Hoofdstuk 6:
Afgeleide functies
V-1. a. richtingscoëfficiënt 1 2 1 en het ‘startgetal’ is 5. b. 1 2 : 1 5 l y x c. 1 2 : 4 k y x d. 1 2 : 1 11 m y x V-2.a. Voer in: y10,5x2 en kijk in de tabel. b.
c. De x-coördinaten verschillen 6. d. De y-coördinaten verschillen dan 3. e. Het verschil tussen de x-coördinaten is 4. f Dat kun je zien aan de richtingscoëfficiënt.
Als de x 1 groter wordt, neemt de y met 0,5 toe. V-3. a. b. 2(0,6x3) x 5 d. y 0,4x b 1,2 6 5 2,2 11 5 0 x x x x en y 14 0,4 22 8,8 22,8 0,4 22,8 b b b y x c. l y: 1,2x12 e. y 2,5x b 7 2,5 2 5 12 2,5 12 b b b y x V-4.
a. Als de x 4 groter wordt, wordt de y 3 groter. Dus als de x-coördinaat met 1 toeneemt, wordt de y-coördinaat 3
4 groter. b. : 0,75 6 m y x V-5. a. 2 3 10 9 5 a b. 13 1 11 8 4 a c. 5 7 3 1 1 a 5 3 5 9 48 5 48 y x b b y x 4 1 4 8 31 4 31 y x b b y x 7 1 8 8 y x b b y x d. y x 8 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 x 0 1 4 8 10 y 6 6,75 9 12 13,5
V-6.
a. f(1) 15 1 10 25 en g(1) 20 1,25 125 b. De grafiek van f stijgt sneller.
c. De grafiek van g gaat rechts van het snijpunt sneller stijgen. d. Voer in: y115x10 en 2 20 1,25 x y intersect: (8.77, 141.54) V-7. a. b. Voor 0 x 4 is p x( )q x( )
c. De grafiek van p(x) daalt constant en de grafiek van q(x) daalt steeds langzamer.
d. q(1) 1 1 en 1 1
2 2
(1) 1 1
r
e.
f. De grafiek van q(x) daalt daar sneller.
g. De grafieken van p(x) en r(x) dalen even snel, maar op het interval 1, wel sneller dan q(x). V-8. a. 1 2 2x 2x 2 2x4 2 2 1 1 1 2 4 6 2( 8 12) 2( 2)( 6) 0 2 6 (2, 0) (6, 8) x x x x x x x x en b. 1 2 1 2 2 (4) (4 2) 4 2 f c. 1 2 2(x2) 2x6 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 6 4 8 ( 8 16) ( 4) 0 4 x x x x x x x x x Er is maar één oplossing. x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 p(x) q(x) r(x)
1.
a. De grafiek is het steilst in het 6e uur: van t 5 tot t 6 uur. b. Van 5 tot 6 uur is de temperatuur met 2,5° toegenomen. c. Dan is er sprake van een afname.
d. Om 7 uur is de temperatuur 2°C. (linker grafiek). In de volgende uren neemt de temperatuur toe met 2°C en 1°C. De temperatuur om 8 uur is 4°C en om 9 uur 5°C. 2.
a. b.
c. Phil was op z’n 9e verjaardag 126 3 6 144 cm. 3. Voer in: y2 y x1( )y x1( 1) en kijk in de tabel. a.
b. c.
4. f(x) is een steeds sneller (exponentieel) stijgende (g 1) functie: toenamediagram C.
g(x) is een steeds langzamer stijgende functie: toenamediagram B. h(x) is een lineaire functie. De afname is constant: toenamediagram A.
k(x) is een kwadratische functie. De toename wordt gelijkmatig steeds groter:
diagram D. 5.
a. Titia is 15 13 10 9 8 55 cm gegroeid.
b. We weten nog niet hoe lang Titia was toen ze werd geboren. c. De staafjes worden steeds kleiner.
d. 112 55 57 cm.
e. De staafjes worden steeds 1 cm kleiner: 7, 6, 5, 4 en 3 cm. Ze groeit in die vijf jaar 25 cm. Toen ze 10 was, was ze 137 cm lang.
f. Ze zal in die periode niet meer groeien: de staafjes hebben hoogte 0. 6.
a. De grafiek loopt tussen de 30e en de 40e minuut steiler.
b. Dan legt hij in elke minuut dezelfde afstand af. De grafiek is een rechte lijn. c. s(15) 3,95 . Na 15 minuten heeft de wielrenner ongeveer 3949 m afgelegd. d. s(30)s(15) 10,631 . Van de 15e tot de 30e minuut legt de wielrenner ongeveer
10631 m af. e. (30) (15) 10,631 30 15 15 0,71 s s km/minuut. f. 0,71 60 42,5 km/uur. g. s(40)40 35s(35) 60 55,6 km/uur leeftijd in jaren 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 toename in cm 21 16 8 9 8 7 x 0 1 2 3 4 5 6 toename R 2 2 2 2 2 2 x 0 1 2 3 4 5 6 toename K -2 1,6- 1,3- 1,0- 0,8- 0,7 -x 0 1 2 3 4 5 6 toename h 5 3 1 -1 -3 -5
7. a. f(9)f(1) 6 2 4 b. gemiddelde toename is 4 8 0,5 c. 6 2 4 9 1 8 0,5 a
d. gemiddelde toename over het interval
(4) (1) 2 4 1 31,4 :f f
e. Je deelt dan ook de toename van y door de toename van x. 8. a. f(1) 6,25 en f(4) 1 b. Vy f(4)f(1) 1 6,25 5,25 c.
5,25 3 1,4 1,75 y x 9. a.
(45) (30) 28,25 14,58 13,67 45 30 15 15 30,45 s s 0,91 f x b. Je deelt de afgelegde afstand in het derde kwartier door 15 minuten. 10.
a. De lijn door de punten (1, -3) en respectievelijk (2, 0), (3, 1) en (4, 0) loopt steeds minder steil.
b. De lijn tussen de punten (2, 0) en 1 3 2 4
(2 , ) loopt steiler dan tussen 1 3 2 4
(2 , ) en (3, 1). Het differentiequotiënt op het interval
1
2
2,2 is dus groter.
c. Vanwege de symmetrie in de lijn x 3 is het differentiequotiënt over het interval
3,4
gelijk aan -1. 11. a.
0 2 (2) (0) 0,2 0 2 0 y f f x b. Als het differentiequotiënt over een interval 0 is dan is de functiewaarde gemiddeld genomen over dat interval niets toegenomen of afgenomen. Hier geldt dus
(2) (0)
f f
c. Bijvoorbeeld:
2,4
of
3,5
. 12.a. De grafiek gaat dan als een rechte lijn verder. b. Hij komt na ongeveer 58 minuten aan.
c. (30,001) (30)0,001 0,864
f f
v
km/min. 13.
a. Na t 6 verloopt de grafiek van de auto als een rechte lijn.
b. De grafiek gaat door de punten (7, 60) en (9, 90). Dus in 2 seconden wordt een afstand van 30 meter afgelegd. De snelheid is 15 m/s.
c. Er is geen periode aan te wijzen waarin de bromfiets 0 meter aflegt.
d. De bromfiets legt in 8 seconden 80 meter af. De snelheid van de bromfiets is 10 m/s.
e.
0,3 12 0 4 3 0 s t m/s.f. Op tijdstip t 4 hebben ze dezelfde snelheid: de grafieken lopen even steil. 14.
a. De lijn gaat door de punten (2, -1) en (4, 3). De richtingscoëfficiënt is 3 1 4 2 2 a . b.
2,25 1 4,5 2,25 f x
1,0625 0,5 4,4.5 2,125 f x
0,2025 0,1 4,4.1 2,025 f x
0,020025 0,01 4,4.01 2,0025 f x c. Ja. Het differentiequotiënt komt steeds dichter in de buurt van 2. 15. a. 150 54 96 10 2 8 12 AB a b.
2, 6
130 55 18,75 6 2 s t : dat is de richtingscoëfficiënt van de lijn AD. c. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is ongeveer 24.
d. s
2,2.001
s(2,001)0,001s(2) 23,9985 t e. De helling op t 2 is waarschijnlijk 24. 16. a. h
2;2,000001
9,999995 t b. Die conclusie is juist. c. h
1,1.001
19,995 t de snelheid na één seconde is 20 m/s. d. h
5,5.001
20,005 t de snelheid na 5 seconden nis -20 m/s. e. De snelheid is negatief, dus de pijl gaat naar beneden.
17.
a. Na 10 minuten is de afstand ongeveer 3,5 km en na 30 minuten ongeveer 8 km. Haar gemiddelde snelheid was 8 3,5
30 10 0,225km/min (ongeveer 13,5 km/u).
b. Na 60 minuten heeft Ineke 15 km afgelegd. Haar gemiddelde snelheid was in die periode gemiddelde snelheid 15 8
60 30 0,233km/min (ongeveer 14 km/u).
c. Omdat de grafiek tussen t 30 en t 60 vrijwel lineair is haar snelheid vrijwel constant.
d. Omdat in deze periode de grafiek geen rechte lijn is.
e. De lijn gaat ongeveer door de punten (15, 5) en (30, 10). De helling daarvan is 10 5
30 15 0,33. Haar snelheid op tijdstip t 15 was ongeveer 0,33 km/min, ofwel 20 km/u.
f. Teken zo nauwkeurig mogelijk de raaklijn aan de grafiek in het punt t 80. De helling van die lijn (snelheid van Ineke op dat moment) is ongeveer 0,09 km/min (5,4 km/u)
18. a. f
1,1.1
6,62 x
1,1.01
6,0602 f x
1,1.001
6,006002 f x
1,1.0001
6,00060002 f x b. Het differentiequotiënt nadert 6. c. f
1,1.000001
6 x d. Ja. 19. a. f
9,9.01
0,3332 x
9,9.001
0,3333 f x
9,9.0001
0,33333 f x b. Het differentiequotiënt nadert bij x9 naar 13 . c.
-20.
a. De grafiek is symmetrisch in de y-as. In punt (-1, 1) is de helling -2 en in punt (-3, 9) is de helling -6.
b. f
0;0,001
0,001x
. Het differentiaalquotiënt in (0, 0) nadert 0; de helling in (0, 0) is 0. c. In het punt (-2, 4). 21. a. Top 1 3 2 8 (2 , 6 ) b. Voer in: 2 1 1,5 7,5 3 y x x en 0 ( ) |1 X x d y y dx en kijk in de tabel. c. d. Bij x 8,5 is de helling 18.
e. In de top is de helling gelijk aan 0.
22. Voer in: y1x33x2 en kijk in de tabel bij yo.
In (0, 0) en (2, -4) is de helling 0. 23.
a. Op de grafiek van f:f(1) 3 1 2 12 9 en op de lijn:y 6 1 15 9 b. f
1;1,001
6,003 6 x c. f
1,001; 1
6 x 6 9 6 1 6 15 6 15 y x b b b b y x x f(x) hellin g -2 24 -13,5 -1 12 -10,5 0 3 -7,5 1 -3 -4,5 2 -6 -1,5 3 -6 1,5 4 -3 4,524.
a. f
2;2,001
14,994x
. De helling van de grafiek van f in (2, -46) is -15.
46 15 2 30 16 15 16 b b b y x b. f
3;3,001
0,009 x . De helling in (3, -54) is 0.c. De lijn loopt horizontaal (helling is 0) en gaat door (3, -54). d. In (-3, 54) loopt de raaklijn ook evenwijdig met de x-as. e. In (-2, 46) is de helling van de raaklijn ook -15.
25. g(4) 4 4 1 9 en y 4 5 9: (4, 9) ligt op de grafiek van g en op de lijn.
4, 4.001
(4,001) (4) 1 0,001dg g g
dx
: de helling van g in het punt (4, 9) is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de lijn.
26.
a. De hellingen zijn steeds 2 keer zo groot als de x-waarden. b. De helling in het punt waarbij x5 is 2 5 10 .
c. De helling is 2 10 20.
d. De helling in het punt ( ,x x2) is 2x. e. 2x 7 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 4 3 (3 , (3 ) ) (3 , 12 ) x 27. a. De exacte helling in (-5, 25) is 2 5 10. b. f'(7) 2 7 14 . c. df (2,9) 2 2,9 5,8 dx d. 2x 9 1 2 4 x In 1 1 2 4
(4 , 20 ) is de helling gelijk aan 9. 28.
a. De richtingscoëfficiënt van deze lijn is 1.
b. f'( 2) f'(3) 1 De helling in elk punt is gelijk aan 1. c. f x'( ) 1
29. a./b.
De waarden van g(x) zijn 3 keer zo klein als die van de hellingen.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=x3 27 -8 -1 0 1 8 27
f’(x) 27 12 3 1E-6 3 12 27
c. f x'( ) 3 x2 d. f'(10) 3 10 2 300 e. f x'( ) 75 2 2 3 75 25 5 5 ( 5, 125) (5, 125) x x x x en 30. a. Voer in: 4 1 y x , 0 ( ) |1 X x d y y dx en 3 2 4
y x en ga na dat de kolommen onder y2
en y0 gelijk zijn. b. g x'( ) 10 x9 31. a. f x'( ) 4 x3 en de helling in (1, 1) is f'(1) 4 . b. g x'( ) 20 x19 en de helling in (-1, 1) is g'( 1) 20. c. f x'( ) 108 3 3 4 108 27 3 x x x
In (3, 81) is de helling gelijk aan 108.
32.
a. f x'( ) 5 x4 en f'(2) 80
b. y 80x b gaat door het punt (2, 32) 32 80 2 160 128 80 128 b b b y x
c. f x'( ) 0 voor alle waarden van x dus f is stijgend. 33.
a. f x'( ) 3 x2 en g x'( ) 6 x5.
In (1, 1) is de helling van f gelijk aan 3 en die van g is 6.
b. 1 3 2 4 '( ) f en 1 3 2 16 '( ) g . c. 3x2 6x5 Voer in: 2 1 3 y x en 5 2 6 y x intersect: x 0,79 34. a.
80 20 4 2 2,4 30 s t ; de steen valt dan met een gemiddelde snelheid van 30 m/s. b. s'(3) 10 3 30 . Op tijdstip t 3 valt de steen met een snelheid van 30 m/s.
35. a.
b. Door een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 3. c. Voer in: 2 1 y x en y0 d ( ) |y1 X x dx voor de hellingen.
d. Die is drie keer zo groot: g'(1) 3
e./f. g x'( ) 3 '( ) 3 2 f x x6x 36.
a. Door de grafiek van f 7 omhoog te verschuiven. b. Door de verschuiving verandert de helling niet. c. h x'( )f x'( ) 2 x. 37. a.-c. s'( 2) f'( 2) j'( 2) 4 12 8 en s'(1)f'(1) j'(1) 2 3 5 d. s x'( )f x'( ) j x'( ) e. v x'( )f x'( ) j x'( ) 38. a. f x'( ) 20 3 x2 60x2 d. h p'( ) 2,5 4 p3 10p3 b. f x'( ) 3 x2 e. s t'( ) 10 4 t3 40t3 c. g t'( ) 2,5 2 t 5t f. s t'( ) 5 7 t6 4 4t3 35t616t3 39.
a. De grafiek van f is een rechte lijn met helling -4. In elk punt van de grafiek van f is de helling dus -4.
b. df 4
dx
c. De grafiek van g is een horizontale lijn op hoogte 5. De helling van g in elk punt is 0. d. g x'( ) 0 40. a. f x'( ) 5 c. k x'( ) 1 b. g x'( ) 0 d. m x'( ) 8 41. a. f x'( ) 12x5 f'(1) 7 b. g x'( ) 15x416x g'(1) 31 c. h x( ) (2 x6)(5x 1) 10x228x6 h x'( ) 20 x28 h'(1) 8 d. k x( )x2(5x3) 5 x2x5 k x'( ) 10 x5x4 k'(1) 5 e. l x( ) (7 x2)2 49x228x4 l x'( ) 98 x28 l'(1) 70 f. m x( ) ( x21)(5x8) 5 x3 8x25x8 m x'( ) 15 x216x5 m'(1) 4 x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 g(x) f(x)
42.
a. 0,5x4 3 6,75x
Voer in: y10,5x43 en y2 6,75x intersect: x 0,45 x2,21
b. f x'( ) 6,75 c. f x'( ) 16 1 3 3 3 2 6,75 3,375 3,375 1,5 (1,5; 5,53) x x x 3 3 2 16 8 2 (2,11) x x x 16 11 16 2 32 43 y x p p p p 43. a. L t'( ) 0,027t en B t'( ) 0,05 '(0) 0
L en B'(0) 0,05, dus op tijdstip t 0 krimpt het in de breedte sneller dan in de lengte. b. L t( )B t( ) 2 2 0,0135 60 60 0,05 0,0135 0,05 0,0135 ( 3,7) 0 0 3,7 t t t t t t t t
Na ongeveer 3,7 maanden is de plaat weer een vierkant. c. L t'( )B t'( ) 0,027 0,05 1,85 t t
Na ongeveer 1,9 maanden krimpt de plaat in de lengte en de breedte even snel. 44. a. f x'( ) 2 x2 0 b. 2x2 32 c. 1 1 2 2 '( 1 ) 4 f 0 x 2 16 4 4 x x x 45. a. f x'( ) 3 b. f x'( ) 2x4 c. f x( )x2(x3x)x5x3 f x'( ) 5 x43x2 d. f x( ) ( x2)(2x13) 2 x29x26 f x'( ) 4 x9 e. f x( ) (3 x1)(1 3 ) x 9x21 f x'( ) 18x f. f x( ) 3x42x 6x5 f x'( ) 30x4 g. g x( ) ( x2)217x24x13 g x'( ) 2 x4 h. f x( ) ( x24)(x23) x4 x212 f x'( ) 4 x32x 46. a. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
b. 2 1 2 6 3 x x x 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 6 3 (2 1)( 3) 0 6 ( , 2 ) (6, 0) x x x x x x en c. f x( )g x( ) voor 1 2,6 x d. 1 2 2x 6 1 2 1 4 2 6 3 x x e. Voor 1 4 3
x stijgt de grafiek van f sneller dan de grafiek van g. 47. a. 2x 3x2 2 2 3 3 2 (3 2) 0 0 x x x x x x
b. Voer in: y12x en schakel deze functie uit. Voer in: y2 2x en 0 ( ) |1 X x d y y dx intersect: x 0,485 x3,212 48. a. De helling is 1 2.
b. Teken de raaklijn aan de grafiek van f in (4, 0). De helling is ongeveer -3. c. De helling in (-1, 0) is ongeveer 1.
d. Schuif de raaklijn in (1, 2) evenwijdig op totdat deze weer de grafiek van f raakt. Dat gebeurt in punt (7, -1).
49. f x'( ) 4 x '(1) 4 (1) 5 4 5 4 1 1 4 1 f en f y x b b y x 1 4 1 1 1 2 4 8 4 1 0 4 1 1 5 3 x x x Opp 50.
a. A(2) 40 km. Zijn gemiddelde snelheid was 20 km/u. b. A t'( ) 9 t220t28
'(0) 28
A Aan het begin van de tocht reed hij met een snelheid van 28 km/u. c. A'(2) 24 Aan het eind van de tocht reed hij met een snelheid van 24 km/u. d. 9t220t28 20 2 9 20 8 0 0,52 1,70 ABC formule t t x x
51. a. 5 1 5 1 : 1 AB 1 4 4 1 1 3 3 1 : 1 AC AD:3 12 1 2 1 4 2 1 1 1 : 4 AE
b. De helling wordt groter naarmate het tweede punt dichter bij A komt. c. f
1,1.01
20 x d. f
1,1.0001
200 x e. De raaklijn aan de grafiek van f in punt A loopt verticaal. f. De helling bestaat niet (oneindig groot).
T-1.
a. De temperatuur heeft een maximum als het toenamediagram van positief (een stijging) overgaat in negatief (een daling):
Dit gebeurt tussen 50 en 60 km hoogte. b. De temperatuur op 30 km hoogte is -30oC. c.
T-2.
a. R(15)R(13) 320 duizend euro. En als alle machines draaien:
(16) (13) 423 R R duizend euro. b.
320 2 13,15 160 R Q duizend euro per
machine;
423 3 13,16 141 R Q duizend euro per machine. c. 1 bijplaatsen: R
16,17
R(17) R(16) 57 Q duizend euro per machine.
2 bijplaatsen:
16,18
(18) (16) 31 2R R R
Q
duizend euro per machine.
3 bijplaatsen:
16,19
(19) (16) 3 3R R R
Q
duizend euro per machine.
d. De weekopbrengst bij 19 machines is lager dan die bij 18 machines.
h (in km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
T (in oC) 0 -50 -60 -30 0 5 -15 -40 -70 -65 -35 -10 30 80 130
T-3. a.
1 2 0,4 2 s t m/s. b. s
4,4.0001
4,0625 t m/sc. Dit is een benadering van de snelheid van Jur op tijdstip t 4. d. Na 60 seconden: s
60,60.0001
6,6 t en na 100 seconden:
100,100.0001
6,64 s t e. Die liggen dicht bij elkaar. Hij reed op die tijdstippen vrijwel even hard. T-4.
a. f x'( ) x 3 en f'(2) 1 .
b. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in (2, 4) is 1. c. df (3) 0
dx
d. f'(5) 2 2
y x b gaat door het punt 1 2 (5, 2 ): 1 2 1 2 1 2 2 2 5 10 12 2 12 b b b y x T-5. a. k'(5) 4 5 3 500 b. k'( 2) 4 ( 2) 3 32 c. 4t3 108 3 27 3 t t
In (3, 81) is de helling gelijk aan 108.
d. In (2, 16) is de helling tegengesteld aan de helling in (-2, 16) omdat de grafiek symmetrisch is in de y-as. T-6. a. p x'( ) 8 x7 b. d p'( ) 40 p4 c. f x'( ) 2x19 d. s t( ) (4 ) t 2 4 16t24 s t'( ) 32 t e. h t( ) (2 3 ) t 2 t 4 12t9t2 t 9t211t4 h t'( ) 18 t11 f. N t( ) (3 t5)(3t5) 9 t225 N t'( ) 18 t g. A u'( ) 1 h. h r'( ) 2 r
T-7. a. h0 b.
45 3,03 (3,03) (0) 0;3,03 14,85 3,03 h h h t m/s 2 45 4,9 t 0 c. h t'( ) 9,8t 2 2 4,9 45 9,18 3,03 t t t s '(1) 9,8 / '(2) 19,6 / '(3) 29,4 / h m s h m s h m s d. h'(3,03) 29,7m/s e. h t'( ) 14,85 9,8 14,85 1,52 t t s T-8. a.b. Er gaan twee raaklijnen aan de grafiek van f die door (0, 0) gaan.
c. De functiewaarden moeten aan elkaar gelijk zijn (snijpunt) en de hellingen ook (raken).
d. f x'( ) x a 2 1 2 2 1 2 2 4 4 8 2 2 2 2 a a a a a a a x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 -2
Extra oefening – Basis
B-1. B-2.
0 , 2
(2) (0) 35 2 h h h t m/s
(4) (3) 3 , 4 10 1 h h h t m/s
4.5 , 9
(9) (4,5) 22,5 4,5 h h h t m/s B-3. a. b. in A: 0,5 in B: 1 in C: 1,5 c. 1 4 '( ) f x x '(2) 0,5 f f'(4) 1 en f'(6) 1,5 B-4. a. 1 3 1 6x 42 0 1 2 (0, 4 ) B 3 27 3 ( 3, 0) x x A b. 1 2 2 '( ) f x x in punt A: 1 2 '( 3) 4 f en in punt B: f'(0) 0 B-5. a. f'(2) 4 2 3 32 en g'(2) 7 2 6 448 b. 4x3 864 c. 7x6 448 3 216 6 (6, 1296) x x 6 64 2 2 (2,128) ( 2, 128) x x x en B-6. a. f x'( ) 210 x6 b. f x'( ) 120 x37x6 c. f x( ) ( x3)(x4)x2 x 12 f x'( ) 2 x1 d. g t( ) (2 t3)2 4t212t9 g t'( ) 8 t12 e. h u'( ) 3 u5 f. j x'( ) 0 tijd 10 11 12 13 14 15 16 aantal bezoekers 600 300 200 100 400 600 500 x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7Extra oefening – Gemengd
G-1. a. f x'( ) 2 x 3 1 b. A r'( ) 4 r2 c. N p( )p25p N p'( ) 2 p5 d. h t( ) (4 5 ) t 2 16 40 t25t2 h t'( ) 50 t40 e. K s( ) ( s3)(7s) 2 s4 2s4 s210s21 K s'( ) 8 s32s10 f. L m( )m m(2 5)(3 4 ) m m( 8 m214m15) 8m314m215m 2 '( ) 24 28 15 L m m m G-2. a. I 80 50 10 40000 cm3.b. De lengte en breedte moeten positief zijn: 80 2 x0 en 70 2 x0
2 70 35 x x Dus 0 x 35. c. l 100 2 x en b70 2 x d. I (100 2 )(70 2 ) x x x(4x2340x7000)x 4x3340x2 7000x e. f. I x'( ) 12 x2680x7000 g. 12x2680x7000 0 13,5 43,1 ABC formule x x
h. Voor x13,5 cm is de inhoud maximaal. G-3.
a. r verandert dan van 8,35 7 0,67 6 4 r t cm/s b. r
4 , 4.001
0,75 t cm/s c. O (1 3 4)2 49 154 cm2. d.
4 , 4.001
153,971 153,938 33 0,001 O t cm2/s G-4. f x'( ) 3 x26x5Het minimum van f x'( ) is voor 6 6 1
x . In (1, 6) is de helling het kleinst. G-5.
a. f x( ) 0,5 x15 c. De afgeleide van een constante is 0. b. f a( )g a( )b en f a'( )g a'( ) h (in cm) Inhoud 0 5 10 15 20 25 30 35 0 10000 20000 30000 40000 50000
Uitdagende opdrachten
U-1.
a. f(0) 2 en f(1) 1 dus er is een nulpunt tussen 0 en 1.
b. f x'( ) 5 x43x2 1 0 voor alle waarden van x. f is dus een stijgende functie en heeft dus maar één nulpunt.
U-2. a. f x( ) c x x( 7)2 c x x( 214x49)cx314cx249cx 2 '( ) 3 28 49 '(7) 147 196 49 0 f x cx cx c f c c c onafhankelijk van c. b. 3cx228cx49c 0 1 3 (3 7)( 7) 0 2 7 c x x x x
alle andere toppen liggen op de lijn x 231 U-3. A(a, 0) en 1 2 8 ( , 2 ) B a a a 2 3 2 1 1 1 2 8 16 2 3 3 16 16 2 3 ( 2 ) ' 2 ( 2) 0 0 10 OAB Opp a a a a a Opp a a a a a a V
U-4. f x'( )x26x 1 4 de raakpunten zijn: 1
3 ( 5, 24 ) en 1 3 ( 1, 2 ) 2 6 5 0 ( 1)( 5) 0 1 5 x x x x x x 1 1 3 3 4 24 4 5 4 y x c c 1 1 3 3 4 2 4 1 6 y x c c
