Hoofdstuk 2: Beweging
Paragraaf 1: De gemiddelde snelheid
1 160 km/h = 44,4 m/s.
Δt = Δx / v
Δt = 18,45 / 44,4 = 0,416 s 2 16 km/h = 4,4 m/s
Δt = Δx / v
Δt = 200 / 4,4 = 45 s
Dit is minder dan 50 seconde, dus de leerling bereikt zijn doel.
3 34 km = 34000 m 100 km/h = 27,8 m/s Δt = Δx / v
Δt = 34000 / 27,8 = 1223 s 1223 s / 60 = 20,4 min = 20 min
De auto vertrok om 16:52 en komt dus net na 17:12 aan. Dit is een paar seconde later dan hij gepland had.
4 De tweede leerling fiets 49 seconde met 7,5 m/s Δx = v x Δt
Δx = 7,5 x 49 = 367,5 m
De eerste leerling heeft in diezelfde tijd zoveel afstand afgelegd:
Δx = v x Δt
Δx = 3 x 49 = 147 m
De eerste leerling moet dan nog 367,5 – 147 = 220,5 m afleggen. Hier doet hij zo lang over:
Δt = Δx / v
Δt = 220,5 / 3 = 74 s = 7 x 101 s 5 vgem = (vb + ve)/2
vgem = (10+35)/2 = 22,5 m/s Δx = vgem x Δt
Δx = 22,5 x 12 = 270 m = 2,7 x 102 m 6 vgem = (vb + ve)/2
vgem = (0+40)/2 = 20 m/s Δt = Δx / vgem
Δt = 950 / 20 = 48 s
7 De beginsnelheid is gelijk aan:
vb = 80 km/h = 22,2 m/s vgem = (vb + ve)/2
vgem = (0+22,2)/2 = 11,1 m/s Δx = v gem x Δt
Δx = 11,1 x 4 = 44 m = 4 x 101 m
8 vgem = (vb + ve)/2
vgem = (0 + 44)/2 = 22 m/s Δt = Δx / vgem
Δt = 100 / 22 = 4,5 s 9
a. vgem = Δx/Δt
vgem = 100 / 4,5 = 22 m/s b. vb = 0 m/s
(vb + ve)/2 = vgem→ ve/2 = vgem → ve = 2vgem
vgem = 2 x 22,2 = 44 m/s 10 vgem = Δx/Δt
vgem = 100 / 4 = 25 m/s
(vb + ve)/2 = vgem→ ve = 2vgem - vb
ve = 2 x 25 – 10 = 40 m/s.
11 vgem = Δx/Δt
vgem = 1500 / 50 = 30 m/s
(vb + ve)/2 = vgem → vb = 2vgem - ve
vb = 2 x 30 – 40 = 20 m/s
Paragraaf 2: De versnelling
1 De versnelling vertelt ons hoeveel m/s de snelheid elke seconde groter wordt. Het staat dus voor het aantal m/s/s en dit schrijven we korter op als m/s2.
2 De gemiddelde snelheid bij een eenparige beweging ligt precies tussen de begin- en eindsnelheid in en wordt gegeven door:
vgem = (vb + ve)/2
De toename van de snelheid geeft hoeveel de snelheid is toegenomen tijdens de beweging en wordt gegeven door:
Δv = ve – vb
3 vgem = (vb + ve)/2
vgem = (0 + 30)/2 = 15 m/s Δv = ve – vb
Δv = 30 – 0 = 30 m/s Δt = Δx / vgem
Δt = 90 / 15 = 6s a = Δv / Δt
a = 30 / 6 = 5,0 m/s2
4 vgem = (vb + ve)/2
vgem = (20 + 100)/2 = 60 km/h = 16,7 m/s Δv = ve – vb
Δv = 100 – 20 = 80 km/h = 22,2 m/s Δt = Δv / a
Δt = 22,2 / 5 = 4,4 s Δx = vgem x Δt
Δx = 16,7 x 4,4 = 74 m = 7 x 101 m 5 vgem = (vb + ve)/2
vgem = (0 + 90)/2 = 45 km/h = 12,5 m/s Δv = ve – vb
Δv = 0 – 90 = -90 km/h = -25 m/s Δt = Δx / vgem
Δt = 100 / 12,5 = 8,0 s a = Δv / Δt
a = 25 / 8 = 3,1 m/s2 6 vgem = (vb + ve)/2
vgem = (1000 + 1500)/2 = 1250 km/h = 347,2 m/s Δv = ve – vb
Δv = 1500 – 1000 = 500 km/h = 138,9 m/s Δt = Δ v / a
Δt = 138,9 / 21,5 = 6,5 s Δx = vgem x Δt
Δx = 347,2 x 6,5 = 2243 m = 2,24 x 103 m 7 75 km/h = 20,8 m/s
Δt = Δx / vgem
Δt = 400 / 20,8 = 19,2s Δv = a x Δt
Δv = 2,5 x 19,2 = 48 m/s 8 83 cm = 0,83 m
vgem = (vb + ve)/2
vgem = (210+0)/2 = 105 m/s.
Δv = ve – vb
Δv = 210 – 0 = 210 m/s Δt = x / vgem
Δt = 0 ,83 / 105 = 0,0079s a = Δv / Δt
a = 210 / 0,0079 = 26566 m/s2 = 2,7 x 104 m/s2 9 Δv = a x Δt
Δv = 6,6 x 3,4 = 22 m/s
Δv = ve – vb → vb = ve – Δv vb = 83,2 – 22 = 61 m/s
10 vgem = Δx / Δt
vgem = 45 / 4,3 = 10,5 m/s
vgem = (vb + ve) / 2 → vb = 2vgem – ve
vb = 2 x 10,5 – 0 = 21 m/s = 76 km/h.
11 vgem = Δx / Δt
vgem = 1200 / 35 = 34 m/s
vgem = (vb + ve) / 2 → ve = 2vgem – vb
ve = 2 x 34 – 0 = 68 m/s
12 vgem = (vb + ve) / 2 → vb = 2vgem – ve
vb = 2 x 182 – 120 = 244 m/s Δv = ve – vb
Δv = 120 – 244 = -124 Δt = Δx / vgem
Δt = 1,20 / 182 = 0,00659 sec a = Δv / Δt
a = -124 / 0,00659 = -1,88 x 104 m/s2
Paragraaf 3: (x,t)-diagrammen
1 1
LINKS: constante snelheid, dan vertraging, dan stilstand RECHTS: Vertraging, dan constante snelheid
LINKS: Vertraging, dan stilstand, dan versnelling (achteruit) RECHTS: Versnelling, dan stilstand
LINKS: Versnelling, dan vertraging
RECHTS: Constante snelheid, stilstand en dan constante snelheid (achteruit)
2 In een (x,t)-diagram geldt: ‘hoe steiler de grafiek, hoe sneller het voorwerp’. Een horizontale grafiek staat dus voor stilstand. Een grafiek die geleidelijk toeneemt voor constante snelheid.
Een grafiek die steiler gaat lopen voor versnelling en een grafiek die minder steil gaat lopen voor vertraging.
3
a. Een voorwerp vertraagt (de grafiek gaat steeds minder steil) en gaat achteruit (x neemt af).
b. Een voorwerp vertraagt (minder steil) en gaat vooruit (x neemt toe), komt dan even tot stilstand (horizontaal) en versnelt dan achteruit (steiler en x neemt af).
c. Een voorwerp versnelt achteruit (0-1 sec), vertraagt achteruit (1-2 sec), versnelt vooruit (2-3 sec), vertraagt vooruit (3-4 sec) etc.
4
5
a. Δx/Δt = v (3-0) / 6 = 0,5 m/s b. Δx/Δt = v (30-40) / 30 = -0,33 m/s c. Δx/Δt = v (145-100) / 30 = 1,5 m/s 6
a. Rond de 750m, hier gaat de grafiek plots minder steil lopen, dus hier neemt de snelheid opeens behoorlijk af. Dit gebeurt door het openen van de parachute.
b. Rond de 0 m/s. Op t = 0s loopt de grafiek zo goed als horizontaal.
c. Tussen t = 30 s en t = 45 s loopt de grafiek het steilst.
De snelheid is hier (750-2500)/15 = -1,2 x 102 m/s.
7 Na ongeveer 9 sec komen de personen elkaar tegen (zie onderstaande grafiek).
8 De haas beweegt 5 m/s. In 25 seconden is de haas dus 5 x 25 = 125 m verder. De schildpad begon 100 meter verder en komt na 25 seconden op hetzelfde punt uit. De snelheid van de schildpad is (125 - 100)/25 = 1 m/s (wel een erg snelle schildpad).
9 De afgebeelde balletjes zitten hier een stuk dichter bij elkaar. Dit betekent dat ze hier minder ver bewegen gedurende de tijdstapjes van 0,05 s. De snelheid is hier dus lager.
10
a. De bal versnelt, want de afbeeldingen van de bal komen gedurende de val steeds verder van elkaar af te liggen. De ballen leggen dus in gelijke tijdstapjes een steeds grotere afstand af. De snelheid neemt dus toe.
b. Als er 10 lichtflitsen in een seconde plaatsvinden, dan is de tijd tussen lichtflitsen gelijk aan:
1 / 10 = 0,10 s.
Er zijn 8 balletjes zichtbaar in de foto. Het balletje is dus 7x verplaatst.
7 x 0,1 = 0,7 s c.
11 Dit doe je door op dat moment in het diagram een raaklijn te tekenen. De helling van de raaklijn is gelijk aan de snelheid op dat tijdstip.
12 Teken een raaklijn bij t = 2s.
Δx/Δt = v
(5-1,5) / 5 = 0,7 m/s
13 Teken een raaklijn bij t = 5s Δx/Δt = v
(42,5-0) / 17 = 2,5 m/s
14 Bij tijdstip t = 0s en t = 6s teken we de raaklijn en bepalen we de helling. De snelheid op t = 0s is:
Δx/Δt = v (5-0)/2,5 = 2m/s De snelheid op t = 6s is:
Δx/Δt = v
(0-5)/2,5 = -2m/s.
Op tijdstip t = 3s loopt de grafiek even horizontaal. Hier staat het voorwerp dus stil (0 m/s).
15 De beginsnelheid is de snelheid op tijdstip t = 0s. Hier tekenen we een raaklijn.
Δx/Δt = v
(5 – 0)/1,3 = 3,8 m/s.
16 De snelheid is maximaal als de grafiek het steilst loopt. Dit gebeurt bij ongeveer tussen t = 3s en t = 3,2s. Hier tekenen we een raaklijn.
Δx/Δt = v
(5 - 0)/2 = 2,5 m/s.
Paragraaf 4: (v,t)-diagrammen
1
LINKS: Versnelling, dan constante snelheid en dan versnelling RECHTS: Constante snelheid, dan vertraging, dan stilstand
LINKS: Versnelling, dan vertraging, dan stilstand RECHTS: Constante snelheid, dan versnelling
LINKS: Versnelling, dan constante snelheid, dan vertraging RECHTS: Stilstand, dan versnelling
LINKS: Vertraging, dan stilstand, dan versnelling RECHTS: Versnelling, dan weer versnelling
LINKS: Versnelling, dan constante snelheid, dan vertraging
RECHTS: Versnelling, dan weer versnelling en dan constante snelheid
2 In een (v,t)-diagram geldt: ‘hoe hoger de grafiek, hoe sneller het voorwerp’. Een grafiek op de 0 m/s staat daarom voor stilstand. Een grafiek die op gelijke hoogte blijft staat voor een constante snelheid. Een grafiek die stijgt staat voor een versnelling en een grafiek die daalt voor een vertraging. Achteruit beweging geven we weer door de negatieve as van het (v,t)- diagram te gebruiken.
3
a. De snelheid neemt af, dus het voorwerp vertraagt. De snelheid is positief, dus het voorwerp gaat tijdens deze vertraging wel naar voren.
b. De snelheid neemt toe, dus het voorwerp versnelt. De versnelling neemt hier af, maar de snelheid blijft toenemen.
4
5
6
a.
b.
c.
7
a. We hebben hier te maken met een vertraging vooruit.
b. We hebben hier te maken met een versnelling achteruit.
8
a. Het hoogste punt wordt bereikt op tijdstip t = 15 s. Hiervoor is de snelheid namelijk de hele tijd positief geweest en is de raket dus omhoog gegaan. Op t = 15 s staat de raket even stil.
Daarna gaat de raket weer naar beneden.
b. We hebben hier te maken met een versnelling, want de snelheid blijft gedurende de eerste 5 seconden toenemen.
c. We hebben hier te maken met een versnelling, want de snelheid neemt toe (in negatieve richting).
9 a = Δv/Δt
10 / 60 = 0,17 m/s2
10 a = Δv/Δt Deel 1:
3,5 / 1,5 = 2,3 m/s2 Deel 2:
0 m/s2 Deel: 3
3,5 / 3 = 1,2 m/s2 11
a. De gemiddelde snelheid kunnen we als volgt vinden:
De gemiddelde snelheid is dus ongeveer gelijk aan 14 m/s.
b.
12
a. In het onderstaande diagram, is de horizontale rode lijn de gemiddelde snelheid. De gemiddelde snelheid is dus 2,5 m/s.
b. vgem x Δt = Δx 2,5 x 0,5 = 0,2 m
13 Teken de raaklijn bij t = 0 s.
Δv/Δt = a
25 / 2,8 = 8,9 m/s2
14 Op tijdstip t = 1 s hebben we geen raaklijn nodig:
Δv/Δt = a
3,5 / 1,5 = 2,3 m/s2
Voor t = 4 s tekenen we de volgende raaklijn:
Δv/Δt = a
5 / 5,25 = 0,95 m/s2
15
a. Op het laagste punt is de snelheid even nul. Dit gebeurt rond de 1,48 seconden.
b. Hiervoor tekenen we een raaklijn:
Δv/Δt = a 5 / 0,2 = 25 m/s2
16
a. Nee. Gedurende de gehele beweging versnelt het voorwerp. De snelheid v blijft immers stijgen.
b. De versnelling is maximaal waar het (v,t)-diagram het steilst loopt. Hier tekenen we een raaklijn.
Δv / Δt = a 70 / 1,85 = 38 m/s2 Uitgedrukt in g wordt dit:
38 / 9,81 = 3,9g
c. Δv / Δt = agem 57 / 3,5 = 16 m/s2
Paragraaf 6: De oppervlaktemethode
1
a. 2,25 x 60 / 2 = 67,5m
b. Dit oppervlak bestaat uit een driehoek en een rechthoek:
10 x 60 = 600 m 10 x 60 / 2 = 300 m Totaal: 600 + 300 = 900m
c. 1,5 x 3,5/2 + 1,5 x 3,5 + 3,5 x 3/2 = 13 m
d. 60 x 20 – 30 x 40 = 0 m (de persoon eindigt op dezelfde plek als hij gestart is).
2 Het oppervlakte van t = 0s tot t = 1,5 s is:
1,5 x 3,5 / 2 = 2,6 m
Voor het oppervlak onder het tweede deel moeten we hokjes tellen. Voor één hokje geldt:
0,5 x 0,5 = 0,25 m
We hebben 43,5 hokjes onder de grafiek:
43,5 x 0,25 = 10,9 m Totaal: 10,9 + 2,6 = 13,5 m
3 Het hokje hebben we nu een oppervlak van:
0,25 x 5 = 1,25 m We hebben 21 hokjes:
21 x 1,25 = 26 m
4 Als de grafieken elkaar snijden betekent het niet dat de auto’s elkaar hier inhalen. Het zegt alleen dat op dat moment de snelheden gelijk zijn. De auto’s halen elkaar wel in als de oppervlaktes onder de grafieken gelijk zijn. Op dat moment hebben ze namelijk een gelijke afstand afgelegd. Op t = 20 s is het oppervlak onder de kromme grafiek nog groter, dus hier kunnen ze elkaar niet hebben ingehaald.
5 De verplaatsing gedurende de eerste 12 seconden is gelijk aan het oppervlak onder de grafiek. Eén hokje heeft een oppervlak van 1 x 0,05 = 0,05 m. Er zijn in totaal 80 hokjes.
De totale verplaatsing in de eerste 12 seconden is dus 0,05 x 80 = 4,0 m.
Daarna moet de auto nog 20 – 4 = 16 meter afleggen. De snelheid is nu 0,56 m/s.
Δx / v = Δt 16 / 0,56 = 29 sec.
De totale tijd is dus 12 + 29 = 41 sec.
6
a. Op tijdstip 0,4 s. Tot dit tijdstip is de snelheid positief geweest en blijft de springer dus omhoog bewegen. Op t = 0,4 s staat de persoon even stil op zijn hoogste punt. Daarna zal de snelheid negatief worden en zal de persoon weer naar beneden vallen.
b. Een hokje heeft een oppervlak van 0,05 x 1 = 0,05 m.
Er zijn ongeveer 13 hokjes, dus 13 x 0,05 = 0,65 m.
c. De versnelling bij het afzetten bepalen we met behulp van een raaklijn op tijdstip t = 0. Er geldt:
Δv / Δt = a 4 / 0,08 = 50 m/s2
d. Op t = 0,4 s is de springer op zijn hoogste punt. Daarna valt de persoon naar beneden (negatieve snelheid). Omdat de wrijvingskracht te verwaarlozen is, blijft de lijn een tijdje recht lopen. Als de voeten van de springer de grond raken neemt de snelheid eerst weer toe tot 0 m/s en daarna wordt de snelheid positief en herhaalt de beweging zich.
7 Eén hokje is 20 x 103 meter hoog en 10 x 60 = 600 seconden breed. Het oppervlak van één hokje wordt dus:
20 x 103 x 600 = 1,2 x 107 m
Er zijn in totaal ongeveer 52 hokjes.
52 x 1,2 x 107 = 6,2 x 108 m
8 Het oppervlak onder vA is (12,8 x 0,002) = 0,0256 mm. Het oppervlak onder vB is 3,2 x 0,002 = 0,0064 mm. Het verschil in afstand is 0,0256 – 0,0064 = 0,0192 mm. Dit is de afstand dat druppel A achterliep op B op t = 0 s.
9
a. Van tA naar tC is de snelheid negatief. De kar gaat hier dus naar links. Van tA naar tB neemt de snelheid toe. Hier gaat de kar van de helling af naar links. Van tB naar tC neemt de snelheid weer af. Hier gaat de kar naar links de helling op. Op tijdstip tC staat de kar dus stil op de linkerkant van de helling.
b. Van tB naar tC gaat de kar van het midden naar links. De oppervlakte onder de grafiek vertelt ons de afstand die de kar naar links aflegt. Van tC naar tD gaat de kar weer terug naar het midden. De oppervlakte onder de grafiek vertelt ons de afstand die de kar naar rechts aflegt.
De afstand die de kar de helling op heeft afgelegd, moet natuurlijk gelijk zijn aan de afstand dat de kar weer terug gaat naar het midden.
c. Op tijdstip tB en tD is de kar in het midden, dus is x = 0m. De oppervlakte onder de grafiek van tA naar tB is 0,6m. Dit is dus de positie die de kar heeft afgelegd om bij de knik uit te komen.
De grafiek begint dus bij 0,6m. De vorm van de grafiek vertelt ons dat de grafiek uit stilstand begint en daarna versnelt.
