In deze sectie wordt aangetoond dat de ruimte van alle Riemannmetrieken op een Rie- mann manifold een Riemann manifold is. Aangezien de ruimte van alle metrieken on- eindig dimensionaal is en we tot nu toe alleen maar met eindig dimensionale Riemann manifolds hebben gewerkt, zal deze sectie beginnen met een paragraaf over oneindig dimensionale (Riemannse) manifolds. De tweede paragraaf van deze sectie zal een paar topologi¨en geven op de functieruimte, met een van deze topologi¨en kunnen we aan tonen dat de ruimte van metrieken een manifold is. De derde paragraaf zal een mogelijke me- triek geven op dit manifold, waarmee het dus een Riemann manifold is. Let op, wat er beschreven staat in deze sectie is erg technisch. Het is nodig om de Riccistroom formeel te kunnen defini¨eren en we hebben concepten uit deze sectie nodig voor sectie 4.3. Voor het gebruik van de Riccistroom zoals in deze scriptie, is het niet nodig om deze sectie goed te begrijpen.
4.2.1. Oneindig dimensionale manifolds
We kennen eindig dimensionale gladde manifolds als ruimtes die lokaal isomorf zijn aan een vector ruimte V ∼= Rn. Dit kunnen we generaliseren tot ruimtes die lokaal isomorf zijn aan topologische vectorruimtes.
Definitie 4.2.1. Zij M een topologische Hausdorff ruimte en E een topologische vector- ruimte. We noemen M een glad manifold gemodelleerd op E als er een atlas {φα, Uα},
waar open en een diffeomorfe functie, bestaat die aan het volgende voldoet: (i) Uα⊂ M open en SαUα= M
(ii) φα: Uα → E homeomorfe functies naar open verzamelingen φα(Uα) ⊂ E
(iii) φβ◦ φ−1α : φα(Uα∩ Uβ) → φβ(Uα∩ Uβ) is C∞voor alle α, β
Merk op dat deze definitie nergens eindig dimensionaal aan neemt. Hierom kunnen we deze definitie ook toepassen op oneindig dimensionale ruimtes. Verschillende vec- torruimtes zullen natuurlijk ook verschillende soorten manifolds opleveren. Als we met deze definitie een manifold beschrijven, moeten we ook een topologie op E geven.
Als we naar oneindig dimensionale manifolds kijken, dan zijn er drie soorten die heel vaak voorkomen. Voor deze is E een:
1. Hilbertruimte 2. Banachruimte 3. Fr´echetruimte.
Omdat het Riemann manifold van alle Riemannmetrieken op een manifold een Fr´echet manifold is, zal het hier vooral over gaan. Voor de volledigheid worden ook de definitie van een Hilbert- en een Banachruimte geven. We beginnen met een reeks definities, waaronder de definities van een Banach-, Hilbert- en Fr´echetruimte, die nodig zijn voor het defini¨eren van deze ruimtes.
Definitie 4.2.2. Een genormeerde vectorruimte (X, k · k) heet compleet als elke Cau- chyrijt (xi) ∈ X convergeert ten opzichte van de norm k · k.
Definitie 4.2.3. Een Banachruimte B is een genormeerde vectorruimte (X, k · k) die compleet is ten opzichte van de norm.
Definitie 4.2.4. Een Hilbertruimte H is een inproductruimte (X, h·, ·i) die compleet is onder de norm ge¨ınduceerd door het inproduct, kxk =phx, xi, x ∈ X.
Definitie 4.2.5. Een omgeving U in een vectorruimte V heet convex als voor elk paar (v, w) ∈ U de lijn {tv + (1 − t)w : t ∈ [0, 1]} geheel in U ligt.
Definitie 4.2.6. Een topologische vectorruimte (X, τ ) heet lokaal convex als elke x ∈ X in een convexe omgeving U ⊂ X bevat zit.
Definitie 4.2.7. Een Fr´echetruimte F is een Hausdorff complete metriseerbare lokaal convexe topologische vectorruimte.
Nu we oneindig dimensionale manifolds en een paar voorbeelden ervan gezien hebben, kunnen we oneindig dimensionale Riemann manifolds gaan bekijken. Als we nu naar definitie 2.1.4 kijken, zien we dat dit in oneindig dimensies nog wel injectief is, maar niet meer per se surjectief. In eindig dimensies kan je namelijk zeggen dat vanwege injectiviteit en een gelijk aantal dimensies, surjectiviteit een direct gevolg is. Omdat dat niet kan in oneindig dimensies maken we onderscheid tussen zwakke en een sterke Riemannmetrieken.
Definitie 4.2.8. Laat M een manifold gemodeleerd op topologische vectorruimte E. Een zwakke Riemannmetriek G is een (2, 0)-tensor met de volgende eigenschappen:
G : T M ⊗M T M → R
(i) G is bilineair over M
(ii) Zij x ∈ M , G(v, v) ≥ 0 voor alle v ∈ TxM
(iii) G(v, v) = 0 ⇐⇒ v = 0
Om G alsnog surjectief te maken moet de topologie van de inproduct ruimte (TxM, G(·, ·))
gelijk zijn aan de topologie van TxM . Hieruit maken we op dat TxM , en dus ook E, een
Hilbertruimte is.
Definitie 4.2.9. Een Riemannmetriek G heet een sterke Riemannmetriek als E en dus TxM een Hilbertruimte is.
Mits de metriek sterk is, zullen veel stellingen en definities niet echt veranderen door deze nieuwe definitie van een manifold. Voor het Christoffelsymbool kunnen we vergelij- king 2.16 gebruiken, waarmee we vervolgens samen met vergelijking 2.14 een uitdrukking kunnen maken voor het Levi-Civita symbool.
4.2.2. Whitney topologie
Zoals al eerder gezegd is, moeten we nu de topologie van onze vectorruimte vermelden als we een manifold bekijken. Het doel van deze paragraaf is om een topologie te intro- duceren waarmee we kunnen bewijzen dat alle Riemannmetrieken op een manifold zelf ook weer een manifold vormen. Als we naar de ruimte van alle Riemannmetrieken op een Riemann manifold M bekijken, bekijken we de ruimte van alle positief definiete sym- metrische (2, 0)-tensoren op M . Hiervoor hebben we een topologie nodig op de continue functie ruimte. Deze paragraaf gaat over een aantal topologie¨en op de continue functie ruimte. Onder deze topologie¨en valt ook de Whitney topologie. De Whitney topologie is degene die we nodig hebben om een manifold structuur te geven aan de ruimte van alle Riemannmetrieken op een manifold.
Definitie 4.2.10. Voor manifolds X en Y is C(X, Y ) de ruimte van continue functies van X → Y . De topologie op C(X, Y ) gegenereerd door basis
{f ∈ C(X, Y ) : f (K) ⊂ U },
voor alle K ⊂ X compact en U ⊂ Y open, is de compact-open topologie. Men noemt dit ook wel de zwakke topologie.
De reden waarom dit de zwakke topologie wordt genoemd, is dat als X niet para- compact is, het geen goede maat meer is om te controleren dat functies f, g ∈ C(X, Y ) dichtbij elkaar liggen. Voor lokaal compacte ruimten X is de zwakke topologie het han- digst.
Definitie 4.2.11. De sterke topologie op C(X, Y ) is de topologie gegenereerd door de basis
hU i = {f ∈ C(X, Y ) : G (f) ⊂ U},
waar U ∈ X × Y open enG (f) = {(x, f(x)): x ∈ X} ⊂ X × Y de grafiek van f.
We noteren voor de zwakke topologie (C(X, Y ),Tzwak) = Cw(X, Y ) en voor de sterke
topologie (C(X, Y ),Tsterk) = Cs(X, Y ). Als X compact is geldt Cs(X, Y ) = Cw(X, Y ).
We proberen om een topologie te leggen op C∞(M, N ). Het is voor de hand liggend om dit te doen zonder kaarten. Om dat te doen hebben we jets nodig.
Definitie 4.2.12. Zij M, N twee gladde eindig dimensionale manifolds, k<∞, The ver- zameling k-jets van M naar N is de verzameling van equivalentie klassen
Jk(M, N ) = {[x, f, U ] : x ∈ U ⊂ M open en f ∈ Ck(U, N )}, waar voor een kaart (φ, V ) van M en een kaart (ψ, W ) van N ,
[x, f, U ] ∼ [x0, f0, U0] ⇐⇒ x = x0 en Dsψf φ−1(φ(x)) = Dsψf0φ−1(φ(x)); 0 ≤ s ≤ k, hier is Dsψf φ−1(φ(x)) de s-de afgeleide van ψf φ−1 ge¨evalueerd in φ(x).
We schrijven ook wel Jk(M, N ) 3 [x, f, U ] = jxkf en de set van alle k-jets op een punt x ∈ M noteren we met Jxk(M, N ).
Hieruit verkrijgen we de afbeelding
jk: C∞(M, N ) → C0(M, Jk(M, N )) : f 7→ [x 7→ jxkf ].
We kunnen vrij eenvoudig nagaan dat dit een injectie is. Stel jkf = jkg, dit impliceert
dat f (x) = g(x) voor alle x ∈ M , wat het geval is dan en slechts dan als f = g.
We kunnen nu twee topologie¨en op C∞(M, N ) defini¨eren, de compact-open topologie en de Whitney topologie.
Definitie 4.2.13. De Ck compact-open topologie op C∞(M, N ) is de topologie die je krijgt door de compact-open topologie van C0(M, Jk(M, N )) terug te trekken naar C∞(M, N ) door de afbeelding jk. De gladde compact-open topologie is de vereniging van alle Ck compact-open topologie¨en voor k ≥ 0.
Definitie 4.2.14. Zij M, N twee gladde eindig dimensionale manifolds. Voor elke open U ∈ Jk(M, N ) defini¨eren we Sk(U ) = {f ∈ C∞(M, N ) : jkxf ⊂ U voor alle x ∈ M }. De verzamelingen Sk(U ) vormen een basis voor de Whitney-Cktopologie op C∞(M, N ). We noteren de verzameling van opens in de Whitney-Ck topologie als Wk. De basis van de Witney-C∞, ook wel bekend als de gladde topologie, is de verzameling
W =
∞
[
k=0
Wk.
Van deze twee topologie¨en is de Whitney topologie sterker, maar voor compacte M zijn ze hetzelfde.
Stelling 4.2.1. Voor elk compact manifold M is C∞(M, N ) een Fr´echet manifold. Het bewijs van stelling 4.2.1 kan je terugvinden in [4].
4.2.3. De metriek van alle metrieken
In deze paragraaf willen we een manifold structuur leggen op de ruimte van alle Rie- mannmetrieken op een Riemann manifold. Omdat deze scriptie focust op een specifiek compact manifold, wordt alleen het geval van een compact manifold besproken. Een Riemannmetriek g is op een punt x ∈ M een symmetrische afbeelding van T M ⊗ T M naar R, dus gx ∈ S2T∗M , de tweede symmetrische macht van de coraakruimte van M .
We kunnen g dus zien als een gladde afbeelding van M naar S2T∗M . De ruimte van alle Riemannmetrieken op een Riemann manifold is dusM= C∞(M, S2T∗M ). Met stelling 4.2.1 weten we dat dit een Fr´echet manifold is. Aangezien M een Fr´echet manifold is en geen Hilbert manifold wordt de metriek G een zwakke metriek. In [10] gebruiken ze de volgende metriek op M
G(C,a)g (k, l) = C Z
M
(gµλkλνgνλlλµ+ a(gµλkλµgµλlλµ)vol(g), (4.3)
waar vol(g) het volume element is van g. Dit is ook de metriek waar we mee zullen werken in dit project. Later zullen we zien dat we voor goedgekozen C en a de gradi¨entstroom van algemene relativiteit de Riccistroom is. Omdat G niet sterk is, is het niet meteen duidelijk dat bijvoorbeeld het Levi-Civita symbool en het Christoffelsymbool bestaan op (M, G). Dit is wel het geval, maar daar zullen we niet verder op ingaan. In [13] gaan ze hier uitgebreid op in voor het geval a = 0.