Hoofdstuk 1:
Functies en de rekenmachine.
V_1.a. A: De eerste verschillen zijn: +2 +6 +10 de tweede verschillen zijn steeds +4, dus het verband is kwadratisch.
B: De eerste verschillen zijn steeds 5: het verband is lineair.
C: x y 6 het verband is omgekeerd evenredig.
D: 123 4 48
12 4 19248 4 exponentieel verband.
b. y 2x 21 (maar van deze hoef je de formule niet te kunnen vinden)
y 5x 4 y 6 x 3 x 4 y 4 V_2. a. b. g(x) 2x 7 c. a 16 102 4 1 y x b 16 1 2 b 2 b b 14 y x 14 V_3. a. 2y 12 2y 12 y 6 y 6 b. c. y 12 x
d. dan nadert y naar 0. V_4.
a. x 4 0
x 4 het kleinste getal dat je in mag vullen is dus x 4.
b. h( 4) 0 0 . Voor andere waarden van x is de y-waarde groter dan 0.
c. de kleinste waarde voor x is 4 en de kleinste y-waarde: 0 V_5.
a.
b. Een negatief getal tot de vijfde macht is weer negatief.
b. Omdat een negatief getal tot de vierde macht positief wordt: ( x) 4 ( 1) x4 4 1 x4
x -2 -1 0 1 2 3 y 16 10 8 10 16 26 x -2 -1 -0,5 0,5 1 2 3 y -6 -12 -24 24 12 6 4 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -486 -64 -2 0 2 64 486
V_6.
a. wortelformule c. kwadratisch e. machtsfunctie
b. lineair d. hyperbolisch f. lineair
V_7.
a. de formule is een machtsfunctie
b. h(3) 0, 4 3 5 97,2 meter. c. h(t) 1000 t 4,8 s. 1. a. Voer in: y1x24x xx 4x b. 2.
a. formule invoeren en dan: zoom ZStandard
b. x-waarden instellen in het window en dan: zoom ZoomFit
min max scl y 1 , y 8 en y 1 (stapgrootte op de y-as) x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4
3. a.
Bij de instelling van -2 tot 2 krijg je het beste beeld.
b. Met 2nd trace (calc) optie 3 (minimum) kun je de coördinaten van de top berekenen:
(-0,25; -9,375). Met 2nd trace (calc) optie 2 (zero) de snijpunten van de grafiek met de x-as (de
nulpunten): (-1,5; 0) en (1, 0). En met 2nd trace (calc) optie 1 (value) x 0 het snijpunt met de
y-as: (0, -9).
c. Het verloop van de grafiek voor kleine waarden van x is nu erg onduidelijk. 4.
a. Met 2nd window (TBLset) kun je de tabel instellen:
TblStart 2 en Tbl 1 (stapgrootte)
b. Met 2nd trace (calc) optie 4 (maximum) kun je de
coördinaten van de top berekenen: (1,5; 5,25)
5.
6.
a. breedte + lengte + breedte = 11. Dus lengte11 4 7 . De oppervlakte is 2 (11 4) 14 m2. b. De oppervlakte is 3 (11 2 3) 15 m2. c. -d. De oppervlakte is maximaal 15,125 m2 . 7. a. R 0,0075 70 2 36,75 meter. b.
c. Bij een snelheid v 80 hoort de remweg R 48
Bij een snelheid v 60 hoort de remweg R 27 x y 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 -1 -2 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 3 4 -1 -2 2 4 6 -2 -4 -6 B O 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 4 8 12 16 -4 -8 -12 -16 -20 v (in km/u) R (in meter) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 v 70 80 90 100 110 120 R 37 48 61 75 91 108
8. a. f(4) 6 4 4 en f(7) 6 7 3,35 b. > f(9) 3 > f(16) 2 > f(100) 4 9. a. h(4) 1 4 3 en g(4) 1 4 5 b. h(x) 4 1 x 4 x 3 x 9
c. h(25) 6 : Je krijgt bij h als uitkomst 6 als je x 25 invult; h(49) 8 ; De functiewaarde van g
bij x 8 is 3.
d. Voor x 0 : de wortel uit een negatief getal bestaat niet. De functie g bestaat niet voor x 1.
10.
a. L(2) 3 2 16 22 en L(5) 3 5 16 31
Als er een gewicht van 2 kilogram aan de veer wordt gehangen, rekt deze 22 cm uit. Is het gewicht 5 kg, dan rekt de veer 31 cm uit.
b. Per kg rekt de veer 3 cm uit.
c. L(m) 2m 20
d. 3m 16 2m 20
m 4 kg.
11. a.
b. Per 4 stapjes in de x-richting stijgt de grafiek 8. Dat is een stijging van 2 per stapje.
c. f(x) 2x 3
12.
a./b. f(0) 10 en g(0) 3 ; de rode grafiek (A) hoort bij g en de groene grafiek (B) bij f.
c. x27x 10 0 (x 2)(x 5) 0 x 2 0 x 5 0 x 2 x 5
d. Bij b bereken je het snijpunt met de y-as en bij c de snijpunten met de x-as.
e. x24x 3 0 (x 1)(x 3) 0 x 1 x 3 f. g(0) 3 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6 -8
13. a.
b. Voor x 0 wordt de noemer 0, en je mag niet delen door 0.
c. f(0,0001) 50001 en f( 0,0001) 49999 (met VARS Y-VARS Function Y1(0,0001) )
d. In de buurt van x 0 zijn de functiewaarden heel groot positief of negatief. De grafiek loopt
heel erg steil. De grafiek heeft een verticale asymptoot met als vergelijking: x 0
e. Als x heel erg groot wordt, wordt 5x heel erg klein (gaat zelfs naar 0 toe) en de functiewaarden komen steeds dichter bij 1 te liggen. De grafiek heeft een horizontale asymptoot met als vergelijking: y 1
f. zie grafiek. 14.
a. De grafiek van een tweedegraads functie is een parabool. De getekende grafiek lijkt wel lineair, en heeft zeker geen minimum.
b.
Bij x 100 ligt de top van de parabool. (zie symmetrie in
de tabel.)
c. Neem voor het window bijvoorbeeld: Xmin 10,
Xmax 210 en Xscl 10 en Ymin 120,
Ymax 40 en Yscl 10
15.
a. De standaardfunctie bij g(x) is s(x) x 2. De grafiek van g is een dalparabool. b. De standaardfunctie bij p(x) is s(x) 1
x
. De grafiek van p is een hyperbool.
16. a./b. x y 5 10 15 20 -5 -10 -15 -20 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 f(x) 3 -16 -33 -48 -61 -72 -81 -88 -93 -96 x 100 110 120 130 140 150 f(x) -97 -96 -93 -88 -81 -72 x y 40 80 120 160 200 20 40 -20 -40 -60 -80 -100 -120 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 2 4 6 8 10 12 -2 x -10 -5 -1 0 1 5 10 f(x) 0,5 0 -4 - 6 2 1,5
17.
a. Grafiek A heeft een randpunt en is dus de grafiek van een wortelfunctie: h(x) x 4
Grafiek B heeft een horizontale asymptoot en is een sterk stijgende grafiek. Deze hoort bij een exponentiële functie: g(x) 5 1,5 x
Grafiek C is een rechte lijn. De functie is lineair: f(x) 0,5x 2
Grafiek D heeft een horizontale en een verticale asymptoot. De grafiek is een hyperbool en hoort bij een gebroken functie: k(x) 1 1
6 4x
.
b. P: de startwaarde van de wortelfunctie: x 0 invullen: P(0, 4)
Q: het snijpunt van de grafiek met de y-as, dus x 0 : Q(0, 5)
R: het nulpunt van de lineaire functie, y 0 : R( 4, 0)
S: snijpunt van de lineaire functie met de y-as: S(0, 2)
18.
a. De standaardfunctie bij de functie GK is s(x)x1 , dus de grafiek is een hyperbool.
b. Ik heb gekozen voor 0 y 20
c. Als er veel geproduceerd wordt (q heel groot is) nadert 15000q naar 0 en komen de gemiddelde kosten steeds dichter bij de €3,- te liggen.
Als er weinig geproduceerd wordt zien we de gemiddelde kosten flink omhoog gaan.
d. Ja. 19.
a. In de derde plot.
b. Die bovenste y-waarden heb je dus niet nodig, De Ymax moet dus lager worden.
c. De streepjes bij de assen zijn verwarrend. De stapgrootte (Xscl en Yscl) is anders ingesteld. Bijvoorbeeld: Xmin 1,5, Xmax 1,5 en Xscl 1 en Ymin 15, Ymax 5 en Yscl 5
20.
a. De hoogte en de tijd zijn waarden die altijd groter (of gelijk) zijn dan 0.
b. De grootste hoogte is ongeveer 47 m.
c. Na iets meer dan 4 seconden valt de steen op de grond.
d. 0 x 5 en 0 y 50
21.
Na het invoeren van de functie en de x-waarden in het window kun je met zoom optie 0 (zoomfit) de grafiek laten tekenen. De rekenmachine stelt dan zelf de y-waarden in, zodat de grafiek voor die x-waarden goed zichtbaar is. Daarna kun je in het window zelf de x- en y-waarden aanpassen. q GK 0 10000 20000 30000 40000 0 5 10 15 t (in sec) h (in m) 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
a. 15 x 15 en 150 y 20 b. 5 x 5 en 2 y 15 c. 10 x 5 en 10 y 15 22. a. zie grafiek b. 55 x 5 en 0 y 15 23.
a. T is de tijd in uren; die moet dus in ieder geval groter zijn dan 0: b.v. 0 t 24 . De maximale concentratie C(t) is ongeveer 2,5 mg/liter, dus 0 C(t) 3
b. 2nd trace (calc) optie 4 (maximum): De concentratie is maximaal
2,4 mg/liter op tijdstip 2,4 uur 24.
a. functie invoeren en met VARS Y-VARS Function Y1 de waarden
uit laten rekenen: f( 2) f(3) 0
b. Voor x-waarden tussen –2 en 3 wordt 2x22x 12 negatief. En
we kunnen geen wortel trekken uit een negatief getal. c. De grafiek loopt (zoals bij iedere wortelfunctie) vrijwel
verticaal in de randpunten (-2, 0) en (3, 0). 25.
a. De grafiek maakt een sprong waar de functie niet bestaat. Bij gebroken functies moet je dan kijken naar de noemer; die mag niet nul worden: 7 2x 0
1 2 2x 7 x 3
b. Voor grote waarden van x wordt 7 2x1 vrijwel gelijk aan 0 en komt de functiewaarde steeds dichter bij 1 te liggen. 26. a. 3x 6 0 b. 16 x 2 0 3x 6 x 2 ( 2, 4) 2 x 16 x 4 x 4 ( 4, 0) en (4, 0) 27. a. b. 2x 3 0 2x 3 x 1 21
c. De horizontale asymptoot is y 4 . Voor grote waarden van x wordt de term 6
2x 3 vrijwel 0, en komen de functiewaarden steeds dichter bij 4 te liggen.
x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 x y 5 10 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 t (in uren) C (in mg/liter) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 1 2 3 -1 x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
28.
a. Bij gebroken functies heb je een verticale asymptoot. Je moet dan kijken waar de functie niet bestaat (waar de noemer 0 wordt).
2 2 x 4 0 x 4 2 2 x 4 0 x 4 Kan niet. x 2 x 2
b. Horizontale asymptoten vindt je door hele grote waarden van x in te vullen.
Voor grote waarden van x wordt de noemer van beide functies heel erg groot en nadert de functiewaarde naar 0. Zowel p als q heeft een horizontale asymptoot: y 0 .
29.
a. x2 4 0 voor alle waarden van x. Het domein van f is ¡ , dus f heeft geen randpunten. 2 2 x 4 0 x 4 x 2 en x 2
Voor x waarden in het interval 2,2 bestaat de functie niet, Dus g heeft twee randpunten.
b. (-2, 0) en (2, 0) 30.
a. x 2 invullen: P 0,13 0,122 0,19
b. De prijs per belminuut € 0,19 De totale kosten per jaar zijn dan 0,19 200 € 38,
c. Als x steeds groter wordt, nadert de prijs per belminuut naar € 0,13 d. De horizontale asymptoot is P 0,13 .
e. De prijs wordt niet lager dan € 0,13 per belminuut.
31. f: f(x) is een gebroken functie; de grafiek ervan is een hyperbool. Verticale asymptoot (noemer gelijk aan 0 stellen): x 2
Horizontale asymptoot (grote waarden voor x invullen): f(x) 2x 3 2x 2 y 2 x 2 x
g: g(x) is een wortelfunctie en heeft een randpunt. 1
2
2p 1 0 2p 1 p
Het randpunt is 1 2
( , 0).
h: h(t) is een exponentiële functie met groeifactor kleiner dan 1. Voor grote waarden van t gaat h(t) naar 0. Horizontale asymptoot: y 0 .
32. a.
b. De functie bestaat niet als x 4 0 , want je mag de wortel niet trekken uit een negatief getal.
Dus voor x 4 bestaat de functie niet.
c. Uit de wortel komt altijd een positief getal. De
functiewaarden zijn dus altijd groter of gelijk aan 2. x
y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1
33. a. 4 2x 0 f f 2x 4 x 2 D : x 2 B : y 5 b. D : ¡h en B : ¡h
c. D : ¡f . De grafiek van f(x) is een dalparabool met als top ( 2 , 21 41). Dus B : y f 14
d. D : ¡A en B : ¡A
34.
a. Je kunt alleen maar positieve punten halen en dan niet meer dan 38: 0 p 38
Voor deze p-waarden ligt het cijfer tussen 1 en 10.
b. Met 2nd trace (calc) optie 1 (value) x 31,5 : y 8,46 . De leerling krijgt een 8,5
c. Voer in: 9
1 38
y x 1 en y2 5,5
Dan met met 2nd trace (calc) optie 5 (intersect): x 19 . Met 19 punten heeft de leerling een 5,5. 9 38 9 38 x 1 5,5 x 4,5 x 19 35.
36. wortelfunctie (zwart): domein: 2, en bereik: , 3
gebroken functie (groen): domein: , 3 3, en bereik: , 2 2,
kwadratische functie (rood): domein: ¡ en bereik: 2,
37.
a. 0 t 15 en 0 h 60 . De tijd zou eventueel wel
groter kunnen zijn dan 15 minuten. De vazen stromen dan over, dus de hoogte blijft vanaf t 15 gelijk aan 60. b.
c. De hoogte in de linker vaas is dan 4 4 16 cm en de hoogte in de rechter vaas: 15,5 4 31 cm.
38.
a. t 0 : C(0) 25 65 0,8 0 25 65 1 90 C o
b. C(1) 25 65 0,8 177 Co . De thee is dus 13oC afgekoeld.
En in de derde minuut is de thee met C(2) C(3) 8,32 C o afgekoeld.
t (in minuten) h (in cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -1 -2 -3 10 20 30 40 50 60 -10 ongelijkheid 2 x 6 x 9 x 0 2 x 1 getallenlijn interval 2, 6 9, , 0 2, 1
c. "Op den duur" betekent dus als t heel groot is. Dan wordt 0,8 vrijwel gelijk aan 0 en wordt de temperatuur van de thee ongeveer 25oC.
d. V(t) C(t) 25 65 0,8 t De groeifactor is 0,8, dat houdt in dat het verschil steeds met 20%
per minuut afneemt. 39.
a. f(x) is een kwadratische functie. De grafiek is een bergparabool, vanwege x2, dus de blauwe
grafiek. g(x) is een gebroken functie. De grafiek van g is dus een hyperbool: de groene grafiek. De functie h is een wortelfunctie. De grafiek van een wortelfunctie heeft een randpunt; de zwarte grafiek. En m(x) is een exponentiële functie. De bijbehorende grafiek is dus rood.
b. D :f ¡ en B :f ,10 g g h f m m D : ,4 en 4, en B : ,0 en 0, D : ,5 en B : 0, D : en B : 0, ¡ 40. a. b. 16x x 3 0 2 2 x(16 x ) 0 x 0 x 16 x 0 x 4 x 4 c. g( 4) g(0) g(4) 0 0
d. Het domein van g zijn de waarden van x waarvoor geldt: f(x) 0
e. B : 0,g
41.
a. 120 mensen per 30 3 90 m2. Dat is gemiddeld 90
120 0,75 m2
per voetganger. b.
c. De voetganger loopt 30 meter in 36 sec.
30 36 V 60 50 m/min. Voer in: 1 2 26 y 87 en y 50 M 0,05 intersect: M 0,65 90 A 0,65 A 138
d. Bij een snelheid van 5 60
V 0,083 m/min is M 0,25 m2 per voetganger.
Tja, nu moet je bedenken of dit genoeg is om door te kunnen lopen. e. Het maximum ligt bij M 0,5 . De snelheid is dan 26
0,55
V 87 39,7 m/min en er zijn dan
90
0,5 180 voetgangers in de tunnel (op een weglengte van 30 meter). Het aantal voetgangers dat
de tunnel verlaat per minuut is 180
30 39,7 238 . Dat komt aardig overeen met de grafiek.
x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 5 10 15 20 25 30 35 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 M v (in m/min) 0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
T_1. a. b./c.
d. 2nd trace (calc) optie 4 (maximum): x 10 en y 5
De bal komt maximaal 5 meter boven de grond.
d. 2nd trace (calc) optie 1 (value): x 18 : y 1,8 De bal is dan
op een hoogte van 1,80 meter. Wellicht zou de speler de bal met het hoofd binnen kunnen houden.
T_2. a.
b. Bij x 2 en x 2 is de functiewaarde van f gelijk aan 4.
Bij 1 2
x 1 is de functiewaarde van g gelijk aan 4.
c. f(x) 0 2 x 8 x 8 2,83 x 8 2,83 T_3.
a. grafiek 1 is lineair: k(x) 3 12x. Grafiek 2 is een exponentiële functie, dus f(x) 3 1,5 x
grafiek 3 is een hyperbool, een gebroken functie en dus h(x) 1 x 21
en grafiek 4 is een wortelfunctie: g(x) 9 2x
b. A(0, 3), B(6, 0), C(0, 3) en D(4 , 021 )
c. Grafiek 2 heeft een horizontale asymptoot: y 0 en grafiek 3 heeft een horizontale
asymptoot: y 1.
T_4. f(x): xMin 5, xMax 5, yMin 10 en yMax 20
g(x) : xMin 3, xMax 10, yMin 0 en yMax 10 h(x) : xMin 1, xMax 2, yMin 0 en yMax 200 k(x) : xMin 2, xMax 2, yMin 9 en yMax 1
T_5. a. 16 2x 0 2x 16 x 8, y 2 R(8, 2)
b. De grafiek van h heeft een verticale asymptoot: x 3 en een horizontale asymptoot: y 2.
c. Omdat x2 3 0 voor alle waarden van x. Het domein van h is ¡ .
a h 5 10 15 20 1 2 3 4 5 6 -1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) -1 4 7 8 7 4 -1
T_6.
a. Het domein van f is ¡ . De grafiek van f is een bergparabool. De coördinaten van de top zijn: (10, 5). Het bereik van f is ,5.
b. 16 2x 0
2x 16 x 8
Het domein van g is ,8 en het bereik: 2, .
c. De grafiek van h is een rechte lijn. Het domein en bereik is ¡ .
d. 6 2x 0
2x 6 x 3
Het domein van h is ,3 3, en het bereik: , 2 2, .
T_7.
a. Neem de x waarden van 0 tot 120 en ook de y-waarden van 0 tot 120.
b. S(120) 111,6 meter.
c. S(40) 21,2 meter. Hij kan dus op tijd
stoppen, mits hij snel genoeg reageert. d. Het verschil is 0,33 50 16,5 meter.
T_8. a. b.
c. y x 2.
d. Ja, zie opgave 40.
v (in km/uur) S (in meter) 20 40 60 80 100 120 -20 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 -10
