heeft boven leren door te kijken of te luisteren.
[ Ruth Forrester en John Searl ]
1 6 8
te spelen bij het ondersteunen van het leerproces in deze drie manieren van weergeven. ‘Voor de meeste kinderen is praktisch werken de meest doeltreffende manier om wiskundig begrip te ontwikkelen. Het stelt ze in staat te bepalen welke wiskundige ideeën van invloed zijn; vervolgens wordt van het hanteren van echte objecten overgestapt op de fase waarin, als weergave van deze objecten, beelden of schematische voorstellingen kunnen worden gebruikt om tot slot de laatste fase te doorlopen waarin symbolen worden gebruikt die op een abstracte manier kunnen worden gemanipuleerd’ (Cockcroft Report, 1982).
Pirie (1992) beschrijft een gedetailleerdere hiërarchie van fasen die worden doorlopen om tot begrip van een idee te komen, en een proces waarbij de leerling terugvalt op een eerder begripsniveau wanneer het bestaande, geformaliseerde onderwijs onvoldoende houvast biedt om een nieuw probleem het hoofd te kunnen bieden. Praktisch bezig zijn wordt beschouwd als ondersteuning van dit proces, aangezien de vroegere niveaus in het denken van de leerling goed toegankelijk zijn in de vorm van een concreet voorbeeld. Behalve dat het leerlingen helpt om schema’s op te stellen en nieuwe ideeën te verwerken, kunnen de gebruikte materialen ook de middelen verschaffen om een idee te onderzoeken, met als gevolg dat de leerlingen zelf constateren wanneer er sprake is van een foutief begrip en dat ze het nieuwe concept een plaats kunnen geven tussen eerder verworven concepten. ‘Bij het lesgeven aan een klas tienjarige kinderen kreeg ik onlangs te maken met twee meisjes die hadden geteld hoeveel bladzijden van een plaatselijke krant waren gewijd aan nieuws, advertenties, sport en zo verder. Ik vroeg ze welk gedeelte van de krant – uitgedrukt in een breuk – aan elke categorie was gewijd. Ze hadden breuken ‘gehad’, maar die vrijwel zeker nooit gebruikt. Hun eerste reactie was om van ‘19 bladzijden’119te maken, van ‘2 bladzijden’1
2, en zo verder. Toen ontdekten ze dat
volgens hen de krant dan voor de helft was gewijd aan geboorte-, huwelijks- en overlijdensberichten en voor de helft aan bioscoopadvertenties. Deze interpretatie van resultaten waarmee ze zelf waren gekomen, was dermate belachelijk dat ze opnieuw gingen nadenken over wat breuken eigenlijk inhielden, met als gevolg dat ze met een verbeterde en juiste lijst breuken kwamen. Eén uur praktisch bezig zijn leerde ze meer over breuken dan uren rekenles’ (McIntosh, 1982). Praktisch werken kan leerlingen dus helpen inzien wat ze niet of niet goed begrijpen, en leraren kunnen daardoor vaststellen welke vaardigheden en ideeën hun leerlingen nog onvoldoende beheersen.
Door een gemis aan voldoende concrete ervaring kunnen leerlingen vaak problemen ondervinden. ‘Afwezigheid van hogere-orde-vaardigheden (conceptuele structuren en algemene strategieën) is vaak een gevolg van onvoldoende variatie in de aangedragen praktijkervaring’ (DES, Curriculum Matters 3, 1985). Een dergelijk gebrek uit zich bij veel leerlingen gewoonlijk in een afkeer voor algebra.
Hoewel ze misschien best wel met ‘letters’ kunnen werken, bestaat er geen verband tussen die letters en andere concepten, kunnen ze niet terugvallen op een vorig niveau, hebben de aangereikte praktijk- voorbeelden geen context en staan die totaal los van de werkelijkheid. Het lijkt aannemelijk dat praktisch werken in dit verband een belangrijke rol zou kunnen spelen door het gebruik van variabelen in een context te plaatsen.
Grant en Searl (1997) voeren aan dat ‘praktisch werk leerlingen helpt bij het verwerken van nieuwe ideeën, omdat daardoor tijd wordt geboden om erover na te denken’. Dit stemt overeen met een opmerking van Polya: ‘Bij het oplossen van een wiskundig probleem beginnen we vanuit zeer heldere begrippen die we in onze geest vrij goed geordend hebben. Bij het oplossen van een praktisch probleem zijn we vaak genoodzaakt om uit te gaan van nogal vage ideeën; dan kan het verhelderen van begrippen een belangrijk onderdeel van het probleem gaan vormen’ (Polya, 1957). Leerlingen hebben tijd nodig om met een idee te spelen, het een fundament te geven en er later, misschien in een andere vorm, naar terug te keren. Bruner (1966) pleit ervoor om dit formeel te
implementeren in een ‘spiraalvormig leerplan’. Het lijkt aannemelijk dat praktische activiteiten een waarde- volle rol kunnen spelen in een dergelijk soort leerplan, omdat ze de leerling de mogelijkheden kunnen verschaffen om een idee vanuit een andere invalshoek of in relatie met andere begrippen te benaderen. Er zijn andere voordelen. Praktisch werken kan zorgen voor de ontwikkeling van gevoelselementen. Het kan de gelegenheid bieden, op een goede manier samen te werken en over wiskunde te praten. En wat belangrijk is, praktisch werk beïnvloedt de manier waarop de leerling tegen het onderwerp aankijkt.
Ondanks al deze voordelen zijn praktische activiteiten in het verleden slechts spaarzaam toegepast in de wiskundelessen van het voortgezet onderwijs. De Cockcroft-commissie meldde in 1982: ‘Zelfs op scholen waar in het algemeen een levendige en stimulerende sfeer heerste, werd de noodzaak om kinderen op een praktische manier met wiskunde te laten omgaan niet altijd ingezien, zodat in sommige klassen de houding tegenover wiskunde sterk verschilde met de houding tegenover andere vakken.’ Deze constatering werd in 1985 bevestigd in het (Engelse) rapport Curriculum Matters 3 (DES, 1985): ‘Er bestaat een tendens om het belang van (…) praktisch werken in het laatste gedeelte van het basisonderwijs en in het vervolgonderwijs te bagatelliseren. Zonder voldoende praktische ervaring zijn leerlingen niet in staat abstracte wiskundige concepten op enigerlei wijze in verband te brengen met de werkelijkheid. Alle leerlingen hebben baat bij een juiste vorm van praktisch werken, ongeacht leeftijd of bekwaamheid.’
Het bewijsmateriaal, afkomstig uit ervaringen in de klas en uit de ontwikkelingspsychologie, duidt erop dat
1 6 9
praktisch werken een actieve ondersteunende rol kan spelen in het wiskundeonderwijs, maar dat het met name in het voortgezet onderwijs te weinig wordt toegepast. Dit kan het gevolg zijn van het onder leraren heersende gevoel dat eerst moet worden gekeken naar de exameneisen, waardoor er zorgen ontstaan over tijdgebrek bij het afwerken van het programma.
Op het Edinburgh Centre for Mathematical Education (ECME) hebben wij onderzocht of het - bij een benadering waarin praktisch werken is opgenomen - mogelijk is zowel te voldoen aan de korte-termijn- doelen van het examenprogramma als aan het lange- termijndoel van het kweken van inzicht. Wij hebben een reeks lessen samengesteld voor 16/17-jarigen die zich voorbereidden op Intermediate 2 Mathematics (Scottish Qualifications Authority) [2]. Elke les omvat een praktische taak of activiteit en maakt gebruik van een ‘holistische’ benadering om het begrip te
versterken door verschillende wiskundige begrippen bij elkaar te brengen en onderlinge verbanden aan te geven. Hieronder geven wij de opzet van zo’n les. De beknopte beschrijving suggereert dat de leraar de les sterk stuurde; in feite was deze les echter het resultaat van de interactie tussen leerling en leraar.