Uitwerkingen hoofdstuk 3 versie 2014
3. Logaritmische grafieken en exponentiële verbanden.
Opgave 3.1 Aflezen van coӧrdinaten in een enkellog-grafiek.
De coӧrdinaten van de punten A, B, C, D en E.
A: (2;101,1)→(2;12,6) B: (3;101,8)→(3;63) C: (5,3;102,1)→(5,3;126) D: (4;102.5)→(4;316) E: (6,9;102,62)→(6,9;417)
Opgave 3.2 Uitzetten van punten in een enkellog-grafiek.
Stel de juist schaalverdeling in en via copy en paste krijg de volgende grafiek.
100
10
0
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1
1
0,1
5 10 15
Opgave 3.3 Aflezen van coӧrdinaten in een dubbellog-grafiek.
De coӧrdinaten van de punten A, B, C, D en E.
A: (101,2;10−0,4)→(16;0,4) B: (100,55;100,1)→(3,5;1,3) C: (100,2;100,6)→(1,6;4,0) D: (101,13;100,22)→(13;1,7) E: (101,65;100,88)→(45;7,6)
Opgave 3.4 Uitzetten van punten in een dubbellog-grafiek.
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1
1 1
10 1
1
0,1
10 100
1
N rood helling
⋅
=
=
= 48 , 0 exponent
48 , 1 0 , 2
1
Opgave 3.5 Grondtal bepalen met enkellog-grafiek.
a 2N =(100,3)N =100,3N b
c (100,48)N =3N
Opgave 3.6 Groei van je spaarrekening.
a K(1)=1,065×1780=1896
b K(10)=(1,065)10×1780=1,877×1780=3341
c rentena10 jaar =K(10)−K(0)=3341−1780=1561
d zie grafiek hierna
e (1,065)N =100,0273⋅N
f 0,028
14 4 , 0 =
helling =
klopt met antwoord g
8 2 : controle ) 3
2 log(
) 8 ) log(
8
log( 10 3
10
2 = = =
9 3 : controle ) 2
3 log(
) 9 ) log(
9
log( 2
3 = = =
60 , 1 1,04 : controle ) 12
04 , 1 log(
) 6 , 1 ) log(
6 , 1
log( 10 12
10 04
,
1 = = =
8 , 99 3
: controle 19
, ) 4 3 log(
) 100 ) log(
100
log( 10 4,19
10
3 = = =
11 11 11
3log(3 )=11 want 3 =3
Opgave 3.7 Oefenen met alog(b).
Bereken en controleer.
a voorbeeld:
b
c
d
e
2 3 4 5 6 7 8 9
1 1
1000 10000
0 5 10 15
log(5)- log(2) = 0,40
16- 2 = 14
klopt )
5 log(
293 , 0 5 : controle
293 , ) 0 3 log(
5 ) 5 log(
5 ) 5 ) log(
5 log(
5
3 3 3
=
×
=
=
=
→
= x
x
klopt 1003 2
: controle
97 , ) 9 2 log(
) 1000 log(
) 1000 log(
1000 2
97 , 9
2
=
=
=
→
=
→
=
afgerond x
exact
x x
10 1000
3 ) 1000
log( = →x3 = →x=
x
klopt x
x x
2 5
1 , 0 1
, 0 5
10 97 , 9 ) 587 , 0 2 log(
: controle
587 , 2 0 2 5
5 1 , 0 ) 2 log(
⋅ −
=
×
=
=
→
=
→
=
klopt 1 , 1200 )
06 , 1 ( 1000 : controle
13 , ) 3 06 , 1 log(
) 2 , 1 log(
) 2 , 1 log(
x
2 , 1 06 , 1000 1 06 1200 , 1 ) 06 , 1 ( 1000 1200
13 , 3 1,06
=
⋅
=
=
→
=
→
=
→
=
→
⋅
=
afgerond x
exact
x x
x
klopt 7
, 499 4
3 : controle
46 , 5 2 , 1
69 , 69 3
, ) 3 4 log(
) 7 , 166 ) log(
7 , 166 log(
5 , 1
7 , 3 166 4 500
500 4
3
69 , 3 4
5 , 1 5
, 1
=
⋅
=
=
→
=
=
=
→
=
=
→
=
⋅
x x
x x
klopt 6
, 998 6
, 31 : controle
6 , 31
1000 1000
1000
2
12 2
=
=
→
=
=
→
=
afgerond x
exact x
of x
x
klopt 1000
100 : controle
100 1000
1000 1000
5 , 1
23 5
, 11 5
, 1
=
=
=
=
→
= x
x
klopt 8
, 99 5
: controle
86 , ) 2 5 log(
) 100 log(
) 100 log(
100 5
86 , 2
5
=
=
=
→
=
→
=
afgerond x
exact
x x
Opgave 3.8 Bereken de waarde van x.
Bereken en controleer.
a voorbeeld:
b
c
d
e
f
g
h
i
10 2 5 ) 4 log(
5 : controle
4 2 2
) log(
10 ) log(
5
2
2 2
2
=
×
=
⋅
=
=
→
=
→
=
⋅ x x x
833 , 0 5
,
2 0,2 → =
= − x
x
4 2 2
10 )
log( 5 5 10 2
2 x = →x = →x= =
klopt 9
, 99 4,64 : controle
64 , 4
100 100
100
3 3 3 3 1
=
=
→
=
=
→
=
afgerond x
exact x
of x
x
gegroeid 70%
met kapitaal je
is jaar 13,5 na
5 , ) 13 04 , 1 log(
) 7 , 1 ) log(
7 , 1 log(
7 , 1 04 , 1
04 , 1 ) 0 ( ) 0 ( 7 , 1 04 , 1 ) 0 ( ) (
04 ,
1 = =
=
→
=
→
×
=
⋅
→
⋅
=
n
K K
K n K
n
n n
3000 kapitaal het
is jaar 13,3 na
3 , ) 13 04 , 1 log(
) 685 , 1 ) log(
685 , 1 log(
685 , 1780 1 04 3000 , 1
04 , 1 1780 3000 04
, 1 ) 0 ( ) (
04 ,
1 = =
=
→
=
=
→
×
=
→
⋅
=
n K
n K
n
n n
300 rente de is jaar 4,0 na
0 , ) 4 04 , 1 log(
) 169 , 1 ) log(
169 , 1 log(
169 , 1780 1 04 2080 , 1
04 , 1 1780 2080 04
, 1 ) 0 ( ) (
2080 300
1780
04 ,
1 = =
=
→
=
=
→
×
=
→
⋅
=
= +
=
n K
n K K
n
n n
j
k
l
m
Opgave 3.9 Groei van je spaarrekening en berekening met logaritme.
a K(10)=K(0)⋅1,0410 →K(10)=1780×1,0410 =2635 b
c
d
klopt y
x
klopt x
x
grafiek met
klopt y
x
4 , 2 ) 250 log(
) log(
5
7 , 0 ) 5 log(
) log(
5
250 5
2
5 3
=
=
→
=
=
=
→
=
=
×
=
→
=
klopt y
x
klopt y
x x
grafiek met
klopt x
x
8 , 1 ) 63 log(
) log(
5 , 0 ) log(
63 16 , 3 2 16
, 3 5
, 0 ) log(
16 , 3 10 5
, 0 ) log(
3 5
, 0
=
=
→
=
=
×
=
→
=
→
=
=
=
→
=
Opgave 3.10 Groei van je spaarrekening en Excel.
n n
K r groeifacto K
) 09 , 1 ( 1000 ) (
09 , 1 1000 ) 0 (
⋅
=
→
=
=
Opgave 3.11 Exponent bepalen met dubbellogaritmisch papier.
a
b
5 , 0 43
, 4
) log(
) log(
) log(
ofwel
) 43 , 4 log(
) log(
ook dan 43
, 4
10 10
10
12 12
=
=
+
=
⋅
=
⋅
=
q en p
h q p v
h v
h v
% 9 , 18 ) 5 , 0 (
% 100 ) 12 ( 2)
(1 ) 0 (
4 , jaar 2 5
jaar jaar 12
5 ) (
4 , 2 60
12
=
×
=
→
⋅
=
=
=
→
=
N N
N
n Co
T
n
g 227 1200 0,189 m(12)
g 1200
% 9 , 18 ) 12 ( g 1200 ) 0 (
=
×
=
→
=
→
= m van
m
jaar 6 , 21 jaar 5 32 , 4 32
, 4
32 , ) 4 5 , 0 log(
) 05 , 0 ) log(
05 , 0 log(
) 5 , 0 ( 05 , 0
100 )
5 , 0 (
% 100
% 5
% 5
12
5 , 0
=
×
=
×
=
→
=
=
=
→
=
→
×
=
→
=
T t
n
door delen rechts en links N
n
n
Opgave 3.12 Exponent bepalen in de formule voor de uitstroomsnelheid.
a
b
c kloptmetformule
2
= 1 helling
Opgave 3.13 Radioactief verval.
a
b
c N(3)=100%×(0,5)3 =12,5% d
log(4,43) - log(0,44) = 1,0
log(100)-log(1) = 2
jaar 25000 :
afgerond
jaar 24840 jaar
5730 32 , 4 )
( 32 , 4
32 , ) 4 5 , 0 log(
) 05 , 0 ) log(
05 , 0 log(
) 5 , 0 ( 05 , 0
) 5 , 0 (
% 100
% 5 2) (1 ) 0 (
14 12
5 , 0
=
=
×
=
→
×
=
→
=
=
=
→
=
→
×
=
→
⋅
=
t
t C T t
n N
N
n
n n
natuur.
levende in
percentage het
van 87%
is percentage Het
% 5 , 86 )
5 , 0 (
% 100 2)
(1 ) 0 (
209 , 5730 0 jaar 1200
1200
209 ,
0 =
×
=
→
⋅
=
=
=
→
=
N N
N
n t
n
over.
atomen -
C de van
% 29,8 nog is Er
% 8 , 29 )
5 , 0 (
% 100 2)
(1 ) 0 (
745 , 5730 1 10000 jaar
10000
14
745 ,
1 =
×
=
→
⋅
=
=
=
→
=
N N
N
n t
n
dagen 20 20
dagen) in
% in 20 (
) 5 , 0 ( 100
) 20 5 , 0 ( 20 100 ) 2 ( 100
12 =
→
=
⋅
=
⋅
=
−
⋅
=
t T n
t en N
t N
t t
N
) 40 4 ( 20 100 5 , 0 ) 4 ( 20 100 ) 2 ( 100 4 2 0,5
t t t
N
−
⋅
=
−
⋅
=
−
⋅
=
=
antwoord hetzelfde
geven formules beide
% 50 )
2 ( 100 :
) vraag formule met
% 50 )
4 ( 100 :
) vraag formule met
2020 2040
=
⋅
=
=
⋅
=
−
−
N a
N b
is.
geworden klein
zo 4 e beginwaard de
dat keren aantal het is met 40
) 25 , 0 ( 40 100
) 25 , 0 ( 40 100 4)
(1 40 100
) 4 ( 100
×
=
⋅
=
⋅
= +
⋅
=
−
⋅
=
n n t
t n t
t N
Opgave 3.14 De leeftijd van een fossiel bepalen met behulp van radioactieve kernen.
a
b
c
Opgave 3.15 Herleiden formule voor radioactief verval.
a
b
c
d
min 333 45
, 0
min 15
333 , ) 0 5 , 0 log(
) 794 , 0 ) log(
794 , 0 log(
794 , 68 0 ) 54 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 68 54 ) 5 , 0 ( ) 0 (
54 22 76 min) 15 ( 68
22 90 ) 0 (
12 12
12 5 , 0
0 0
=
=
→
=
→
=
=
=
=
→
=
=
→
⋅
=
→
⋅
∆
=
∆
=
−
=
∆
=
−
=
∆
n T T t T n t
n T T
C T
en C T
n n
n
C rdaling
temperatuu
C T
afgerond C
C T
bak T
T T
T T n
n
0
0 0
0
0 667
, 0
25 65 90
65 : 8
, 64 22
) (
C 8 , 42 )
5 , 0 ( 68 )
5 , 0 ( ) 0 (
667 , min 0 45
min 30
=
−
=
=
= +
∆
=
→
=
∆
→
⋅
=
∆
→
⋅
∆
=
∆
=
=
min 19 en u 2 min 139 min 45 08 , 3
08 , ) 3 5 , 0 log(
) 118 , 0 ) log(
118 , 0 log(
118 , 68 0 ) 8 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 68 8 ) 5 , 0 ( ) 0 ( 8
12 5 , 0 0
=
=
×
=
×
=
→
=
=
=
→
=
=
→
⋅
=
→
⋅
∆
=
∆
=
∆
T n t n
T T
C T
n n
n
Opgave 3.16 Berekening aan afkoelproces.
a
b
c
90 0C →76 0C in 15 min
T (omgeving) = 22 0C
min 3 , 2 :
grafiek volgens
5 , 14 ) 0 (
12 0
=
=
∆
T C T
C T
T T
T T
T
n t
n
0
0 3
, 1
6 , 14 9 , 5 5 , 20 5
, 20
C 9 , 5 ) 5 , 0 ( 5 , 14 min) 3 ( )
5 , 0 ( ) 0 (
30 , 3 1 , 2 min 3
3
=
−
=
→
∆
−
=
→
=
⋅
=
∆
→
⋅
∆
=
∆
=
=
→
=
min 8 , 5 3 , 2 54 , 2
54 , ) 2 5 , 0 log(
) 172 , 0 ) log(
172 , 0 log(
172 , 5 0 , 14
5 , ) 2 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 5 , 14 5 , 2 ) 5 , 0 ( ) 0 (
5 , 2 18 5 , 20 18
5 , 0
0 0
=
×
=
→
×
=
→
=
=
=
→
=
=
→
⋅
=
→
⋅
∆
=
∆
=
−
=
∆
→
=
t T n t n
T T
C T
C T
n n
n
d De waardes van T en ΔT zijn in een enkellog-diagram uitgezet tegen t. De grafiek van ΔT loopt lineair,
Je kunt het Excel-bestand opgave2.41.xlsx downloaden van de site www.vervoortboeken.nl
Opgave 3.17 Berekening aan opwarmproces.
a
b
c
6 0C →20,50C in 15 min
T (omgeving) = 20,5 0C
d De waardes van T en ΔT zijn in een enkellog-diagram uitgezet tegen t. De grafiek van ΔT loopt lineair,
Je kunt het Excel-bestand opgave2.42.xlsx downloaden van de site www.vervoortboeken.nl
% 78 , 0 ) 5 , 0 (
% 100 )
5 , 0 (
7
7 12
=
⋅
=
→
⋅
=
=
=
d n i
d E E
E d n d
4 , ) 3 5 , 0 log(
) 095 , 0 ) log(
095 , 0 log(
095 , 0 5 , 0 ) 5 , 0 (
% 100
% 5 , 9 ) 5 , 0 (
5 ,
0 = =
=
→
=
→
⋅
=
→
⋅
= n
E
Ed i n n n
57 2 )
5 , 0 ( 90 ) mm 6 ( ) 5 , 0 ( ) (
667 , 9 0 6
667 , 0 0
12
m I W
I x I
d n n x
n→ = ⋅ =
⋅
=
=
=
→
=
mm 14 mm 9 586 , 1 mm
586 , ) 1 5 , 0 log(
) 333 , 0 ) log(
333 , 0 log(
333 , 90 0 ) 30 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 90 30 ) 5 , 0 ( ) (
12 5 , 0 0
=
×
=
×
=
→
=
=
=
→
=
=
→
⋅
=
→
⋅
=
d n d n
I x
I n n n
mm 18 mm 9 2
) 2 5 , 0 log(
) 25 , 0 ) log(
25 , 0 log(
25 , 0 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 (
% 100
% 25 ) 5 , 0 ( ) (
12 5 , 0 0
=
×
=
→
×
=
→
=
=
=
→
=
→
⋅
=
→
⋅
=
d d n d n
I x
I n n n
cm 2 5 cm 4 , 22 2,32 cm 4 , 22 ) hout (
32 , ) 2 5 , 0 log(
) 20 , 0 ) log(
20 , 0 log(
20 , 0 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 (
% 100
% 20 ) 5 , 0 ( ) (
12 12
5 , 0 0
=
×
=
→
×
=
→
=
=
=
=
→
=
→
⋅
=
→
⋅
=
d d n d d
n I x
I n n n
Opgave 3.18 Berekening aan absorptie van rӧntgenstraling.
a = ⋅(0,5) → =100%⋅(0,5)3 =12,5%
d n i
d E E
E b
c = ⋅(0,5) → =100%⋅(0,5)4,6 =4,1%
d n i
d E E
E
d Ed =0,8⋅Ei = 80% van invallende energie e
f
12 12 3,4 d d
n
d = × = ×
→
Opgave 3.19 Berekeningen aan doordringdiepte van straling.
a
b
c
d
bacterien 2
tot gegroeid is
bacterie 1
2 2 1 2
) 0 (
10 10 10 =
×
=
→
⋅
=N N
N n
min 136 min 17 8 8
2
min 17 ) (
2 8
2
=
×
=
→
×
=
→
=
= t T t N
Eschericia T
min 169 17 97 , 9
97 , ) 9 2 log(
) 1000 ) log(
1000 log(
2 1000 2
) 0 (
2
=
×
=
=
=
=
→
=
→
⋅
=
t n
N
N n n
6 , ) 16 2 log(
) 10 ) log(
10 log(
10 2 2 10 10 2 ) 0 (
4 4
2
4 1
5
=
=
=
→
=
→
⋅
=
→
⋅
=
n N
N n n n
Opgave 3.20 Berekeningen aan bacteriegroei 1.
a
b
c
d In de aanpassingsfase:
bactmL 101 c=
e In de logfase is c toegenomen van
bactmL 10 mLtot
101 bact 9
Dus 10 zogroot
10
10 8
1 9
×
= c=
Opgave 3.21 Berekeningen aan bacteriegroei 2.
a 1,05 10 bactmL
bactmL 2
10⋅ 20 = ⋅ 7
c=
b N =10.000×10=105 bactmL
c volgens grafiek is hiervoor 16 – 8 = 8 uur nodig.
d
e 29min
delingen 6
, 16
min 60 8
uur 8 in delingen 6
, 16
2 × =
=
= T n
Opgave 3.22 Gebruik van een andere logschaal.
a 2log(A600)=−3→A600 =2−3 =0,125 b afstand tussen rode lijnen in grafiek c 2log(A600)=−4,2→ A600 =2−4,2 =0,054
d De afstand tussen rode lijnen wordt 2 × zo groot.
De helling wordt dus 2 × zo klein.
T2 is 2× zo groot
