Riccistroom en Zwarte Gaten
Karel de Vries
27 juni 2020
Bachelorscriptie Wiskunde en Natuur- & Sterrenkunde Begeleiding: dr. Raf Bocklandt, prof. dr. Jan de Boer
Institute of Physics
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
Einstein’s algemene relativiteitstheorie beschrijft zwaartekracht als een kromming van de ruimtetijd. De partitiefunctie van een systeem is te benaderen met de zadelpunten van de Einstein-Hilbert actie, de actie in algemene relativiteit. In dit project gebruiken we gradi¨entstroom om deze zadelpunten te vinden, de gradi¨entstroom van de Einstein-Hilbert actie is de Riccistroom. Deze zadelpunten worden gebruikt om de oplossingen van de Einsteinvergelijking te vinden, waarmee we de kromming van onze ruimte kunnen beschrijven. Deze methode zullen we toepassen op een doos met rand S1× S2. Op hoge
temperatuur vinden we drie zadelpunten: hete vlakke ruimte, een klein en een groot zwart gat. De natuur kiest de metriek van de laagste actie. Hiermee zien we dat bij lagere temperaturen M een vlak vacu¨um is en bij hoge temperaturen een zwart gat zal bevatten. Dit project is gebaseerd op het artikel Ricci flow and Black holes, [10].
Titel: Riccistroom en Zwarte Gaten
Auteur: Karel de Vries, kareldvries@hotmail.nl, 11828595 Begeleiding: dr. Raf Bocklandt, prof. dr. Jan de Boer
Tweede beoordelaars: prof. dr. Sergey Shadrin, dr. Jan Pieter van der Schaar Einddatum: 27 juni 2020
Institute of Physics
Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.iop.uva.nl
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.kdvi.uva.nl
Inhoudsopgave
1. Inleiding 5 2. Riemannmeetkunde 7 2.1. Riemann Manifold . . . 7 2.2. Levi-Civita connectie . . . 10 2.3. Riemann krommingstensor . . . 15 3. Algemene Relativiteit 20 3.1. Ruimtetijd en Newton limiet . . . 203.1.1. Ruimtetijd . . . 20 3.1.2. Newton limiet . . . 21 3.2. Einsteinvergelijking . . . 22 3.2.1. De stresstensor . . . 23 3.2.2. Einsteinvergelijking . . . 23 3.2.3. De Schwarzschild oplossing . . . 25 3.3. Einstein-Hilbert actie . . . 26 4. Riccistroom 30 4.1. Oplossingen van de Riccistroom . . . 30
4.1.1. Eeuwige oplossingen . . . 30
4.1.2. Oude oplossingen . . . 30
4.1.3. De ’Neck Pinch’ oplossing . . . 31
4.2. Alle Riemannmetrieken als Riemann manifold . . . 32
4.2.1. Oneindig dimensionale manifolds . . . 33
4.2.2. Whitney topologie . . . 34
4.2.3. De metriek van alle metrieken . . . 36
4.3. Riccistroom als gradi¨entstroom . . . 36
5. Zwaartekracht in een doos 40 5.1. Padintegralen . . . 40
5.2. Zwaartekracht in een doos . . . 42
5.2.1. Riccivlakke metrieken . . . 42
5.2.2. Partitiefunctie . . . 46
5.3. Conclusie en Toepassingen . . . 50
Bibliografie 52
1. Inleiding
Einstein’s zwaartekrachtstheorie beschrijft dat de ruimtetijd wordt gekromd door massa. Met de algemene relativiteitstheorie en Riccistroom kunnen we de kromming en dus de zwaartekracht op een manifold bepalen. In deze scriptie zullen we zwaartekracht op een manifold met rand S1× S2, een bolvormige doos, bestuderen. We gaan op zoek naar de
metrieken die mogelijk zijn volgens Einstein’s algemene relativiteitstheorie en naar de partitiefunctie. De partitiefunctie vertelt veel over de thermodynamische eigenschappen van een systeem. De partitiefunctie is misschien al bekend van statistische fysica, maar ook in quantumveldentheorie en quantumzwaartekracht heeft de partitiefunctie een be-langrijke functie. Als de partitiefunctie van een systeem bekend is, is volgens [19] bijna alles van het systeem bekend.
We bekijken specifiek dit manifold omdat het een van de eenvoudigste is om mee te werken, maar wel interessante oplossingen heeft. We vinden meer oplossingen dan alleen de vlakke ruimte. Alhoewel we hier dus naar een specifiek manifold kijken, geloven de auteurs van [10] dat de technieken die we gebruiken breder toepasbaar zijn.
Voordat we kunnen beginnen aan het vinden van deze metrieken en de partitiefunctie hebben we een wiskundige en natuurkundige basis nodig. Er wordt verondersteld dat de lezer een basis hebt in differentiaal meetkunde en speciale relativiteitstheorie. Kennis in topologie, statistische fysica, quantum- en klassieke mechanica is handig maar niet nodig.
We zullen in hoofdstuk 2 gaan kijken naar Riemannmeetkunde. Riemannmeetkunde is de wiskundige basis van algemene relativiteitstheorie en Riccistroom en daarom van groot belang voor deze scriptie. Riemannmeetkunde is het vakgebied dat zich bezighoudt met Riemannse manifolds. We zullen dit hoofdstuk beginnen met de definitie van een Riemann- metriek en manifold en wat basale eigenschappen van Riemannse manifolds. Hier zullen we onder andere aantonen dat elk glad manifold een Riemann manifold is en dat de raakruimte van elk glad manifold isomorf is met zijn duale. Vervolgens zullen we een soort afgeleide defini¨eren op de raakruimte van een Riemann manifold, de Levi-Civita connectie, en zullen we hulpmiddelen defini¨eren die berekeningen met met de Levi-Civita connectie makkelijker maken. We introduceren hier een geodeet, de ‘rechte lijn’ van een Riemann manifold. We sluiten het hoofdstuk af met een sectie over kromming. Hier zullen we tensoren defini¨eren die de kromming van een Riemann manifold beschrijven. Ook zullen we formules afleiden die later handig zijn bij het uitrekenen van deze tensoren. In hoofdstuk 3 gaan we ons verdiepen in algemene relativiteit. Algemene relativiteit is de natuurkundige basis van deze scriptie. Het basis idee van algemene relativiteit is dat de ruimtetijd gekromd wordt door massieve objecten. We beginnen dit hoofdstuk met een beschrijving van de ruimtetijd van algemene relativiteit. Vervolgens gaan we de Einsteinvergelijking bekijken. Deze beschrijft hoe massieve objecten de metriek
beschrij-ven. We zullen hier de stresstensor bespreken. Deze beschrijft de stroom van energie en impuls door een punt in de ruimte. Ook zullen we een oplossing zien van de Einsteinver-gelijking, de Schwarzschildmetriek. Deze is belangrijk voor deze scriptie omdat dit ook een oplossing is in het manifold met rand S1× S2. We sluiten dit hoofdstuk af met een
sectie over de Einstein-Hilbert actie. Hier zullen we aantonen dat dit de actie is van de algemene relativiteitstheorie.
In hoofdstuk 4 behandelen we de Riccistroom. We beginnen dit hoofdstuk met de definitie van de Riccistroom en voorbeelden van oplossingen ervan. De Riccistroom leeft op de ruimte van alle Riemannmetrieken op een Riemannmanifold. We zullen aantonen dat deze ruimte zelf ook een Riemann manifold is. Omdat deze ruimte oneindig dimen-sionaal is, bespreken we in dit hoofdstuk oneindig dimensionale Riemannse manifolds. We zullen het hoofdstuk afsluiten met een sectie over gradi¨entstromen. Hier zullen we aantonen dat Riccistroom de gradi¨entstroom is van algemene relativiteitstheorie.
In hoofdstuk 5 zullen we dan eindelijk het doel van deze scriptie gaan behandelen. We beginnen het hoofdstuk met padintegralen. De partitiefunctie in quantumzwaartekracht is een padintegraal over alle Riemannmetrieken. We zullen een methode bekijken om deze padintegraal en dus de partitiefunctie te benaderen. Daarna zullen we gebruiken dat Riccistroom de gradi¨entstroom is van de algemene relativiteitstheorie om de oplossingen van de Einsteinvergelijking te vinden en zullen we de partitiefunctie uitrekenen als functie van de temperatuur. We sluiten dit hoofdstuk af met een conclusie en toepassingen van deze resultaten.
Bij het schrijven van deze scriptie heb ik ontzettend veel geleerd. Ik ben heel blij met mijn onderwerp en wil mijn begeleiders, dr. Raf Bocklandt en prof. dr. Jan de Boer, bedanken voor de hulp. Door het schrijven van deze scriptie heb ik veel geleerd over Riemannmeetkunde en algemene relativiteitstheorie. Verder heb ik, bij het bestude-ren van Riccistroom, een kijkje kunnen nemen in de algebra¨ısche topologie en oneindig dimensionale Riemannmeetkunde en heb ik een kijkje kunnen nemen in de quantum-zwaartekracthstheorie bij het berekenen van de partitiefunctie. De resultaten van mijn scriptie zijn fascinerend en voor mij een grote motivatie om me meer te verdiepen in dit onderwerp.
2. Riemannmeetkunde
Riemannmeetkunde is een tak van de differentiaalmeetkunde die zich bezighoudt met de Riemannse manifolds. Een Riemann manifold is een manifold waar op elk punt een inproduct te defini¨eren is op de raakruimte aan dat punt. Riemannmeetkunde is de wiskundige basis voor algemene relativiteit, en daarom belangrijk voor deze scriptie. Men kan een Riemann manifold voor zich zien als een gekromde ruimte. In dit hoofdstuk zullen we eerst de Riemann manifold defini¨eren en wat eigenschappen er van bespreken, vervolgens gaan we het hebben over de Levi-Civita connectie, dit is als het ware de equivalent van een afgeleide nemen, en tot slot zullen we kromming gaan beschrijven met de Riemann krommingstensor.
Laten we beginnen met wat notatie. Zij M een gladde manifold en T M de raakbundel van M , C∞(M ) is de ring van alle gladde functies over M , C∞(T M ) is de verzameling van alle gladde vectorvelden op M . Als men het heeft over de duale X∗ van een ruimte X, dan bedoelt men alle functies van X naar R. Om verwarring te voorkomen schrijf ik (T M )∗ als T∗M , T M∗ is ook namelijk te lezen als T (M∗). Laat voor alle n ∈ N en 0
Cn∞(T M ) = C∞(T M ) ⊗C∞(M )· · · ⊗C∞(M )C∞(T M )
C0∞(T M ) = C∞(M ) een n-voudig tensor product.
2.1. Riemann Manifold
Deze sectie, zoals de titel al doet vermoeden, is gewijd aan de Riemann manifold en eigenschappen ervan. We zullen hier kijken naar eindig dimensionale re¨ele manifolds M , waar een zogeheten Riemannmetriek g op te defini¨eren is. We zullen onder andere zien dat alle gladde re¨ele manifolds in deze categorie vallen en dat er een isomorfie bestaat tussen de raakruimte van een manifold en zijn duale. We zullen in dit hoofdstuk zien dat g een matrixrepresentatie heeft en we zullen zijn inverse zien. Nu doet de naam ’Riemannmetriek’ misschien vermoeden dat (M, g) een metrische ruimte is. Dit is niet het geval, maar we zullen zien dat we met g een afstandsmetriek d kunnen defini¨eren zodat (M, d) een metrische ruimte is, mits M samenhangend is. Tot slot zullen we, voor submanifolds N ⊂ M , een ge¨ınduceerde metriek defini¨eren. Allereerst willen we natuurlijk weten wat een Riemannmetriek is, daarvoor moeten we eerst begrijpen wat een tensorveld (of kort tensor) is.
Definitie 2.1.1. Zij M een gladde manifold. Een tensor veld F van vorm (n, m) is een multilineaire afbeelding
F : Cn∞(T M ) → Cm∞(T M ).
Nu we de definitie van een tensorveld kennen, kunnen we het over een metriek gaan hebben.
Definitie 2.1.2. Zij M een gladde manifold. Een Riemannmetriek op M is een (2, 0)-tensorveld g : C2∞(T M ) → C∞(M ), zodat als je g beperkt to Tx(M ) ⊗RTx(M ) gelijk is
aan een inproduct h · , · ix.
Zoals in de inleiding al vermeld staat, is een Riemann manifold een manifold waar een Riemannmetriek op te defini¨eren is. De volgende definitie zal dus niet heel veel nieuwe informatie geven, maar is wel belangrijk.
Definitie 2.1.3. Zij M een gladde manifold. Als er een Riemannmetriek g bestaat op M , dan heet M een Riemann manifold.
Nu kunnen we iets belangrijks opmerken. In lokale co¨ordinaten (xi) kan men
g = gijdxi⊗ dxj (2.1)
schrijven, waarbij (dxi) een basis vormt voor Tx∗(M ) en (gij) symmetrische positief
defi-nite matrices zijn. Hierbij gebruiken we de Einstein sommatie conventie, dit zal ook in de rest van de scriptie gebruikt worden. Omdat het inproduct symmetrisch is, is (gij)
een symmetrische matrix. De volgende propositie zullen we misschien niet direct veel noemen, maar zeker wel gebruiken.
Propositie 2.1.1. Op elk gladde manifold M bestaat een Riemannmetriek g.
Bewijs. Zij M een glad Riemann manifold en {(Uα, ψα)} een atlas voor M . Op elke Uα
kunnen is er een metriek gegeven door
gα(v, w) = hdψα(v), dψα(w)i,
waar v, w ∈ T U , dψα: T U → T Rn= Rnen h·, ·i het standaard inproduct op Rn is. Met
een partitie van de eenheid Iα kunnen we nu een metriek voor M construeren
g =X
α
Iαgα.
Het is duidelijk dat g symmetrisch is en dat g(v, v) ≥ 0 voor alle v ∈ T M en dit bewijst de propositie.
Als we dus werken met een glad manifold, weten we dat we een Riemann manifold hebben. Het gevolg hiervan is dat Riemannmeetkunde op elk gladde manifold toepasbaar is. Aangezien Riemannmeetkunde de wiskundige basis is van de algemene relativiteits-theorie is dit dus een belangrijk resultaat. Nu blijkt het dat bij een Riemann manifold (M, g), g een isomorfisme oplevert ˆg : T M → T∗M .
Definitie 2.1.4. Zij (M, g) een Riemann manifold. Voor alle x ∈ M ˆg : T M → T∗M is gegeven door de volgende afbeelding:
ˆ
gx(v) : Tx(M ) → R
w 7→ gx(v, w)
Lemma 2.1.1. ˆg is een isomorfisme
Bewijs. Het is duidelijk dat ˆg injectief is. Om surjectiviteit aan te tonen moet worden bewezen dat voor alle f ∈ T∗M er een v ∈ T M zodanig dat
f (w) = fv(w) ≡ g(v, w).
Dit is een direct gevolg van het Riesz-Frechet theorema, wat wordt uitgeschreven in [17].
Omdat g kan worden geschreven als g = gijdxi⊗Rdyj, geldt g(X, Y ) = gijXi⊗RYj.
Wat betekent dat
ˆ
g(X) = gijXidxj. (2.2)
Omdat (gij) een symmetrische matrix is, is de matrix behorend bij ˆg ten opzichte van
een lokaal frame ook (gij). Omdat ˆg een isomorfisme is bestaat zijn inverse ˆg−1. Deze
inverse noteren we als (gij). Voor alle x ∈ M geldt dan:
gijgjk = gijgjk = δik, (2.3)
waar δik de Kronecker-delta is. Omdat gij symmetrisch is, is makkelijk na te gaan dat
gij dat ook is.
Nu we een beetje bekend zijn met metrieken, kunnen we het gaan hebben over afstan-den op een Riemann manifold. Ondanks wat de benaming metriek doet vermoeafstan-den, is een Riemann manifold (M, g) geen metrische ruimte. Het blijkt dat er een afstandsme-triek op M bestaat en M dus een metrische ruimte is. Voordat we een afstandsmeafstandsme-triek defini¨eren, gaan we eerst eens bekijken wat de lengte van een pad is.
Definitie 2.1.5. Zij γ : [0, 1] → M een C1-kromme. De lengte van γ wordt gegeven door: L(γ) = Z [0,1] p g( ˙γ(t), ˙γ(t))dt. (2.4) Met deze definitie voor lengte kunnen we een afstandsmetriek construeren. Hiervoor moeten we wel een pad kunnen trekken tussen elk paar punten.
Definitie 2.1.6. Een Riemann manifold (M, g) heet pad samenhangend als er voor elk paar punten (x, y) ∈ M × M en γ bestaat zodat:
Het volgende lemma zal een afstandsmetriek geven en dus laten zien dat M metriseer-baar is.
Lemma 2.1.2. Zij (M, g) een pad samenhangend Riemann manifold. Voor een paar punten (x, y) ∈ M × M , is er een verzameling kromme van x naar y, C(x,y) = {γ : γ(0) =
x, γ(1) = y}. Dan is
d(x, y) = inf{L(γ) : γ ∈ C(x,y)} (2.5)
een metriek op M . d voldoet dus aan het volgende: (i) d(x, y) ≥ 0
(ii) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (iii) d(x, y) = d(y, x)
(iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Bewijs. We bewijzen alleen punt (iv), de rest is niet moeilijk zelf te bewijzen. Het bewijs van de rest staat gegeven in [2]. Zij γ1 ∈ C(x,y) en γ2∈ C(y,z), dan is er een pad in C(x,z)
gedefinieerd door
γ(t) =
γ1(2t) t ∈ [0,12]
γ2(2t − 1) t ∈ (12, 1],
met L(γ) = L(γ1) + L(γ2). Dit impliceert dat voor alle paden γ1 ∈ C(x,y) en γ2 ∈ C(y,z)
geldt dat d(x, z) ≤ L(γ1) + L(γ2). We kunnen concluderen dat d(x, z) ≤ d(x, y) +
d(y, z).
Gevolg. Elke gladde, padsamenhangend manifold (M ) is metriseerbaar.
We sluiten deze sectie af met een methode om een metriek te defini¨eren op submani-folds. Later, in hoofdstuk 5, zullen we veel gaan kijken naar de rand van een manifold, wat een submanifold is. We gaan de zogeheten geinduceerde metriek gebruiken als we deze rand bekijken.
Definitie 2.1.7. Zij (M, g) een Riemann manifold en N een submanifold van M . De tensor h : C2∞(N ) → C0∞(N ) gegeven door
h(X, Y ) : p 7→ gp(Xp, Yp),
heet de ge¨ınduceerde metriek op N in (M, g).
2.2. Levi-Civita connectie
Nu we weten wat een Riemann manifold is, is het logisch om na te gaan denken over afgeleiden van vectorvelden op Riemannse manifolds. Dit kan helaas niet op de manier zoals we dat gewend zijn. Daarom wordt in deze paragraaf een connectie ge¨ıntroduceerd,
dit is een middel die men gebruikt om toch te kunnen ‘differenti¨eren’ op Riemann ma-nifolds. We zullen een paar eigenschappen van connecties bekijken, de Koszulformule defini¨eren en motiveren waarom deze belangrijk is. Vervolgens zal ook de Levi-Civita connectie ge¨ıntroduceerd worden, dit is de belangrijkste connectie in de Riemannmeet-kunde. De Levi-Civita connectie gedraagt zich het meest zoals de Euclidische afgeleide, we noemen hem daarom ook wel de covariante afgeleide. Met de Levi-Civita connectie zullen we dan de Christoffelsymbolen defini¨eren. De Christoffelsymbolen zullen heel be-langrijk zijn voor de algemene relativiteit en daarom ook voor deze scriptie. Deze sectie wordt afgesloten met een definitie voor de absolute afgeleide. Als eerst de definitie van een connectie.
Definitie 2.2.1. Zij M een gladde manifold en E een vector bundel. Een connectie ˆ∇ is een operator
ˆ
∇ : C∞(T M ) × C∞(E) → C∞(E)
zodat voor alle λ, µ ∈ R, f, g ∈ C∞(M ), X, Y ∈ C∞(T M ) en v, w ∈ C∞(E) er geldt: (i) ˆ∇X(λv + µw) = λ ˆ∇X(v) + µ ˆ∇X(w)
(ii) ˆ∇X(f · v) = (Xf ) · v + f · ˆ∇X(v)
(iii) ˆ∇(f ·X+g·Y )(v) = f · ˆ∇X(v) + g · ˆ∇Y(v)
Net als de Euclidische afgeleide is een connectie lineair en heeft een connectie een eigen productregel. Nu zijn er nog een aantal verschillen tussen de Euclidische afgeleide en een connectie die niet meteen duidelijk zijn. We zullen nu deze verschillen bekijken. De volgende definitie die we gaan bekijken is die van de Lie-haakjes. Dit is een hulpmiddel om te controleren of vectorvelden commuteren.
Definitie 2.2.2. Zij M een gladde manifold en X, Y ∈ C∞(T M ). Dan defini¨eren we de Lie-haakjes [X, Y ], zodat voor een x ∈ M en een f ∈ C∞(M ) het volgende geldt:
[X, Y ]x(f ) = Xx(Y (f )) − Yx(X(f )). (2.6)
Als naar de Euclidische ruimte kijken met daarop de standaard afgeleide, dan zijn vectorvelden van de vorm
X = fXi (x1, ..., xn)
d dxi
,
waar fi: M → R. We zien dat voor twee vectorvelden X en Y geldt [X, Y ] = ∇XY − ∇YX,
dit staat uitgewerkt in [1]. De mate waarin de Lie-haakjes afwijken van de bovenstaande uitdrukking noemen we de torsie.
Definitie 2.2.3. Zij M een gladde manifold en ˆ∇ een connectie op T M . De torsie is de afbeelding gegeven door
T : C∞(T M ) × C∞(T M ) → C∞(T M ) (2.7) (2.8) T (X, Y ) = ˆ∇XY − ˆ∇YX − [X, Y ]. (2.9) Een connectie ˆ∇ heet torsievrij als T = 0 voor elke X, Y ∈ C∞(T M ). Dus als voor alle X, Y ∈ C∞(T M ) geldt:
[X, Y ] = ˆ∇XY − ˆ∇YX. (2.10) Het is prettig als een connectie zich gedraagt als de Euclidische afgeleide. Daarom is het fijn als de connectie waarmee gewerkt wordt torsievrij is. Een andere prettige eigenschap die een connectie kan hebben, is dat de connectie compatibel is met de metriek op M .
Definitie 2.2.4. Zij (M, g) een Riemann manifold en ˆ∇ een connectie. ˆ∇ op vectorbun-del (T M ) heet compatibel met een Riemannmetriek g, als voor alle X, Y, Z ∈ C∞(T M ) geldt:
Xg(Y, Z) = g( ˆ∇XY, Z) + g(Y, ˆ∇XZ) (2.11) Nu kunen we 2.2.3 en 2.2.4 gebruiken om de Koszulformule voor een operator ∇ af te leiden. Als een operator torsievrij is en compatibel met g, voldoet hij aan de Koszulfromule. De connectie gedraagt zich dan zoals we gewend zijn met de normale richtingsafgeleiden in het Euclidisch vlak.
Definitie 2.2.5. Zij (M, g) een Riemann manifold, dan noemen we de connectie ∇, die voldoet aan de hier onderstaande formule, de Levi-Civita connectie.
g(∇XY, Z) =
1
2{Xg(Y, Z) + Y g(Z, X) − Zg(X, Y ) (2.12) +g(Z, [X, Y ]) + g(Y, [Z, X]) − g(X, [Y, Z])}. (2.13) Deze formule staat bekend als de Koszulformule.
Stelling 2.2.1. Zij (M, g) een Riemann manifold. De Levi-Civita connectie is een unieke connectie die compatibel is met g en torsievrij is op de vectorbundel T M .
Bewijs. Als eerst zullen we bewijzen dat ∇ compatibel is met g. Met behulp van de Koszulformule krijgen we g(∇XY, Z) + g(Y, ∇XZ) =g(∇XY, Z) + g(∇XZ, Y ) =Xg(Y, Z) + 1 2{g(Z, [X, Y ]) + g(Y, [Z, X]) − g(X, [Y, Z] + g(Y, [X, Z]) + g(Z, [Y, X]) − g(X, [Z, Y ]} =Xg(Y, Z),
waar de laatste gelijkheid volgt uit het feit dat [X, Y ] = −[Y, X], dus is ∇ compatibel met g. Om aan te tonen dat dat ∇ torsievrij is voldoet het om aan te tonen dat voor alle X, Y ∈ C∞(T M ) aan vergelijking 2.11 voldaan wordt. Dit is het geval als voor alle Z ∈ C∞(T M )
g([X, Y ], Z) = g(∇XY − ∇YX, Z).
We gaan de rechterkant berekenen
g(∇XY − ∇YX, Z) = g(∇XY, Z) − g(∇YX, Z),
wat we met behulp van de Koszulformule gelijk kunnen stellen aan 1
2(g(Z, [X, Y ]) − g(Z, [Y, X])) = g([X, Y ], Z),
dus ∇ is torsievrij. Stel ∇ en ˜∇ voldoen aan de Koszulformule. Dan geldt voor alle X, Y, Z ∈ C∞(T M )
g(∇XY, Z) = g( ˜∇XY, Z).
wat impliceert dat voor alle X, Y ∈ C∞(T M ) ∇XY = ˜∇XY,
dus ∇ = ˜∇. We kunnen concluderen dat ∇ uniek is en dat de stelling bewezen is. Deze stelling wordt ook wel de hoofdstelling van de Riemannmeetkunde genoemd. Men noemt de Levi-Civita connectie ook wel de covariante afgeleide. Om beter te kun-nen rekekun-nen met de Levi-Civita connectie, is het handig om te bestuderen hoe hij zich gedraagt op de vectorvelden van een lokaal frame. We kunnen namelijk lokaal alle vec-torvelden uitdrukken in termen van vecvec-torvelden uit dit frame. Het Christoffelsymbool, ook wel de affiene connectie, komt nu van pas.
Definitie 2.2.6. Zij (M, g) een Riemann manifold met daarop een lokale kaart (U, φ), met (dφ1, . . . , dφn) als frame voor T U , waar dφi = ∂φ∂
i, en de Levi-Civita connectie ∇.
Dan definieert men de Christoffelsymbolen Γkij: U → R van ∇ met betrekking tot (U, φ) als volgt:
∇dφidφj = Γ
k ijdφk
Merk op dat we voor een vectorveld X, Y ∈ C∞(T M ) krijgen ∇XY =∇Xidφ i(Y idφ j) =Xi∇dφi(Y idφ j) =Xi(∂Y j ∂φi dφj+ Yj∇dφidφj) =Xi(∂Y j ∂φi dφj+ YjΓkijdφk).
We krijgen de uitdrukking
∇XY = Xi(
∂Yk ∂φi
+ YjΓkij)dφk. (2.14)
Met behulp van de Koszulformule kunnen we nu het volgende afleiden:
gklΓkij = 1 2{ ∂gjl ∂φi +∂gli ∂φj −∂gij ∂φl }, (2.15)
l ∈ {1, 2, . . . , n}. Met als gevolg dat we de Chrystoffel symbolen kunnen schrijven als
Γkij = 1 2g kl{∂gjl ∂φi +∂gli ∂φj −∂gij ∂φl }. (2.16)
We zien nu dat we met behulp van vergelijkingen 2.14 en 2.16 de covariante afgeleide kunnen schrijven in termen van parti¨ele afgeleide van de metriek. We hoeven dus niet meer op zoek te gaan naar de Levi-Civita connectie, we kunnen hem uitrekenen. Dit is, zoals we in hoofdstuk 5 zullen zien, ontzettend handig en scheelt ons veel gokwerk en lange zoektochten.
Het is handig om te weten wat de kortste paden zijn tussen punten op een manifold. In een Euclidische ruimte zijn dat de rechte lijnen. Met een rechte lijn in een Euclidische ruimte, is een lijn waarvan de raakvector aan elk punt op de lijn hetzelfde is als de raakvector in elk ander punt. De raakvector verandert niet langs de lijn dus ∇γ˙˙γ = 0.
We hebben nu een middel om afgeleides te bepalen op de raakruimte van een Riemann manifold (M, g). We gebruiken deze beschrijving van een rechte lijn om een geodeet op (M, g) te defini¨eren.
Definitie 2.2.7. Zij (M, g) een Riemann manifold met Levi-Civita connectie. Laat γ een pad over M . Als ˙γ parallel is langs γ, dus als ∇γ˙˙γ = 0, is γ een geodeet.
Geodeten zijn als het ware de rechte lijnen op Riemannse manifolds. Men kan aantonen dat als twee punten p, q ∈ M dicht genoeg bij elkaar leggen er een uniek pad γ bestaat waarvoor geldt dat d(p, q) = L(γ). Dit pad is een geodeet.
Tot slot, zullen we nu gaan kijken naar de absolute afgeleide. De absolute afgeleide geeft aan hoeveel de richting van een vector, tenopzichte van een pad waar de vector langs getransporteerd wordt, verandert. Zij (M, g) een Riemann manifold met vectorveld V langs een pad γ. Laat p ∈ γ met lokale co¨ordinaten p = (γi(t)) = (γi) en laat een
q ∈ γ dicht genoeg bij p zodat q = (γ(t + δt)) = (γi+ δγi). Als er een lineaire bijectieve
afbeelding F : Tp(M ) → Tq(M ) bestaat met de eigenschap F → I als p → q, kunnen
we het hebben over parallelle vectoren. V geeft ons een vector V (p) ∈ Tp(M ) met
co¨ordinaten V (p)i = Vi. Met het Christoffelsymbool kunnen we nu een parallelle vector
V0 ∈ Tq(M ) construeren:
Vi0= (δji− Γijkδγk)Vi (2.17)
waar δij de Kronecker delta. Omdat V0, V (q) ∈ Tq(M ) zit hun verschil ook in Tq(M ).
Definitie 2.2.8. Zij (M, g) een Riemann manifold met een pad γ ∈ M en een vectorveld V ∈ Cγ∞(T M ) langs γ. Dan is de absolute afgeleide Ddt: Cγ∞(T M ) → Cγ∞(T M ) de volgende afbeelding: DVi dt = limδt→0 V (q)i− Vi0 δt = dVi dt + Γ i jkVj dγk dt . (2.18) Als we δt → 0 laten gaan is dit een vector in Tp(M ). Stel γ is een geodeet, dan is de
absolute afgeleide D ˙γi
dt = 0. We kunnen ook een andere parameter u = u(t) nemen, met
definitie 2.2.8 krijgen we d2γi du2 + Γ i jk dγj du dγk du = − d2u dt2 (dudt)2 dγi du = h(u) dγi du. (2.19) Dit is de vergelijking van een willekeurig geparametriseerde geodeet γ.
2.3. Riemann krommingstensor
Einstein’s idee in zijn algemene relativiteitstheorie, is dat zwaartekracht een kromming is in de ruimtetijd. Daarom is Riemannmeetkunde belangrijk en de wiskundige basis van algemene relativiteit. We willen iets kunnen zeggen over de kromming van de manifold. In dit hoofdstuk zullen we hulpmiddelen introduceren om kromming te beschrijven. We zullen dit hoofdstuk beginnen met de covariante afgeleiden. We hebben deze al gezien, maar hier zullen de covariante afgeleide en zijn tweede orde formeel gedefinieerd worden. Vervolgens zullen we kijken naar een manier om kromming te beschrijven, genaamd parallel transport. Dit concept zullen we gebruiken om Riemann krommingstensor de construeren. Vervolgens, om het rekenen ermee makkelijker te maken, zal deze tensor uitgeschreven in Christoffelsymbolen. Deze sectie zal eindigen met een introductie van de Riccitensor en -scalar en de Einsteintensor die we later nodig gaan hebben voor de Einsteinvergelijking.
Definitie 2.3.1. Zij (M, g) een Riemann manifold met Levi-Civita connectie ∇. Dan noemen we voor een vectorveld X ∈ C∞(T M )
∇X: C∞(T M ) → C∞(T M ) Y 7→ ∇XY
de eerste orde covariante afgeleide in de richting van X.
Voor de volgende definitie is het goed om de motivatie achter de covariante afgeleide van een tensorveld te kennen. Zij (M, g) een Riemann manifold, laat F een (2, 1) ten-sorveld en X, Y, Z ∈ C∞(T M ). Als we nu de productregel zoals we die kennen van afgeleiden toepassen krijgen we het volgende:
Hieruit volgt een ‘logische’ definitie voor (∇XF )(Y, Z):
(∇XF )(Y, Z) = ∇X(F (Y, Z)) − F (∇XY, Z) − F (Y, ∇XZ). (2.21)
F is hier een (2, 1)-tensorveld, maar dit werkt natuurlijk voor elk (n, 1)-tensorveld. Definitie 2.3.2. Zij (M, g) een Riemann manifold en X, Y, Z ∈ C∞(T M ). Dan is de tweede orde covariante afgeleide het (2, 1)-tensorveld op M gegeven door:
∇2X,YZ = (∇XZ)(Y ).
Hier is Z het natuurlijke (1, 1)-tensorveld op M gegeven door:
Z(X) = ∇XZ.
Als men een manifold bekijkt, is het vaak interessant om de kromming van de manifold te beschrijven. Voordat we die kromming zullen beschrijven, is het handig om eerst het begrip parallel transport te kennen. Zij (M, g) een Riemann manifold met Levi-Civita symbool ∇ en γ : [0, 1] → M een pad over M . Laat nu v ∈ TqM waar q = γ(0). Als v
nu over γ naar p = γ(1) beweegt zodat ∇γ˙v = 0, waar ˙γ = dγdt, dan is v parallel langs γ.
Als we nu v laten lopen langs γ en ∇γ(t)˙ v(t) = 0, t ∈ (0, 1), dus dat v niet van richting
verandert ten opzichte van γ, dan zeggen we dat v parallel getransporteerd is langs γ. Laat nu γ1 en γ2 paden over M met γ1(0) = γ2(1) = p en γ1(1) = γ2(0) = q. Nu gaan
we v parallel transporteren langs γ1 en vervolgens langs γ2. Als M vlak is komt v op
dezelfde manier terug in p als het was voor het vertrok, maar als M gekromd is dan is dat niet het geval.
Figuur 2.1.: In dit figuur is te zien dat parallel transport langs twee verschillende pa-den over een gekromd oppervlak, in dit geval S2, een verschillende vector oplevert.
Als we nu de kromming in een punt p ∈ M willen beschrijven kunnen we infinitesimaal parallel transporteren, we kiezen q als het ware op een oneindig kleine afstand van p. Een oneindig klein pad van p naar q kunnen we ook zien als de afgeleide van een vectorveld. De volgende definitie is een hulpmiddel om kromming in een punt aan te duiden.
Definitie 2.3.3. Zij (M, g) een Riemann manifold met de Levi-Civita connectie ∇. Voor X, Y, Z ∈ C∞(T M ), wordt de Riemann krommingsoperator R gegeven door de volgende afbeelding:
R(X, Y )Z = ∇2X,YZ − ∇2Y,XZ.
De Riemann krommingsoperator beschrijft de kromming in een vlak langs een vector-veld. In een punt p ∈ M spannen X(p) en Y (p) een vlak op in TpM , het XY -vlak. De
Riemann krommingsoperator beschrijft in p de kromming in het XY -vlak langs Z(p), door de fout in het commuteren van de covariante parti¨ele afgeleiden te geven. De parti¨ele afgeleiden zijn als het ware de paden van p naar een q die oneindig dichtbij p ligt. Op de weg van p naar q lopen we eerst in de Xrichting en vervolgens in de Y -richting. Op de weg terug, dus van q naar p, gaan we eerst via de negatieve X-richting en vervolgens in de negatieve Y -richting. Let wel op dat dit punt q niet echt gebruikt wordt, het is enkel om te laten zien wat de overeenkomsten zijn met parallel transport en zo een intu¨ıtie te geven bij definitie 2.3.3.
Stelling 2.3.1. De Riemann krommingsoperator R is een (3, 1)- tensorveld op M gegeven door:
R(X, Y )Z = ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇[X,Y ]Z. (2.22)
Bewijs. Als eerst zullen we ∇2X,YZ omschrijven. Met definitie 2.3.2 en vergelijking 2.21 krijgen we
∇2X,YZ = (∇XZ)(Y )
= ∇XZ(Y ) −Z(∇XY )
= ∇X∇YZ − ∇∇XYZ.
We gebruiken dit om de Riemann krommingsoperator mee uit te schrijven R(X, Y )Z = ∇2X,YZ − ∇2Y,XZ
= ∇X∇YZ − ∇∇XYZ − ∇Y∇XZ + ∇∇YXZ
= ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇[X,Y ]Z.
Propositie 2.3.1. Zij (M, g) een Riemann manifold en W, X, Y, Z ∈ C∞(T M ). Dan voldoet R aan het volgende:
(i) R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z
(ii) g(R(X, Y )Z, W ) = −g(R(X, Y )W, Z) (iii) R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 0 (iv) g(R(X, Y )Z, W ) = g(R(W, Z)X, Y ).
Bewijs. Zie [2].
Als ei een lokale basis is voor een vector veld schrijft men ook wel:
R(ej, ek)el = Rjkli ei.
Omdat er geldt ∂i∂j = ∂j∂i, waar ∂i = dφi, geldt er [∂i, ∂j] = 0. We kunnen dus schrijven
R(∂j, ∂k)∂l = ∇j∇k∂l− ∇k∇j∂l,
waar ∇i = ∇∂i. Nu, met definitie 2.2.6, ∇i∂j = Γ
k
ij∂k, kunnen we schrijven
Rijkl∂i = ∇jΓikl∂i− ∇kΓijl∂i,
dus
Rijkl∂i = (∇jΓikl− ∇kΓijl)∂i+ ΓiklΓλji∂λ− ΓijlΓλki∂λ.
Omdat we sommeren over alle i en alle λ kunnen we deze twee indices omdraaien in de laatste twee termen
Rijkl= ∂jΓikl− ∂kΓijl+ ΓλklΓijλ− ΓλjlΓikλ. (2.23)
In deze notatie kunnen we indices omhoog en omlaag halen. Neem bijvoorbeeld de Riemann krommingstensor, we schrijven
Rijkl= giλRλjkl= g(ei, R(ej, ek)el).
Nu kunnen we natuurlijk met (gij)−1 de index weer omhoog brengen:
giλRλjkl= Rijkl.
Met behulp van deze notatie kunnen we een identiteit afleiden dit we later nodig gaan hebben om de Einsteintensor te bepalen, de Bianchi identiteit.
Propositie 2.3.2 (Bianchi identiteit). Zij (M, g) een Riemann manifold. De volgende vergelijking geldt:
∇iRjklt + ∇kRtijl− ∇iRtkjl= 0. (2.24)
Dit is de Bianchi identiteit. Bewijs. Zie [3].
Met de Riemann tensor kunnen we nog drie interessante tensoren afleiden. De eerste, de Riccitensor, is een symmetrische tensor die we krijgen door het spoor van de Riemann tensor te nemen
Rij ≡ Rλiλj. (2.25)
Dit is de tensor waar de Riccistroom naar vernoemd is. De Riccitensor beschrijft hoe het volume van een bal verandert als het beweegt langs geodeten. Stel (M, g) is een Riemann manifold voor welke de Riccitensor gelijk is aan 0, dan noemen we (M, g) Riccivlak. Als we de Riccitensor verder samentrekken door weer het spoor te nemen, krijgen we onze tweede tensor
R ≡ Rii, (2.26)
de Ricciscalar. De Ricciscalar relateert het volume van een bal in een vlakke ruimte aan het volume van een bal in een gekromde ruimte [18].
Later zullen we zien dat de Ricciscalar de Lagrangiaan is van Einstein’s algemene relativiteitstheorie. Hoofdstuk 3 zal gaan over algemene relativiteitstheorie, daar zal ook duidelijk worden gemaakt dat we een divergentievrije symmetrische krommingstensor nodig hebben. Als een tensor Fij divergentievrij is, geldt ∇iFij = 0. Om deze tensor af
te leiden gebruiken we de Bianchi identiteit, 2.24, we kunnen schrijven ∇iRlkji+ ∇jRkl− ∇kRjl= 0.
Omdat we met dummie indices werken kunnen we hieruit opmaken dat ∇iRjjki+ ∇jRkj− ∇kRjj = 0.
We zien dus, na een herordening van onze indices, dat ∇i(2Rij− Rgij) = 0.
We krijgen dus als divergentievrije symmetrische tensor Gij = Rij −
1
2Rgij, (2.27)
3. Algemene Relativiteit
Het basis idee van de algemene relativiteitstheorie is het equivalentieprincipe. Het equi-valentieprincipe zegt dat lokaal de natuur zich hetzelfde gedraagt in een zwaartekrachts-veld als in een versnellend frame. Dit ontwikkelde zich tot het idee dat objecten met massa de ruimtetijd vervormen. Dit hoofdstuk zal de, voor deze scriptie, belangrijke on-derwerpen van Einsteins algemene relativiteitstheorie behandelen. We zullen beginnen met een sectie over hoe de ruimtetijd er uitziet en waarom Newton’s zwaartekrachtsthe-orie hier een limiet van is. Vervolgens zullen we zien hoe de ruimte wordt gekromd door massieve objecten. Dit wordt beschreven door de Einsteinvergelijking, welke we zullen bekijken en uitleggen. Ook zullen we hier een oplossing zien voor de Einsteinvergelijking. Dit is een oplossing die terug zal komen in hoofdstuk 5, de Schwarzschildmetriek. We sluiten dit hoofdstuk af met een sectie over de Einstein-Hilbert actie. Hiermee kunnen we de mechanica van algemene relativiteit beschrijven. Deze actie is voor deze scriptie belangrijk omdat hij nodig is voor het berekenen van de partitie functie. Dit hoofdstuk is gebaseerd op [3] [6] [7] [8] [9].
3.1. Ruimtetijd en Newton limiet
In speciale relativiteit werkt men in de Minkowski ruimte, dit is een vier dimensionale vectorruimte met als basis {ct, ~x}, waar ~x = (x1, x2, x3). We noteren punten in deze ruimte als xµ= (x0, x1, x2, x3), waar x0 de ct-co¨ordinaat is. Speciale relativiteit is lokaal een heel goede benadering van de werkelijkheid. Maar voor een versnellend frame of een hoog zwaartekrachtsveld is de speciale relativiteit niet genoeg om het systeem te beschrijven. In algemene relativiteit zoeken we daarom naar een ruimtetijd die lokaal lijkt op de Minkowski ruimte, maar globaal anders is.
3.1.1. Ruimtetijd
De ruimte tijd van speciale relativiteit is een vier dimensionaal Riemann manifold met de volgende metriek: ηµν = −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 .
We noemen dit een Cartesisch co¨ordinaten systeem. Een belangrijke eigenschap van de ruimtetijd van de speciale relativiteit is dat er altijd een globaal Cartesisch co¨ordinaten
systeem kan worden ge¨ıntroduceerd. Dit is alleen mogelijk in een vlak manifold. Voor de ruimtetijd van algemene relativiteit is ´e´en van de belangrijkste eigenschappen dat het lokaal lijkt op de ruimtetijd van speciale relativiteit. Dus de metriek gµν is rond elk punt
in de ruimte bij benadering ηµν, maar we stellen niet dat er een co¨ordinaten systeem
bestaat zodat geldt gµν = ηµν. Dit is een essentieel verschil tussen algemene en speciale
relativiteit. In speciale relativiteit noemt τ , die voldoet aan c2dτ2 = ηµνdxµdxν,
waar (xµ) de basis is van de minkowski ruimte, de eigentijd. Verder is de bewegingsver-gelijking in speciale relativiteit
dpµ dτ = f
µ,
waar pµ = mdxdτµ de impuls, waar m de massa is en fµ de 4-kracht die werkt op het systeem. Deze twee vergelijkingen kunnen we nu generaliseren naar vergelijkingen in algemene relativiteitstheorie. De eigentijd wordt nu gegeven door
c2dτ2 = gµνdxµdxν (3.1)
en de bewegingsvergelijking wordt
Dpµ dτ = f
µ. (3.2)
Bij een vrij deeltje hebben we fµ= 0 en dus krijgen we als bewegingsvergelijking d2xµ dτ2 + Γ µ νλ dxν dτ dxλ dτ = 0. (3.3)
Hieruit kunnen we concluderen dat vrije deeltjes geodeten zijn in ruimtetijd. Dit wordt vaak gezien als een postulaat van de algemene relativiteitstheorie.
3.1.2. Newton limiet
Om te kijken of algemene relativiteit overeenkomt met de theorie¨en van Newton, bekijken we een langzaam bewegend deeltje xµ in een zwak stationair zwaartekrachtsveld zonder externe krachten. Waar ons zwakke zwaartekrachtsveld wordt gegeven door
gµν = ηµν+ hµν, (3.4)
waar hµν klein is. Volgens het equivalentie principe is dit hetzelfde als een deeltje in
vrije val. Dus volgt xµ de bewegingsvergelijking 3.3 d2xµ dτ2 + Γ µ νλ dxν dτ dxλ dτ = 0. (3.5)
Als een deeltje traag genoeg gaat, wordt d~dτx verwaarloosbaar klein vergeleken met dτdt. Als we deze dan ook verwaarlozen krijgen we
d2xµ dτ2 + Γ µ 00 dt dτ 2 = 0.
Omdat gµν stationair is, verdwijnen de tijds afgeleiden van gµν, en geeft vergelijking 2.16
Γµ00= −1 2g µν∂g00 ∂xν = − 1 2η µν∂h00 ∂xµ
tot de eerste orde in hµν. Als we nu definitie 2.2.6 gebruiken krijgen we als bewegings
vergelijkingen d2~x dτ2 = 1 2 dt dτ 2 ∇h00 d2t dτ2 = 0,
Waaruit we kunnen concluderen dat dτdt constant is en daarom d2~x
dt2 =
1 2∇h00.
Newton’s zwaartekrachtstheorie geeft als bewegingsvergelijking d2~x
dt2 = −∇
M r ,
hieruit en het feit dat op grote afstand gµν = ηµν, kunnen we concluderen dat h00 =
−2M
r = −2~φ en
g00= −(1 + 2~φ).
We zien dus dat, voor goedgekozen h, geodeten overeenkomen met de paden die Newton’s theorie¨en voorspellen.
3.2. Einsteinvergelijking
Einstein’s idee was dat de de metriek gµν af hangt van de zwaartekracht. In andere
woorden, dat de kromming van de ruimtetijd bepaald wordt door de materie met massa. Einstein’s vergelijking vertelt ons dat ruimtetijd gekromd is in de buurt van materie. In deze sectie wordt beschreven hoe de Einsteinvergelijking tot stand is gekomen.
3.2.1. De stresstensor
We hebben een tool nodig die ons vertelt wat de stroom is van energie en impuls. In re-lativiteitstheorie wordt de stroom van energie en impuls door een punt in de ruimte tijd samengevat door de stresstensor. De stresstensor, ook wel bekend als de energie-impuls tensor, is een (2, 0)-tensor gegeven door Tµν. In de theorie¨en waar we ge¨ınteresseerd in
zijn is dit een symmetrische tensor, dus Tµν=Tνµ, waar T00 de energiedichtheid
weer-geeft, Ti0 de stroom van energie in de ∂x∂i = ∂i richting, T0j geeft de j-de component
van de dichtheid van impuls en Tij geeft de jde component van de stroom van impuls in de ∂i richting. Merk op dat Ti0 = T0i. Massa is energie, E = M c2 = M in natuurlijke
eenheden, dus energiestroom in de richting ∂i is het zelfde als energiedichtheid
verme-nigvuldigd met de gemiddelde energie snelheid in de richting ∂i, wat weer gelijk is aan
de massadichtheid vermenigvuldigd met de gemiddelde massa snelheid in de richting ∂i,
wat de definitie is van impuls in de ∂i richting, dus Ti0= T0i.
Om het iets duidelijker te maken hieronder een voorbeeld van een mogelijke stressten-sor, die van een perfecte vloeistof. Een perfecte vloeistof is een vloeistof of gas dat door de ruimte tijd beweegt met een 4-snelheid ~u, die niet constant hoeft te zijn, een massa-dichtheid ρ en een isotrope druk p heeft. Verder mag de vloeistof of gas geen viscositeit hebben. De stresstensor van een perfecte vloeistof wordt gegeven door
Tµν = (ρ + p)uµuν + pgµν.
De wet van behoud van energie en impuls schrijven we gµλ∇λTµν = ∇µTµν = 0,
we noemen dit ook wel divergentievrij.
3.2.2. Einsteinvergelijking
Tµν beschrijft de energie en impuls van een systeem. Volgens Einstein zijn, zoals in
het voorbeeld van de Newton limiet, energie en impuls gelijk aan een kromming in de ruimtetijd. We zoeken dus een vergelijking waar de stresstensor op een manier gelijk wordt gesteld aan kromming. We zoeken dus naar een vergelijking van de vorm
Fµν = κTµν,
Waar Fµν alleen afhangt van de kromming van de ruimte tijd en κ een
koppelingscon-stante is. Aangezien de stres tensor symmetrisch en divergentievrij is moet Fµν dat
ook zijn. We hebben eerder gezien dat de Einsteintensor, 2.27, hier aan voldoet. Onze vergelijking wordt
Gµν = κTµν. (3.6)
Nu moeten we κ nog bepalen. Bekijk Newton’s theorie voor een bewegend deeltje d2~x
dit kan herschreven worden naar d2xj dλ + ∂ ~φ ∂xj dt dλ 2 = 0 d2t dλ2 = 0.
Vergelijk dit met de vergelijking voor een geodeet, vergelijking 2.2.7. We zien dat Γi00= ∂ ~φ
∂xj
en de andere Γijk = 0, met vergelijking 2.23 en 2.25 krijgen we
R00= ∇2φ = 4πρ,~ (3.7)
waar ρ de massa dichtheid is. Als we het spoor nemen van vergelijking 2.27 met bij benadering gµν = ηµν, krijgen we
R + 2R = κT,
waar T = Tii het spoor is van de stresstensor. Als we dit nu invullen in vergelijking 3.6 , krijgen we R00= 1 2g00R + κT00 = 1 2κ(2T00− g00T ) = 1 2κ(2T00+ T i i); omdat T00= −T00 = 1 2κ(T00+ T 1 1 + T22+ T33) = 1 2κT00= 1 2κρ.
Hierbij hebben we bij benadering Tji= 0 gesteld. Hieruit en vergelijking 3.7 kunnen we concluderen dat κ = 8π. De Einsteinvergelijking is dus
Gµν = 8πTµν. (3.8)
Omdat deze vergelijking een uitdijend heelal beschrijft, heeft Einstein later de vergelij-king veranderd naar
Gµν+ Λgµν = 8πTµν.
Hier is Λ de kosmologische constante. In deze scriptie wordt Λ = 0 beschouwt. Uit vergelijking 3.8 zien we dat
Rµν = 8π(Tµν−1 2T g
µν).
3.2.3. De Schwarzschild oplossing
Nu we de Einsteinvergelijking kennen is er een logische volgende vraag: Kunnen we een oplossing vinden? De eerste exacte oplossing werd gevonden door Schwarzschild. Hij vond een oplossing voor een systeem rond een massief bolvormig object met de volgende eigenschappen:
(i) het veld is statisch,
(ii) het veld is bolsymmetrisch, (iii) de ruimtetijd is leeg
(iv) de ruimtetijd is asymptotisch vlak.
Verder nam Schwarzschild ook aan dat de ruimtetijd in de coordinaten (x0, x1, x2, x3) = (t, r, θ, φ) geschreven kan worden. Hij postuleerde
ds2= −A(r)dt2+ B(r)dr2+ r2dθ2+ r2sin2θdφ2. (3.9) Dat A, B niet van t afhangen is vanwege (i). Dat A, B niet van θ en φ afhangen is vanwege (ii) en het feit dat de rechterkant van de vergelijking r2dθ2+ r2sin2θdφ2 is, is ook vanwege (ii). Omdat we een lege ruimtetijd aannemen (iii), kunnen we A, B vinden met de lege ruimte vergelijking Rµν = 0. Uit (iv) halen we dat als r → ∞,
A(r) → 1 en B(r) → 1. (3.10) Met wat rekenwerk kan men aantonen dat
Γ001= A 0(r) 2A(r), Γ 1 00= (r) 2B(r), Γ 1 11= B0(r) 2B(r), Γ122= −r B(r), Γ 1 33= −(r sin2θ) B(r) , Γ 2 12= 1 r, Γ233= − sin θ cos θ, Γ313= 1 r Γ 3 23= cot θ
en alle andere Christoffelsymbolen gelijk aan 0 zijn. Met vergelijkingen 2.23 en 2.25 krijgen we dan R00= − A”(r) 2B(r) + A0(r) 4B(r) A0(r) A(r) + B0(r) B(r) − A 0(r) rB(r) = 0, (3.11) R11= − A”(r) 2A(r) + A0(r) 4A(r) A0(r) A(r) + B0(r) B(r) − B 0(r) rB(r) = 0, (3.12) R22= 1 B − 1 + r 2B A0(r) A(r) − B0(r) B(r) = 0, (3.13) R33= R22sin2θ = 0, (3.14)
waarmee we uit 3.11 en 3.12 zien dat A0
A + B0
B = 0, wat impliceert dat
(AB)0= A0B + AB0 = 0, waaruit we samen met 3.10 concluderen dat
AB = 1. (3.15)
Dit resultaat en 3.13 geven
1 = A + rA0 = drA dr . Dit integreren naar r geeft
rA = (r + k),
voor een constante k. Als we dit invullen in 3.9 krijgen we ds2 = −(1 +k
r)dt
2+ 1
1 +krdr
2+ r2dθ2+ r2sin2θdφ2. (3.16)
Als we nu wat meer rekenwerk zouden doen kunnen we aantonen dat k
r = 2φ, waar φ de Newton potentiaal is. We concluderen dat
ds2 = −(1 −2M r )dt
2+ 1
1 −2Mr dr
2+ r2dθ2+ r2sin2θdφ2, (3.17)
waar M de massa is van de ster. Als r = 2M dan delen we door 0 bij de dr2 term. We noemen dit punt rS ≡ 2M de Schwarzschildradius en dit staat ook wel bekend als de
horizon.
3.3. Einstein-Hilbert actie
In algemene relativiteitstheorie zijn er meerdere Lagrangianen en daardoor meerdere acties. Hier wordt alleen de Einstein-Hilbert actie behandeld. In klassieke mechanica is actie een functionaal die een re¨ele waarde geeft aan een pad door je ruimte
S = Z t2
t1
waarbij L = T − V de Lagrangiaan is, waar T de kinetische energie en V de potenti¨ele energie. In de natuur komen alleen paden van maximale of minimale actie voor. Een andere manier om dit te zeggen is
δS = δ Z t2
t1
Ldt = 0, (3.19)
Waar δS = dSdt
t=0 de variatie is van S. Door intelligent te gokken, hebben Hilbert
en Einstein de Lagrangiaan van algemene relativiteit kunnen vinden. Aangezien de stresstensor symmetrisch en divergentievrij is zoeken we een scalarfunctie die dit ook is. Simpelweg een constante zou betekenen dat de Lagrangiaan alleen van gµν afhangt
en niet van zijn afgeleide, wat nooit interessante bewegingsvergelijkingen kan opleveren. Hilbert ontdekte (vijf dagen voor Einstein) de simpelste Lagrangiaan voor een lege ge-kromde ruimte een geori¨enteerd Riemann manifold zonder rand (M, g), die zou kunnen werken
Lvol = 1
16πRvol, (3.20)
waar vol de volume vorm behorende bij g is. Deze Lagrangiaan is eigenlijk een Lagrange dichtheid. Een Lagrangiaan is een scalarfunctie, door een volume element toe te voegen wordt het een dichtheid. De Einstein-Hilbert actie is dus
S(g) = 1 16π Z M Rvol, (3.21) of in lokale coordinaten S(g) = 1 16π Z M Rp|detg|d4x = 1 16π Z M Rp−detgd4x = 1 16π Z M R√−gd4x,
Er is hier een M 4-dimensionaal genomen omdat we voornamelijk met 4-dimensionale ruimtetijd werken. Als M niet compact is hoeft S niet te convergeren, daarom nemen we aan dat de metriek gµν= 0 buiten een compacte verzameling. Om te kijken of dit de
actie is die we zoeken, moeten we kijken of dit overeen komt met de Einsteinvergelijking. Om dit te kunnen bepalen moeten we eerst de variatie van R en√−g bepalen. Men kan aantonen dat
δRλµσν= δ∇σΓλµν− δ∇νΓλµσ
en dus dat
δR = δ(gµνRµν) = Rµνδ(gµν) + gµν(δRµλνλ )
Nu moeten we nog de variatie van √−g bepalen. De afgeleide van een determinant kunnen we bepalen met Jacobi: δA = T r(adj(A)δA). Hieruit maken we op dat δg = ggµνδgµν. De variatie is dus δ√−g = −1 2 δg √ −g (3.22) = 1 2 √ −ggµνδg µν (3.23) = −1 2 √ −ggµνδgµν. (3.24) We willen dat S de natuur beschrijft dus δS = 0,
0 = δS = δ 1 16π Z M R√−gd4x = 1 16π Z M δ(R√−g)d4x (3.25) = 1 16π Z M h Rµν− 1 2R δgµν+ gµν(δ∇λΓλµν− δ∇νΓλµλ) i√ −gd4x. (3.26) Men kan uit vergelijking 2.16 aantonen dat
δΓγµν = 1 2g
γλ(∇
µδgνλ+ ∇νδgµλ− ∇λδgµν).
Als we dit nu invullen in 3.26 krijgen we δS = 1 16π Z M (Gµνδgµν+ ∇λ∇λ(gµνδgµν) − ∇µ∇νδgµν) √ −gd4x. (3.27) Je kan aantonen dat het tweede deel van deze integraal
1 16π Z M (∇λ∇λ(gµνδgµν) − ∇µ∇νδgµν) √ −gd4x = 0, (3.28)
als M geen rand heeft. Dus krijgen we 0 = δS = 1 16π Z M Gµνδgµν √ −gd4x. (3.29) De ruimtetijd zoals we die ervaren is vaak niet leeg er zijn velden aanwezig die invloed hebben op de Lagrangiaan, waardoor
Lvol = (Lmeetkunde+ Lveld)vol = (
1
16πR + Lveld)vol. (3.30) De actie wordt dan
0 = S = Z
M
( 1
In lokale co¨ordinaten is de variatie dus 0 = δS = δ Z M ( 1 16πR + Lveld) √ −gd4x = 1 16π Z M Gµνδgµν √ −gd4x + Z M δ(Lveld) √ −g + Lveldδ(√−g)d4x = 1 16π Z M Gµνδgµν √ −gd4x + Z M (δLveld δgµν − 1 2gµνLveld)δg µν√−gd4x.
Waar we uit op kunnen maken dat moet gelden Gµν = 8π(gµνLveld− 2
δLveld
δgµν ) = 8πTµν. (3.31)
De tweede stap in vergelijking 3.31 zeggen we, omdat wat er aan de linkerkant staat symmetrisch en divergentievrij is. We kunnen dus concluderen dat, de Einstein-Hilbert actie de zwaartekracht in algemene relativiteit beschrijft.
In de afleiding van de Einsteinvergelijking gebruikmakende van de Einstein-Hilbert actie hebben we aangenomen dat M geen rand heeft. Dit is niet altijd het geval. In dit geval moet men een extra term hebben om de actie compleet te maken, de Gibbons-Hawking-York rand term
SGHY = 1 8π Z δM K√hd3y. (3.32) Hier is h de metriek op δM ge¨ınduceerd door g. Laat ι : δM → M de inclusie afbeelding, dan
h(v, w) = g ◦ ι(v, w) = g(ιv, ιw) = g(v, w). (3.33) Verder is = nµnµ, hier is n de normaalvector op δM met lengte 1, en K = ∇µnµis het
spoor van de extrinsieke kromming, die compenseert voor het resultaat van vergelijking 3.28 in het geval dat M een rand heeft en dus er voor zorgt dat δS = 0. De actie van algemene relativiteit wordt dus gegeven door
SAR= SEH+ SGHY + S0 = 1 16π Z M R√−gd4x + 1 8π Z δM K √ hd3y + S0. (3.34)
Hier is S0 een arbitraire constante. De variatie van een constante is 0 dus dat kunnen
we er bij optellen zonder de variatie van de actie te veranderen. De afleiding van de randterm is gegeven in [8].
4. Riccistroom
Hamilton introduceerde in 1982 de Riccistroom.
Definitie 4.0.1. Zij (M, g) een Riemann manifold. De stroom gegeven door dgij
dt = −2Rij (4.1)
is de Riccistroom.
Hamilton gebruikte de Riccistroom om het zogeheten drie dimensionale ‘sphere theo-rem’ te bewijzen. Riccistroom is voornamelijk bekend voor zijn rol in Perelman’s bewijs voor het Poincar´e vermoeden.
Dit hoofdstuk begint met voorbeelden van oplossingen van de Riccistroom. Ricci-stroom is een Ricci-stroom vergelijking op het Riemann manifold van alle Riemannmetrieken op een Riemann manifold. Daarom zullen we na de oplossingen, in sectie 4.2, de basis van dit manifold behandelen en een intu¨ıtie geven van sommige principes en concep-ten. We sluiten het hoofdstuk af met een sectie over gradi¨entstroom. Hierin zullen we aantonen dat Riccistroom een gradi¨entstroom is van de algemene relativiteit.
4.1. Oplossingen van de Riccistroom
Voordat we dieper ingaan, zullen we een aantal oplossingen van de Riccistroom bekijken. Dit geeft ons een beeld van hoe de Riccistroom zich kan gedragen.
4.1.1. Eeuwige oplossingen
Eeuwige oplossingen zijn oplossingen die op het tijdinterval (−∞, ∞) gedefinieerd zijn. De simpelste eeuwige oplossingen zijn fixpunten, ofwel Riccivlakke oplossingen. Als een metriek g Riccivlak is, is dgµν
dt = 0. Kort gezegd is g constant. Dit is duidelijk voor alle
t ∈ (−∞, ∞) gedefinieerd. De vlakke ruimte is een voorbeeld van een fixpunt.
4.1.2. Oude oplossingen
Oude oplossingen zijn oplossingen die gedefinieerd zijn op het interval (−∞, T ), voor eindige T . Een voorbeeld van een oude oplossing is het krimpende 3-dimensionale bol-oppervlak. De standaard ronde metriek op S2 is de volgende
g0=
1 0 0 sin2θ
Bekijk het Riemann manifold (S2, g), waar
g(t) = r(t)2g0,
de tijdafgeleide van g wordt dan gegeven door dg
dt = 2rg0 dr dt.
Met behulp van het Methematica script in appendix A berekenen we de Riccitensor Rij(g) = g0ij. De Riccistroom geeft dr dt = − 1 r. Hiermee kunnen we r bepalen
r =√r0− 2t.
We zien dat r = 0 als t = r0
2, we kunnen niet delen door 0 dus hier eindigt de oplossing.
We zien dat de oplossing voor alle t ∈ (−∞,r0
2) bestaat. We concluderen dat g een oude
oplossing is.
4.1.3. De ’Neck Pinch’ oplossing
We gaan nu een wat interessantere oplossing bekijken. Deze paragraaf is gebaseerd op [20]. Dit voorbeeld zullen we niet helemaal uitwerken. We zullen de oplossing bekijken en hoe het zich evolueert door de tijd heen, maar we zullen niet zien hoe dit wiskundig is afgeleid, dit wordt wel gedaan in het artikel. We gaan een halter manifold bekijken. dit is een manifold die symmetrisch is rond een as en symmetrisch is ten opzichte van een vlak, net als een halter. Het midden van de halter, daar waar hij het dunst is, noemen we de nek. De metriek van zo een halter is
g = da2+ ρ(a)2g0,
waar g0zoals in vergelijking 4.2 is. a is de geodetische afstand vanaf de nek en ρ de straal
van de vlak-symmetrische doorsnede. Een voorbeeld van zo een metriek is de metriek waar de straal gegeven wordt door
ρ(a) = R0 cos a R0 + (1 − ρ0) cos4 a R0 ! , a ∈ −R0π 2 , R0π 2 .
In figuur 4.1 is uitgebeeld hoe deze metriek zich voortplant onder de Riccistroom. We zien dat na een eindige tijd de nek zo dun wordt dat de manifold opstplitst in twee losse manifolds. Deze twee losse manifolds zullen uiteindelijk ballen worden.
Figuur 4.1.: In dit figuur zie je hoe een halter metriek evolueert onder de Ricci-stroom. De bovenste gestippelde lijn is de maximale doorsnede van de vlak-symmetrische doorsnedes, ρx, de fijn gestippelde lijn daar onder is het
verschil tussen de maximale doorsnede, ρx− ρw, en de doorsnede van de nek
(de minimale doorsnede) en de onderste doorgetrokken lijn is de doorsnede van de nek, ρw. Onder de grafiek zie je ingebedde plaatjes van de metriek
op angegeven tijdstippen.
4.2. Alle Riemannmetrieken als Riemann manifold
In deze sectie wordt aangetoond dat de ruimte van alle Riemannmetrieken op een Rie-mann manifold een RieRie-mann manifold is. Aangezien de ruimte van alle metrieken on-eindig dimensionaal is en we tot nu toe alleen maar met on-eindig dimensionale Riemann manifolds hebben gewerkt, zal deze sectie beginnen met een paragraaf over oneindig dimensionale (Riemannse) manifolds. De tweede paragraaf van deze sectie zal een paar topologi¨en geven op de functieruimte, met een van deze topologi¨en kunnen we aan tonen dat de ruimte van metrieken een manifold is. De derde paragraaf zal een mogelijke me-triek geven op dit manifold, waarmee het dus een Riemann manifold is. Let op, wat er beschreven staat in deze sectie is erg technisch. Het is nodig om de Riccistroom formeel te kunnen defini¨eren en we hebben concepten uit deze sectie nodig voor sectie 4.3. Voor het gebruik van de Riccistroom zoals in deze scriptie, is het niet nodig om deze sectie goed te begrijpen.
4.2.1. Oneindig dimensionale manifolds
We kennen eindig dimensionale gladde manifolds als ruimtes die lokaal isomorf zijn aan een vector ruimte V ∼= Rn. Dit kunnen we generaliseren tot ruimtes die lokaal isomorf zijn aan topologische vectorruimtes.
Definitie 4.2.1. Zij M een topologische Hausdorff ruimte en E een topologische vector-ruimte. We noemen M een glad manifold gemodelleerd op E als er een atlas {φα, Uα},
waar open en een diffeomorfe functie, bestaat die aan het volgende voldoet: (i) Uα⊂ M open en SαUα= M
(ii) φα: Uα → E homeomorfe functies naar open verzamelingen φα(Uα) ⊂ E
(iii) φβ◦ φ−1α : φα(Uα∩ Uβ) → φβ(Uα∩ Uβ) is C∞voor alle α, β
Merk op dat deze definitie nergens eindig dimensionaal aan neemt. Hierom kunnen we deze definitie ook toepassen op oneindig dimensionale ruimtes. Verschillende vec-torruimtes zullen natuurlijk ook verschillende soorten manifolds opleveren. Als we met deze definitie een manifold beschrijven, moeten we ook een topologie op E geven.
Als we naar oneindig dimensionale manifolds kijken, dan zijn er drie soorten die heel vaak voorkomen. Voor deze is E een:
1. Hilbertruimte 2. Banachruimte 3. Fr´echetruimte.
Omdat het Riemann manifold van alle Riemannmetrieken op een manifold een Fr´echet manifold is, zal het hier vooral over gaan. Voor de volledigheid worden ook de definitie van een Hilbert- en een Banachruimte geven. We beginnen met een reeks definities, waaronder de definities van een Banach-, Hilbert- en Fr´echetruimte, die nodig zijn voor het defini¨eren van deze ruimtes.
Definitie 4.2.2. Een genormeerde vectorruimte (X, k · k) heet compleet als elke Cau-chyrijt (xi) ∈ X convergeert ten opzichte van de norm k · k.
Definitie 4.2.3. Een Banachruimte B is een genormeerde vectorruimte (X, k · k) die compleet is ten opzichte van de norm.
Definitie 4.2.4. Een Hilbertruimte H is een inproductruimte (X, h·, ·i) die compleet is onder de norm ge¨ınduceerd door het inproduct, kxk =phx, xi, x ∈ X.
Definitie 4.2.5. Een omgeving U in een vectorruimte V heet convex als voor elk paar (v, w) ∈ U de lijn {tv + (1 − t)w : t ∈ [0, 1]} geheel in U ligt.
Definitie 4.2.6. Een topologische vectorruimte (X, τ ) heet lokaal convex als elke x ∈ X in een convexe omgeving U ⊂ X bevat zit.
Definitie 4.2.7. Een Fr´echetruimte F is een Hausdorff complete metriseerbare lokaal convexe topologische vectorruimte.
Nu we oneindig dimensionale manifolds en een paar voorbeelden ervan gezien hebben, kunnen we oneindig dimensionale Riemann manifolds gaan bekijken. Als we nu naar definitie 2.1.4 kijken, zien we dat dit in oneindig dimensies nog wel injectief is, maar niet meer per se surjectief. In eindig dimensies kan je namelijk zeggen dat vanwege injectiviteit en een gelijk aantal dimensies, surjectiviteit een direct gevolg is. Omdat dat niet kan in oneindig dimensies maken we onderscheid tussen zwakke en een sterke Riemannmetrieken.
Definitie 4.2.8. Laat M een manifold gemodeleerd op topologische vectorruimte E. Een zwakke Riemannmetriek G is een (2, 0)-tensor met de volgende eigenschappen:
G : T M ⊗M T M → R
(i) G is bilineair over M
(ii) Zij x ∈ M , G(v, v) ≥ 0 voor alle v ∈ TxM
(iii) G(v, v) = 0 ⇐⇒ v = 0
Om G alsnog surjectief te maken moet de topologie van de inproduct ruimte (TxM, G(·, ·))
gelijk zijn aan de topologie van TxM . Hieruit maken we op dat TxM , en dus ook E, een
Hilbertruimte is.
Definitie 4.2.9. Een Riemannmetriek G heet een sterke Riemannmetriek als E en dus TxM een Hilbertruimte is.
Mits de metriek sterk is, zullen veel stellingen en definities niet echt veranderen door deze nieuwe definitie van een manifold. Voor het Christoffelsymbool kunnen we vergelij-king 2.16 gebruiken, waarmee we vervolgens samen met vergelijvergelij-king 2.14 een uitdrukvergelij-king kunnen maken voor het Levi-Civita symbool.
4.2.2. Whitney topologie
Zoals al eerder gezegd is, moeten we nu de topologie van onze vectorruimte vermelden als we een manifold bekijken. Het doel van deze paragraaf is om een topologie te intro-duceren waarmee we kunnen bewijzen dat alle Riemannmetrieken op een manifold zelf ook weer een manifold vormen. Als we naar de ruimte van alle Riemannmetrieken op een Riemann manifold M bekijken, bekijken we de ruimte van alle positief definiete sym-metrische (2, 0)-tensoren op M . Hiervoor hebben we een topologie nodig op de continue functie ruimte. Deze paragraaf gaat over een aantal topologie¨en op de continue functie ruimte. Onder deze topologie¨en valt ook de Whitney topologie. De Whitney topologie is degene die we nodig hebben om een manifold structuur te geven aan de ruimte van alle Riemannmetrieken op een manifold.
Definitie 4.2.10. Voor manifolds X en Y is C(X, Y ) de ruimte van continue functies van X → Y . De topologie op C(X, Y ) gegenereerd door basis
{f ∈ C(X, Y ) : f (K) ⊂ U },
voor alle K ⊂ X compact en U ⊂ Y open, is de compact-open topologie. Men noemt dit ook wel de zwakke topologie.
De reden waarom dit de zwakke topologie wordt genoemd, is dat als X niet para-compact is, het geen goede maat meer is om te controleren dat functies f, g ∈ C(X, Y ) dichtbij elkaar liggen. Voor lokaal compacte ruimten X is de zwakke topologie het han-digst.
Definitie 4.2.11. De sterke topologie op C(X, Y ) is de topologie gegenereerd door de basis
hU i = {f ∈ C(X, Y ) : G (f) ⊂ U},
waar U ∈ X × Y open enG (f) = {(x, f(x)): x ∈ X} ⊂ X × Y de grafiek van f.
We noteren voor de zwakke topologie (C(X, Y ),Tzwak) = Cw(X, Y ) en voor de sterke
topologie (C(X, Y ),Tsterk) = Cs(X, Y ). Als X compact is geldt Cs(X, Y ) = Cw(X, Y ).
We proberen om een topologie te leggen op C∞(M, N ). Het is voor de hand liggend om dit te doen zonder kaarten. Om dat te doen hebben we jets nodig.
Definitie 4.2.12. Zij M, N twee gladde eindig dimensionale manifolds, k<∞, The ver-zameling k-jets van M naar N is de verver-zameling van equivalentie klassen
Jk(M, N ) = {[x, f, U ] : x ∈ U ⊂ M open en f ∈ Ck(U, N )}, waar voor een kaart (φ, V ) van M en een kaart (ψ, W ) van N ,
[x, f, U ] ∼ [x0, f0, U0] ⇐⇒ x = x0 en Dsψf φ−1(φ(x)) = Dsψf0φ−1(φ(x)); 0 ≤ s ≤ k, hier is Dsψf φ−1(φ(x)) de s-de afgeleide van ψf φ−1 ge¨evalueerd in φ(x).
We schrijven ook wel Jk(M, N ) 3 [x, f, U ] = jxkf en de set van alle k-jets op een punt x ∈ M noteren we met Jxk(M, N ).
Hieruit verkrijgen we de afbeelding
jk: C∞(M, N ) → C0(M, Jk(M, N )) : f 7→ [x 7→ jxkf ].
We kunnen vrij eenvoudig nagaan dat dit een injectie is. Stel jkf = jkg, dit impliceert
dat f (x) = g(x) voor alle x ∈ M , wat het geval is dan en slechts dan als f = g.
We kunnen nu twee topologie¨en op C∞(M, N ) defini¨eren, de compact-open topologie en de Whitney topologie.
Definitie 4.2.13. De Ck compact-open topologie op C∞(M, N ) is de topologie die je krijgt door de compact-open topologie van C0(M, Jk(M, N )) terug te trekken naar C∞(M, N ) door de afbeelding jk. De gladde compact-open topologie is de vereniging van alle Ck compact-open topologie¨en voor k ≥ 0.
Definitie 4.2.14. Zij M, N twee gladde eindig dimensionale manifolds. Voor elke open U ∈ Jk(M, N ) defini¨eren we Sk(U ) = {f ∈ C∞(M, N ) : jkxf ⊂ U voor alle x ∈ M }. De verzamelingen Sk(U ) vormen een basis voor de Whitney-Cktopologie op C∞(M, N ). We noteren de verzameling van opens in de Whitney-Ck topologie als Wk. De basis van de Witney-C∞, ook wel bekend als de gladde topologie, is de verzameling
W =
∞
[
k=0
Wk.
Van deze twee topologie¨en is de Whitney topologie sterker, maar voor compacte M zijn ze hetzelfde.
Stelling 4.2.1. Voor elk compact manifold M is C∞(M, N ) een Fr´echet manifold. Het bewijs van stelling 4.2.1 kan je terugvinden in [4].
4.2.3. De metriek van alle metrieken
In deze paragraaf willen we een manifold structuur leggen op de ruimte van alle Rie-mannmetrieken op een Riemann manifold. Omdat deze scriptie focust op een specifiek compact manifold, wordt alleen het geval van een compact manifold besproken. Een Riemannmetriek g is op een punt x ∈ M een symmetrische afbeelding van T M ⊗ T M naar R, dus gx ∈ S2T∗M , de tweede symmetrische macht van de coraakruimte van M .
We kunnen g dus zien als een gladde afbeelding van M naar S2T∗M . De ruimte van alle Riemannmetrieken op een Riemann manifold is dusM= C∞(M, S2T∗M ). Met stelling 4.2.1 weten we dat dit een Fr´echet manifold is. Aangezien M een Fr´echet manifold is en geen Hilbert manifold wordt de metriek G een zwakke metriek. In [10] gebruiken ze de volgende metriek op M
G(C,a)g (k, l) = C Z
M
(gµλkλνgνλlλµ+ a(gµλkλµgµλlλµ)vol(g), (4.3)
waar vol(g) het volume element is van g. Dit is ook de metriek waar we mee zullen werken in dit project. Later zullen we zien dat we voor goedgekozen C en a de gradi¨entstroom van algemene relativiteit de Riccistroom is. Omdat G niet sterk is, is het niet meteen duidelijk dat bijvoorbeeld het Levi-Civita symbool en het Christoffelsymbool bestaan op (M, G). Dit is wel het geval, maar daar zullen we niet verder op ingaan. In [13] gaan ze hier uitgebreid op in voor het geval a = 0.
4.3. Riccistroom als gradi¨
entstroom
In deze paragraaf zal de algemene gradi¨entstroomvergelijking uitgelegd worden. Deze hebben we nodig om zadelpunten van G te vinden in (M, G). We zullen hier niet
heel diep en uitgebreid op ingaan, maar een intu¨ıtieve uitleg geven. Met de algemene gradi¨entstroomvergelijking kunnen we afleiden dat Riccistroom een gradi¨entstroom is van de algemene relativiteit.
De reden dat het ge¨ıntroduceerd wordt, is omdat we Riccistroom gaan gebruiken om de partitiefunctie van een systeem te benaderen. Om aan te kunnen tonen dat de Riccistroom een gradi¨entstroom is moeten we eerst weten wat een gradi¨entstroom is. Gradi¨entstromen zijn een hulpmiddel om lokale minima en zadelpunten te vinden van een functionaal f .
Definitie 4.3.1. Zij (M, g) een Riemann manifold, f : M → R en x : R → M , de afbeelding
dx(t)
dt = −∇f (x(t)) (4.4)
is een gradi¨entstroomvergelijking. Men noemt f ook wel de energie functie.
De verandering van x in de tijd dxdt = 0 wanneer we op een extremum van f zitten. Door het minteken aan de rechterkant van vergelijking 4.4 zal x in de tijd naar lagere waarde stromen, x zal daarom met de tijd naar lokale minima en zadelpunten stromen. Het is ook mogelijk dat x0 = x(t0) een lokaal maximum is, in welk geval x daar zal
blijven, maar anders zal x niet naar maxima toegaan. Om het simpel te houden gaan we er nu even vanuit dat M = Rn, vergelijking 4.4 wordt
dxi
dt = −∂if (x), wat, als we het zien als Riemann manifold, gelijk is aan
dxi
dt = −g
ij∂ jf (x),
waar gij = δji en ∂i = dxdi. Dit is de ‘correcte’ manier van het opschrijven. df is een
covectorveld en dx is een vectorveld, we kunnen dit niet zomaar aan elkaar gelijk stellen. In lemma 2.1.4 hebben we gezien g ons een isomorfisme geeft van de raakruimte naar de coraakruimte. Daarom moeten we de inverse matrix gij er in zetten. In het Euclidische geval is g de identiteitsmatrix, dus kunnen we hem weglaten. We generaliseren dit naar een willekeurig Riemann manifold (M, g):
dxi
dt = −g
ij df
dxj
. (4.5)
men noemt dit de algemene gradi¨entstroomvergelijking.
Tot nu toe hebben we alleen maar gradi¨entstromen in eindig dimensionale manifolds beschreven. Aangezien M oneindig dimensionaal wordt het allemaal wat technischer. Om dit project niet te moeilijk te maken, zullen we de gradi¨entstroom voor eindig di-mensionale manifolds gebruiken om een gradi¨entstroom opMte defini¨eren. Vergelijking 4.5 op (M, G) met de Einstein-Hilbert actie SAR wordt
dgA dt = −G
AB dS
waar G de metriek is gegeven door 4.3 en gA een co¨ordinatensysteem is voor M waar gA= gµν(x). Dit is de gradi¨entstroom die gebruikt wordt in [10].
We gaan nu een specifieke gradi¨entstroom op (M, G) bekijken, namelijk wanneer S de Einstein-Hilbert actie is, vergelijking 3.34. Met vergelijking 4.3 weten we dat, voor C = 32π1 , G(a)ABdgAdgB = 1 32π Z M vol(g)(gµλdgλνgνλdgλµ+ a(gµλdgλµgµλdgλµ)). (4.7)
We gaan nu de rechterkant van vergelijking 4.6 uitwerken. Als eerst zoeken we een uitdrukking voor de variatie van SAR, δSAR. Om het iets duidelijker te maken gaan we
kijken naar een wat simpeler geval. Laat ons manifold het re¨ele vlak R2 zijn met metriek g = g11 0
0 g22 en S = x
2
1+ x22. De variatie van S is dan
δS = dS dx1 δx1+ dS dx2 δx2 = 2x1δx1+ 2x2δx2 = hgii−12xi, δxii,
waar h·, ·i natuurlijk het inproduct gegeven door g is. Het werkt hetzelfde op (M, G) met SAR. De variatie van SAR is dus
δSAR= hGAB
dSAR
dgA , dg Bi,
waar het inproduct wordt gegeven door vergelijking 4.7. De variatie van SAR is bekend
uit sectie 3.3 δSAR = 1 32π Z M (2Rµν− Rgµν)δgµνvol(g). We krijgen dus 1 32π Z M (2Rµν − Rgµν)δgµνvol(g) = hGAB dSAR dgA , dg Bi.
Als anszats gebruiken we
GABdSAR
dgA = 2Rµν− αRgµν,
hiermee krijgen we de volgende gelijkheid Z M (2Rµν− Rgµν)δgµνvol(g) = Z M gµλ(2R λν− αRgλν)gνλdgλµ+ a(gµλ(2Rλµ− αRgλµ)gµλdgλµ)vol(g).
Op elk punt van de manifold hebben we gµµ= dim(M ) = m, dus we kunnen de
rechter-kant schrijven als Z
M
(2Rµ
en dus krijgen we Z M (2Rµν− Rgµν)δgµνvol(g) = Z M (2Rµν+ (2a − α − mα)Rgµν)vol(g),
waaruit volgt dat
α = 2a + 1 ma + 1. Vergelijking 4.6 wordt dgA dt = −2Rµν+ 2a + 1 ma + 1Rgµν. Als we nemen a = −12 krijgen we
dgA dt =
dgµν(t, x)
dt = −2Rµν(t, x),
wat Hamilton’s Riccistroom is. Wat we hiermee aangetoond hebben is dat Riccivlakke metrieken de oplossing zijn van de Einsteinvergelijking. De gradi¨entstroom stopt met stromen precies wanneer de variatie van de actie, δS, gelijk is aan 0. Aangezien de Ricci-stroom stopt met stromen wanneer de metriek Riccivlak is geworden, zijn de Riccivlakke metrieken de oplossingen van de Einsteinvergelijking.
