§6.1 Inleiding bij deelonderzoek 6
In dit zesde en tevens laatste deelonderzoek ga ik mij bij het bestuderen van de bij mij op school gebruikte wiskundemethode specifiek richten op één mogelijke oorzaak van de problemen waar de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen tegenaan lopen bij het werken met lineaire en exponentiële verbanden: de wijze waarop deze twee verbanden geïntroduceerd worden. Gewapend met de aanbevelingen uit deelonderzoek 5 hoop ik aan het eind van dit deelonderzoek een uitspraak te kunnen doen over de mogelijke relatie tussen de wijze waarop Moderne Wiskunde de introductie van lineaire en exponentiële verbanden aanpakt en de problemen waar de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen tegenaan lopen.
§6.2 Onderzoeksvraag bij deelonderzoek 6
Dit zesde deelonderzoek zal ik uitvoeren met behulp van de volgende boeken: Mavo:
Moderne Wiskunde leerboek 2 vmbo-gt/h-A 10e editie, H6 Lineaire formules
Moderne Wiskunde leerboek 4 vmbo-gt-B 10e editie, H7 Exponentiële formules
Havo:
Moderne Wiskunde leerboek 1A HAVO/VWO 10e editie, H6 Woordformules
Moderne Wiskunde leerboek 2B HAVO/VWO 10e editie, H7 Procentuele groei
Vwo:
Moderne Wiskunde leerboek 1A VWO 10e editie, H6 Woordformules
Moderne Wiskunde leerboek 2B VWO 10e editie, H7 Procentuele groei
Sinds afgelopen schooljaar wordt op de havo en het vwo gebruik gemaakt van de 12e editie,
maar omdat in dit onderzoek wordt gekeken naar de problemen waar de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen tegenaan lopen, zal in dit deelonderzoek gekeken worden naar de methodes die werden gebruikt toen bij deze leerlingen lineaire en exponentiële verbanden geïntroduceerd werden. De keuze om zowel naar de methode van de mavo als de methode van de havo en van het vwo te kijken heeft te maken met de verschillende leerroutes die de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen hebben doorlopen. In dit deelonderzoek zal, zoals eerder genoemd, uitsluitend gekeken worden naar de wijze waarop Moderne Wiskunde lineaire en exponentiële verbanden introduceert en om deze reden zal er uitsluitend gekeken worden naar de hoofdstukken waarin lineaire en exponentiële verbanden voor het eerst genoemd worden.
De onderzoeksvraag bij dit laatste deelonderzoek luidt:
In hoeverre sluit de aanpak van Moderne Wiskunde bij de introductie van lineaire en exponentiële verbanden aan bij de aanbevelingen vanuit de bestudeerde literatuur?
§6.3 Methode bij deelonderzoek 6
In dit zesde deelonderzoek voer ik een vergelijkend onderzoek uit waarin de in paragraaf 6.2 genoemde hoofdstukken zullen worden vergeleken aan de hand van tabel 2 en tabel 3 (zie paragraaf 5.5). Een vergelijkend onderzoek, waarin per niveau (mavo, havo, vwo) en per aanbeveling wordt bekeken of dit in de aanpak van Moderne Wiskunde terugkomt. §6.4 Verwachte onderzoeksresultaten bij deelonderzoek 6
Zoals ik al in deelonderzoek 3 heb uitgesproken, vermoed ik dat de problemen waar de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen tegenaan lopen al ontstaan in de onderbouw, bij de introductie van lineaire en exponentiële verbanden. Vanwege deze problemen is mijn verwachting dat de aanpak van Moderne Wiskunde wellicht op het gebied van enkele, maar zeker niet op het gebied van alle aanbevelingen aansluit bij de bestudeerde literatuur. Ik
verwacht, ook naar aanleiding van de resultaten van deelonderzoek 3, geen grote verschillen tussen de verschillende niveaus. Bovendien weet ik vanuit mijn ervaring in de onderbouw dat de havo-stof en de vwo-stof zeer veel overeenkomsten vertonen, dus ik verwacht met name een sterke overeenkomst tussen de resultaten van de havo- en de vwo-methode. Dat de meeste problemen zich voordoen bij opgaven over exponentiële verbanden zou te maken kunnen hebben met een andere, betere aanpak van de methode bij het behandelen van lineaire verbanden, maar dit zou natuurlijk ook goed kunnen komen door de eenvoudigere aard van lineaire verbanden. Mijn verwachting is dat Moderne Wiskunde de behandeling van verschillende verbanden op vergelijkbare wijze aanpakt en dat er dus ook geen grote
verschillen zullen zijn tussen de resultaten met betrekking tot lineaire verbanden en de resultaten met betrekking tot exponentiële verbanden.
§6.5 Resultaten deelonderzoek 6
In paragraaf 5.6 is de overeenkomst tussen de aanbeveling van Ellis (2009) en de
aanbeveling van Kop en Hoekstra (2012) besproken. Omdat Ellis (2009) de nadruk legt op het redeneren met grootheden en omdat Kop en Hoekstra (2012) dit niet doen, heb ik besloten de twee aanbevelingen toch als apart te behandelen. Omdat in de literatuur geen onderscheid tussen verschillende niveaus wordt gemaakt, zullen de mavo, havo en het vwo aan dezelfde aanbevelingen worden onderworpen. De tabellen waarin per niveau de
methode met de aanbevelingen wordt vergeleken en de uitspraken worden voorzien van concrete voorbeelden uit Moderne Wiskunde, zijn terug te vinden in bijlage 10.8.
Onderstaand, in tabel 5, een voorbeeld een deel van zo'n tabel.
Lineaire verbanden (Moderne Wiskunde leerboek 2 vmbo-gt/h-A 10e editie, H6 Lineaire formules)
Aanbeveling Moderne Wiskunde voldoet wel/niet aan deze aanbeveling
Toelichting / concrete voorbeelden die dit ondersteunen
Do: Leerlingen opgaven met betekenisvolle contexten voorleggen (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. De contexten die worden gebruikt sluiten denk ik niet per se allemaal aan bij de belevingswereld van de leerlingen, maar zijn, naar mijn inschatting, wel begrijpelijk voor de leerlingen: een kaars die brandt, iemand die kaarten verkoopt,
klusjesbedrijven die een bedrag per uur en een vast bedrag rekenen. Wanneer een context wellicht niet helemaal duidelijk is voor de leerlingen (zoals een krik), is een verhelderende afbeelding toegevoegd.
Voorbeeld uit het boek:
Tabel 5: Vergelijking van de methode met de aanbevelingen uit de literatuur.
In deze paragraaf worden de resultaten per niveau en per verband samengevat. 6.5.1 Mavo Lineaire verbanden
Wat betreft de introductie van lineaire verbanden op de mavo blijkt dat Moderne Wiskunde op meerdere vlakken aansluit bij de aanbevelingen die in deelonderzoek 5 naar voren zijn gekomen: er wordt gebruik gemaakt van betekenisvolle contexten die niet gekunsteld zijn,
zoals een kaars die brandt of iemand die kaarten verkoopt; in meerdere opgaven wordt een gelijktijdige ontwikkeling van tabel, grafiek en formule gestimuleerd (zie afbeelding 16); het hoofdstuk bevat meerdere contextopgaven waarin de formule nog niet gegeven is en het aan de leerling is om deze formule op te stellen en zogenaamde ontbrekende-waarde-opgaven komen niet in het hoofdstuk voor.
Echter, uit de vergelijking blijkt dat Moderne Wiskunde niet bij alle aanbevelingen aansluit. Zo wordt er vrijwel geen aandacht besteed aan situaties waarin lineariteit niet van toepassing is; wordt er wel heel erg gefocust op patronen (bijvoorbeeld door de leerlingen steeds pijltjes met de toe- of afname onder de tabel te laten tekenen, zie afbeelding 17); komt er geen enkele tabel in het hoofdstuk voor waarin geen regelmaat te ontdekken is maar waarin wel sprake is van lineariteit en zijn de opgaven ten slotte allemaal erg sturend
waardoor leerlingen niet worden gestimuleerd om zelf over een oplossingsstrategie na te denken.
Afbeelding 16: Voorbeeld van een opgave die een gelijktijdige Afbeelding 17: Het tekenen van ontwikkeling van tabel, grafiek en formule stimuleren. pijltjes onder de tabel wordt
Bron: Moderne Wiskunde gestimuleerd.
Bron: Moderne Wiskunde
6.5.2 Mavo Exponentiële verbanden
Wat betreft de introductie van exponentiële verbanden op de mavo blijkt dat Moderne Wiskunde aansluit bij drie van de vijf aanbevelingen: er worden betekenisvolle contexten gebruikt (zie afbeelding 18), voornamelijk met betrekking tot bacteriën of geneesmiddelen; in meerdere opgaven wordt zowel naar de tabel als naar de grafiek als naar de formule
gevraagd en meerdere contextopgaven hebben de overgang naar de analytisch/algebraïsche representatie als doel (zie afbeelding 19).
Moderne Wiskunde lijkt echter niet aan te sluiten bij de aanbeveling om leerlingen zelf actief te laten onderzoeken en te laten ervaren wat exponentiële groei is door te variëren met beginhoeveelheden en groeifactoren en de aanbeveling om leerlingen problemen voor te leggen, zodat ze gestimuleerd worden om zelf over een geschikte oplossingsstrategie na te denken: door de subvragen zijn alle opgaven erg sturend (zie afbeelding 18 en afbeelding 19).
Afbeelding 18: Voorbeeld van betekenisvolle context. Afbeelding 19: Voorbeeld van een opgave waarin
Bron: Moderne Wiskunde naar meerdere representaties wordt gevraagd.
6.5.3 Havo Lineaire verbanden
Wat betreft de introductie van lineaire verbanden op de havo blijkt dat Moderne Wiskunde aansluit bij iets meer dan de helft van de aanbevelingen vanuit de literatuur, al is dit in sommige gevallen wat twijfelachtig: de contexten die gebruikt worden zijn niet gekunsteld, maar zijn in enkele gevallen zo gedateerd (zoals een beltegoedkaart of het huren van films bij een videotheek), dat dit bij de leerlingen voor verwarring kan zorgen. Daarnaast komen aan het begin van het hoofdstuk wel degelijk zogenaamde ontbrekende-waarde-opgaven voor (zie afbeelding 20), maar stopt dit zodra het begrip 'lineaire groei' is geïntroduceerd. In het hoofdstuk komen meerdere opgaven voor die een gelijktijdige ontwikkeling van tabel, grafiek en formule stimuleren en er wordt in diverse opgaven expliciet aandacht besteed aan de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche representatie (zie afbeelding 21). Toch ontbreekt het ook op de havo aan problemen, aan opgaven waarin geen regelmaat te ontdekken is en toch sprake is van lineariteit en aan opgaven waarop lineariteit niet van toepassing is.
Afbeelding 20: voorbeeld van een Afbeelding 21: Voorbeeld van opgave waarin ontbrekende-waarde-opgave. expliciet aandacht is voor de overgang van de
Bron: Moderne Wiskunde verbale naar de analytisch/algebraïsche
representatie.
Bron: Moderne Wiskunde
6.5.4 Havo Exponentiële verbanden
Wat betreft de introductie van exponentiële verbanden op de havo sluit Moderne Wiskunde, ondanks de geringe variatie, aan bij de aanbeveling om betekenisvolle contexten te
gebruiken (zie afbeelding 22) en bij de aanbeveling om de leerlingen opgaven voor te leggen waarin een gelijktijdige ontwikkeling van tabel, grafiek en formule wordt gestimuleerd.
In tegenstelling tot de mavo en in tegenstelling tot de introductie van lineaire
verbanden, komen in het hoofdstuk waarin exponentiële verbanden worden geïntroduceerd in totaal slechts twee contextopgaven voor waarin de formule nog niet gegeven is en waarin expliciete aandacht is voor de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche overgang. Daarnaast komen problemen vrijwel uitsluitend voor in de complexe opgaven, die over het algemeen slechts door een klein deel van de leerlingen gemaakt worden en bieden de opgaven slechts zeer gering de mogelijkheid voor de leerlingen om te onderzoeken en te ontdekken wat exponentiële groei inhoudt (zie afbeelding 22).
Afbeelding 22: voorbeeld van een opgave met een betekenisvolle context, waarin de leerlingen de mogelijkheid wordt geboden om te onderzoeken wat exponentiële groei inhoudt.
6.5.5 Vwo Lineaire verbanden
Ook op het vwo gebruikt Moderne Wiskunde bij de introductie van lineaire verbanden betekenisvolle, niet gekunstelde opgaven, die in meerdere gevallen een beroep doen op de gelijktijdige ontwikkeling van zowel de tabel als de grafiek als de formule. Net als op de havo komen zogenaamde ontbrekende-waarde-opgaven aan het begin van het hoofdstuk voor, maar niet meer nadat het begrip 'lineaire groei' is geïntroduceerd. Aan de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche representatie wordt aandacht besteed (zie
afbeelding 23), maar dit gebeurt in totaal in slechts vier opgaven. Net als op de mavo en de havo komen in het hoofdstuk vrijwel geen opgaven voor die niet bij een lineair verband horen en komt er geen enkele opgave voor waarin geen sprake van regelmaat maar wel van een lineair verband is. Problemen komen alleen in de complexe opgaven voor, met als gevolg dat slechts enkele leerlingen zullen oefenen met het zelf kiezen van een geschikte
oplossingsstrategie.
Afbeelding 23: voorbeeld van een opgave waarin aandacht wordt besteed aan de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche representatie.
Bron: Moderne Wiskunde
6.5.6 Vwo Exponentiële verbanden
Bij de introductie van exponentiële verbanden in 2 vwo gebruikt Moderne Wiskunde veelal vergelijkbare, maar betekenisvolle contexten: veel contexten hebben betrekking op rente of op aantallen van een bepaalde planten- of diersoort (zie afbeelding 22). Daarnaast komen in het hoofdstuk verschillende contextopgaven voor waarin de formule nog niet gegeven is en het de taak van de leerlingen is om hier een formule bij op te stellen. Opvallend is wel, dat in dergelijke contextopgaven direct naar de formule wordt gevraagd, zonder eerst naar de grafische en/of numerieke presentatie te vragen (zie afbeelding 24).
In tegenstelling tot op de mavo en de havo komen bij de introductie van exponentiële verbanden op het vwo geen opgaven voor waarin zowel een beroep op de tabel als op de grafiek als op de formule wordt gedaan. Opgaven die de leerlingen laten onderzoeken en ervaren wat exponentiële groei inhoudt komen, net als problemen, vrijwel niet voor.
Afbeelding 24: voorbeeld van een contextopgave waarin direct naar de formule gevraagd wordt.
Bron: Moderne Wiskunde
§6.6 Conclusie en discussie deelonderzoek 6
Zoals ik had verwacht, sluit Moderne Wiskunde voor alle niveaus en zowel voor de
introductie van lineaire verbanden als voor de introductie van exponentiële verbanden op het gebied van enkele aanbevelingen aan bij de bestudeerde literatuur, maar zeker niet bij alle aanbevelingen. Daarnaast vertonen de resultaten, eveneens zoals verwacht, veel
overeenkomsten.
Over het algemeen geldt dat Moderne Wiskunde aansluit bij de aanbevelingen op het gebied van betekenisvolle contexten; opgaven die een gelijktijdige ontwikkeling van zowel tabel als grafiek als formule stimuleren; opgaven die aandacht besteden aan de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche aanpak en opgaven die niet in de categorie ontbrekende-waarde-opgaven vallen. Hiermee wordt aangesloten bij het merendeel van de
aanbevelingen van Kop en Hoekstra (2012) en bij enkele aanbevelingen van Ellis (2009) en Van Dooren (et al., 2008).
Ook geldt over het algemeen dat Moderne Wiskunde niet aansluit bij de aanbeveling om tijdens de introductie van lineaire verbanden ook opgaven die niet met lineariteit te maken hebben te behandelen (Van Dooren et al., 2008); om niet teveel te focussen op regelmaat bij de introductie van lineaire verbanden (Ellis 2009); om leerlingen actief te laten onderzoeken en ervaren wat exponentiële groei inhoudt (Ellis et al., 2016) en om leerlingen aan de hand van problemen zelf na te laten denken over geschikte oplossingsstrategieën (Kop en Hoekstra, 2012). Het gebrek aan de koppeling van Moderne Wiskunde met deze laatstgenoemde aanbevelingen zou mogelijk een oorzaak kunnen zijn voor de problemen die in deelonderzoek 3 zijn gesignaleerd: door het voorgekauwde karakter van de opgaven uit het boek en de nadruk op regelmaat in plaats van covariërende grootheden in combinatie met het gebrek aan een stimulans om leerlingen zelf te laten ontdekken en nadenken over de toepasbaarheid van verschillenden "gereedschappen" zou er voor kunnen zorgen dat de leerlingen een onvoldoende rijk cognitief schema voor zowel lineaire als exponentiële verbanden ontwikkelen. Dit met onder andere als gevolg dat leerlingen de verschillende functies en hun eigenschappen niet goed uit elkaar kunnen houden.