In de zes deelonderzoeken is naar aanleiding van een door mijn collega's gesignaleerd probleem gekeken naar de problemen waar de leerlingen in zowel havo 4 als havo 5 tegenaan lopen op het gebied van lineaire en exponentiële verbanden en naar mogelijke oorzaken voor deze problemen. Door geschikte onderzoekstechnieken in te zetten, geschikte onderzoekseenheden te kiezen, de resultaten grondig te analyseren en de vervolgonderzoeken aan te passen op de resultaten van eerdere deelonderzoeken, ben ik uiteindelijk steeds dichter bij mogelijke oorzaken van de problematiek gekomen.
§7.2 Beantwoording onderzoeksvraag
De vraag die in dit onderzoek centraal stond en waarvan de deelonderzoeken als doel hadden om steeds dichter bij een antwoord te komen, is:
Waarom en waarop lopen leerlingen vast op exponentiële en lineaire verbanden?
Met de resultaten van deelonderzoek 1 t/m 6 in het achterhoofd zou de 'waarop-vraag' als volgt beantwoord kunnen worden: de leerlingen uit zowel havo 4 als havo 5 lopen vast bij het uit elkaar houden van (de kenmerken, representaties en eigenschappen van) de
verschillende verbanden en blijken een onvoldoende rijk cognitief schema te hebben opgebouwd over zowel lineaire als exponentiële verbanden. Dit laatste komt met name tot uiting bij het herkennen van de verschillende representaties van een exponentieel verband en het analytisch/algebraïsch uitdrukken van zowel lineaire als exponentiële verbanden.
Dan de 'waarom-vraag'. Omdat de problemen zich al voordoen bij opgaven die tot de basiskennis over lineaire en exponentiële verbanden zouden moeten behoren en deze kennis in de onderbouw zou moeten worden opgedaan, lijkt het probleem al te ontstaan bij de introductie van lineaire en exponentiële verbanden. De vergelijking van Moderne
Wiskunde met een aantal onderbouwde aanbevelingen vanuit de literatuur laat zien dat met name het onderzoekende aspect en de stimulans om kritisch naar opgaven te kijken (aan de hand van problemen of non-voorbeelden) in de door ons gebruikte methode ontbreekt. Dit laatste zou een oorzaak voor de gesignaleerde problematiek kunnen zijn. Om hier echter een onderbouwde uitspraak over te kunnen doen, is verder onderzoek nodig (zie hiervoor paragraaf 7.5).
§7.3 Discussie en voorstellen voor verbetering
Met betrekking tot (de uitvoering van) dit onderzoek zijn wat punten ter verbetering te noemen. In de onderstaande alinea's loop ik deze langs.
Zoals bij de bespreking van de resultaten bij deelonderzoek 3 al is genoemd, waren de opdrachten die aan de leerlingen zijn voorgelegd wellicht niet helemaal geschikt om de cognitieve schema's van de leerlingen boven tafel te krijgen. Zou ik dit onderzoek nog een keer moeten uitvoeren, dan zou ik de opgaven zo aanpassen, dat ze een beroep doen op de verschillende representaties (volgens het schema van Janvier (1987)) van zowel lineaire als exponentiële verbanden en eventueel zelfs het schakelen hiertussen. Wat betreft de
mindmap stel ik mij een eenvoudige aanpassing voor: in de twee kolommen zou ik "Tabel:", "Grafiek:" en "Formule:" toevoegen, om er zo op aan te sturen dat de leerlingen over al deze representaties iets opschrijven. De overige opdrachten zouden zich niet meer zo sterk op één representatie, maar op een combinatie hiervan moeten richten, ook op de verbale representatie. Op dit moment heb ik nog geen voorstelling van hoe dit er precies uit zou komen te zien, maar ik stel mij een opdrachtenblad voor waarop alle vier de representaties worden vertegenwoordigd, met hierbij een vraag die een beroep op in ieder geval één
andere representatie doet. Bijvoorbeeld een formule met hierbij de opdracht om aan de hand van een tabel de grafiek die bij de formule hoort te tekenen (analytisch/algebraïsch naar numeriek naar grafisch). Of een contextopgave met de opdracht om de juiste formule bij deze context op te stellen (verbaal naar analytisch/algebraïsch, eventueel via numeriek en/of grafisch, zie regel vijf van tabel 3 en regel vier van tabel 4 in paragraaf 5.5). Wellicht zijn ook
nu verschillende versies nodig, omdat opdrachten als deze vermoedelijk meer tijd in beslag nemen dan de opdrachten die zijn gebruikt voor deelonderzoek 3.
Wat ik daarnaast graag in de opdrachten zou verwerken, is een verplichte focus op covariërende grootheden, bijvoorbeeld door de leerlingen lineaire tabellen voor te leggen waarin geen regelmaat is te ontdekken (zie tabel 3, regel één), en het werken en redeneren met lineaire formules van de vorm ! = #$ (waarop de multiplicatieve eigenschap van toepassing is) en van de vorm ! = #$ + & (waarop de multiplicatieve eigenschap niet van toepassing is):
Afbeelding 25:Voorbeeld van een opgave waarop de multiplicatieve eigenschap van toepassing is.
Afbeelding 26:Voorbeeld van een opgave waarop de multiplicatieve eigenschap niet van toepassing is.
Pas toen ik mij in deelonderzoek 5 grondig in de verschillende artikelen ben gaan verdiepen, kwam ik erachter dat het artikel van Van Dooren (et al., 2008) over het overmatig gebruik van lineariteit ook te maken heeft met misverstanden die tussen deze twee soorten lineaire verbanden bestaat. De opdrachten die in deelonderzoek 3 zijn gebruikt, zijn echter niet geschikt om boven tafel te krijgen of de huidige havo 4 en havo 5 leerlingen ook tegen deze problemen aanlopen.
Een ander verbeterpunt is de instructie die ik mijn collega's geef wanneer zij namens mij in hun klas een onderzoek uitvoeren. Op deze manier kan voorkomen worden dat de leerlingen al voorafgaand aan het maken van de opdrachten weten dat mijn onderzoek zich richt op lineaire en exponentiële verbanden, wat de onderzoeksresultaten mogelijk heeft beïnvloed. Met het oog op de deelonderzoeken die nog zouden volgen, heb ik besloten om deelonderzoek 3 in slechts één havo 4 en één havo 5 groep af te nemen. Uiteindelijk heb ik in de deelonderzoeken die volgden geen beroep op de overige klassen gedaan en had ik de uitvoering van deelonderzoek 3 wellicht groter aan moeten pakken. Immers, hoe groter het aantal onderzoekseenheden, hoe betrouwbaarder de conclusies zijn die vanuit de
deelonderzoeken volgen. Was het aantal onderzoekseenheden groter geweest, dan was het wellicht ook mogelijk geweest om na te gaan of het waarschijnlijk is dat de uitspraak die mijn collega voorafgaand aan de uitvoering van deelonderzoek 3 over het onderwerp van dit onderzoek in haar klas heeft gedaan van invloed is geweest op de onderzoeksresultaten.
Daarnaast kan de vraag gesteld worden of de methode die in deelonderzoek 5 en deelonderzoek 6 is gebruikt, het formuleren van aanbevelingen vanuit hypothetische leertrajecten die vervolgens worden vergeleken met de methode, een juiste methode is om mogelijke oorzaken van de in deelonderzoek 3 gesignaleerde problemen boven water te krijgen. Zoals in het artikel van Ellis (et al., 2016) wordt aangegeven, is een hypothetisch leertraject geen voorschrift voor het enige juiste of het beste pad van leren, maar een mogelijke karakterisering van het leren van leerlingen in de loop van de tijd. Om deze reden zou gesteld kunnen worden dat er waarschijnlijk nog meer hypothetische leertrajecten zijn beschreven met wellicht hele andere aanbevelingen (die ook weer beargumenteerd kunnen worden) en de mogelijkheid dat de aanpak van Moderne Wiskunde veel beter bij deze aanbevelingen aansluit. Om deze reden heb ik dan ook in paragraaf 7.2, bij het beantwoorden van de onderzoeksvraag (Waarom en waarop lopen leerlingen vast op
exponentiële en lineaire verbanden?), aangegeven dat er verder onderzoek nodig is om vast te kunnen stellen of het gebrek aan overeenkomsten tussen bepaalde aanbevelingen die in deelonderzoek 5 zijn genoemd en de aanpak van Moderne Wiskunde een oorzaak zou kunnen zijn van de problemen rondom lineaire en exponentiële verbanden.
Ten slotte heb ik het analyseren van Moderne Wiskunde aan de hand van de do's en de don'ts alleen gedaan. Voor de betrouwbaarheid van de onderzoeksresultaten en voor
vervolgonderzoek zou het handig geweest zijn als (een van) mijn collega('s) met ditzelfde vizier en aan de hand van dezelfde tabel Moderne Wiskunde had bekeken.
§7.4 Verbetering van de praktijk
Het voelt bijna ongemakkelijk om toe te geven, maar net als veel van mijn collega's volg ik over het algemeen de aanpak van de methode, zonder hier zelf kritisch naar te kijken en over mogelijke alternatieven na te denken. Ik maak PowerPoints, quizjes en extra oefensommen, maar ik wijk nooit af van de grove lijn die door de methode wordt
uitgestippeld. Zou iemand mij vragen waarom, dan zou ik waarschijnlijk antwoorden dat ik het al druk genoeg heb en ik blij ben als ik mijn lessen überhaupt fatsoenlijk kan
voorbereiden.
Het komt weleens voor dat de resultaten van een bepaald hoofdstuk of een bepaald onderwerp tegenvallen, maar in plaats van dat we dan kritisch naar de aanpak van de methode kijken, kijken we bijvoorbeeld naar de lengte of de norm van de toets. Het is natuurlijk eigenlijk heel merkwaardig dat we ons als wiskundesectie enorm kunnen
verwonderen over fouten die leerlingen maken, we uitspreken dat we niet snappen hoe het komt dat de leerlingen deze fouten maken en we niet eens kritisch kijken naar en het gesprek aangaan over hoe wij leerlingen bepaalde vaardigheden of begrippen aanleren. En dat terwijl uit enkele mails van mijn collega's blijkt dat zij wel degelijk twijfels hebben over de aanpak van Moderne Wiskunde.
Nu ik mij voor dit onderzoek heb verdiept in de literatuur rondom het behandelen van lineaire en exponentiële verbanden en de argumenten voor het doen of juist laten van bepaalde aspecten, ben ik heel anders gaan kijken naar de aanpak van Moderne Wiskunde en dus ook naar mijn eigen aanpak bij het introduceren en behandelen van lineaire en exponentiële verbanden. De argumenten en achterliggende informatie uit de artikelen van Ellis (2009), Van Dooren (et al., 2008), Kop en Hoekstra (2012) en Ellis (et al., 2016) met betrekking tot een aanpak die leerlingen stimuleert om zelf te onderzoeken, te ontdekken en na te denken over oplossingsstrategieën, kenmerken en eigenschappen en hun
toepasbaarheid vind ik zeer overtuigend. Omdat uit deelonderzoek 6 is gebleken dat
Moderne Wiskunde op dit gebied tekort schiet, vind ik dat ik hier iets mee moet en dat ik niet meer blind de aanpak van de methode kan volgen.
Omdat mijn collega's nauw betrokken zijn geweest bij dit onderzoek en oprecht geïnteresseerd zijn in de uitkomsten, heb ik mijn bevindingen met de wiskundesectie gedeeld. Geconfronteerd met de resultaten gaven mijn collega's onder andere de volgende reacties:
"De door jou verwoorde reden zou zeker kunnen opgaan, maar aan de andere kant vraag ik
me ook af of routines/vaardigheden mogelijk veel meer ingeslepen hadden moeten zijn, VOOR leerlingen aan gevarieerde toepassingen daarvan toe zijn (stappenplan bij lineair en bij exponentiele verbanden). Leerlingen die in 4 havo nu meer op inzicht/begrip dan
vaardigheid een lineaire formule opstellen (startwaarde altijd door te redeneren naar x=0) gaan naar mijn idee vaker de mist in met rekenfouten, wat hen verward omdat het niet klopt met het inzichtelijke beeld wat zij hebben.
Leerlingen bij wi A die het overzicht/inzicht "wat minder" hebben kunnen juist heel veel houvast hebben aan ingeslepen routines bij opdrachten met de beide verbanden.
Interessant lijkt mij hoe Getal en Ruimte en andere methodes daar mee omgaan en of dat leidt tot betere resultaten (begrip EN vaardigheden)"
"Ook in de onderbouw vinden leerlingen het lastig om de drie representaties (grafiek,
formule, tabel) van lineaire formules door elkaar te gebruiken, bij exponentiele verbanden wordt in de onderbouw minder vaak de link gelegd tussen de drie representaties. Ik had dus wel verwacht dat dit is waar het op mis zou gaan in de bovenbouw. Met het onderzoekende aspect zou je kunnen bereiken dat leerlingen ook echt begrijpen waarom de formule bij een bepaald verband zo is opgesteld in plaats van het domweg in het hoofd stampen en een
regeltje toepassen, hierdoor wordt het waarschijnlijk makkelijker om deze eerder opgedane kennis in een later stadium weer te gebruiken en zo nodig aan te vullen"
Naar aanleiding van dit onderzoek wil het komende schooljaar met mijn collega's het
gesprek aangaan over wat deze resultaten voor onze lespraktijk zouden kunnen betekenen: hoewel ik al veel werk heb verricht, ligt er op dit moment geen kant en klare lessenserie die één of meerdere hoofdstukken uit Moderne Wiskunde zou kunnen vervangen en ook geen document met concrete aanvullingen op de methode. Er zal dus nog wat werk verricht moeten worden voordat de resultaten van dit onderzoek daadwerkelijk in de lespraktijk kunnen worden toegepast. Ik ben voornemens om, bij voorkeur in samenwerking met enkele andere collega's, voor het nieuwe schooljaar de bevindingen van dit onderzoek om te zetten in concrete aanvullingen op de aanpak van de methode of in vervangend lesmateriaal. In het algemeen, los van lineaire en exponentiële verbanden, heeft dit onderzoek mij doen inzien dat ik (maar eigenlijk wij als wiskundesectie) best wat vaker kritisch mag kijken naar de aanpak van de methode. Er is niet één juiste aanpak of één juiste manier van lesgeven en net als de schrijvers van de methode ben ik een professional met een bepaalde kijk en visie op het onderwijs. Wanneer ik tot de constatering kom dat de aanpak van de methode niet (helemaal) aansluit bij mijn zienswijze, dan mag ik best op mijn eigen expertise
vertrouwen en afwijken van de aanpak die Moderne Wiskunde hanteert. §7.5 Suggesties voor vervolgonderzoek
Ik sluit dit onderzoek af met enkele suggesties voor vervolgonderzoek.
Zoals ik in onder andere paragraaf 7.2 heb genoemd, is er verder onderzoek nodig om vast te kunnen stellen of het ontbreken van het onderzoekende aspect en de stimulans om kritisch naar opgaven te kijken in de aanpak van Moderne Wiskunde bij de introductie van lineaire en exponentiële verbanden een, of misschien wel de oorzaak is van de problemen die in deelonderzoek 3 zijn gesignaleerd. Om dit te kunnen achterhalen, is er onderzoek nodig naar de wijze waarop de aanbevelingen uit de literatuur kunnen worden verwerkt tot een aanvullend of vervangend leertraject voor lineaire en exponentiële
verbanden. Wil je vervolgens onderzoeken of dit concrete materiaal de problemen verhelpt, dan zou dit kunnen betekenen dat het antwoord op deze vraag nog een aantal jaar op zich laat wachten: wanneer we als wiskundesectie over zouden gaan op een aanpak die is afgestemd op alle aanbevelingen die in deelonderzoek 5 zijn geformuleerd, dan zal pas wanneer deze leerlingen in de bovenbouw zitten duidelijk worden of de gewijzigde aanpak ervoor heeft gezorgd dat de problemen zijn verholpen.
In plaats van (of wellicht tegelijkertijd met) dit jarenlange traject zou er ook contact gelegd kunnen worden met een school die zich niet in de problemen met betrekking tot lineaire en exponentiële verbanden herkend. Vervolgens kan onderzocht worden in welke opzichten de aanpak op deze school verschilt van de aanpak op de school waar ik
werkzaam ben en wellicht ook in hoeverre de aanpak van deze school aansluit bij de aanbevelingen uit de literatuur.
Wanneer een onderzoeker besluit om op dit onderzoek door te gaan, dan is het raadzaam om nogmaals een vergelijking tussen de aanbevelingen uit de literatuur en de aanpak van Moderne Wiskunde uit te voeren: in dit onderzoek heb ik mij gericht op de edities die werden gebruikt op het moment dat bij de leerlingen die op dit moment in havo 4 of havo 5 zitten lineaire en exponentiële verbanden werden geïntroduceerd. Op dit moment worden zowel op de havo als op het vwo andere edities gebruikt (niet meer de 10e, maar de 12e
editie) en het zou zomaar kunnen dat de resultaten van dit onderzoek afwijken van de resultaten van deelonderzoek 6.
De literatuur die ik voor dit onderzoek heb bestudeerd, richt zich niet enkel op de introductie van lineaire en/of exponentiële verbanden. In plaats van enkel te focussen op de introductie, kan er voor gekozen worden om in een vervolgonderzoek te kijken naar het gehele leertraject van zowel lineaire als exponentiële verbanden of specifiek naar het leertraject van één van deze twee verbanden.
Daarnaast is uit de resultaten van deelonderzoek 3 gebleken dat de problemen zich bij verbanden in het algemeen en niet enkel bij lineaire en exponentiële verbanden lijken voor te doen. Een vervolgonderzoek zou zich dus ook kunnen richten op (verbeteringen in) de aanpak voor het introduceren en behandelen van verschillende verbanden.
Tot slot geldt dat de bestudeerde leertrajecten niet leidend hoeven te zijn en dat het wellicht heel interessant kan zijn om ook eens een hypothetisch leertraject te bestuderen die van hele andere principes uit gaat. Ook aan de hand van dit alternatieve leertraject kan worden nagegaan in hoeverre de aanpak van Moderne Wiskunde hierbij aansluit. Daarnaast is het mogelijk interessant om te onderzoeken in welke opzichten de verschillende
H8: Nabeschouwing
Hoewel het mij geregeld mijn avond of weekend heeft gekost, heb ik met heel veel plezier aan dit onderzoek gewerkt. Vooraf heb ik mij enigszins zorgen gemaakt over het onderwerp, omdat ik mij kon voorstellen dat ik hier vanwege mijn zeer beperkte ervaring met lesgeven in de bovenbouw wellicht weinig affectie mee zou hebben. Echter, het onderwerp dat mijn collega's aandroegen sprak mij vanaf het eerste moment aan en vanaf het begin had ik al wat ideeën over de uitvoering.
De opbouw van dit onderzoek, die behoorlijk verschilt van de opbouw van eerdere onderzoeken die ik heb gedaan (waarin vanuit een groot theoretisch kader naar de
beantwoording van één hoofdvraag wordt toegewerkt), heeft mij in eerste instantie wel wat onzeker gemaakt: het was voor mij niet duidelijk hoe een deelonderzoek eruit moest komen te zien, hoe groot een deelonderzoek moest zijn en wat ik als deelonderzoek mocht
gebruiken. Deze twijfel werd echter weggenomen toen ik halverwege oktober mijn eerste vorderingen voorafgaand aan een klassikale bijeenkomst opstuurde naar de docenten van onderzoeksvaardigheden aan de HvA en zij aangaven dat ik goed op weg was. Tijdens deze bijeenkomst mocht ik mijn vorderingen tot op dat moment aan mijn studiegenoten
presenteren, waarna zij mij vragen stelden en met suggesties kwamen. Dit heeft mij zoveel ideeën opgeleverd en zo gemotiveerd om aan de slag te gaan, dat ik besloot om alvast actief met mijn onderzoek aan de slag te gaan en hier niet mee te wachten tot later in de studie.
Vermoedelijk hebben de positieve ervaringen met eerdere onderzoeken die ik heb gedaan ervoor gezorgd dat ik met vertrouwen in mijn eigen kunnen en met vertrouwen in een goede afloop vrij snel echt aan de slag 'durfde' te gaan en ik ook bij mijn collega's ben gaan informeren naar de mogelijkheid om hun klassen bij mijn onderzoek te betrekken. Dat mijn onderzoek vervolgens in zo'n sneltreinvaart is gegaan, heeft niet alleen te maken met mijn eigen gedrevenheid, maar ook zeker met de betrokkenheid van mijn wiskundecollega's en hun enorme bereidheid om mee te werken en mij te helpen waar en wanneer zij kunnen. Om een voorbeeld te noemen: toen ik vlak voor de kerstvakantie de ingeving kreeg dat het wel handig was geweest als ik voor de kerstvakantie een onderzoek in een of meerdere klassen had uitgevoerd zodat ik in de kerstvakantie de tijd had om deze resultaten te verwerken, heeft mijn collega zich ondanks een strakke planning in allerlei bochten gewrongen om ervoor te zorgen dat ik deelonderzoek 3 nog voor de kerstvakantie in twee klassen uit kon