De opgave is om een open kegel te ontwerpen met een zo groot mogelijke inhoud. Om te beginnen wordt de probleemstelling besproken en verduidelijkt. Hoe wordt een open kegel gemaakt? Wat is de uitslag?
Het vraagstuk wordt vervolgens opnieuw
geformuleerd, nu wat formeler: ‘Gegeven een schijf met een bepaalde straal, welke sector van die schijf levert dan de kegel op met de grootste inhoud?’. We gaan uit van een schijf met een straal van 10 cm die van tevoren van stevig papier is gemaakt met evenredig over de omtrek verdeelde stralen (zie de
figuren 1 t/m 4). Knip de schijf vanuit het middelpunt
open langs één van de stralen; vorm vervolgens een kegel door de zijkanten te laten overlappen.
Kies een overlaphoek, bijvoorbeeld 90o, en zet de kegel
vast met plakband of lijm. Vul de kegel vervolgens met zeezand (zeezand is schoner en fijner dan metselzand en gemakkelijker te gebruiken!) en strijk de bovenkant zorgvuldig glad.
Het zand wordt in een maatbeker of maatglas gegoten en het volume wordt nauwkeurig gemeten (zie de figuren 5 t/m 7).
Dit proces wordt zorgvuldig herhaald bij verschillende overlaphoeken en er wordt een tabel opgesteld.
Overlaphoek (graden) 50 60 70 80 90
Volume zand (cm3) 390 401 402 397
De resultaten worden besproken. De ‘beste’ hoek wordt geschat en aan de hand van die schatting wordt een andere kegel gemaakt om meer gegevens te krijgen: een overlap van 65ogeeft een inhoud van 403 ml.
Om de resultaten weer te geven worden de gegevens
1 7 0
euclides nr.4 / 2003
van de tabel uitgezet op ruitjespapier en met een flexibele liniaal wordt de grafiek getekend van de inhoud afgezet tegen de overlaphoek (zie figuur 8 en figuur 9).
Tot slot maken we een kegel met een overlap van 65o
en laten we zien dat de inhoud groter is dan de waarden in de tabel.
(Niveau A [volgens Bruner; red.] van de opdracht is nu voltooid.)
Het idee om een maximum te vinden is nu ingeburgerd en het verband tussen kegel en sector van een schijf is inzichtelijk gemaakt. Het volgende niveau (B) behelst het ontwikkelen van een wiskundig model voor het praktische probleem. Dit stelt aanzienlijk hogere eisen aan veel leerlingen. De meeste leerlingen van zestien jaar en ouder kennen de formule voor het volume van piramides en kegels alleen uit een boek of tabel. Het volume van een kegel wordt berekend met de formule
volume =1
3maal (oppervlakte grondvlak) maal (hoogte)
Wanneer r (in cm) de straal van het grondvlak is en h (in cm) de hoogte van de kegel, dan is de oppervlakte van het grondvlak r2cm2en het volume 1
3r
2h cm3.
Met de gegevens die al bekend zijn, kunnen we deze formule verifiëren. Het is moeilijk om de hoogte van een kegel te meten, dus berekenen we die uit de andere gegevens. De straal r van het grondvlak en de hoogte h zijn via de stelling van Pythagoras in verband te brengen met de lengte l van de mantelhoogte:
l2h2r2
Omdat de kegel wordt gemaakt uit een sector van de schijf met een straal van 10 cm, kunnen we zeggen dat
l10 en h2102– r2 en r2102– h2
Voor elke kegel meten we de straal van het grondvlak en berekenen daaruit de hoogte en dan het volume. Deze worden vergeleken met de experimentele waarden.
Overlaphoek (graden) 50 60 70 80
Volume zand (cm3) 390 401 402 397
Gemeten straal grondvlak (cm) 8,80 8,40 8,05 7,8 Berekende hoogte (cm) 4,75 5,43 5,93 6,26
Berekende inhoud (ml) 385 401 402 399
Nadat we tot de overtuiging gekomen zijn, dat de formule klopt, keren we terug naar het oorspronkelijke probleem.
Dus om te beginnen zoeken we het maximum van de functie
I13(102h2)h of van I1
3r2102r2
Om van deze functies een grafiek te kunnen tekenen moeten we de waarden van h en r kennen die voor
1 7 1
euclides nr.4 / 2003
deze functie zinvol zijn. Die waarden zijn 0 < h < 10 en 0 < r < 10. De eerste formule ziet er aantrekkelijker uit en met een grafische rekenmachine wordt de grafiek getekend (zie figuur 10).
Met trace vinden we dat het maximum bereikt wordt in de buurt van h5,744605, en dan is I403,05. Voor een nauwkeuriger resultaat vinden we, door
aanpassing van het venster:
h5,776 en I403,07
Door de stelling van Pythagoras weer toe te passen krijgen we de overeenkomstige waarde voor r, namelijk
r100 –33,378,1627
Maar we moeten de overlaphoek berekenen. Dit brengt ons terug naar de constructie van de kegel
(zie figuur 11). Daaruit kunnen we zien dat de omtrek
van het kegelgrondvlak gelijk is aan de lengte van de cirkelboog van de sector waaruit de kegel is gevormd. De omtrek van het grondvlak van de kegel is 2πr. Dit
moet overeenkomen met de rand van de sector. De lengte is een gedeelte van de omtrek van de cirkel met straal 10, en wel 36 3 0 6 0 θ 20π Zo vinden we r10 36 3 0 6 0 θ , waaruit we θkunnen berekenen: 8,162710 3 θ 6 θ66,14
Keren we terug naar de praktische context, dan is
θ66 een zinvolle oplossing van het vraagstuk. (Niveau B van de opdracht is voltooid.)
Ook met differentiaalrekening is het mogelijk de waarde van de hoogte h te berekenen waarbij de inhoud I maximaal is:
d d hI 1 3π(102– 3h2)
De afgeleide I’ (h) is gelijk aan 0 voor h10.3
Het is eenvoudig na te gaan dat I’(h) positief is links van h = 103en negatief rechts van 103, waaruit we kunnen opmaken dat I(10
3
)403,07 de maximale inhoud is. Dit komt overeen met een overlaphoek die wordt verkregen uit
θ360 (123), zodat
θ66,06
(Niveau C van de opdracht is voltooid.)
Natuurlijk zijn dit niet de enige methoden om het vraagstuk op te lossen. Het vinden van de maximumwaarde van de functie I13πr2102r2
komt bijvoorbeeld overeen met het vinden van de maximumwaarde van yx2(100x).
Met behulp van de grafische rekenmachine vinden wij een maximum bij x66,7 met y148148,037 (zie figuur 12). De waarde van x lijkt verdacht veel op
x2 3 00
waarbij dan y148148,148.
We kunnen bewijzen dat het een maximumwaarde is door de onafhankelijke variabele x te substitueren. Zij
x2300z, waarbij z de nieuwe variabele is. Dan is
1 7 2
euclides nr.4 / 2003
y(2 3 00 z)2· (1 3 00 z)
Hieruit kunnen we afleiden dat
y < 400 2 . 7 000 = 148148,148
voor waarden van z dicht bij 0, ofwel voor waarden van x dicht bij2
3 00
. Dit houdt in dat y400 2 . 7 000 een lokaal maximum van de functie is.