Eerst wil ik proberen te beschrijven hoe wiskunde in de beroepspraktijk niet en hoe wel wordt toegepast. Omdat ik bezig ben geweest in het middelbaar technisch onderwijs, beperk ik me daarbij tot de sector Techniek. Dat is overigens de sector waar je de grootste behoefte
aan ‘harde’ wiskunde mag verwachten. Voordat in 1996 het TWIN-project (zie [3]) startte, is uitgebreid
onderzocht welke wiskundige onderwerpen en methodieken zinvol genoeg zijn om, als ondersteuning voor de praktijkvakken, binnen een technische beroepsopleiding te onderwijzen. Dan kom je tot de treurige conclusie dat de manier waarop de meeste onderwerpen in het oude programma aan bod kwamen weinig bijdraagt aan de vorming van goede
beroepsbeoefenaars. Verder was de abstracte, formele manier van wiskunde bedrijven voor veel cursisten een zodanig groot struikelblok dat het ze daardoor
onmogelijk werd gemaakt de opleiding van hun keuze af te maken. Cursisten die het bij de techniekvakken goed doen werd na het eerste jaar een halt toegeroepen vanwege onvoldoende resultaten bij wiskunde en/of natuurkunde. Rond 1995 was dit voor veel directies van het mto aanleiding, het vak dan maar af te voeren van de lessentabel. De belofte om wiskunde dienstbaar te maken aan de praktijkvakken heeft de dreiging van het afvoeren op veel scholen voorlopig afgewend. In het TWIN-project zijn andere accenten gelegd bij wiskundige kennis en vaardigheden dan in het oude programma. Door de onderwerpen en de behandeling ervan zo te kiezen dat ze aansluiten bij wat er in de praktijkvakken wordt gedaan, is er erkenning
afgedwongen voor het belang van wiskunde. De vraag ‘waarom is wiskunde belangrijk voor een beroeps- opleiding’ moet dus niet vanuit de wiskunde worden bezien, maar vanuit de praktijk(vakken) en sinds kort dus ook vanuit het idee van competenties en PGO. Maar de eisen en wensen moeten wel door wiskundigen worden geformuleerd, omdat de praktijkvakkers alleen het traditionele beeld hebben van wiskunde met sterk algoritmisch gekleurde aspecten als de abc-formule en de stelling van Pythagoras.
Hoe wordt wiskunde in de (beroeps)praktijk dan wel gebruikt? Literatuur op dit gebied bevestigt
hoofdzakelijk de ervaringen in het TWIN-project die verderop worden besproken. Er is een groot verschil tussen de manier waarop wiskundigen een probleem aanpakken en de manier waarop praktijkmensen dat doen. Een wiskundige vertaalt het probleem naar de abstracte wereld van de wiskunde, zoekt daar naar een oplossing en gaat met die oplossing terug naar de wereld van de praktijk. Als praktijkmensen een probleem oplossen waarbij wiskunde een rol speelt, dan blijven ze binnen de context van de probleem- situatie en zullen, bij het zoeken naar een oplossing, altijd gebruik maken van de specifieke kenmerken van die probleemsituatie.
Bij onderzoek in Engeland naar het gebruik van wiskunde in verschillende beroepspraktijken bleek bijvoorbeeld dat piloten heel goed een koers kunnen uitzetten voor hun vliegtuig bij gegeven windrichting en windkracht, maar dat ze een wiskundig volledig identiek probleem waarbij een koers moet worden uitgezet voor een roeibootje dat een rivier moet oversteken niet konden oplossen omdat de gegeven snelheden geen betekenis hadden. Ook bleek dat sommige piloten de vertrouwde omgeving van de cockpit nodig hadden om het koersprobleem op te lossen (Noss & Hoyles, 1998). De Engelse onderzoekers spreken bij dit typische aanpakgedrag van beroeps- beoefenaars over anchors in de probleemcontext waaraan het wiskundig bezigzijn is vastgeknoopt en pleiten voor aandacht in het onderwijs voor wat zij noemen situated abstraction: abstractie die niet boven de gegeven context uitstijgt, maar rekening houdt met de eigenheid van diezelfde context.
1 8 5
euclides nr.4 / 2003…
p ra k t i j k m e n s e n
b l i j ve n b i n n e n
d e c o n t ex t va n
d e p ro b l e e m -
s i t u a t i e
kennis van specifieke vakinhouden, maar vanuit het idee dat cursisten ‘geëigende wiskundige methodieken moeten leren hanteren om een probleemstelling uit het vakgebied aan te pakken en tot een oplossing te brengen’. (Deze formulering is gebruikt in het eindtermendocument voor de doorstroom van mto naar hto; het hele document is te vinden op de website van TWIN: www.fi.uu.nl/twin/.) Het sluit goed aan bij de manier waarop in het PISA-project (zie [5]) wordt gesproken over mathematical literacy. Ook daar wordt wiskundige geletterdheid niet beschreven vanuit leerstofinhouden, maar vanuit wiskundige competentie (onder andere vaardigheden op het gebied van wiskundig denken en redeneren, modelleren, problem posing en problem solving, en het verstandig inzetten van hulpmiddelen; dit is wat Steen de mathematical
habits of mind noemt) en deze competenties moeten
blijken op het gebruiken ervan op overkoepelende wiskundige concepten (kwantitatief redeneren, verandering en verbanden, ruimte en vorm, onzekerheid).
Als wiskunde op deze manier wordt gepresenteerd blijkt dat beleidsmakers en management (h)erkennen dat wiskunde nuttig en nodig is voor de beroeps- opleiding (bijvoorbeeld Onstenk, 2002). Natuurlijk is in dit kader het leren van wiskundige technieken en specifieke leerstofinhouden nodig, maar deze zijn wel ondergeschikt aan het doel waarvoor ze worden geleerd en ingezet. Zo kan beslist worden dat, bij het oplossen van praktische problemen, het doelmatig en verstandig kunnen inzetten van een grafische rekenmachine of een computeralgebrapakket
belangrijker is dan het handmatig kunnen manipuleren van algebraïsche expressies.
In Amerika is Lynn Arthur Steen (zie [4]) een voorvechter van programma’s in de High School die meer recht doen aan het toekomstperspectief van de meeste leerlingen: een beroep uitoefenen in plaats van naar een universiteit te gaan. Hij beweert (en ik ben het daar mee eens) dat het gebruik van wiskunde in praktijktoepassingen veelal neerkomt op het ‘geraffineerd gebruiken van (een combinatie van) relatief elementaire wiskundige gereedschappen’ en dat een wiskundige grondhouding (mathematical habits of mind) die is ingebed in contexten van de beroeps- uitoefening bijdraagt aan kwalitatief goede beroeps- beoefenaars. Deze kenmerkende wiskundige denk- patronen liggen ten grondslag aan veel aspecten van brede beroepscompetenties, maar worden (in tegenstelling tot eenvoudig herkenbare wiskundige vaardigheden van het rekenen, in de meetkunde en in de algebra) nu nog slechts sporadisch als wiskundige vaardigheden erkend (Steen, 2000). In beide gevallen komt naar voren dat voor beroepsbeoefenaars niet zozeer het kennen van de formele wiskunde voorop moet staan, maar het leren hanteren van (tamelijk elementair) wiskundig gereedschap in complexe toepassingssituaties.
‘Waarom wiskunde’ kan daarom het best benaderd worden vanuit de methodische competenties. De betekenis van wiskunde voor het beroepsonderwijs moet volgens mij gezocht worden in haar bijdrage aan het analyseren van problemen die in de context van het beroep spelen: het stimuleren van een problem solving houding, het leren structureren van problemen om er zo beter greep op te krijgen en het leren reflecteren op een (oplossings)proces. Dit houdt in dat het belang van wiskunde niet wordt bekeken vanuit de
1 8 6
euclides nr.4 / 2003
FIGUUR 1 yxnvoor n–3,–2,–1, 1, 2, 3 met
lineaire schaling
FIGUUR 2 yxnvoor n–3,–2,–1, 1, 2, 3 met
Het lijkt wat arrogant om te claimen dat methodische competenties bij voorkeur bij wiskunde worden ontwikkeld, maar het is een feit (en dit wordt
onderschreven door beleidsmakers en management) dat de praktijkvakken zich weinig of geheel niet
bezighouden met aspecten als problem solving en reflectie. Daar staat het maken van een product centraal en niet (kennelijk typisch wiskundige) vragen als ‘wat gebeurt er met het proces en het eindproduct als er iets wordt veranderd in bepaalde onderdelen van dat proces?’, die duiden op kritische reflectie en die gericht zijn op kwalitatieve verbetering van het te maken product of op optimalisering van het proces.