grafieken van verschillende verbanden te laten genereren en de leerlingen moeten
dan aangeven welk verband er bij de grafiek hoort. Met name bij machtsfuncties zie
je dat leerlingen zonder blikken of blozen door het vergeten van haakjes een grafiek
horend bij een oneven macht bij een kwadratisch verband tekenen en dan vraag ik
mij af hoe het dan toch komt dat geen leerling het vreemd lijkt te vinden dat de
grafiek er zo uit is komen te zien.
§10.8 Bijlage 8: Vergelijkingstabellen Moderne Wiskunde met aanbevelingen uit de literatuur
10.8.1 Mavo Lineaire verbanden
Lineaire verbanden (Moderne Wiskunde leerboek 2 vmbo-gt/h-A 10e editie, H6 Lineaire formules)
Aanbeveling Moderne Wiskunde voldoet wel/niet aan deze aanbeveling
Toelichting / concrete voorbeelden die dit ondersteunen
Do: Leerlingen opgaven voorleggen waarin redeneren met grootheden die vloeiend dynamisch bewegen (zoals tijd, afstand of snelheid) vanuit een realistische context centraal staat (Ellis 2009).
Niet. Er wordt bij elke opgave over een lineair verband met
regelmaat of een gegeven formule gewerkt. In geen enkele opgave wordt expliciet aandacht besteed aan (de betekenis van) "willekeurige" koppeltjes in- en uitvoer.
Do: Leerlingen tijdens het behandelen van lineaire verbanden ook opgaven voorleggen waarop lineariteit niet van toepassing is (Van Dooren et al., 2008).
Gedeeltelijk (meer niet
dan wel).
Dit gebeurt alleen aan de hand van tabellen en één keer aan de hand van formules.
Twee voorbeelden uit het boek:
Do: Leerlingen opgaven met betekenisvolle
Wel. De contexten die worden gebruikt sluiten denk ik niet per se allemaal aan bij de belevingswereld van de leerlingen, maar zijn, naar mijn inschatting, wel begrijpelijk voor de leerlingen:
contexten voorleggen (Kop en Hoekstra, 2012).
een kaars die brandt, iemand die kaarten verkoopt,
klusjesbedrijven die een bedrag per uur en een vast bedrag rekenen. Wanneer een context wellicht niet helemaal duidelijk is voor de leerlingen (zoals een krik), is een verhelderende afbeelding toegevoegd.
Voorbeeld uit het boek:
Do: Opgaven gebruiken die een gelijktijdige
ontwikkeling van tabel, grafiek en formule (en eventueel pijlenketting) stimuleren (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Voornamelijk de koppeling tussen tabel en grafiek (zowel van numeriek naar grafisch als van grafisch naar numeriek) komt in veel opdrachten voorbij, maar later in het hoofdstuk, als de uitleg over het opstellen van een formule in §5 is behandeld, wordt ook van en naar de
analytisch/algebraïsche representatie geswitcht (zie ook voorbeeld uit boek in de rij hier onder).
Do: Leerlingen opgaven voorleggen waarin expliciete aandacht is voor de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche representatie, bijvoorbeeld via de numerieke of grafische representatie (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Er komen meerdere contextopgaven voor waarin het
(uiteindelijke) doel is om een lineaire formule op te stellen. In de meeste gevallen wordt ofwel gevraagd een tabel / grafiek te tekenen of wordt er verwezen naar een gegeven tabel / grafiek.
Een voorbeeld uit het boek:
Do: Leerlingen
problemen (zie definitie in paragraaf 2.8) voorleggen, zodat ze worden gestimuleerd om na te denken over strategieën en over de inzet van verschillende gereedschappen (Kop en Hoekstra, 2012).
Niet. Alle opgaven zijn, door middel van subvragen (a, b, ..) erg
sturend. Bij geen enkele opgave in dit hoofdstuk ontbreken de subvragen en dus hoeven de leerlingen bij geen enkele opgave zelf over een oplossingsstrategie na te denken.
Don't: Leerlingen (enkel) opgaven over lineariteit voorleggen waarin de focus ligt op patronen. Dergelijke opgaven komen
voornamelijk voor in de
Niet. Bij verreweg de meeste tabellen die in het hoofdstuk
voorkomen, wordt letterlijk de opdracht gegeven om onder de tabel pijltjes met de toe- of afname te tekenen, gevolgd door de vraag of de tabel bij een lineaire grafiek hoort. Hier wordt ook in een theorieblok specifiek aandacht aan besteed.
vorm van tabellen (Ellis 2009).
Een voorbeeld uit het boek:
Daarnaast komt er in het hoofdstuk geen enkele tabel voor waarin geen regelmaat te ontdekken is, maar die toch bij een lineair verband hoort.
Don't: Leerlingen gekunstelde opgaven voorleggen waarin gegevens realistisch gezien niet lineair zouden zijn, zoals bijvoorbeeld het verband tussen het aantal surfplanken dat verkocht wordt en de temperatuur op het strand, of waarin gegevens slechts bij benadering lineair zijn, bijvoorbeeld vanwege meetfouten of de onjuiste aard van het probleem (Ellis 2009).
Wel. Nagenoeg alle contexten die gebruikt worden horen inderdaad bij een lineair verband, zoals de verkoop van kaarten of het branden van een kaars. Strikt genomen is het vullen van een badkuip (wat ook als context wordt gebruikt) geen goed voorbeeld van een lineair verband, omdat een badkuip vrijwel nooit de vorm van een balk heeft maar breder wordt naarmate de hoogte toeneemt. Dit is echter de enige "gekunstelde" context die ik heb kunnen ontdekken, die ook maar één keer wordt gebruikt.
Don't: Leerlingen voornamelijk zogenaamde
ontbrekende-waarde- opgaven over lineariteit voorleggen (Van Dooren et al., 2008)
Wel. Zogenaamde ontbrekende-waarde-opgaven komen niet in het hoofdstuk voor (vrijwel alle lineaire verbanden in dit hoofdstuk zijn van de vorm ! = #$ + &).
10.8.2 Mavo Exponentiële verbanden
Exponentiële verbanden (Moderne Wiskunde leerboek 4 vmbo-gt-B 10e editie, H7 Exponentiële formules)
Aanbeveling Moderne Wiskunde voldoet wel/niet aan deze aanbeveling
Toelichting / concrete voorbeelden die dit ondersteunen
Do: Leerlingen zelf actief laten onderzoeken en ervaren wat exponentiële groei
precies inhoudt en ze laten experimenteren met
verschillende
beginhoeveelheden en groeifactoren, bijvoorbeeld aan de hand van het
Gedeeltelijk (meer niet
dan wel).
In enkele opgaven, zoals in de opgave in de rij hieronder, is de opdracht om voor een aantal termijnen hoeveelheden uit te rekenen en op te schrijven. Hierdoor ervaren leerlingen wat exponentiële groei is.
Echter, in geen enkele opgave wordt gevarieerd met beginhoeveelheid en/of groeifactor en er wordt bovendien geen gebruik gemaakt van ICT om dit voor leerlingen inzichtelijk te maken.
simuleren van een groeiende cactus in Geogebra (Ellis et al., 2016).
Do: Leerlingen opgaven met betekenisvolle contexten voorleggen (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Hoewel er niet veel variatie in de contexten zit (de contexten hebben voornamelijk betrekking op bacteriën of geneesmiddelen), lijkt het mij dat de contexten betekenis hebben voor de leerlingen. Eén context in het bijzonder, want deze is veel actueler dan de overige:
Do: Opgaven gebruiken die een gelijktijdige ontwikkeling van tabel, grafiek en formule (en eventueel pijlenketting) stimuleren (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Hoewel er in de meeste gevallen tussen twee
representaties wordt geswitcht (waarbij de numerieke presentatie eigenlijk altijd één van die twee
representaties is), komen er in dit hoofdstuk ook opgaven voorbij die zowel naar de tabel als naar de grafiek als naar de formule vragen:
Do: Leerlingen opgaven voorleggen waarin expliciete aandacht is voor de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche representatie, bijvoorbeeld via de numerieke of grafische representatie (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. In het hoofdstuk komen veel contextopgaven (verbale representatie) voor waarin de formule niet gegeven is, maar door de leerling moet worden opgesteld. In ongeveer de helft van de gevallen wordt naar de numerieke en/of grafische
representatie gevraagd voordat er naar de analytisch/algebraïsche representatie wordt gevraagd. Zie de rij hierboven voor een voorbeeldopgave.
Do: Leerlingen problemen (zie definitie in paragraaf 2.8) voorleggen, zodat ze worden gestimuleerd om na te denken over strategieën en
Niet. Alle opgaven zijn, door middel van subvragen (a, b,
..) erg sturend. Bij geen enkele opgave in dit
hoofdstuk ontbreken de subvragen en dus hoeven de leerlingen bij geen enkele opgave zelf over een oplossingsstrategie na te denken.
over de inzet van verschillende
gereedschappen (Kop en Hoekstra, 2012).
10.8.3 Havo Lineaire verbanden
Lineaire verbanden (Moderne Wiskunde leerboek 1A HAVO/VWO 10e editie, H6 Woordformules)
Aanbeveling Moderne Wiskunde voldoet wel/niet aan deze aanbeveling
Toelichting / concrete voorbeelden die dit ondersteunen
Do: Leerlingen opgaven voorleggen waarin redeneren met grootheden die vloeiend dynamisch bewegen (zoals tijd, afstand of snelheid) vanuit een realistische context centraal staat (Ellis 2009).
Niet. Er wordt bij elke opgave over een lineair verband met
regelmaat of een gegeven formule gewerkt. In geen enkele opgave wordt expliciet aandacht besteed aan (de betekenis van) "willekeurige" koppeltjes in- en uitvoer.
Do: Leerlingen tijdens het behandelen van lineaire verbanden ook opgaven voorleggen waarop lineariteit niet van toepassing is (Van Dooren et al., 2008).
Niet. In het hele hoofdstuk komen twee opgave voor die niet over
een lineair verband maar over een kwadratisch verband gaan. Eén van die twee opgaven zie je hieronder:
Verder komen er in dit hoofdstuk ook geen tabellen of grafieken voor die niet bij een lineair verband horen. Do: Leerlingen opgaven met betekenisvolle contexten voorleggen (Kop en Hoekstra, 2012). Gedeeltelijk (meer wel dan niet)
Vrijwel alle contexten zijn naar mijn idee van betekenis van de leerlingen, maar enkele contexten zijn zo gedateerd, zoals een videotheek, een blik vruchtensap of een beltegoedkaart, dat dit wellicht voor onduidelijkheid kan zorgen.
Do: Opgaven gebruiken die een gelijktijdige
ontwikkeling van tabel, grafiek en formule (en eventueel pijlenketting) stimuleren (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Er gaat zelfs een hele paragraaf over formules bij grafieken en bij het merendeel van de opdrachten in deze paragraaf komt zowel de grafiek, als de tabel als de formule aan bod. Ook buiten deze paragraaf komen opgaven voor waarin naar meerdere representaties wordt gevraagd. Een voorbeeld:
Do: Leerlingen opgaven voorleggen waarin expliciete aandacht is voor de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche representatie, bijvoorbeeld via de numerieke of grafische representatie (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. In het hoofdstuk komen, al zijn het er weinig, contextopgaven voor waarin de formule nog niet gegeven is. In de meeste gevallen wordt er naar de numerieke en/of grafische representatie gevraagd voordat de formule opgesteld moet worden.
Een voorbeeld uit het boek:
Do: Leerlingen
problemen (zie definitie in paragraaf 2.8) voorleggen, zodat ze worden gestimuleerd om na te denken over strategieën en over de inzet van verschillende gereedschappen (Kop en Hoekstra, 2012).
Niet. Dergelijke opdrachten komen alleen in de paragraaf
'Complexe opdrachten' voor (zie voorbeeld hieronder), maar deze paragraaf wordt over het algemeen slechts door enkele (of zelfs door geen enkele) leerlingen gemaakt. In de
paragrafen die alle leerlingen maken, zijn alle opgaven door middel van subvragen (a, b, ..) erg sturend. Bij geen enkele opgave in deze paragrafen ontbreken de subvragen en dus hoeven de leerlingen bij geen enkele opgave zelf over een oplossingsstrategie na te denken.
Don't: Leerlingen (enkel) opgaven over lineariteit voorleggen waarin de focus ligt op patronen. Dergelijke opgaven komen
voornamelijk voor in de vorm van tabellen (Ellis 2009).
Niet. In het hoofdstuk kom geen enkele tabel voor waarin geen
regelmaat te ontdekken is, maar die toch bij een lineair verband hoort.
Don't: Leerlingen gekunstelde opgaven voorleggen waarin gegevens realistisch gezien niet lineair zouden zijn, zoals bijvoorbeeld het verband tussen het aantal surfplanken dat verkocht wordt en de temperatuur op het strand, of waarin gegevens slechts bij benadering lineair zijn, bijvoorbeeld vanwege meetfouten of de onjuiste aard van het probleem (Ellis 2009).
Wel. Alle contexten die gebruikt worden horen inderdaad bij een
lineair verband.
Don't: Leerlingen voornamelijk zogenaamde
ontbrekende-waarde- opgaven over lineariteit voorleggen (Van Dooren et al., 2008)
Gedeeltelijk (meer wel
dan niet)
Zogenaamde ontbrekende-waarde-opgaven komen in het begin van het hoofdstuk wel degelijk voor:
maar dit is voordat de term lineair verband wordt geïntroduceerd. Na deze introductie komen dergelijke opgaven niet meer voor.
10.8.4 Havo Exponentiële verbanden
Exponentiële verbanden (Moderne Wiskunde leerboek 2B HAVO/VWO 10e editie, H7 Procentuele groei)
Aanbeveling Moderne Wiskunde voldoet wel/niet aan deze aanbeveling
Toelichting / concrete voorbeelden die dit ondersteunen
Do: Leerlingen zelf actief laten onderzoeken en ervaren wat exponentiële groei precies inhoudt en ze laten experimenteren Gedeeltelijk (meer niet dan wel).
In enkele opgaven, zoals in de opgave hieronder, is de opdracht om voor een aantal termijnen hoeveelheden uit te rekenen en op te schrijven. Hierdoor ervaren leerlingen wat exponentiële groei is. Echter, in geen enkele opgave wordt gevarieerd met de
beginhoeveelheid en slechts twee opgaven besteden aandacht aan de grafieken bij verschillende groeifactoren (zie onderste afbeelding).
met verschillende beginhoeveelheden en groeifactoren,
bijvoorbeeld aan de hand van het simuleren van een groeiende cactus in Geogebra (Ellis et al., 2016).
Er wordt geen gebruik gemaakt van ICT om het gevolg van veranderende beginhoeveelheden en/of groeifactoren voor
leerlingen inzichtelijk te maken. Ook geen enkele opgave besteedt hier uitgebreid aandacht aan.
Twee voorbeelden vanuit het boek
Do: Leerlingen opgaven met betekenisvolle contexten voorleggen (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Hoewel er niet veel variatie in de contexten zit (de contexten hebben voornamelijk betrekking op rente of aantallen van een diersoort), lijkt het mij dat de contexten betekenis hebben voor de leerlingen.
Do: Opgaven gebruiken die een gelijktijdige
ontwikkeling van tabel, grafiek en formule (en eventueel pijlenketting) stimuleren (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Hoewel er in de meeste gevallen tussen twee representaties
wordt geswitcht (waarbij de numerieke presentatie eigenlijk altijd één van die twee representaties is), komen er in dit hoofdstuk ook opgaven voorbij die zowel naar de tabel als naar de grafiek als naar de formule vragen:
\
Do: Leerlingen opgaven voorleggen waarin expliciete
Niet. In de paragrafen die alle leerlingen maken komen in totaal slechts
aandacht is voor de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche representatie, bijvoorbeeld via de numerieke of grafische representatie (Kop en Hoekstra, 2012).
en aan leerlingen de taak om deze formule, zonder eerst naar de numerieke en/of grafische representatie te vragen, op te stellen. Een voorbeeld uit het boek:
Do: Leerlingen
problemen (zie definitie in paragraaf 2.8) voorleggen, zodat ze worden gestimuleerd om na te denken over strategieën en over de inzet van verschillende gereedschappen (Kop en Hoekstra, 2012).
Gedeeltelijk (meer niet
dan wel).
Op één opgave na, komen dergelijke opdrachten alleen in de paragraaf 'Complexe opdrachten' voor (zie voorbeeld hieronder), maar deze paragraaf wordt over het algemeen slechts door enkele (of zelfs door geen enkele) leerlingen gemaakt. In de paragrafen die alle leerlingen maken, zijn verder alle opgaven door middel van subvragen (a, b, ..) erg sturend en hoeven de leerlingen dus niet zelf over een oplossingsstrategie na te denken. Het enige probleem dat in de reguliere paragrafen voorkomt:
10.8.5 Vwo Lineaire verbanden
Lineaire verbanden (Moderne Wiskunde leerboek 1A VWO 10e editie, H6 Woordformules)
Aanbeveling Moderne Wiskunde voldoet wel/niet aan deze aanbeveling
Toelichting / concrete voorbeelden die dit ondersteunen
Do: Leerlingen opgaven voorleggen waarin redeneren met grootheden die vloeiend dynamisch bewegen (zoals tijd, afstand of snelheid) vanuit een realistische context centraal staat (Ellis 2009).
Niet. Er wordt bij elke opgave over een lineair verband met regelmaat
of een gegeven formule gewerkt. In geen enkele opgave wordt expliciet aandacht besteed aan (de betekenis van) "willekeurige" koppeltjes in- en uitvoer.
Do: Leerlingen tijdens het behandelen van lineaire verbanden ook opgaven voorleggen
Niet. In het hele hoofdstuk komen twee opgave voor die niet over een
lineair verband maar over een kwadratisch verband gaan. Eén van die twee opgaven zie je hieronder:
waarop lineariteit niet van toepassing is (Van Dooren et al., 2008).
Verder komen er in dit hoofdstuk ook geen tabellen of grafieken voor die niet bij een lineair verband horen.
Do: Leerlingen opgaven met betekenisvolle contexten voorleggen (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Alle contexten zijn naar mijn idee van betekenis van de
leerlingen, zoals een krantenwijk, de verkoop van plakjes cake of de huur van een fiets.
Do: Opgaven gebruiken die een gelijktijdige
ontwikkeling van tabel, grafiek en formule (en eventueel pijlenketting) stimuleren (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Er gaat zelfs een hele paragraaf over formules bij grafieken en een paragraaf over grafieken bij formules en bij het merendeel van de opdrachten in deze paragraaf komt zowel de grafiek, als de tabel als de formule aan bod.
Een voorbeeld uit het boek:
Ook buiten deze paragrafen komen opgaven voor waarin naar meerdere representaties wordt gevraagd. Een voorbeeld:
Do: Leerlingen opgaven voorleggen waarin expliciete aandacht is voor de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche representatie, bijvoorbeeld via de Gedeeltelijk (meer wel dan niet).
Er komen slechts vier contextopgaven voor waarin de formule nog niet gegeven is en de leerlingen de formule moeten geven. Een voorbeeld uit het boek:
numerieke of grafische representatie (Kop en Hoekstra, 2012).
Do: Leerlingen
problemen (zie definitie in paragraaf 2.8) voorleggen, zodat ze worden gestimuleerd om na te denken over strategieën en over de inzet van verschillende gereedschappen (Kop en Hoekstra, 2012).
Niet. Dergelijke opdrachten komen alleen in de paragraaf 'Complexe
opdrachten' voor (zie voorbeeld hieronder), maar deze paragraaf wordt over het algemeen slechts door enkele (of zelfs door geen enkele) leerlingen gemaakt. In de paragrafen die alle leerlingen maken, zijn alle opgaven door middel van subvragen (a, b, ..) erg sturend. Bij geen enkele opgave in deze paragrafen ontbreken de subvragen en dus hoeven de leerlingen bij geen enkele opgave zelf over een oplossingsstrategie na te denken. Voorbeeld van een probleem (uit de complexe opdrachten):
Don't: Leerlingen (enkel) opgaven over lineariteit voorleggen waarin de focus ligt op patronen. Dergelijke opgaven komen
voornamelijk voor in de vorm van tabellen (Ellis 2009).
Niet. In het hoofdstuk kom geen enkele tabel voor waarin geen
regelmaat te ontdekken is, maar die toch bij een lineair verband hoort.
Don't: Leerlingen gekunstelde opgaven voorleggen waarin gegevens realistisch gezien niet lineair zouden zijn, zoals bijvoorbeeld het verband tussen het aantal surfplanken dat verkocht wordt en de temperatuur op het strand, of waarin gegevens slechts bij benadering lineair zijn, bijvoorbeeld vanwege meetfouten of de
Wel. Alle contexten die gebruikt worden horen inderdaad bij een
onjuiste aard van het probleem (Ellis 2009). Don't: Leerlingen voornamelijk zogenaamde ontbrekende-waarde- opgaven over lineariteit voorleggen (Van Dooren et al., 2008)
Gedeeltelijk (meer wel
dan niet)
Zogenaamde ontbrekende-waarde-opgaven komen in het begin van het hoofdstuk wel degelijk voor:
maar dit is voordat de term lineair verband wordt geïntroduceerd. Na deze introductie komen dergelijke opgaven niet meer voor. 10.8.6 Vwo Exponentiële verbanden
Exponentiële verbanden (Moderne Wiskunde leerboek 2B VWO 10e editie, H7 Procentuele groei)
Aanbeveling Moderne Wiskunde voldoet wel/niet aan deze aanbeveling
Toelichting / concrete voorbeelden die dit ondersteunen
Do: Leerlingen zelf actief laten onderzoeken en ervaren wat exponentiële groei precies inhoudt en ze laten experimenteren met verschillende beginhoeveelheden en groeifactoren, bijvoorbeeld aan de hand van het simuleren van een groeiende cactus in Geogebra (Ellis et al., 2016).
Gedeeltelijk (meer niet
dan wel).
In enkele opgaven, zoals in de opgave hieronder, is de opdracht om voor een aantal termijnen hoeveelheden uit te rekenen en op te schrijven. Hierdoor ervaren leerlingen wat exponentiële groei is. Echter, in geen enkele opgave wordt gevarieerd met de
beginhoeveelheid en slechts één opgaven besteedt aandacht aan de grafieken bij verschillende groeifactoren (zie onderste afbeelding). Er wordt geen gebruik gemaakt van ICT om het gevolg van
veranderende beginhoeveelheden en/of groeifactoren voor leerlingen inzichtelijk te maken. Ook geen enkele opgave besteedt hier
uitgebreid aandacht aan.
Twee voorbeelden vanuit het boek:
Do: Leerlingen opgaven met betekenisvolle contexten voorleggen (Kop en Hoekstra, 2012).
Wel. Hoewel er niet veel variatie in de contexten zit (de contexten hebben voornamelijk betrekking op rente of aantallen van een diersoort), lijkt het mij dat de contexten betekenis hebben voor de leerlingen.
Do: Opgaven gebruiken die een gelijktijdige
ontwikkeling van tabel, grafiek en formule (en eventueel pijlenketting) stimuleren (Kop en Hoekstra, 2012).
Niet. In dit hoofdstuk komen geen opgaven voor die zowel naar de formule,
als de grafiek als de tabel vragen.
Do: Leerlingen opgaven voorleggen waarin expliciete aandacht is voor de overgang van de verbale naar de analytisch/algebraïsche