32
Volgens Bartjens jaargang 34 2014/2015 Nummer 1
Fietsen is vaak een geschikte manier om je te verplaatsen. Fietsen is milieuvriendelijk en het is zeker in stedelijke gebieden een snelle manier van reizen. Maar fietsen heeft ook zo z’n nadelen. Fietsen in harde wind, sneeuw en regen is niet prettig en verder geldt: hoe vlakker het landschap hoe makkelijker je er doorheen fietst. Gelukkig biedt het weerbericht vaak een gedetailleerd inzicht in de verwachte sneeuw- of regenval. Opstellers van het weerbericht kiezen vaak een grafiek om alle weerinformatie met de gebruiker te delen. Een grafiek is ook een goed bruikbaar middel om de fietser te informeren over hoogte-verschillen in de weg. Google Maps voorziet hier sinds het voorjaar van 2014 in (afbeelding 1). Grafieken als die van Google Maps bieden een rijke bron voor het reken-wiskundeonderwijs. Ze
stellen leerlingen in staat verbindingen te maken tussen de schematische werkelijkheid in de grafiek en hun eigen ervaringen. Hebben ze wel eens 35 kilometer gefietst? Wanneer was dat? Moest daarbij ook geklommen en gedaald worden? Was het weer spelbreker of hadden ze de wind juist mee?
Tal van technologische middelen bieden anno 2014 ondersteuning bij het nemen van beslis-singen en bij het in beeld krijgen van de wereld. De techniek biedt de informatie daarbij vaak in schematische en/of grafische vorm. Het is daarom van belang dat op de basisschool al voldoende aandacht is voor het leren lezen van grafieken en afbeeldingen en om te leren er met elkaar over van gedachten te wisselen. Door met elkaar te bespreken wat er te zien is (of te zien moet zijn) in een grafiek, leren de leerlingen de informatie in schematische of grafische voorstellingen te duiden en krijgen deze voorstellingen betekenis.
grafieken interpreteren
Bij de gewone rekenlessen over grafieken staat de grafiek meestal al kant en klaar in het rekenboek, met een aantal vragen. Bij de grafiek van afbeel-ding 2 uit De Wereld in Getallen is bijvoorbeeld een van de vragen in welke maand er de meeste overnachtingen waren. Ook wordt gevraagd hoeveel overnachtingen er gedurende het hele
De kunst van het
weglaten
artikel
De meeste methodes besteden wel enige aandacht aan het
interpreteren van grafieken en tabellen. Echt goed begrijpen
hoe grafieken in elkaar zitten doe je pas als je er zelf een
paar gemaakt hebt en zelf tegen de problemen van de
grafiekenmaker bent aangelopen. Frans van Galen en Ronald
Keijzer laten de mogelijkheden zien van het materiaal van de
Grote Rekendag bij grafiekenlessen.
grafieken gebruiken en begrijpen
Tekst
Ronald Keijzer en Frans van Galen
Ronald Keijzer is lector rekenen-wiskunde aan de Hogeschool iPabo en projectleider van de Grote Rekendag
Frans van Galen is medewerker van de Universiteit Utrecht en ontwerper van opdrachten voor de Grote Rekendag
1. Screenshot van Google maps routeplanner
2. Grafiekopdracht uit De Wereld in Getallen 7A
33
Volgens Bartjens jaargang 34 2014/2015 Nummer 1
jaar waren en hoeveel dat er gemiddeld per maand waren. De opdracht richt de leerlingen ook op de context zelf. Kamperen doe je vooral in de zomer en dat laat de grafiek goed zien. Maar ook december is een relatief drukke maand. De leerlingen mogen bedenken waarom dat zo is. In iedere groep zitten waarschijnlijk wel enkele leerlingen die wel eens gekampeerd hebben. De vraag naar wat de grafiek eigenlijk wil zeggen ligt daarom op de stip. De methode geeft daar ook aanleiding toe met de vraag over de drukke maand december. En als die ter sprake komt ligt het voor de hand om verder te informeren naar de wel heel drukke maanden juli en augustus en ook naar de opmerkelijke drukte in februari.
Zouden leerlingen die grafieken als afbeelding 2 kunnen aflezen ook zelf zo’n grafiek kunnen maken? Dat is de vraag. Essentieel is hier dat de grafiek de verhoudingen tussen de maanden weergeeft: in juli zijn er ongeveer twee keer zoveel overnachtingen als in oktober en ongeveer vier keer zoveel als in december. Zulke conclusies kunnen ze trekken door de lengte van de staven te vergelijken, maar dat kan alleen omdat op de verticale as de getallen 5, 10, enzovoort op gelijke afstanden van elkaar staan. Voor leerlingen is dat niet zonder meer vanzelfsprekend, zoals we kunnen zien in de grafiek van afbeelding 3, waar een leerling de groei van een zonnebloem getekend heeft. Op het zelf laten tekenen van grafieken gaan we straks verder in, maar kun je in een les over een grafiek in het rekenboek ook aan dit aspect aandacht besteden?
de kunst van het weglaten
We kunnen de leerlingen aan het denken zetten door wat we ‘de kunst van het weglaten’ zouden willen noemen. Het idee is simpel en makkelijk uitvoerbaar. Maak een plaatje van de grafiek zonder de informatie op de assen, dus zonder de namen van de maanden horizontaal, en zonder de getallen verticaal. Vertel waar de grafiek over gaat en geef de leerlingen een klein beetje informatie, bijvoorbeeld: ‘juli was de drukste maand, toen waren er bijna 20.000 overnachtingen’. Na deze voorzet zijn de leerlingen aan het woord. Ze zullen waarschijnlijk bedenken dat de 12 staven voor de 12 maanden staan. Daarna kunt u vragen of ze nu ook iets kunnen zeggen over het aantal overnach-tingen in bijvoorbeeld oktober of december. Vandaaruit kan worden gereconstrueerd dat bij de gekleurde streepjes waarschijnlijk 5000, 10000, 15000 en 20000 moet staan en dat de andere streepjes steeds voor 1000 overnachtingen meer staan. Om de discussie over de verhoudingen op de schaal heel expliciet te maken kunt u zelf verkeerde getallen bij de verticale as zetten, zoals bijvoorbeeld 1000, 2000, 5000 en 20000 en leerlingen laten uitleggen waarom een grafiek met zulke getallen niet handig zou zijn.
levensechte grafieken
De methode biedt, als we ook wat durven
weglaten, mogelijkheden om de leerlingen te laten nadenken over hoe de grafiek tot stand kwam. Maar dat is niet genoeg. Ze moeten ook werkelijk aan de slag met het maken van grafiek. Want pas als leerlingen zelf grafieken maken, begrijpen ze wat een grafiek je wil laten zien of, beter gezegd, wat de maker met de grafiek wil vertellen. Als ze zelf een grafiek maken, ordenen ze de gegevens zelf. Daarbij bedenken ze wat zijzelf aan anderen duidelijk willen maken. En als leerlingen dat goed kunnen, zijn ze beter in staat te begrijpen wat anderen (methodemakers, de krant, et cetera) met
hun grafieken willen vertellen.
Dit laatste is de reden waarom er in de afgelopen twaalf edities van de Grote Rekendag geregeld aandacht was voor het zelf maken van grafieken. We gingen daarbij nog een stap verder dan alleen het maken van de grafiek. We daagden de leerlingen uit om op onderzoek te gaan in hun directe omgeving. Dit leidde dan tot lijstjes met getallen, die de leerlingen vervolgens gingen ordenen in grafieken, om zo te zien wat hun onder-zoek opgeleverd had. En omdat de conclusie van het onderzoek gedeeld moest worden, moesten de leerlingen ook bedenken hoe deze conclusie het best via de grafiek gecommuniceerd zou kunnen worden.
Dit gebeurde bijvoorbeeld tijdens de Grote Rekendag van 2010. Deze Grote Rekendag ging over meten aan het eigen lijf. Een van de lichaams-delen die daarbij door de leerlingen van groep 7 en 8 opgemeten werd was hun vuist. Die heeft 3. Zonnebloemgrafiek
34
Volgens Bartjens jaargang 34 2014/2015 Nummer 1
een volume en een oppervlakte en het ligt voor de hand om je af te vragen of een groter volume van de vuist ook betekent dat de oppervlakte van dit lichaamsdeel groter is.
Afbeelding 4 en 5 laten zien hoe de leerlingen te werk gingen om de gevraagde lichaamsmaten te bepalen. Ze konden achter het volume van hun hand komen, door de hand onder te dompelen in een maatbeker die gedeeltelijk is gevuld met water. De stijging van het waterpeil geeft het gevraagde volume. Ze achterhaalden de oppervlakte van hun hand, door deze om te trekken op ruitjespapier en het aantal vakjes te tellen dat binnen de omtrek ligt. De leerlingen noteren de meetresultaten in een tabel. Als ze die goed bekeken konden ze bedenken dat het inderdaad vaak zo is dat een groter volume van de vuist betekent dat de oppervlakte van die
hand ook groter is. De leerlingen noteerden de meetresultaten in een zogenoemde puntenwolk. Daarin zijn de twee metingen bij een leerling samengebracht in één punt. En inderdaad, de puntenwolk toonde aan dat de grootte van vuistvo-lume en handoppervlak met elkaar samenhangen (afbeelding 6).
De Grote Rekendag van 2014, met als thema ‘Klas in beeld’ stond helemaal in het teken van grafieken. Zo ook in groep 3 en 4. Leerlingen in die groepen kregen de opdracht door middel van grafieken hun eigen leefwereld in beeld te brengen.
Ook hier start het maken van de grafiek met het verzamelen van gegevens. De leerlingen vullen daarom eerst allemaal een vragenlijst in (afbeelding 7). De leerkracht knipt vervolgens de ingevulde formulieren los, zodat er losse stapeltjes antwoorden ontstaan bij iedere vraag. Die stapel-tjes deelt zij vervolgens uit aan groepjes leerlingen, zodat elk groepje de antwoorden krijgt bij één van de vragen. De groepjes mogen vervolgens bedenken hoe je de antwoorden overzichtelijk in beeld brengt in een grafiek. Er is bijvoorbeeld een groepje dat aan de slag gaat met antwoorden op de vraag wat leerlingen het liefst na schooltijd doen (zie afbeelding 7, vraag 4). Dit groepje ordent de 4. Inhoud
6. De samenhang tussen vuistvolume en handoppervlak in beeld
5. Oppervlakte
8. Staafgrafiek: wat doe je in je vrije tijd?
Leerlingen die tijdens hun basisschooltijd
experimenteren met het zelf maken van grafieken
leren begrijpen wat verschillende grafieken willen
zeggen.
7. Ingevulde vragenlijst
35
Volgens Bartjens jaargang 34 2014/2015 Nummer 1
Bewijs
uit het
gerijmde
Bewijs uit het gerijmde
Jaap van Lakerveld
Simon Stevin (1548- 1620)
Simon Stevin, de uitvinder van decimale breuken
Brugse bastaard, later Leidenaar
Zette molens, vestingen en wagens in elkaar
Wist heel de rekenkunst diepgaand op te leuken.
Zijn Wisconstighe Ghedaechtenissen
Uit zijn Vlaamse tijd, toen hij boekhouder was
Kwamen in zijn Leidse tijd van pas
Zijn leven was een reeks belevenissen
Hij werkte aan natuurkunde, chemie
Wiskunde en sterrenkunde
Terwijl hij de techniek ook zijn talenten gunde
Stevin was in een woord een genie.
Al rekenend werd Simon zo beroemd
Dat er tal van straten naar hem zijn genoemd
strookjes met antwoorden op een groot geel vel. Zo ontstaat een staafgrafiek, die meteen duidelijk maakt dat de meeste leerlingen kiezen voor buiten spelen in hun vrije tijd (afbeelding 8).
We zien bij deze activiteiten van de Grote
Rekendag dat het werken met grafieken is ingebed in het doen van een onderzoek naar iets wat de leerlingen daadwerkelijk raakt. Dat onderzoek begint telkens met het verzamelen van informatie óf door deze informatie verkrijgen óf door te meten. Het echte maken van een grafiek begint met het ordenen en schematiseren van deze informatie. Kernvraag daarbij is hoe ze goed in beeld kunnen brengen wat ze zichtbaar willen maken. Dit ordenen gaat snel over in interpreteren van wat er gevonden is. Omdat de contexten voor de leerlingen levensecht zijn, blijkt dat haalbaar. Het kost de leerlingen weinig moeite te verklaren waarom een vuist met een groot volume ook een grote oppervlakte heeft. Het verbaast ze ook niet echt dat veel leerlingen kiezen voor buitenspelen als favoriete activiteit.
tot slot
Op de basisschool komen leerlingen al op verschil-lende momenten in aanraking met grafieken. Het is een geschikte manier om informatie te delen op televisie, in de krant en ook op allerlei nieuwe informatieplatforms. Het is daarom belangrijk dat leerlingen goed thuis zijn in wat grafieken hen willen vertellen. Om goed te begrijpen hoe ze informatie uit een grafiek kunnen duiden, moeten ze in de huid kruipen van de maker van de grafiek. Wij vinden het daarom raadzaam dat leerlingen al tijdens hun basisschooltijd experimenteren met het zelf maken van grafieken, omdat ze daarmee leren wat verschillende grafieken willen zeggen. De methodelessen bieden vervolgens mogelijk-heden om leerlingen te laten oefenen met het goed kunnen aflezen van grafieken en bij gegeven grafieken na te laten denken over wat een grafiek nu precies wil zeggen over een situatie. Door soms wat informatie weg te laten bieden we leerlingen de kans, ook bij grafieken uit de methode, een beetje in de huid te kruipen van de grafieken-maker.
Meer informatie
Voor meer informatie, zie: http://groterekendag.nl
