Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 2006-2007
Faculteit Ingenieurswetenschappen 1ste zittijd
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 26 januari 2007
Examen Oefeningen Lineaire Algebra
1. Beschouw de R-vectorruimten C2en M22(R), en de volgende afbeelding ertussen:
f : C2 → M22(R), f ((z, w)) =
Re(z) Re(w − z)
0 Im(z)
.
(a) Toon aan dat f lineair is.
(b) Bepaal de kern en het beeld van f . Vind een basis van deze twee deelruimten, en bepaal hun dimensie.
(c) Vind een basis F van C2. Bepaal vervolgens de matrix van f ten opzichte van deze basis F en de standaardbasis E van M22(R).
2. (a) Toon aan dat als D een diagonaalmatrix is met niet-negatieve elementen op de hoofddiago-naal, er een matrix S bestaat zodat S2 = D.
(b) Toon aan dat als A een diagonalizeerbare matrix is met niet-negatieve eigenwaarden, er een matrix S bestaat zodat S2 = A.
(c) Gegeven A = 1 3 1 0 4 5 0 0 9 ,
vind een matrix S zodat S2 = A.
3. Beschouw R[X] met het inwendig product
hP, Qi = a0b0+ a1b1+ · · · + anbn
voor elke P (X) = Pn
i=1aiXi en Q(X) =
Pn
i=1biXi in R[X].
(a) Zet het stel vectoren {−X + 1, X2− 3X + 2, X3− 2X2+ X} om in een orthonormaal stel,
met behulp van het Gram-Schmidt proc´ed´e.
(b) Zoek de orthogonale projectie van de veelterm P (X) = X op de ruimte voortgebracht door
{−X + 1, X2− 3X + 2, X3− 2X2+ X}, en bepaal de afstand tot deze vectorruimte.
4. Toon aan dat
hA, Bi = Tr(A†B)
een Hilbert inwendig product definieert op de C-vectorruimte Mm,n(C) van m × n-matrices over
C (m, n ∈ N0). Herinner dat, voor een vierkante matrix C, Tr(C) de som is van de elementen op
de hoofddiagonaal van C, en dat A†= At. 5. Beschrijf de isometrie f : E3 → E3, waar
f x y z = 1 3 2 −2 1 2 1 −2 1 2 2 x y z + 1 0 −1 .
