Examenvoorbereiding

Hoofdstuk 7:

Examenvoorbereiding

Functies en grafieken, vergelijkingen en algebraïsche technieken

Domein en Bereik 1. a. 6x 4 0 c. _9x2 _{0 d. x}2_{2x 3 0}



2 3 2 3 6 4 : , : 10 , f f x x D B     



2 ₉ 3 3 : 3 , 3 : , 6 h f x x D B       ( 3)( 1) 0 3 1 : , 1 1, 3 3 , : , 1 1, f f x x x x D B                   b. De grafiek van g is een dalparabool met top (3, -8) D_g:¡ en B_g: 8 ,



  2.

a. De grafiek van f is een dalparabool en heeft dus geen asymptoten. b. _3x2_{6x 3 (x x2) 0}

0 2

x  x 

Voor deze waarden van x is de teller niet nul, dus verticale asymptoten: x0 en 2

x . Voor grote waarden van x geldt: 2 2 2 3 2 2 5 1 5 ( ) 1 3 6 3 x x g x x x x      . De grafiek van

g heeft een horizontale asymptoot: 2

3 1

y  .

c. Voor grote positieve waarden van x wordt 0,45x _{nagenoeg 0. De grafiek van h}

heeft een horizontale asymptoot: y 25. d. 1 1 1 1 voor 0 1 ( ) | | 1 voor 0 x x x k x x x       _{ }  _ 

De grafiek van k heeft een horizontale asymptoot: y  .0

Transformaties van grafieken 3. a. f x( ) 4omhoog y x26x  1 4 Vy as , 0.5 y (2 )x 2 6 2x 5 4x212x5 b. f x( ) 3naar rechts y (x3)26(x3) 1 x2 8 Vx as , 4  2 2 4( 8) 4 32 y   x    x  c. _{f x( )}Vx as , 2 _{y 2(x}2_6x _{1) 2x}2_12x  ₂ 7omlaag _{y 2x}2_12x₅

Symmetrie van grafieken 4.

a. De grafiek van f is symmetrisch in de lijn x1 Te bewijzen: (1f a)f(1a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 (1 ) (1 ) 2(1 ) 1 2 2 2 ... (1 ) 2(1 ) 3 5 5 1 1 2 2 2 3 4 5 (1 ) (1 ) 2(1 ) 1 2 2 2 ... (1 ) 2(1 ) 3 f a a a a a a a a a a a a a f a a a a a a a a                                          

2 2 2 5 5 1 1 2 2 2 3 4 (1 ) (1 ) a a a a a f a f a              b. _{g x}n_{( ) ( x)}3_{  6 ( x)}2_{   8 ( x) 10  x}3_6x2_8x10 Soorten functies 5. a. 3x 8 0 b. _x2_{15 0 x}2_{15 0} 2 3 3 8 2 x x   2 ₁₅ 15 en 15 x x x     ¡ 6. a. Bereik: 0 , 10



b. B _n: 2 5 ,_  en B_p: , 30



Vergelijkingen oplossen 7. a. _4x3 _7x2_{3x 0 b. ( 3 x5)}2 _16x2 2 3 4 (4 7 3) 0 (4 3)( 1) 0 x 0 1 x x x x x x x x            5 7 3 5 4 3 5 4 5 7 5 x x x x x x x              c. 12 ( 3) 2 ( 1) 3 ( 1)( 3) ( 3)( 1) x x x x x x x   _  _{ }     d. (2x3)(x1)(x2) ( x2)2 2 2 2 2 2 12 36 (2 2 ) 3( 2 3) 2 10 36 3 6 9 4 45 ( 9)( 5) 0 9 5 x x x x x x x x x x x x x x x                         2 2 2 0 2 5 3 2 2 2 6 5 0 4 0 x x x x x x x D                e. 1 3 2 ( 1) 0 x x   f. (2x3)(x 1) (x2)(x5) 3 3 0 2 2 x x x       2 2 2 2 5 3 3 10 2 13 0 x x x x x x         48 0

D   dus geen oplossing

Ongelijkheden 8. a. 1 3 3x 4 2 x5 b. 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 5 2 5 2 x  x  x  x  x x 2 3 1 2 1 2 9 13 13 x x x    2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 5 2 0 4 2 0 (2 1)( 2 ) 0 (2 1)( 2 ) 0 5 5 x x x x x x x x x x x x                      De oplossing: ¡ \ {5}

c. _x3_2x2 _{8x d.} 1 2 1 6 x x2



 

2 ( 2 8) 0 ( 4)( 2) 0 0 4 2 2 , 0 4 , x x x x x x x x x                1 2 2 1 4 2 6 1 6 1 8 20 ( 10)( 2) 0 10 2 x x x x x x x x x x x                  De oplossing: 2 , 6



Wortelvergelijkingen oplossen 9. a. 1 2 x 3 b. 1 2 x  1 4x c. _x2_{  7 x 1} 1 2 9 2 8 4 x x x       2 2 3 8 1 2 1 8 16 16 6 2 (8 3) 0 0 x x x x x x x x x            2 ₇ 2 _{2 1} 2 6 3 x x x x x       d. _x2_{  3 x 3 e. 49 28 x 4x x 5} 2 ₃ 2 _{6 9} 6 12 2 x x x x x         2 2 28 3 44 784 9 264 1936 9 520 1936 (9 484)( 4) 0 x x x x x x x x x            7 9 53 4 x   x 

Uitdrukken in, schrijven als functie van 10. a. q  0,2p1,3 b. 3p12q 16p c. (2p  3) 7 8p(4q5) 0,2 1,3 5 6,5 p q p q       4 12 16 3 4 p q p q       14 21 32 40 (32 26) 21 p pq p p q       21 32 26 p q    d. 13p4(q2) pq e. 0,3q1,2pq4,5 0 f. (7q3 ) 3 4 (p    p8) (13 ) 4 8 4 8 13 p q q q p q       14 1,2 0,3 4,5 15 4 pq q p q       _{8 6} 13 13 21 9 4 32 13 21 32 1 2 q p p p q p q        Substitutie 11. a. a 3b  6 3(8 2 ) 6 p   24 6 p 6 6p18 b. _a10b3b2 _{10(5p 1) 3(5p1)}2 _{50p10 3(25 p}2_{10p 1) 50p10 75 p}2_{30p 3 75p}2_80p13 c. 3ab20 2 b 2 2 2 3 3 3 20 20 10 3 3 6 9 a b p p        d. _{a b b } 2 _{(p 1) (p1)}2 _{  p 1 (p}2_{2p  1) p}2_3p2

Inverse functies en inverse bewerkingen 12. a. x  2 4y b. 12 3 2 x y   c. x  2 34y 1 1 4 2 4y x 2 y x     12 3y 2 x   3 3 4 2 4 ( 2) y x y x       2 3 4 y x   _{y  4 (x2)}3 Rekenregels gebruiken 13. a. 3_a3_{b 25 b. 2ab}3 _{ 1 5 c.} 1 3 2 0,5 4 0,4 a  b b b 3 3 3 3 25 (25 ) b a b a     3 2 b a  17 6 17 6 1 2 0,4 4 2 10 b a b a     2 3 a b 6 17 1 2 (2 10) b a d. 3 a  16a2b0 1 2 2 3 4 7 3 b a a a b a     14. a. (4q3)112 p b. (q 6) 52p 1 2 3 3 2 2 3 2 3 1 3 4 4 4 3 4 3 q p p q p q p        5 5 1 2 6 1 2 ( 6) p q p q     5 1 2( 6) p q   15. a. 1 3 9 ( 3)a_ b _{ b.} 1 2 2 8 ( ) 4a_{ } b_ a c. 1 2 b a 3 0 1 2 2 1 1 2 (3 ) (3 ) 3 2 1 4 2 a b a b b a          3 1 2 2 2 (2 ) (2 ) 3 2 3 a b a a b a b a           2 3 4( 3) 4 12 b a b a a       d. 2 b  3a 3 4 4b 3a b a   Stelsels vergelijkingen 16. a. y  1 2x 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 2 1 2 1 1 ( 1) 0 0 1 (0,1) en ( 1, 3) x x x x x x x x x x x x x x x x                       

b. x y 5 2 2 2 1 3 2 1 2 1 1 3 3 2 2 8 10 8 10 6 2( 5) 3 4 2 7 4 8( 4) 10(2 7) 6( 4)(2 7) 8 32 20 70 6(2 15 28) 12 62 66 0 3 1 (1 , 3 ) en (3 , 1 ) y y y y y y y y y y y y y y y y                                c. _3x2(x2 _{ 1) 11} 2 1 2 1 1 2 4 2 3 9 (2 3)( 3) 0 1 3 (1 , 3 ) en ( 3, 10) x x x x x x            Examenopdrachten 17. Verticale verbindingslijnstukken 1 6 2 1 1 a a  2 1 6 2 1 6 6 0 3 3 3 3 a a a a a a          

18. Vierkant bij een derdegraadskromme

3 2 1 1 3 3 2 ( ) 0 0 3 3 O A bx x x b x x x b x b         2 2 '( ) 0 T f x b x x b x b      3 1 2 3 ( ) 3 T y  b b  b  b b

OABC is een vierkant wanneer OAAB.

2 3 3 4 9 3 2 3 4 4 9 9 4 2 3 4 3 4 3 3 3 ( 6 ) 0 0 6 6 b b b b b b b b b b b b          

19. Een rechthoek in stukken

1 1 2 3 1 2 2 1 1 2 2 1 2 (3 )(1 ) 3 1 3 3 (2 3)( 1) 0 1 2 p p Opp p p p p p p p p                  2 cirkel Opp   r   h

20. Dozen met een vaste inhoud a. _{I (15 2 ) x} 2_{ x 100} 2 3 2 (225 60 4 ) 100 4 60 225 100 x x x x x x       

Voer in: y14x3 60x2225x en y2 100 intersect: x 0,51  x5,34 De lengte van de kartonnen rechthoek is 3 0,51 2 (15 2 0,51) 29,5      dm of

3 5,34 2 (15 2 5,34) 24,7      dm. b. De lengte van de bodem is b2x.

De inhoud van de doos: l b h  (b2 )(x b2 )x x 100 2 100 (b 2 )x x   . c. A b (3x  2 (b 2 ))x  b (2b x ) 2 2 10 20 70 200 200 (2x )(3x ) 6x x 6x 70 x x x x x x          d. 2 22 2 12 1 12 1 2 1 1 200 50 50 6 70 6 16 70 2 96 140 A x x x x x x x x x            2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 200 50 6 70 96 140 150 90 70 0 x x x x x x x x x         Voer in: 12 1 1 150 90x 70 x x   _zero: x 0,97 dm

Differentiëren

Differentiequotiënt en afgeleide functie 21. 1,001 1 (2 1,001) (2 1) 2,39 0,001 y x  _    _  22. a. '( ) 4 8 4 4 2 f x x x x x     b. 5 4 3 4 5 ( ) 3 g x x x      20 5 3 5 20 '( ) 3 g x x x    c. 3 3 3 1 2 3 2 ( ) 2 2 x h x x x x      1 2 4 1 2 2 2 4 6 '( ) 1 6 1 h x x x x x      d. 2 2 4 2 ( 3) 6 9 ( ) 1 1 x x x k x x x        3 4 2 2 ( 1)(4 12 ) ( 6 9) 1 '( ) ( 1) x x x x x k x x          4 2 3 4 2 4 3 2 2 2 (4 12 4 12 ) ( 6 9) 3 4 6 12 9 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x               e. _{m x'( )  1 6x}2

f. 12 2 1 3 2 2 3 4 6 1 ( ) 2 2 4 6 2 n x x x x x x x            1 2 1 3 1 4 2 3 4 2 12 3 '( ) 2 12 1 2 n x x x x x x x x            g. 2 2 3 4 4 2 3 4 2 3 1 2 3 1 ( ) x x 2 3 p x x x x x x x x             3 4 5 3 4 5 4 9 4 '( ) 4 9 4 p x x x x x x x            h. 5 4 2 2 ( 2) (2 5) '( ) 5( 2) 5 2 5 ) x x q x x x x x x        

Stijgen en dalen, maximum en minimum, buigpunten 23. a. 2 1 12 21 1 2 12 2 2 '( ) ( 2 ) x (2 2) x ( 3 2) x 0 f x  x  x   e  x e   x  x e  2 1 2 3 2 0 3 5 3 5 x x x x         

Voor x 3 5 , 3 5 is de functie stijgend.

1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 4 2 2 2 1 1 1 1 4 2 4 4 "( ) ( 3 2) ( 3) ( 2 4) 0 2 4 ( 10 16) ( 2)( 8) 0 2 8 x x x f x x x e x e x x e x x x x x x x x                              

Voor x , 2  8 , is de afgeleide functie stijgend. Dus voor 3 5 , 2 is de functie toenemend stijgend. b. De buigpunten zijn: (2, 0) en (8, )48_e4 . 24. a. 2 2 16 0 x x   4 ₁₆

x   : en deze heeft geen oplossingen b. _{g x( ) x}2_16x2 3 3 32 1 64 2 1 2 32 '( ) 2 32 2 '(4) 8 7 17 7 4 30 13 g x x x x x g b b b                1 2 7 13 y  x c. g x'( ) 0 3 4 4 32 2 2 32 16 2 2 x x x x x x       

Punten met horizontale raaklijn: (-2, 8) en (2, 8).

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 -2 -4

25. f x_a'( ) 3 f x_a( ) 3 x19 1 1 2 2 6 6 1 2 1 3 2 2 2 2 3 2 9 2 9 4 x a x a x a x a x a x a                1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 6 3 3(4 ) 19 22 32 1 10 a a a a a           26. f_a'( ) 0 enx  f x_a( ) 18 2 2 1 3 1 3 3 a 0 x x a x a     1 3 ₁ 3 3 18 3 3 2 3 18 3 9 a a a a a a a       3 81 27 a a   Examenopdrachten

27. Tussen twee grafieken

2 3 2 (1 ) Opp p p p  p p p 2 2 1 3 ' 3 2 1 (3 2 1) (3 1)( 1) 0 1 Opp p p p p p p p p                 

28. Een vuurpijl met tegenwind

1 20 ' 2 4 10 2 0 2 625 10 625 10 625 10 10 625 10 100 10 525 52,5 y x x x x x x                  De maximale hoogte is 45. 23. Gebroken functie 2 1 '( ) 0 a f x a x    1 1 1 2 T a a y  a   a a  a 2 1 1 a T a x x   1 _{2 2} T T _a x y   a  30. Horizontale verbindingslijnstukken 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 '( ) 0 2 L b b b b b L b b b b b b               

2 2 (2 ) 0 0 4 b b b b b b b b       

De maximale lengte van het verbindingslijnstuk is 1 4.

Integreren

Integraal en de hoofdstelling van de integraalrekening 31. a. 1 5 1 4 1 2 10 2 2 ( ) 2 F x  x  x  x  x c b. g x( ) 2 x 2x12 2 121 2 3 3 ( ) G x  x  x x c c. 2 3 2 3 1 4 ( ) 4 h x x x x x       1 2 2 1 2 ( ) 2 H x x x c x x          d. 1 6 42 ( ) (7 1) K x  x c e. _{m x( )x x}2₍ 3_{ 1) x}5_x2 1 6 1 3 6 3 ( ) M x  x  x c f. n x( ) 2x₃ 1 2₂ 1₃ 2x 2 x 3 x x x         1 1 2 2 ( ) 2 N x   x  x c

Berekenen van een oppervlakte 32. a. 8 8 3 4 1 1 4 16 ₂ 2 255 Opp



x dx _ x _  b. 1 2 1 2 2 4x1 x  x(4 1 x) 0 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 3 20 1 1 2 2 ₀ 27 0 0 2 (4 1 ) 2 4 x x Opp x x dx x x      



 _  _  c. 1 3 1 2 4x 4x12x 3 2 2 1 1 1 1 4 2 4 4 0 0 3 2 4 2 3 1 1 1 1 4 2 16 2 ₈ 8 2 2 2 3 2 3 4 1 1 1 1 2 4 2 16 ₀ 0 1 4 ( 6 16) ( 8)( 2) 0 0 8 2 ( (4 1 )) 2 128 (4 1 ) 2 3 L R x x x x x x x x x x x x Opp x x x dx x x x Opp x x x dx x x x                       _   _       _   _ 





33. a. 1 2 2 2 x  x 4 1 4 3 1 4 3 4 ( 16) 0 0 16 x x x x x x      

De coördinaten van de snijpunten zijn: (0, 0) en 3 13 2 ( 16, 256) b. 3 3 1 2 16 ₁₆ 1 2 3 1 1 1 2 2 3 6 ₀ 3 0 (2 ) 1 2 Opp



x  x dx _ x  x _ 

34. a. _{f x'( )x}2_{8x12 ( x2)(x6) 0} 2 3 2 6 (2, 26 ) en (6, 16) x  x  b. 1 3 2 1 3 3x 4x 12x16 3x 2 2 4 4 2 0 0 4 3 2 1 2 3 ₀ 3 4 12 16 4( 3 4) 4( 4)( 1) 0 1 4 ( ( ) ( )) ( 4 12 16) 1 6 16 74 x x x x x x x x Opp f x g x dx x x dx x x x                        _   _ 





c. 1 1 3 2 1 4 3 2 2 (3 4 12 16) 6 2 6 8 OPQ Opp_V   p p  p  p  p  p  p  p d. 1 3 2 1 4 1 3 2 3 12 3 ₀ 0 ( 4 12 16) 1 6 16 p p I en II Opp 



x  x  x dx_ x  x  x  x_  1 4 1 3 2 12p 13p 6p 16p     4 3 2 4 3 2 1 1 2 6 24 3 4 3 2 3 1 24 3 2 6 8 3 8 1 3 0 p p p p p p p p p p p           Voer in: 3 4 1 3 2 1 24 13 3 y  x  x  x zero: p0  p3,23  p7,44 35. a. 3 2 1 2 1 9 1 5 10 10 5 1 (x 4x6)dx sum seq ( ( (x 4x6), x,1 , 2 , ) 4,66



3 3 2 1 3 2 2 3 ₁ 3 1 (x 4x6)dx _ x 2x 6x_ 4



b. 6 1 1 4 4 1 ( x 2)dx sum seq ( ( ( x 2), x,1.125, 5.875, ) 19,132



6 ₆ 2 1 3 ₁ 3 1 ( x 2)dx _ x x 2x_ 4 6 9



Inhoudsberekeningen 36. 30 30 2 0 0 0,318096( (30 )) 0,318096 (30 ) I 



x x dx 



x x dx  2 1 3 30 3 ₀ 0,318096 _15x  x _ 4497 cm3_. 37.

a. Lichaam G zal de grootste inhoud hebben. b. xy y y32 2 3 2 1 1 3 3 3 8 8 ₈ 1 2 2 2 3 1 7 7 0 0 0 (4 ( ) ) (16 ) 16 73 R y x I  x dx  x dx  x x     

_

 

_

  _  _  x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 5 10 15 20 25 30 -5

4 4 4 2 2 3 1 4 4 ₀ 0 0 (8 ( ) ) (64 ) 64 192 G I 

_

 x x dx 

_

x dx  _ x x _   c. 4 4 4 2 3 1 4 4 ₀ 0 0 ( ) 64 A I 

_

x x dx 

_

x dx _ x _   2 1 1 3 3 3 8 8 ₈ 1 2 2 3 6 7 ₀ 7 0 0 ( ) 54 B I 



x dx



x dx  _ x _  

Het verschil in inhoud tussen A en B is 1 7 9  .

De lengte van een grafiek of een kromme 38. a. b. 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2

( 2sin(2 )) (2cos( )) 4sin (2 ) 4cos ( ) 5,92

L t t dt t t dt     



  



  39. 1 2 1 2x 10x 2x x( 20) 0       20 20 2 2 0 0 0 20 1 ( 10) 20 101 103,50 x x L x dx x x dx    

_

   

_

   Examenopdrachten 40. Gelijke oppervlakten a. _{4x x} 2 _ax 2 2 ( 4) ( 4) 0 0 4 (4 ) 4 O A A x a x x x a x x a y a a a a                b. 4 4 2 2 1 3 1 2 3 2 ₀ 0 (4 ) 2 a a lichtgrijs Opp x x ax dx x x ax  _   

_

  _   _  2 1 3 1 2 1 2 1 3 3 2 2 3 3 3 3 1 1 1 2 3 6 2(4 ) (4 ) (4 ) (2 )(4 ) (4 ) (4 ) (4 ) (4 ) a a a a a a a a a a                   c. 4 4 3 2 2 3 1 1 1 1 1 6 2 2 3 ₀ 3 0 (4a)  

_

(4x x dx )  _2x  x _ 5 3 3 3 (4 ) 32 4 32 4 32 a a a      

41. Tussen twee grafieken

1 1 2 2 ₁ 2 2 2 2 1 2 1 3 1 2 3 ₀ 3 0 0 (( 1 ) ) (1 ) I 



x x dx 



 x x dx  _x x  x _   x y 1 -1 -2 1 2 3 -1 -2

42. Een familie van functies a. 12 2 3 3 3 ₃ 1 2 2 1 2 2 3 3 3 3 0 0 0 ( 1 ( ) ( 1 (1 ) 5 4 L 



 x dx



x dx_ x _    b. 3 3 3 3 3 3 4 0 0 0 (0,81 0,25 ) (0,56 ) 0,14 11,34 G I 

_

x  x dx 

_

x dx  _ x _   43. Wortelfuncties 2 12 6 12 6 12 12 36( 12) ( 12) 36 12 12 0 48 12 x x x x x x x x x x                  1 2 48 12 48 1 1 2 2 12 (12 6 12 ) 12 4( 12) 216 Opp x x dx x x x        _    _ 



Exponentiële functies en logaritmische functies

Logaritmen 44.

a. 2 2 2 2 36 2

9

log(36) log(9) log(5) log( 5) log(20)

b. 1 5 5 5 12 5 2 5

2 log(49) 2  log(3) log(49 ) log(3 ) log(63) c. _26_{log( )x } 6_log(36) 6_{log( )x } 6_{log(36 )x}

d. 4 4 3 4 2 4 1 4 2 4 17 2

64 64

3 2 log(9 )p log(4 ) log((9 ) )p log( ) log(81 )p log(1 p )

       

e. 8_{log(2 )a }8_{log(a3)} 8_{log(2 (a a3))} 8_log(2a2_{6 )a}

f. 42

0,1 0,1 2 0,1 4 0,1 2 0,1 0,1 2

4 log( ) log( ) log( ) log( ) log( )x log( )

x x x x x x       45. a. 2_{log( )a }2_{log( ) 3b  b.} 1 3 2 log( ) 5 a  b  2 2 2 2 log( ) 3 3 log( ) 1 1 log( ) log( ) 3 2 a 2 (2 a ) 8 b a b    a        3 10 2 10 2 1 9 log( ) 10 2 3 a 3 (3 )a 59049 ( )a b a b          c. 1 2 2 2 4 2 2 a  b b  b d. 3 a 16a 2b0 1 2 2 5 2 ₁ 2 2 1 5 1 2 2 2 ( 2) ( 2) b a b a a       1 2 2 3 4 7 3 b a a a b a     46. a. 2_{log(18 3 ) y x b.  2} 3_{log(2y 1) x c. 2 3} 5y _x 1 3 18 3 2 3 18 2 6 2 x x x y y y        3 2 2 1 1 2 2 log(2 1) 2 2 1 3 3 x x y x y y           5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 log( ) y 5 log( ) y _x y x x  _     d. 1 1 2 10 ( )_ y _x 1 2 1 1 2 ( ) 10 log(10 ) 1 y _x y x  _{ }   

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen oplossen 47. a. _{8 4} x2 _{1 b.} 1 3 1 25 5 5 ( )5 x x    c. ₃2x1_7 3 2 2 0 1 2 2 (2 ) 2 3 2 4 0 x 3 x x         2 3 1 5 5 5 (5 ) 2 3 1 0 x x x x x  _  _{ }        3 3 3 1 1 2 2 2 1 log(7) 2 x log(7) 1 log(7) x x        d. _{2 5 7 } 4x _{17 e.} 3 1 2 6 log(x4) 5 f. _34_{log(x4) 6} 4 4 7 1 4 5 7 15 7 3 log(3) x x x      1 2 3 1 2 log( 4) 4 3 3 4 3 x x x         4 2 log( 4) 2 4 4 16 20 x x x       Machten van e en natuurlijke logaritmen

48. a. ln(2x 1) 3 b. _2e5x _{3 c.} 1 2 ln( ) 1x  d. ₂ 3 4 x e  _ 3 3 3 1 1 2 2 2 1 2 1 x e x e x e       5 1 2 1 2 1 2 1 5 ln(1 ) 5 ln(1 ) x e x x  _     1 4 1 4 2 ln( ) 2x x e   3 3 3 2 ln(4) 2 ln(4) 2 ln(4) x x x       49. a. _b3e2a1 _{b. b2ln(a5) c. bln(2 ) ln(3 )a  a d. a}2 ₁ b e_  2 1 1 3 1 3 1 1 1 2 3 2 2 1 ln( ) ln( ) a e b a b a b  _     1 2 1 2 1 2 ln( 5) 5 5 b b a b a e a e       2 2 1 6 ln(6 ) 6 b b b a a e a e    2 2 1 ln( ) ln( ) 1 ln( ) 1 a b a b a b       

Afgeleiden en primitieven van exponentiële en logaritmische functies 50. a. 3 ln(2) 1 '( ) 3 5 f x x    b. '( ) 1500 ln(0,94) 0,94 t g t    c. 1 2 2 2 2 '( ) (1 ln( )) (1 ln( )) u s u u u u        d. _{h x'( ) x 2ln( )x} 1 _{1 ln ( ) 2ln( ) ln ( )}2 _{x x} 2 _x x        e. 2 ₁ 2 ₁ '( ) 3x ln(3) 2 2 ln(3) 3x k x _  _{ } x _ x _  f. 0,18 0,18 0,18 2 0,18 2 250 (15 0,18) 675 '( ) (1 15 ) (1 15 ) t t t t e e j t e e                 51. a. 2 3 2 3 ( ) 1 x F x _ e  _c b. g x( ) 2x₂ 1 2x₂ 1₂ 2 1₂ x x x x x       G x( ) 2ln( )x 1 c x    c. 3 5 2ln(3) ( ) 3 x H x _  _  _c d. K x( ) 4 ln | 3  x5 | c

52. a. b. _(x2_4)ex _0 2 _{4 0} 2 2 x x e x x       

c. Voor grote negatieve waarden van x wordt _ex

nagenoeg gelijk aan 0. De functiewaarde gaat naar 0.

De grafiek van f heeft een horizontale asymptoot: y  .0 d. _{f x'( ) ( x}2_4)ex _{2x e} x _(x2_{2x4)e}x _0 2 _{2 4 0 0} 1 5 1 5 x x x e x x            

e. De grafiek van f heeft een maximum: f( 1  5) 0,25 en een minimum:

( 1 5) 8,51 f     f. _{F x'( ) ( x}2_{bx c e )} x _{(2x b e )} x _(x2_{(b2)x(c b ))e}x 2 0 en 4 2 en 2 b c b b c          g. 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 4) x ( 2 2) x 2 6 Opp x e dx x x e e e      

_

   _    _   53. a. _{C t'( ) 160( e}0,2t _{ 0,2e}t_{  1) 160(e}t _0,2e0,2t₎ 0 0 '(0) 160( 0,2 ) 128 0

C  e  e   , dus C stijgt direct na de injectie. b. C t'( ) 0 0,2 0,8 0,8 0,8 1 4 0,2 (1 0,2 ) 0 0,2 1 5 1 ln(5) t t t t t t e e e e e e t  _  _  _{ }    Examenopdrachten

54. Logaritmen en vierde macht

4 3 3 3 3 ( ) 4ln( ) ln ( ) 4 1 4 4ln ( ) '( ) 4ln ( ) 0 4 4ln ( ) 0 ln ( ) 1 ln( ) 1 L p p p p L p p p p p p p p p e              De maximale lengte is _{L e( ) 4ln( ) ln ( ) 3 e } 4 _{e } x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

55. Een symmetrische gebroken functie a. 1 100 2 1_ex  1 200 199 ln(199) x x e e x     b. '( ) 2 2 1 2 2 2(1 ) 2 2 ( ) 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x e e e F x e f x e e e e e                 c. ln(3) ln(3) 0 0 2 2 2ln(1 ) 2ln(3) 2ln(4) 2ln(2) 1 x x Opp dx x e e   _{ }  _{ } _   _       



2 1 1 1 2 2 4 2ln(1 ) 2ln((1 ) ) ln(2 )    d. ( ) ( ) 2 2 2(1 ) 2(1 ) 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) x x x x x x x x e e f x f x e e e e e e                    2 2 2 2 2(2 ) 2 1 1 2 x x x x x x x x e e e e e e e e                 

56. Een exponentiële functie

a. 2 2 8 8 (8 8 ) 8 8 '( ) 0 8 8 0 1 x x x x x x A e x e e x x f x e e e x x             1 1 1 1 ₃ a a a a a a ae  e  e  ae  e e        ln(3) a b. f x( ) 2 Voer in: y₁ 8x_x e  en y2 2 intersect: x 0,357 en x 2,153 Deze liggen niet 2 uit elkaar, dus een vierkant met zijde 2 past er niet in. c. 8x_x 8nx_nx e  e ( 1) ( 1) 1 1 8 8 8 ( ) 0 0 ( 1) ln( ) ln( ) nx x x n x n x n xe nxe xe e n x e n n x n x n              d. 1 2ln(3) 3 0 24 8 0,46 x x x x Opp dx e e    _  _   



.

57. Vier vragen over f(x) = ln(x)

a. f x'( ) 1 x  1 1 '( ) 1 1 0 e e f e e b b b       

b. 1 2 2 0 1 ( ) (ln( )) 0,59 e e e I 

_

x dx

_

x dx  c. Opp x  ln( )x  xln( )x 1 1 ' 1 ln( ) 1 ln( ) 0 ln( ) 1 e Opp x x x x x x              De maximale oppervlakte is _{( )}1 1 _{ln( )}1 1 e e e e Opp     d. f x(5 ) f x( ) 1 1 2 5 1 5 ln(5 ) ln(5) ln( ) ln( ) 2ln( ) ln(5) ln(x) ln(5) ln( ) x x x x x          

Goniometrie

Goniometrische functies 58. a. 1 2 sin(23   ) 1 c. 3 4 tan( 2 ) 1 e. 1 1 6 2 cos(7 )  3 b. 3 1 4 2 cos(3  ) 2 d. 2 1 3 2 sin(1   ) 3 f. 2 1 3 2 cos( 3 ) 59.

a. 2sin( )x   3 b. sin( ) cos( ) 0x  x 

1 2 1 2 3 3 sin( ) 3 1 1 x x  x       1 1 2 2 1 1 2 2

sin( ) cos( ) sin( ) sin( )

x x ( ) 2 x x x x x x k                       1 2 3 4 2x 1 k 2 x k           c. 1 2sin( ) 0 x  d. 2 3 4 cos ( )x  1 2 5 1 6 6 sin( ) 1 1 x x  x       1 1 2 2 5 2 1 1 3 3 6 6 cos( ) 3 cos( ) 3 1 1 x x x  x  x  x            

Functievoorschrift bij een sinusoïde 60. a. minimum is 8 en maximum 16: 16 8 2 12 d _  _{ en} 16 8 2 4 a_  _ De periode is 13 5 8  , dus 2 1 8 4 b_  _{ }

Het ‘startpunt’ ligt precies tussen A en B: c7

1 4

( ) 4 sin( ( 7)) 12

f x   x 

b. Het ‘startpunt’ van de cosinus ligt in de top: c9 (of bij c1). 1

4

( ) 4cos( ( 1)) 12

Vergelijkingen met sinus en cosinus 61. a. 1 1 2 2 sin(2x ) 3 b. 2cos(3 ) 1x  1 1 1 2 2 3 2 3 5 7 12 12 2x ... 2x ... x k x k                       1 2 3 3 5 1 2 2 9 3 9 3 3x ... 3x 1 ... x k x k                   c. 1 4 sin(x ) cos(3 ) x 1 1 4 2 1 1 1 1 4 2 4 2 1 1 4 4 1 1 1 16 2 8 sin( ) sin( 3 ) 3 ... ( 3 ) ... 4 2 2 2 x x x x x x x k x k x k x k                                             d. 1 3

sin(3 ) sin(x  x ) e. _{2sin ( ) sin( ) 1}2 _{x  x }

1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 1 6 3 2 3 ... 3 ( ) ... 2 ... 4 1 ... x x x x x x x k x k                                1 2 5 1 6 6 (2sin( ) 1)(sin( ) 1) 0 sin( ) sin( ) 1 2 2 x x x x x  k  x  k                1 2 1 2 x  k      f. _{2cos ( ) sin( ) 1}2 _{x  x } 2 2 2(1 sin ( )) sin( ) 1 0 2sin ( ) sin( ) 1 0 x x x x       

Deze vergelijking heeft dezelfde oplossingen als e.

Afgeleiden en primitieven 62.

a. f x'( ) 6cos(2 ) x

b. g x'( ) 3 2cos( )  x  sin( )x  6 sin( )cos( )x x

c. 2 2

(1 sin( )) cos( ) sin( ) cos( ) cos( ) '( ) (1 sin( )) (1 sin( )) x x x x x h x x x         d. _{k x'( ) sin(3x}2_{ 2) 6x 6 sin(3x x}2_2) e. '( ) 1 4cos(4 ) 4cos(4 ) 2 sin(4 ) 2 sin(4 ) x m x x x x      f. 2 2 2 2 2

sin(2 ) 2sin(2 ) cos(2 ) 2cos(2 ) 2(sin (2 ) cos (2 )) 2 '( )

sin (2 ) sin (2 ) sin (2 )

x x x x x x n x x x x           63. a. 1 2 ( ) 1 cos(2 ) c F x   x  c. 1 2 ( ) 4 6 sin( ) c H x  x x  b. 1 3 ( ) 3sin( ) c G x    x  d. 2 2 3 ( ) 1 cos(6 3 ) c K x x   x  Som en verschilformules, formules van Simpson

64.

a. 1 1

2 2

sin(3x 1) sin(3x2) 2sin(3 x ) cos(1 )

b. 1 1

2 2

cos(2 ) cos(5 )x  x  2sin(3 x) sin( 1  x)

c. 1 1 1 1 1

2 2 4 2 4

Verdubbelingsformules 65.

a. _{f x( ) 4 sin( ) cos ( ) 4sin ( ) cos( ) 4sin( )cos( ) (cos ( ) sin ( )) x } 3 _{x } 3 _{x  x  x x } 2 _{x } 2 _{x } 2 2sin( )cos( ) cos(2 ) 2sin(2 ) cos(2 )x x x x x

    

b. sin(4 ) sin(2x  x2 ) sin(2 )cos(2 ) cos(2 )sin(2 ) 2sin(2 )cos(2 )x  x x  x x  x x f x( ) c. 5 5 8 8 ₅ 8 1 2 1 1 2 2 1 1 4 4 ( ) sin(4 ) cos(4 ) f x dx x dx x         _ _ 





Parametervoorstellingen, figuren van Lissajous 66. a. b. dy 0 en dx 0 dt  dt  1 1 2 2 1 2 1 2 6 3 2 3 21cos(3 ) 0 3 ... 3 1 ... t t t t k t k                    1 5 6 6 1 1 2 2 (2 , 7) en (2 , 7)

P_ P_  _{Voor de andere t-waarden is} dx 0

dt  c. 10 sin(2 ) 0t  1 2 2t 0 k 2 2t k 2 t k t k                    0(5, 0) P d. y 0 1 2 2 x   2 1 2 3 3 3 7 sin(3 ) 0 3 0 2 3 2 t t k t k t k t k                     1 2 1 2 2 1 3 3 1 2 3 3 5cos(2 ) 2 cos(2 ) 2 2 2 1 2 t t t k t k t k t k                           Dus 1 2 1 2 3 , 3 , 13 en 13

t   t   t   t   horen bij het punt 1 2 ( 2 , 0)

67.

a. de periode van x is 2 2

3 3 en die van y is 24 21. De gemeenschappelijke periode is 2 . b. dx 15cos(3 ) 0t dt   8 sin(4 ) 0 dy t dt    1 1 2 2 1 2 1 2 6 3 2 3 3t k 2 3t 1 k 2 t k t k                       1 1 1 2 4 2 4 0 2 4 2 0 t k t k t k t k                     Keerpunten: 1 1 2 ( 5, 2) en 12 (5, 2) P_  P _ c. x5 sin(3 ) 0t  2 1 2 3 3 3 3 0 2 3 2 0 t k t k t k t k                     In P0(0, 2) is de helling 150  ; in 0 1 3 (0, 1) P_{  is de helling} 4 3 4 15 15 3    en in 1 3 1 (0, 1) P _{  is de helling} 4 3 4 15 15 3 x y 2 4 6 -2 -4 -6 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8

d. In (-5, 2): 1 2 ( 0,001) 0,71 dy dx     en in (5, 2): 1 2 (1 0,001) 0,71 dy dx    68. a. b. 1 2 3cos(2 )t  2 1 6 2 7 12 7 7 12 12 cos(2 ) 2cos ( ) 1 cos ( ) cos( ) cos( ) t t t t t         7 1 12 2 ( 3 , ) P  (ofwel 1 1 2 2 ( 21, )) en 1 1 2 2 ( 21, ) Q c. 2 2 2 2 2 2 3 3

3cos(2 t) 3(2cos ( ) 1) 6cos ( ) 3 (3cos( )) 3 3

y   t   t   t   x 

d. D_f : 3 , 3







69.

a. De periode van x is 2 , de periode van y is ook 2 en die van de kromme dus ook. b.

2

2 2

0

( 2sin(2 ) sin( )) (2cos(2t) cos(t)) 13,36

L t t dt





_

    

70.

a. dx 6 sin( ) 6sin(3 )t t 6(sin(3 ) sin( ))t t 6(2sin(2 ) cos( ))t t

dt          

 12sin(2 )cos( )t t

b. dy 6cos( ) 6cos(3 ) 6(cos(3 ) cos( )) 6(2cos(2 ) cos( ))t t t t t t

dt        12cos(2 ) cos( ) t  t c. horizontale raaklijn: dy 0 en dx 0 dt  dt  verticale raaklijn: 0 en 0 dx dy dt  dt  1 3 4 4 1 3 4 4 1 1 2 2 1 1 4 2 1 1 12cos(2 ) cos( ) 0 cos(2 ) 0 cos( ) 0 2 (2 2, 4 2), ( 2 2, 4 2), ( 2 2, 4 2), (2 2, 4 2) t t t t t k t k t k P P P P                              1 2 1 2 0 12sin(2 ) cos( ) 0 sin(2 ) 0 cos( ) 0 2 0 0 (8, 0) en ( 8, 0) t t t t t k t k t k P P_                      d. dy 1 dx  1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 8 2

12cos(2 ) cos( ) 12sin(2 ) cos( ) 12cos(2 ) 12sin(2 ) cos( ) 0 cos(2 ) sin( 2 ) cos( 2 )

2 2 2 2 4 2 t t t t t t t t t t t t t t t k t k                                  3 7 3 7 8 , 8 , 18 en 18 t   t   t   t   x y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

Examenopdrachten 71. Goniometrische functies a. sin( ) sin(2 ) 0x  x  1 2 2 3

sin( ) 2sin( )cos( ) sin( )(1 2cos( )) 0

sin( ) 0 cos( ) 0 O A B x x x x x x x x x  x               b. f x_a'( ) cos( ) 2 cos(2 ) x  a x 5 5 2 1 1 1 6 6 3 2 2 2 1 2 '( ) cos( ) 2 cos(1 ) 3 2 3 0 3 a f a a a a                Voer in: 1 1 sin( ) 2 3 sin(2 ) y  x   x maximum: x 0,96 c. 1 1 1 2 0 2 2 0

(sin( ) sin(2 )) cos( ) cos(2 ) (1 ) ( 1 ) 2

Opp x a x dx x a x a a









   _   _      

72. Rechthoeken bij een kwart cirkel

a. 1 2 ( ) (1 cos( )) sin( ) V t   t  t en 1 2 ( ) (1 cos( )) sin( ) W t   t  t 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 3

sin( ) (1 cos( )) 3 sin( ) (1 cos( )) sin( ) 0 1 cos( ) 3 3cos( ) sin( ) 0 cos( ) 0 1 t t t t t t t t t t t  t                     b. ON RS OQ  RA invullen levert: 1 1 2(1 cos( )) 2sin( ) sin( ) 1 cos( ) t t t t    2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2

(1 cos( ))(1 cos( )) sin ( )

(1 cos ( )) sin ( ) sin ( ) cos ( ) 1 t t t t t t t       

En dat is waar voor iedere waarde van t. c. 1 2 1 2 (1 cos( )) 1 cos( ) sin( ) sin( ) t t t t    1 4 1 4 3 5

sin( ) (1 cos( )) sin( ) (1 cos( ))

sin( ) 0 (1 cos( )) 1 cos( )

cos( ) t t t t t t t t k  t              

De zijden van vierkant ONPQ is 1 3 4

2(15) en die van ARST is 5 1  .35 25

73. Een buiteling a. ORR' 90 ot 90 ORP   o_{, dus PRR't} ' ' sin PRR' sin( )t PP PP PR t     , dus PP'tsin( )t ' ' cos PRR' cos( )t RP RP RP t     , dus RP'tcos( )t ' ' cos( ) sin( ) P x OR P P  t t t en y_P RR RP' ' sin( ) t tcos( )t

b. x t'( ) sin( )t tcos( ) sin( )t  t tcos( )t en '( ) cos( )y t  t tsin( ) cos( ) tsin(t)t  t 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( cos( )) ( sin( )) ( cos ( ) sin ( )

(cos ( ) sin ( )) v t t t t t t t t t t t t t t          c. 1 2 1 2 2 ₀ 2 0 L t dt t  _    

_

_{ }  74. Een achtkromme a. dy 2cos(2 ) 0t dt   1 2 1 1 4 2 cos(2 ) 0 2 t t k t k            1 3 1 3 4 ( 2,1), 4 ( 2, 1), 14 ( 2,1) en 14 ( 2, 1) P_ P_   P _  P _  2 2 2 4 2 5,7 rechthoek Opp     b. 1 2 1 2 1 2 4 4 4

1 2cos( ) 1 (2cos( )) 2cos( ) 1 (4cos( ))

x  x  t   t  t   t 

2 2

2cos( )t 1 cos ( )t 2cos( )t sin ( ) 2sin( )cos( ) sin(2 )t t t t y

       

Meetkunde

Bewijzen 75.

a. De hoogtelijn uit B is BF, de hoogtelijn uit C is CE en die uit H is DH. De lijnen BF, CE en DH snijden elkaar in A.

b. van driehoek ACH.

76.

a. 1. AD EC (AECD is een parallellogram)

2. AD BC (ABCD is een gelijkbenig trapezium)

3. BC EC (volgt uit 1 en 2) b. 1. DAB  CEB (F-hoeken)

2. CEB  CBE( ABC) (VBCE is gelijkbenig)

3. DAB  ABC (volgt uit 1 en 2)

c. 1. AB is gemeenschappelijk

2. BAD  ABC (volgt uit b)

3. AD BC

4. BADV VABC (ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3)

5. BDAC (volgt uit 4)

6. ADCV VBCD (ZZZ, gegeven en uit 5)

7. ADC  BCD (volgt uit 6)

d. 1. ADNV VBCN (ZHZ)

2. AN BN (volgt uit 1)

3. ABNV is een gelijkbenige driehoek (volgt uit 2)

e. 1. MAD ADN 360o AMN MND180o _{(hoekensom v. e. vierhoek)}

2. MAD BAD  ABC (volgt uit b)

3. ABC ADN  ABC ADC 180o _{(volgt uit 1 en 2)}

4. ABCD is een koordenvierhoek (koordenvierhoekstelling) 77.

a.

b. 1. A ligt op een cirkel met middellijn BC (Thales) 2. F is het midden van BC (AF is zwaartelijn) 3. AF FB FC (volgt uit 1 en 2)

4. BC  2 AF

c. 1. DCF  DEF 180o _{(DEFC koordenvierhoek)}

2. DEF  AEB (overstaande hoeken)

3. BAF  ABF ( ABFV is gelijkbenig, volgt uit a)

4. DCF 90o ABF _{(hoekensom v. e. driehoek)}

5. 1

2

90o ABF (180o BAF ABF) 180 o

(volgt uit 1, 2,3 en 4)

6. 1

2 90

ABF ABF ABF

      o

7. ABF 36o

78. 1. ATB is constant (omtrekshoek)

2. AQB is constant (omtrekshoek)

3. QAT 180o AQT  ATQ _{is constant (hoekensom v. e. driehoek)}

4. QAP 180o QAT _{is constant (gestrekte hoek)}

5. De lengte van PQ is constant (boog en koorde) 79.

a. 1. DME  BMD (bg DE( )bg BD( ))

2. DMEV VBMD (ZHZ, de zijden zijn gelijk aan de straal)

3. DEM  BDM  DBM (gelijkbenige driehoek)

4. CD BD (gegeven)

5. DBM  DCB (gelijkbenige driehoek, volgt uit 4) b. 1. MCD MED (volgt uit a)

2. M, C, E en D liggen op een cirkel (constante hoek, volgt uit 1) 3. DECM is een koordenvierhoek.

80.

a. 1. MPS90o _{(PS // AB en ABMP)}

2. P ligt op een cirkel met middellijn MS (volgt uit 1, Thales) 3. MQS 90o _(raaklijn)

4. Q ligt op een cirkel met middellijn MS (volgt uit 3, Thales) 5. P, Q, M en S liggen op een cirkel (volgt uit 2 en 4)

dus MSQP is een koordenvierhoek.

b. 1. QAM  AQM (gelijkbenige driehoek, MA MQ straal  )

2. AQM  PQM  PSM (constante hoek op koorde PM)

3. PSM  SMB (Z-hoek)

4. QAM  SMB (volgt uit 1, 2 en 3)

5. AP // MS (volgt uit 4, F-hoek)

c. 1. PQM  QMS (Z-hoek) 2. PQM  SMB (zie b) 3. QM BM straal 4. QMS  BMS (volgt uit 1 en 2) 5. MS is gemeenschappelijk 6. QMSV VBMS (ZHZ, volgt uit 3, 4 en 5) 7. QSBS (volgt uit 6) 81. a. 1. CN is gemeenschappelijk

2. NCE  NCF (N is het midden van bg(AB))

3. CEN  CFN 90o _(loodlijnen)

4. CENV VCFN (ZHH, volgt uit 1, 2 en 3)

5. EN FN (volgt uit 4) b. 1. AN FN (boog en koorde)

2. NE NF (volgt uit a)

3. NEA NFB90o

4. ANEV VBNF (ZZR, volgt uit 1, 2 en 3)

5. AE BF

82. 1. AGB GAB (gelijkbenige driehoek)

2. ABG180o2 _{(hoekensom driehoek)}

3. ABC 180o(180o2 ) 2   _{(gestrekte hoek)}

4. ABE  EBC  (BE is bissectrice)

5. BE // AG (Z-hoek, volgt uit 4)

6. Op analoge wijze kun je bewijzen dat AD // FB 7. vierhoek AHBI is een parallellogram (uit 5 en 6)

dus AB en HI delen elkaar middendoor

83. 1. ABR  ARS(hoek tussen koorde en raaklijn)

2. ARS  TRC (overstaande hoeken)

3. TRC  CDR (hoek tussen koorde en raaklijn)

4. ABR  RDC (volgt uit 1, 2 en 3)

5. AB // CD (Z-hoek, volgt uit 4)

In het geval dat cirkel c2 binnen de cirkel c1 ligt:

1. ABR  ARS CDR (hoek tussen koorde en raaklijn)

2. AB // CD (F-hoek, volgt uit 1) 84. 1. AED  AFD90o

2. vierhoek AEDF is een koordenvierhoek (volgt uit 1)

3. EAD  EFD (constante hoek op koorde ED, volgt uit 2)

4. DFE  DFG FGH  (Z-hoek)

5. EGB  FGH (overstaande hoeken)

6. DGF 90o FGH 90o

7. FGE  FGD DGB BGE 90o  90o  180o dus F, G en E liggen op één lijn.





85.

a.

b. M ligt op de lijn door D loodrecht op AB

M ligt op de middelloodlijn van CD.

c. DCF 30o _{(CD is bissectrice)} 60 DMF   o _{(omtrekshoek)} d. BFM 360o45o90o60o 165o _(hoekensom v.e. vierhoek) e. 1. ADC 180o75o30o75o 2. CDM 90o ADC 15o

3. VDFM is een gelijkbenige driehoek met

DMF 60o_{, dus VDFM is gelijkzijdig.}

4. CDF  CDM MDF 75o _{(volgt uit 2 en 3)}

5. CFM 180o BFM 15o _{(gestrekte hoek en vraag d)}

6. DFC  DFM CFM 75o

7. CD is gemeenschappelijk

8. VADC VFDC (ZHH, volgt uit 7, 4, 1 en 6)

9. AD FD

86. 1. FAE  ABC  (hoek tussen koorde en raaklijn)

2. CBD90o _(raaklijn) 3. BCA90o _(Thales)

4. CDB180o90o(90o) _{(hoekensom v. e. driehoek)}

5. VECBVDCB (ZHZ, EC DC (gegeven), ECB DCB90o _{(volgt uit 3) en} CB is gemeenschappelijk)

6. BEC  BDC  (volgt uit 4 en 5)

7. AEF  BEC (overstaande hoeken)

8. AF EF (gelijkbenige driehoek, volgt uit 1 en 7)

87.

a. 1. AVA  AF (A ligt op de parabool)

2. V ASA  FAS (raaklijneigenschap)

3. AS is gemeenschappelijk

4. VV ASA VFAS (ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3)

5. V SAA  FSA (volgt uit 4)

6. Op analoge wijze kan bewezen worden dat V SBB  FSB 

7. V SV_{A B} 22 180o

(gestrekte hoek)

8. ASB     90o _{(volgt uit 7)}

b. Uit de congruentie van vraag a (punt 4) volgt dat AV S_A  AFS 90o Ook is BV S_B  BFS90o

Dus AFB AFS SFB180o_{, dus A, F en B liggen op één lijn.}

88. De linkertak is een parabool met brandpunt

A en richtlijn m. Het middenstuk de

bissectrice van hoek S en de rechtertak een parabool met brandpunt B en richtlijn m.

Examenopdrachten 89. Een geodriehoek

a. 1. ACB45o _{(VABC is gelijkbenige rechthoekige driehoek)}

2. ECD180o ACB ACD45o _{(gestrekte hoek)}

3. ACE ADE  ACD DCE45o 90o45o45o 180o

4. vierhoek ACED is een koordenvierhoek (koordenvierhoek)

b. 1. DAE  DCE 45o _{(constante hoek op koorde DE)}

2. AED 180o DAE ADE 90o

3. VAED is een geodriehoek

90. Het midden van een koorde

1. MSC 90o _{(loodlijn op koorde)}

2. S ligt op een cirkel met middellijn MC (Thales) 91.

a. 1. ML MQ QL r QL    2. RL RP PL r PL   

3. Omdat QL PL is ML RL en ligt L dus op de middelloodlijn van MR. b. De punten L liggen even ver van M als van lijn k.

De punten L liggen op de parabool met brandpunt M en richtlijn k.

92. Cirkels bij een driehoek

a. A en D liggen op de cirkel: M ligt op de middelloodlijn van AD.

De cirkel raakt AB in A: M ligt op de lijn door A loodrecht op AB. b. 1. ABD  BFD (hoek tussen koorde en raaklijn)

2. ACD  CFD (hoek tussen koorde en raaklijn)

3. BAC BFC BAC ( BFD CFD) BAC ABD ACD 180o (hoekensom v.e. driehoek)

4. vierhoek ABFC is een koordenvierhoek (koordenvierhoek, volgt uit 3) 93. Twee gelijkzijdige driehoeken

a. 1. AB CB (VABC is gelijkzijdig)

2. ABE  ABD60o60o ABD CBD

3. BE BD (VBDE is gelijkzijdig)

4. VABE VCBD (ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3)

5. AE CD (volgt uit 4)

b. 1. ASB180o ACB120o _{(ASBC is een koordenvierhoek)}

2. BSE  BDE 60o _{(constante hoek op koorde BE)}

3. ASB BSE 180o_{, dus BSE is een gestrekte hoek.}

94. Evenwijdige lijnen en een rechthoek

a. 1. ABC  ADC 90o _(Thales)

2. BAC  ACD (Z-hoek)

3. ACB180o90o  90o _{(hoekensom v.e. driehoek)}

4. BCD ACB ACD 90o    90o _{(volgt uit 2 en 3)}

5. op analoge wijze kan bewezen worden dat BAD 90o

6. ABCD is een vierhoek met vier hoeken van 90o_{; ABCD is een rechthoek.}

b. 1. CME   2 CDE (omtrekshoek)

2. SDE  MCS (Z-hoek)