bijeenkomst van Praktijkonderzoek aan de HvA waarin onder andere tips werden gegeven voor het efficiënt zoeken naar geschikte literatuur. Blijkbaar waren mijn zoekterm in eerste instantie veel te algemeen: ik zocht op termen als "Lineair growth" en "Exponential growth", wat vervolgens duizenden artikelen opleverde. Door mijn zoekterm bij verschillende databanken waaronder Eric, Sciencedirect en GoogleScholar steeds meer te specificeren, zoals "Mathematics" AND "exponential growth" AND "learning" NOT "primary education", werd het aantal resultaten niet alleen aanzienlijk kleiner, maar waren ook meteen heel wat artikelen die toch niet bij mijn onderzoek aan zouden sluiten weg gefilterd. Toen het aantal resultaten eenmaal maximaal vijftien en daarmee behapbaar was, ben ik de abstracts gaan lezen en heb ik een selectie gemaakt van de artikelen die mij bruikbaar leken voor dit onderzoek. Van deze selectie heb ik het artikel van Van Dooren (et al., 2008) en Prenger (2005) in de vorige paragraaf

gebruikt.

Dit derde deelonderzoek zal ik gaan uitvoeren in mijn eigen havo 4 wiskunde A groep en een havo 5 wiskunde A groep. De havo 4 groep bestaat uit 25 leerlingen, waarvan zestien

leerlingen vanuit uit havo 3; twee leerlingen vanuit vwo 3 en zeven leerlingen vanuit mavo 4. De havo 5 groep bestaat uit 27 leerlingen, waarvan één leerling havo 5 voor de tweede keer doet en waarvan twee leerlingen zijn gedoubleerd in havo 4.

De keuze om deelonderzoek 3 in één havo 4 en één havo 5 klas uit te voeren is vanuit meerdere aspecten tot stand gekomen. Op leerlingen die in havo 4 zijn blijven zitten na, worden alle mogelijke routes om in havo 4 terecht te komen in deze groep

vertegenwoordigd. De havo 4 groep heeft het afgelopen schooljaar van in totaal acht verschillende wiskundedocenten les gehad, wat meteen uitsluit dat de uitkomsten van deelonderzoek 1 in deze groep afhankelijk zouden zijn van die ene wiskundedocent waar (vrijwel) de hele klas het afgelopen schooljaar les van heeft gehad. Het afgelopen schooljaar hebben drie verschillende docenten lesgegeven aan havo 4 wiskunde A, en alle drie de docenten van het afgelopen schooljaar worden in deze havo 5 groep vertegenwoordigd. Om deze reden is er geen andere havo 4 en andere havo 5 groep nodig om andere factoren die van invloed op het resultaat zouden kunnen zijn, zoals lesuitval, de manier waarop een bepaalde docent lesgeeft en de doorlopen leerroute uit te kunnen sluiten. Dit is fijn, want ik weet niet welke deelonderzoeken ik later nog uit zal gaan voeren en het is fijn als ik nog wat klassen achter de hand heb die ik nog niet bij mijn onderzoek heb betrokken: wanneer ik bij al mijn deelonderzoeken alle klassen betrek en ik de leerlingen steeds vraag naar lineaire en / of exponentiële verbanden, dan bestaat het risico dat het voor de leerlingen voorspelbaar wordt, wat de resultaten van mijn onderzoek zou kunnen beïnvloeden.

De vraag die in dit derde deelonderzoek centraal staat, luidt:

In hoeverre beschikken de leerlingen in havo 4 en havo 5 over de in de in de onderbouw behandelde (voor)kennis over lineaire en exponentiële verbanden en in hoeverre verschilt deze kennis van de havo 4 leerlingen van die van de havo 5 leerlingen?

§3.5 Methode bij deelonderzoek 3 3.5.1 Beschrijving van de methode

Om de onderzoeksvraag van deelonderzoek 3 te kunnen beantwoorden, heb ik vier verschillende opdrachten gemaakt, waarmee ik in beeld hoop te krijgen in hoeverre de kennis over lineaire en exponentiële verbanden die tot de voorkennis zou moeten behoren is

(14)

blijven hangen (zie bijlage 3). Dit doe ik door een deel van de leerlingen een mindmap te laten maken en een deel van de leerlingen één van de drie verschillende representaties van (onder andere) lineaire en exponentiële verbanden voor te leggen: formules, tabellen en grafieken. Het materiaal voor de drie verschillende representaties haal ik uit het 3-havo-boek. In de drie verschillende representaties blijft het erg bij de basis: de grafieken zijn goed af te lezen en in de tabellen worden constant stappen van 1 genomen:

Afbeelding 1: Voorbeeld van een grafiek die Afbeelding 2: Voorbeeld van een tabel die aan (een deel van) de leerlingen is voorgelegd. aan (een deel van) de leerlingen is voorgelegd. Bij de drie verschillende representaties heb ik ervoor gekozen om de leerlingen niet alleen lineaire en exponentiële verbanden voor te leggen, maar ook andere, eerder behandelde verbanden:

Afbeelding 3: Voorbeeld van een tabel die niet bij Afbeelding 4: Voorbeeld van een grafiek die niet bij een lineair of exponentieel verband hoort. een lineair of exponentieel verband hoort.

Ik vraag de leerlingen om een formule bij elke tabel en grafiek op te stellen (zie afbeelding 1 t/m 4). De vragen die niet over lineaire of exponentiële verbanden gaan, zijn in principe niet interessant voor dit onderzoek. Tenzij uit het leerlingwerk blijkt dat deze vragen informatie opleveren die interessant is voor dit onderzoek zal ik hier dan ook niet op in gaan bij de bespreking van de onderzoeksresultaten. In bijlage 4 zijn per opdracht de uitwerkingen gegeven van de opgaven waar in dit deelonderzoek naar gekeken zal worden.

3.5.2 Uitvoering

De uitvoering van dit derde deelonderzoek pak ik als volgt aan: de opdrachten deel ik zo uit, dat iedere versie door in ieder geval één leerling die vanuit mavo 4 in havo 4 terecht is gekomen wordt gemaakt en de verdeling over de overige leerlingen zal ik geheel willekeurig doen. De leerlingen maken de opdracht individueel in toetsopstelling. Een eigen, grafische rekenmachine is niet toegestaan, maar omdat het berekenen van de groeifactor bij één van de exponentiële grafieken (midden onder op het opdrachtenblad) niet makkelijk uit het hoofd te berekenen is, mogen de leerlingen die de opdracht over grafieken krijgen gebruik maken van een niet-grafische rekenmachine. Ik beantwoord geen vragen; ik stel behalve de begin-

(15)

en eindtijd geen beperkingen aan de tijd die de leerlingen aan de opdracht mogen besteden en ik houd de klassikale instructie beperkt tot de mededeling dat ik onderzoek doe naar problemen bij wiskunde in de bovenbouw en dat ik voor dit onderzoek leerlingmateriaal nodig heb.

§3.6 Verantwoording methode bij deelonderzoek 3 3.6.1 Verantwoording van de methode

Door dit derde deelonderzoek zowel in een havo 4 als een havo 5 groep uit te voeren, kan de kennis van de havo 4 leerlingen als het ware gebruikt worden als een nulmeting: dit schooljaar moeten lineaire en exponentiële verbanden nog behandeld worden, dus de kennis die de havo 4 leerlingen op dit moment over dit onderwerp hebben, is in de onderbouw opgedaan. De kennis van de havo 5 leerlingen gebruik ik als zogenaamde eindmeting: dit schooljaar zijn in havo 5 lineaire en exponentiële verbanden wel al aan bod gekomen, dus bij de kennis van de havo 5 leerlingen zit ook de aandacht die in de bovenbouw aan lineaire en exponentiële verbanden wordt besteed; met deze kennis gaan de leerlingen "straks" het examen in.

Door het materiaal voor de drie verschillende representaties uit het 3-havo-boek te halen, weet ik zeker dat hetgeen wat ik de leerlingen voorleg ook daadwerkelijk tot de voorkennis van de leerlingen zou moeten behoren en sluit ik uit dat de resultaten van dit deelonderzoek onbetrouwbaar zouden zijn omdat ik een te moeilijke opgave zou hebben gemaakt. Het is een bewuste keuze om in de drie verschillende representaties erg bij de basis te blijven, omdat ik vast wil kunnen stellen of de basiskennis over lineaire en

exponentiële verbanden in orde is. Als dit het geval is, dan kan ik in deelonderzoek 4 meer gaan variëren in het soort opgave dat ik de leerlingen voorleg. Zou ik dat nu al doen, dan is het moeilijk, al dan niet onmogelijk, vast te stellen of een fout te maken heeft met het ontbreken van voorkennis of met de moeilijkheid van de opgave.

De keuze om ook andere, eerder behandelde verbanden in de opdrachten voor te laten komen is gemaakt om voorspelbaarheid te voorkomen. Wanneer leerlingen

doorhebben dat de hele opdracht draait om lineaire en exponentiële verbanden, zullen ze in het geval van gokken eerder "per ongeluk" het goede verband invullen, terwijl ik er juist achter wil komen of de leerlingen het verband daadwerkelijk herkennen.

Door de leerlingen te vragen om bij elke tabel en grafiek een formule op te stellen (zie afbeelding 1 t/m 4), probeer ik het vermoeden van mijn collega, dat leerlingen best een formule op kunnen stellen bij een gegeven tabel of grafiek, zodra ze weten dat het over een lineair of een exponentieel verband gaat, te toetsen. Bij de mindmap heb ik er voor gekozen om de leerlingen niet op een leeg blaadje te laten schrijven, omdat ik wil dat ze over beide begrippen nadenken en niet bijvoorbeeld alleen maar kenmerken van lineaire verbanden noemen. Een lege kolom bij exponentiële verbanden betekent dat de leerling hier niets over weet, terwijl een leerling dit in het geval van een blanco blaadje zou kunnen verklaren als: "Ik was vergeten nog wat over exponentiële verbanden op te schrijven".

3.6.2 Verantwoording van de uitvoering

Door ervoor te zorgen dat iedere versie wordt gemaakt door in ieder geval één leerling die vanuit mavo 4 in havo 4 terecht is gekomen, hoop ik erachter te komen of er een verschil zit in de kennis die de leerlingen hebben die vanaf de mavo komen en de kennis die de

leerlingen hebben die vanuit havo 3 komen (de twee gangbare routes om in havo 4 terecht te komen).

Het verbieden van een grafische rekenmachine heeft er mee te maken dat hiermee de ene representatie relatief eenvoudig omgezet kan worden in de andere. Als er gebruik gemaakt zou worden van deze mogelijkheid, dan is achteraf niet duidelijk of bijvoorbeeld de formule als exponentieel werd herkend, of dat de tabel of grafiek bij deze formule.

De opdrachten bespreek ik niet na, omdat ik dan al snel geneigd zou zijn om aan te geven wat wel en wat niet bij lineaire en exponentiële groei hoort en uitleg over deze twee begrippen te gaan geven. Dit is niet wenselijk, omdat ik wellicht in een later stadium de leerlingen (nog meer) opgaven wil laten maken en ik dan niet kan uitsluiten dat mijn uitleg bij deze opdrachten van invloed zal zijn op de resultaten.

(16)

Naar aanleiding van deelonderzoek 2, waarin mijn collega haar vermoeden heeft uitgesproken dat de leerlingen over het algemeen echt wel weten wat ze moeten doen wanneer er expliciet genoemd wordt dat het over een lineair of exponentieel verband gaat, verwacht ik dat de leerlingen die de mindmap-opdracht krijgen zowel voor een lineair als voor een exponentieel verband juiste kenmerken op kunnen schrijven / juiste voorbeelden kunnen geven.

Ondanks dat uit zowel deelonderzoek 1 als deelonderzoek 2 is gebleken dat mijn collega's grote zorgen hebben over het inzicht en overzicht dat de leerlingen hebben aangaande lineaire en exponentiële verbanden, met name wanneer de woorden

"exponentieel" en "lineair" ontbreken, verwacht ik dat het merendeel van de leerlingen in staat zal zijn om in ieder geval wat betreft de lineaire verbanden de verschillende

representaties te herkennen: de opgaven behoren echt tot de basis en de leerlingen hebben de verschillende representaties in deze hoedanigheid, zoals een rechte lijn als grafiek, al vele malen eerder voorbij zien komen. Ook de representaties van de exponentiële verbanden behoren tot de basis, maar ik vermoed dat met name het opstellen van de formules voor veel leerlingen problematisch zal zijn: zowel uit de bestudeerde literatuur als uit mijn eigen ervaring en de ervaring van mijn collega's is gebleken dat veel leerlingen dit moeilijk blijven vinden.

In de havo 4 klas waren op het moment van de uitvoering van dit onderzoek 22 van de 25 leerlingen aanwezig. Twee van de drie leerlingen die afwezig waren zijn vanuit havo 3 in havo 4 terecht gekomen en één van deze drie leerlingen is vanuit mavo 4 in havo 4 terecht gekomen. Ondanks de afwezigheid van deze drie leerlingen, worden in de groep leerlingen die heeft deelgenomen aan het onderzoek nog altijd alle in paragraaf 3.5 genoemde routes om in havo 4 terecht te komen vertegenwoordigd. In de havo 5 klas was op het moment van de uitvoering één van de 27 leerlingen afwezig. Net zoals in de havo 4 groep het geval is, worden met de overige 26 havo 5 leerlingen nog altijd de in paragraaf 3.5 genoemde routes om in havo 5 terecht te komen vertegenwoordigd.

In beide klassen was het overgrote deel van de leerlingen binnen een kwartier klaar met de opdracht, alleen enkele leerlingen met de opdracht over grafieken hadden nog iets langer de tijd nodig. Pas na 25 minuten heb ik de eerste opdrachten ingenomen en wat ik had gehoopt gebeurde in enkele gevallen ook: leerlingen die de opdracht al snel voor zich uit hadden geschoven, pakte hem er toch weer bij om nog iets in te vullen.

Met name in de havo 4 klas, maar in iets mindere mate ook in de havo 5 klas, gaven leerlingen aan er niets van te snappen en leken gefrustreerd door de opdracht die ze uitgedeeld kregen. Eén leerling in havo 4 zei: "Hoe kunnen we dit nou weten als we hier nu helemaal niet mee bezig zijn?".

Al het leerlingwerk is ingescand en terug te vinden in bijlage 5. De operationalisatietabellen bij iedere opdracht zijn terug te vinden in bijlage 6. In deze tabellen worden de gesignaleerde problemen en moeilijkheden die leerlingen hebben ondervonden aan de bestudeerde

literatuur gekoppeld. Onderstaand een voorbeeld van een dergelijke operationalisatietabel. Kenmerken lineaire verbanden

Vaardigheden die de leerlingen volgens mijn collega's zouden beheersen.

Geobserveerd gedrag dat bij deze

veronderstelling aansluit.

Vragen die aan de respondenten gesteld worden zijn. Concrete voorbeelden van antwoorden die gegeven zijn.

Leerlingen weten prima wat ze moeten doen zodra gegeven is dat het om een lineair verband

Leerlingen kunnen met de opdracht aan de Schrijf op wat je over lineaire "Grafiek is een rechte lijn"

(17)

Tabel 2: Operationalisatietabel die is gebruikt bij het analyseren van het leerlingwerk uit deelonderzoek 3. Omdat het in verschillende gevallen niet helemaal duidelijk is welke theorie ten grondslag aan het probleem lijkt te liggen, komen enkele problemen meerdere keren in dezelfde tabel voor.

De resultaten worden in de volgende sub paragrafen per opdracht en per klas samengevat. 3.8.1 Mindmap havo 4

Vijf van de 22 leerlingen hebben de mindmap gemaakt. Van deze vijf leerlingen komt één leerling van de mavo.

Uit het leerlingwerk blijkt dat vrijwel alle leerlingen in havo 4 bekend zijn met in ieder geval één juiste representatie van een lineair verband: vrijwel alle leerlingen geven aan dat de grafiek een rechte lijn is en dat de toename steeds constant is. Opvallend is wel, dat slechts één leerling ook over afname en daling spreekt. Omdat slechts één leerling een juist voorbeeld heeft gegeven van een lineaire formule en slechts twee leerlingen een tabel in hun antwoord hebben meegenomen, is het niet duidelijk of de leerlingen allemaal een goed beeld hebben van alle representaties van een lineair verband (en niet alleen van de grafiek).

Uit de opdracht blijkt ook dat de leerlingen een veel minder compleet beeld hebben van de verschillende representaties die bij een exponentieel verband horen. Zo verwarren twee leerlingen een exponentieel verband met een omgekeerd- of recht-evenredig verband (zie afbeelding 5). Eén leerling laat aan de hand van schetsen zien dat hij weet hoe de grafiek bij een exponentieel verband eruit hoort te zien, maar twee andere leerlingen verwarren de grafiek van een exponentieel verband met de grafiek van een kwadratisch verband. Twee leerlingen geven aan dat er een macht in de formule moet staan, maar geen enkele leerling geeft een juist voorbeeld van een exponentiële formule (zie afbeelding 6).

gaat (zie deelonderzoek 2 en deelonderzoek 3).

slag en geven juiste kenmerken van een lineair verband. verbanden weet. "Startgetal en hellingsgetal" "Gelijke toename" "Constante stijging / daling"

Juist voorbeeld van een lineaire formule Theorie die aansluit bij deze

problemen / bij de gegeven, onjuiste, antwoorden

Geobserveerd gedrag dat bij deze

veronderstelling aansluit.

Vragen die aan de respondenten gesteld worden zijn. Concrete voorbeelden van antwoorden die gegeven zijn.

Vanwege een onvoldoende rijk cognitief schema, hebben leerlingen slechts een beperkt beeld van de eigenschappen van de verschillende typen functies (Kop en Hoekstra, 2012). Geen concrete kenmerken (ook nu waren leerlingen met de opdracht aan de slag. Schrijf op wat je over lineaire verbanden weet.

"Grafiek gaat door de oorsprong"

(18)

Afbeelding 5: Een exponentieel verband wordt verward Afbeelding 6: De leerling geeft een onjuist met een omgekeerd- of recht-evenredig verband. voorbeeld van een exponentiele formule. Hoewel er zeker juiste antwoorden gegeven zijn, blijkt uit de onjuiste antwoorden dat het merendeel van de leerlingen een beperkt beeld heeft van de eigenschappen van de verschillende type functies en moeite heeft met het maken van onderscheid tussen de verschillende type functies. Dit komt met name naar voren bij exponentiële verbanden. Toch doet het antwoord "De grafiek gaat door de oorsprong" als kenmerk van een lineair verband vermoeden dat ook het cognitief schema van lineaire functies niet bij alle leerlingen

voldoende rijk is. 3.8.2 Mindmap havo 5

Zeven van de 26 leerlingen hebben de mindmap gemaakt.

Uit het leerlingwerk blijkt dat de leerlingen in havo 5 een goed en behoorlijk compleet beeld hebben van lineaire verbanden: ze weten hoe de bijbehorende grafiek eruitziet; zijn op de hoogte van de gelijke toename die hierbij hoort; noemen hellingsgetal en startgetal; geven de algemene vorm van een lineaire formule en enkele leerlingen beschrijven op een juiste manier hoe het hellingsgetal of het startgetal gevonden kan worden (zie afbeelding 7). Opvallend is ook nu, dat slechts twee leerlingen ook over afname en daling spreken.

Uit het leerlingwerk blijkt dat de kennis van de leerlingen over exponentiële

verbanden zeker niet foutloos is. Het merendeel van de leerlingen weet hoe een grafiek bij een exponentieel verband eruit hoort te zien. Twee van deze leerlingen hebben echter ook onterecht een grafiek met toenemende daling en een grafiek met afnemende stijging als grafiek bij een exponentieel verband opgeschreven (zie afbeelding 8). Dat er in de formule van een exponentieel verband een groeifactor voorkomt, weten vrijwel alle leerlingen te noemen. Toch geven slechts drie van de zeven leerlingen de juiste algemene vorm van een exponentiële formule. Ook in de havo 5 groep wordt door een leerling een exponentieel verband verward met een omgekeerd evenredig verband en met een recht evenredig verband.

(19)

Afbeelding 7: Voorbeeld van een goed en compleet beeld Afbeelding 8: Voorbeeld van een foutief en van een lineair verband. incompleet beeld van een exponentieel verband 3.8.3 Formules havo 4

Vijf van de 22 leerlingen hebben de opdracht over formules gemaakt. Van deze vijf leerlingen komen twee leerlingen van de mavo.

Opvallend is dat geen enkele leerling beide lineaire of beide exponentiële verbanden heeft herkend. Maar liefst drie van de vijf leerlingen hebben één van de twee lineaire

formules herkend en bij de andere lineaire formule aangegeven dat het om een exponentieel verband gaat. Eigenlijk is dit de rode draad in de antwoorden van de leerlingen: bij formules die heel anders van opbouw zijn (wel / geen macht, wel / geen gebroken functie) en die bij andere verbanden horen, zetten de leerlingen hetzelfde verband neer:

Afbeelding 9: Voorbeeld van een leerling die bij drie verschillende verbanden hetzelfde verband neerzet.

Het lijkt hierdoor bijna alsof de leerlingen geheel willekeurig de verbanden die ze zich kunnen herinneren hebben opgeschreven en af en toe "per ongeluk" het goede verband hebben opgeschreven. Of dit daadwerkelijk zo is, is niet duidelijk. In ieder geval is duidelijk dat lineaire en exponentiële formules lang niet altijd worden herkend, zowel bij de leerlingen die vanuit de mavo komen als bij de leerlingen die vanuit 3 havo komen. Daarnaast mist bij de leerlingen niet alleen de vaardigheid om gelijksoortige formules te herkennen en te

(20)

groeperen, maar ook de vaardigheid om de verschillende soorten formules uit elkaar te houden.

3.8.4 Formules havo 5

Zes van de 26 leerlingen hebben de opdracht over formules gemaakt.

Hoewel in deze groep lineaire en exponentiële formules in vrijwel alle gevallen worden herkend, blijkt uit de overige antwoorden dat de leerlingen problemen ondervinden bij het maken van onderscheid tussen de (kenmerken van) verschillende type verbanden: vier van de vijf leerlingen die beide lineaire en exponentiële formules hebben herkend, hebben ook bij andere formules aangegeven dat het om een lineair dan wel exponentieel verband gaat (vergelijkbaar met afbeelding 9, zie ook bijlage 5).

3.8.5 Tabellen havo 4

Zes van de 22 leerlingen hebben de opdracht over tabellen gemaakt. Van deze zes leerlingen komt één leerling van de mavo.

Hoewel in iets mindere mate als bij de opdracht over formules, valt ook nu op dat de leerlingen niet goed in staat lijken om overeenkomsten en verschillen te herkennen en op basis hiervan of hetzelfde of een ander soort verband aan de tabel toe te kennen. Dit wordt wat mij betreft het meest duidelijk uit onderstaand leerlingwerk:

Afbeelding 10: Leerlingwerk opdracht tabellen (Bron: door mijzelf verzameld leerlingwerk).

Zoals te zien is in afbeelding 10, heeft de leerling drie verschillende soorten regelmaat ontdekt en toch wordt bij alle drie de tabellen hetzelfde soort verband opgeschreven. Hoewel het opstellen van een lineaire formule de meeste leerlingen goed af gaat, is dit niet het geval bij de tabellen en de formules die bij een exponentieel verband horen: het is geen van de leerlingen gelukt om een juiste exponentiële formule op te stellen.

3.8.6 Tabellen havo 5

Zes van de 26 leerlingen hebben de opdracht over tabellen gemaakt.

Net als in de havo 4 groep gaat het herkennen van een tabel bij een lineair verband en het opstellen van een formule bij deze tabel de leerlingen in havo 5 over het algemeen goed af. Net als in de havo 4 groep ligt dit in het geval van een exponentieel verband anders: het herkennen van het exponentiële verband aan de hand van een tabel lukt iets meer dan de helft van de leerlingen, maar het is maar twee van de zes leerlingen gelukt om op een juiste manier te switchen van de numerieke naar de analytisch/algebraïsche representatie.

Hoewel in iets mindere mate dan in de havo 4 groep, worden ook in de havo 5 groep tabellen onterecht aangemerkt als tabellen die bij een lineair dan wel exponentieel verband horen. Zie onderstaand voorbeeld ter illustratie:

(21)

3.8.7 Grafieken havo 4

Zes van de 22 leerlingen hebben de opdracht over grafieken gemaakt. Van deze zes leerlingen komen twee leerlingen van de mavo.

Net zoals uit de opdracht over tabellen is gebleken, gaat het herkennen van een grafiek bij een lineair verband de leerlingen over het algemeen goed af. Slechts de helft van de leerlingen heeft ook foutloos de bijbehorende formules op weten te stellen. Ook nu weer geldt dat de grafieken en de formules die bij een exponentieel verband horen bij iedere leerling voor problemen zorgt. Meerdere leerlingen hebben bij de grafieken die bij een exponentieel verband horen geen verband opgeschreven (zie afbeelding 12). Ook wanneer de leerlingen hebben vastgesteld dat de grafiek bij een exponentieel verband hoort, lukt het niet om hier de juiste formule bij op te stellen (zie afbeelding 13).

Uit deze opdracht blijkt dus zowel bij lineaire als bij exponentiële verbanden dat de stap van grafisch naar analytisch/algebraïsche voor de meeste leerlingen een probleem vormt.

Afbeelding 12: Voorbeeld van het ontbreken van Afbeelding 13: Voorbeeld van een foutieve formule een verband bij een exponentiële grafiek. bij een juist herkende exponentiële grafiek.

3.8.8 Grafieken havo 5

Zeven van de 26 leerlingen hebben de opdracht over grafieken gemaakt.

Het herkennen van een grafiek die bij een lineair verband hoort, lukt vrijwel alle leerlingen. Uit het feit dat echt alleen de rechte lijnen als lineaire grafieken worden aangemerkt, blijkt dat de leerlingen in havo 5 een goed en duidelijk beeld hebben van de grafische weergave van een lineair verband. Het opstellen van de juiste formule bij een lineaire grafiek gaat echter bij slechts iets meer dan de helft van de leerlingen foutloos. Omdat alle formules die de leerlingen hebben opgesteld bij een lineair verband wel van de vorm " = '! + ) zijn, kan geconcludeerd worden dat de leerlingen in havo 5 wel een goed beeld hebben van hoe een formule bij een lineair verband eruit hoort te zien, maar dat de stap van de grafische naar de analytisch/algebraïsche representatie moeizaam gaat.

Het herkennen van een grafiek bij een exponentieel verband is slechts twee van de zeven leerlingen in beide gevallen gelukt. Omdat daarnaast slechts één keer een andere, niet exponentiële, grafiek voor een exponentiële grafiek is aangezien, wordt uit het

leerlingwerk van deze opdracht niet duidelijk welk beeld de leerlingen in havo 5 hebben over de grafiek die bij een exponentieel verband hoort. Het opstellen van een juiste exponentiële formule is slechts één leerling gelukt. Een andere leerling heeft de juiste, algemene, vorm van een exponentiële formule opgesteld en laat hiermee zien dat hij weet hoe een formule bij een exponentieel verband eruit hoort te zien (zie afbeelding 14). De leerlingen die het niet gelukt is om een juiste, exponentiële formule op te stellen, maken veelal de fout om te vermenigvuldigen met * in plaats van tot de macht * te doen (zie afbeelding 15).

(22)

Afbeelding 14: Voorbeeld van een leerling die niet Afbeelding 15: Voorbeeld van een leerling die in de juiste formule op heeft kunnen stellen, maar die "exponentiële" formule vermenigvuldigt met t. wel de juiste algemene vorm weet.

Uit de verschillende opdrachten wordt duidelijk dat zowel in havo 4 als in havo 5 het merendeel van de leerlingen een beperkt beeld heeft van de eigenschappen van de verschillende type functies en moeite heeft met het maken van onderscheid tussen de verschillende type functies. Dit sluit aan bij de theorie van (onder andere) Kop en Hoekstra (2012) en ondanks dat dit iets vaker naar voren lijkt te komen bij exponentiële verbanden, blijkt dat dit ook voor lineaire verbanden geldt.

Deze resultaten sluiten gedeeltelijk aan bij de verwachtingen die ik vooraf had: de leerlingen hebben inderdaad moeite met het opstellen van een exponentiële formule en hebben meer moeite met de exponentiële verbanden dan de lineaire verbanden, maar tegen mijn verwachtingen in blijkt het merendeel van de leerlingen ook geen rijk cognitief schema van lineaire verbanden te hebben. Ook had ik niet verwacht dat zoveel leerlingen moeite zouden hebben met het uit elkaar houden van de verschillende (kenmerken van de) verbanden.

Wat betreft lineaire verbanden blijkt zowel in havo 4 als in havo 5 dat het merendeel van de leerlingen een redelijk compleet beeld heeft van de verschillende representaties en goed kan switchen van numeriek naar analytisch, maar dat er maar weinig leerlingen in staat zijn om de stap van grafisch naar analytisch te zetten (zie tabel 1 in paragraaf 3.2).

Wat betreft exponentiële verbanden geldt dat het beeld dat de leerlingen van de verschillende representaties hebben lang niet compleet is en dat zowel het switchen van numeriek naar analytisch als van grafisch naar analytisch voor nagenoeg alle leerlingen, zowel in havo 4 als in havo 5, vrijwel onmogelijk is. Een mogelijke oorzaak is een

onvoldoende rijk cognitief schema, wat zou aansluiten bij de theorie van (onder andere) Kop en Hoekstra (2012). Een andere mogelijke oorzaak is dat leerlingen moeite zouden hebben met het algebraïsch uitdrukken van exponentiële relaties, wat aan zou sluiten bij de theorie van Ellis (et al., 2016). Ten slotte laten fouten als keer * in plaats van tot de macht * de mogelijkheid open dat een overmatig gebruik van lineariteit (Van Dooren et al., 2008) bijdraagt aan deze problemen.

Al met al blijkt uit dit deelonderzoek dat zowel de leerlingen in havo 4 als de leerlingen in havo 5 een onvoldoende rijk cognitief schema hebben van zowel lineaire als exponentiële verbanden en het onderscheid tussen beiden. Aangezien dit al in problemen resulteert bij opgaven met betrekking tot de basiskennis die in de onderbouw wordt opgedaan, lijken de problemen al in de onderbouw te ontstaan.

Het is opvallend dat in de havo 5 groep vier leerlingen in de opdracht alleen maar uit "lineair" en "exponentieel" hebben gekozen. Uit navragen bij mijn collega blijkt dat zij de klas (uit enthousiasme) voorafgaand aan mijn bezoek al iets had verteld over het onderzoek dat ik doe en waar dit onderzoek over gaat. Zij heeft toen ook lineaire en exponentiële formules genoemd. Het zou kunnen zijn dat dit de reden geweest dat enkele leerlingen het idee hebben gehad dat ook deze opdracht alleen over lineaire en exponentiële formules zou gaan. In dit geval zou de informatie de mijn collega aan de klas heeft gegeven van invloed

(23)

zijn op de resultaten van de antwoorden die deze leerlingen hebben gegeven. Omdat het maar om een klein groepje leerlingen gaat en omdat ook zonder hun werk de resultaten zoals genoemd in paragraaf 3.8 gelden, heb ik besloten het werk van de havo 5 groep toch te gebruiken in dit onderzoek. Het is uiteraard wel een leermoment: bij de uitvoering van volgende deelonderzoeken zal ik mijn collega's duidelijk maken dat er niets met de klas gedeeld mag worden over waar ik precies onderzoek naar doe. Wellicht had de mindmap nog meer sturend moeten zijn, door in beide kolommen "formule:", "tabel:" en "grafiek:" neer te zetten, om duidelijker in beeld te krijgen hoe compleet het cognitief schema van de leerlingen is. Ook wat betreft opdrachten over de verschillende representaties geldt, vanwege de "kaalheid' van de opdrachten, dat er weinig stimulatie is om tussen de

verschillende representaties van de functies te schakelen, waardoor wellicht niet de gehele cognitieve schema's van de leerlingen naar voren komen.

Omdat er telkens gekeken wordt naar de switch naar analytisch, en dus niet naar bijvoorbeeld de stap van een tabel (numeriek) naar een grafiek (grafisch), is het ten slotte moeilijk om vast te stellen wat ten grondslag ligt aan de gesignaleerde problemen bij het schakelen tussen de verschillende representaties van een exponentieel verband.

§3.10 Vooruitblik komend(e) deelonderzoek(en)

Het verschil tussen de resultaten van de havo 4 en de havo 5 groep is klein, zeker met in het achterhoofd dat in havo 5 net een hoofdstuk over lineaire en exponentiële verbanden

behandeld is. Hierdoor ontstaat het vermoeden dat het probleem zit in de verwerking van de leerlingen van de stof uit de onderbouw, bij het introduceren en het leggen van de

basiskennis over lineaire en exponentiële verbanden en de basis voor de cognitieve schema's van deze verbanden. Met de opmerking van de leerling uit havo 4 in het

achterhoofd ("Hoe kunnen we dit nou weten als we hier nu helemaal niet mee bezig zijn?"), ontstaat de vraag of het probleem wellicht zit in de manier waarop leerlingen leren (voor de korte termijn onthouden zodat er op de toets een voldoende gehaald kan worden en daarna weer vergeten) of wellicht de match tussen de leerlingen en de wijze waarop de stof wordt aangeboden.

In de volgende deelonderzoeken zal ik mij gaan richten op de vraag hoe het kan dat de kennis over lineaire en exponentiele verbanden niet is blijven hangen.

(24)

H4: Deelonderzoek 4: Inventarisatie gebruik van de methode door mijn

collega's

Zoals al in paragraaf 3.10 aangegeven, heb ik het vermoeden dat de oorzaak van de

problemen met betrekking tot lineaire en exponentiële verbanden waar zowel de leerlingen in havo 4 als in havo 5 tegenaan lopen voornamelijk lijkt te zitten in de onderbouw, bij het introduceren en het leggen van de basiskennis over lineaire en exponentiële verbanden en de basis voor de cognitieve schema's van deze verbanden. Theoretisch gezien zou een "slechte", onbekwame docent de reden kunnen zijn voor het ontbreken van een goede basiskennis bij de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen. Echter, omdat de leerlingen die tot de onderzoekseenheden van deelonderzoek 3 behoren een zeer diverse docentenhistorie hebben en de problemen zich bij vrijwel alle leerlingen lijken voor te doen, lijkt deze oorzaak mij zeer onwaarschijnlijk. Een veel waarschijnlijker oorzaak lijkt mij de gemene deler onder alle wiskundecollega's: de methode die wij gebruiken, Moderne Wiskunde. Er van uitgaande dat we ons allemaal aan de methode houden, zullen we allemaal op vergelijkbare wijze lineaire en exponentiële verbanden introduceren en behandelen en door de methode aan de hand van de literatuur aan een kritische blik te onderwerpen, hoop ik op mogelijke oorzaken van de in deelonderzoek 3 gesignaleerde problemen te stuiten. Echter, voordat ik hiertoe over ga, zal ik moeten verifiëren of mijn collega's bij de introductie en de behandeling van lineaire verbanden de aanpak van de methode volgen. Dit ga ik in dit deelonderzoek uitzoeken.

Dit vierde deelonderzoek zal ik uitvoeren onder tien van mijn wiskundecollega's. Omdat drie van mijn wiskundecollega's pas sinds dit schooljaar onderdeel van de wiskundesectie zijn, kunnen zij onmogelijk invloed hebben gehad op de kennis die de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen hebben en daarmee is het voor dit onderzoek niet relevant om van hen te weten of ze de aanpak van Moderne Wiskunde volgen. Mijn overige tien wiskundecollega's zijn

allemaal minimaal zes jaar werkzaam op deze school en omdat lineaire en exponentiële verbanden zowel in de onderbouw als in de bovenbouw behandeld worden, zouden al deze collega's invloed kunnen hebben gehad op de kennis die de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen van lineaire en exponentiële verbanden hebben.

De onderzoeksvraag bij dit vierde deelonderzoek luidt:

In hoeverre volgen mijn collega's de aanpak van Moderne Wiskunde bij het introduceren en behandelen van lineaire en exponentiële verbanden?

Al mijn sectiegenoten zal ik via de volgende mail om input vragen:

Zoals een aantal van jullie al zullen weten, doe ik voor mijn opleiding onderzoek naar de problemen die leerlingen (blijven) hebben met opgaven over lineaire en exponentiële verbanden. Van jullie wil ik graag antwoord op de vraag of jullie de aanpak van de

methode (Moderne Wiskunde) gebruiken bij de behandeling / introductie van lineaire en exponentiële verbanden, of dat jullie de behandeling / introductie van deze

onderwerpen anders aanpakken / de methode op welke manier dan ook aanvullen.

Het maakt niet uit op welk niveau en of je les in de onderbouw of bovenbouw geeft: al deze gegevens zijn belangrijk.

Ik zal kort toelichten waarom ik jullie dit vraag. Om dichter bij de kern van het probleem te komen, wil ik mij in mijn volgende deelonderzoeken verdiepen in theorie over hypothetische leertrajecten voor lineaire en exponentiële verbanden (/functies) en naar aanleiding hiervan de methode (dus Moderne Wiskunde) onder de loep nemen (om er achter te komen in hoeverre de methode die wij op school gebruiken hierbij aansluit). Dit is natuurlijk alleen relevant als blijkt dat wij de methode gebruiken als leidraad voor de lessen over lineaire en exponentiële verbanden.

(25)

Je reactie mag heel kort, graag de volgende dingen vermelden: Niveau (mavo/havo/vwo)

Klas

Wijk wel / niet van de methode af

Indien wel van de methode afwijken: op wat voor manier?

Het rondsturen van de bovengenoemde mail lijkt me een prima methode om antwoord op de onderzoeksvraag van deelonderzoek 4 te krijgen: mijn collega's kunnen hier op het moment dat het hun uitkomt op reageren; het is een veel snellere manier van informatie verzamelen dan wanneer ik bij iedere wiskunde collega langs zou gaan om deze vraag voor te leggen en ik heb niet het idee dat de gestelde vraag mondeling beter over zou komen van via de mail. Mocht uit het antwoord van een collega blijken dat de vraag niet helemaal goed is

overgekomen, dan kan ik vervolgens altijd nog mondeling om toelichting of opheldering vragen.

Mijn verwachting is dat het merendeel van mijn collega's zich, eventueel met kleine

aanvullingen, aan de methode houdt. Twee van de tien collega's werken zelf parttime bij de uitgever van de methode en ik ga ervan uit dat zij achter de methode staan en deze als leidraad voor hun lessen zullen gebruiken. Van in ieder geval vijf andere collega's weet ik dat zij zichzelf niet "creatief" vinden op het gebied van onderwijsontwikkeling en dit liever aan iemand anders over laten. Ook van deze collega's is mijn verwachting dat ze de aanpak van de methode zullen volgen. Twee collega's zijn zeer actief zijn op het gebied van het

ontwikkelen van (o.a. digitaal) lesmateriaal. Niet bij de uitgever, maar puur voor gebruik op onze school. Zij proberen in hun lessen geregeld iets nieuws uit en pakken een hoofdstuk ook weleens net iets anders aan dan de rest van de sectie. Het zou mij niet verbazen als deze twee collega's de introductie en behandeling van lineaire en/of exponentiële verbanden anders aanpakken dan hoe Moderne Wiskunde dit doet.

Twee weken en een herinneringsmail verder, had ik van zeven collega's via de mail een reactie ontvangen. Enkele citaten:

"Ik wijk eigenlijk niet van de methode af. Je weet, ik ben niet zo creatief"

"Ik maak gebruik van Moderne Wiskunde. Ik stond helemaal achter die methode, heb hem

zelf geschreven zelfs. Ik vind het zelf heel erg duidelijk en goed maar dat blijkt dus absoluut niet het geval te zijn"

"Zodra het boek van woordformules over gaat op formules knal ik gelijk y=ax+b erin. A hellingsgetal, hoe haal je die uit een tabel en grafiek en idem voor startgetal. Ik heb een oefenstencil om dit op alle manieren te oefenen"

"Ik volg het boek, maar wat ik onvoldoende uit de voet vind komen, is het visuele aspect van een verband. Daarnaast vind ik dat Moderne Wiskunde na een onderwerp behandeld te hebben hier in latere hoofdstukken te weinig op teruggrijpt. Nadat verschillende verbanden behandeld zijn, gebruik ik Geogebra om willekeurig grafieken van verschillende verbanden te laten genereren en de leerlingen moeten dan aangeven welk verband er bij de grafiek

hoort".

Alle (geanonimiseerde) reacties zijn terug te vinden in bijlage 7. In de laatste mail in bijlage 7 is te zien dat dat één van mijn collega's het over lineaire en exponentiële vergelijkingen in plaats van verbanden heeft. De oorzaak hiervan bleek te liggen in de herinneringsmail die ik naar enkele collega's had gestuurd: hierin had ik het per ongeluk over vergelijkingen in plaats van verbanden. De desbetreffende collega heb ik opgezocht en ik heb hem alsnog gevraagd naar de wijze waarop hij lineaire en exponentiële verbanden introduceert en

(26)

behandelt. Drie andere collega's hebben niet op de mails gereageerd. Hen heb ik op school opgezocht en mondeling om een reactie gevraagd. Ook deze antwoorden zijn terug te vinden in bijlage 7.

Uit de reacties blijkt dat meerdere collega's hier en daar de methode aanvullen of een accent op een bepaald stukje theorie leggen, voornamelijk een stappenplan voor het opstellen van een formule of het oefenen met "kale", context loze opgaven. Eén collega geeft expliciet aan extra aandacht te besteden aan de grafische representaties van de verschillende verbanden, ook nadat een onderwerp behandeld is. Verder blijkt dat mijn verwachting over de

onderzoeksresultaten klopt: voor vrijwel alle collega's geldt dat de aanpak van Moderne Wiskunde leidend is.

Omdat uit de resultaten blijkt dat vrijwel alle wiskundecollega's op alle niveaus en in alle jaarlagen zowel bij de introductie als bij de behandeling van lineaire en exponentiële verbanden in grove lijnen de aanpak van de methode volgt, kan de gebruikte methode inderdaad gezien worden als een gemene deler onder de wiskundedocenten op de school waar ik werkzaam ben. Nu dit bevestigd is, wil ik in het volgende deelonderzoek dieper in de reeds in deelonderzoek 3 gebruikte literatuur duiken op zoek naar concrete aanbevelingen met betrekking tot de introductie en de behandeling van lineaire en exponentiële verbanden (of misschien wel verschillende verbanden in het algemeen). Door deze aanbevelingen te vergelijken met het lesboek van Moderne Wiskunde, hoop ik op mogelijke oorzaken van de in deelonderzoek 3 gesignaleerde problemen te stuiten.