Rechtgeleidingen met Roberts: terug naar af De stelling van Roberts over de drievoudige

voortbrenging van de koppelkromme lijkt op het eerste gezicht niets te maken te hebben met de bijna- rechtlijnige mechanismen die we al zagen. Het blijkt echter dat deze stelling ook die mechanismen in een nieuw daglicht zet. A.E. Richard de Jonge publiceerde in 1960 een artikel [11] waarin hij met behulp van de stelling van Roberts een classificatie van deze

mechanismen maakt. Hij beschouwt daartoe een aantal limietgevallen van de stelling: zo vervangt hij

sommige scharnieren door geleiders en laat hij de koppeldriehoek (dat is
ABC) ontaarden in een lijnstuk.

Met de laatste ontaarding is redelijk eenvoudig in te zien dat het mechanisme van Watt uit figuur 1b precies dezelfde bijna-rechte kromme voortbrengt als de ‘sprinkhaan’ van Evans van figuur 2b. Dit gaat als volgt in z’n werk. Bij de configuratie van Roberts construeren we bij een gegeven mechanisme A₀B₀ABC

(zie figuur 7) twee andere geconjugeerde mechanismen die precies dezelfde koppelkromme voortbrengen. Laten we nu delen van de configuratie ontaarden, zoals bijna het geval is in figuur 8, dan gaat de stelling nog door en kunnen we bij een algemener mechanisme nog twee andere construeren die dezelfde koppelkromme voortbrengen.

In figuur 8zien we een bijna-ontaarding van de configuratie van Roberts (voor de overzichtelijkheid heb ik de scharnieren en het linker geconjugeerde mechanisme weggelaten). Driehoek ABC is bijna een lijnstuk, waardoor mechanisme A₀B₀ABC, met dikke

lijnen weergegeven, veel op het mechanisme van Watt lijkt; in iets dunnere lijnen het rechter geconjugeerde mechanisme B₀C₀CB₂C₂. Men kan zich wel voorstellen dat laatstgenoemd mechanisme overgaat in de

sprinkhaan van Evans, naarmate driehoek ABC ‘platter’ wordt: C₀komt op A₀B₀te liggen en driehoeken ABC en CC₂B₂worden rechte lijnen. Zo wordt zichtbaar dat de rechtgeleidingen van Watt en Evans precies dezelfde kromme voortbrengen.

7. Tot slot

Hierboven is een aantal voorbeelden gegeven van de meetkundige analyse van mechanismen. De intrede van de computer heeft de meetkunde als belangrijkste instrument voor dit onderzoek achterhaald. Daarbij komt nog, dat nu veel meer ruimtelijke mechanismen worden onderzocht. Een voorbeeld van recente literatuur op dat gebied is het boek van McCarthy [2000].

Het meetkundeprogramma CABRI is een handzaam werktuig voor onderzoek en simulatie. Voorbeelden hiervan zijn te vinden op de webpagina’s

http://www.pandd.demon.nl/peaucel.htm en http://www.pandd.demon.nl/rotaties.htm#4.

Met dank aan Teun Koetsier en Wim Groen voor de hulp bij het schrijven en het lezen van de concepten.

1 4 8

Noten

[1] “forming certain combinations of levers, moving upon centres, wherein the deviation from straight lines of the moving end of some of these levers is compensated by similar deviations, but in the opposite directions, of one end of other levers”; Watt geciteerd in [Koetsier 1983a], p. 37

[2] [Koetsier 1983a], p. 38

[3] Peaucellier noemt deze ernstige tekortkomingen ([Peaucellier 1873a], p. 389). Zij treden op “notamment dans la navigation à vapeur, où l’on a intérêt à employer des machines de faible hauteur, peu pesantes et, par suite, à court balancier; mais, en opposition avec cette dernière condition, il faut encore que l’on admette de très grandes courses de piston, la vapeur devant travailler à longue détente.” [4] In [Ferguson 1962], pp. 199–209 en [Richard de Jonge 1960], pp. 78–94 zijn nog veel meer benaderende en exacte rechtgeleidingen te vinden.

[5] [Peaucellier 1864]

[6] [Peaucellier 1876]. De besproken overwegingen staan op pp. 374–378.

[7] [Sylvester 1875a] [8] [Sylvester 1875b].

[9] Dit is niet geheel triviaal; het zou immers nog zo kunnen zijn dat C0en C ‘aan dezelfde kant’ van het lijnstuk C1C2liggen. Dan is van

een parallellogram in het geheel geen sprake. Dat dit echter niet zo is, wordt gegarandeerd doordat C0C1en CC2evenwijdig zijn.

Ik toon dat aan in de geest van het bewijs van het plagiograaf-beginsel (zie figuur 7). CC2maakt een hoek αmet CB2. Dat C1C0dezelfde hoek

met CB₂maakt, ziet men in doordat de hele driehoek A₀C₀C₁uit A₀B₀B ontstaat door een rotatie om A0met hoek αen een vermenigvuldiging

met l1. De hoek tussen C1C0en BB0(en het daarmee evenwijdige

lijnstuk CB2) is dus α. Daar C1C0en CC2eenzelfde hoek met dezelfde

lijn maken, zijn ze evenwijdig. [10] [Roberts 1875], p. 18

[11] [Richard de Jonge 1960]. Hij beweert in de titel dat zijn bewijs van de stelling van Roberts nieuw is. De oplettende lezer zal echter opmerken dat het ruwweg op hetzelfde neerkomt als het bewijs dat Cardinaal, hoogleraar in Delft aan het begin van de twintigste eeuw, geeft op pp. 162–163 van [Cardinaal 1914].

Over de auteur

Hendrik Blauwendraat is sinds 1 september 2001 als OiO geschiedenis van de wiskunde aan de Vrije Universiteit verbonden en onderzoekt de geschiedenis van de kinematica van mechanismen vanaf 1800, zich concentrerend op de werken van Ludwig Burmester en Franz Reuleaux en hun receptie.

Postadres: drs. H. Blauwendraat, Divisie Wiskunde en Informatica, De Boelelaan 1081a, 1081 HV Amsterdam.

E-mailadres: hblauwe@cs.vu.nl

FIGUUR 6 De configuratie van Roberts (linkerzijde). Herinner dat de lengte van de stangen vast is.

FIGUUR 7 De volledige configuratie van Roberts

Stelling van Miquel (ongeveer 1840)

Gegeven een driehoek ABC en drie punten op P, Q en R op de lijnen AB, BC en CA; P, Q en R niet samen- vallend met een van de punten A, B en C. Dan gaan de drie cirkels γ_a, γ_ben γ_cdie respectievelijk gaan

door A, P en R, door B, Q en P, door C, R en Q

door één gemeenschappelijk punt S.

De grotere vrijheid voor de punten P, Q en R is het belangrijkste verschil, maar er is nog een lelijke smet op de examenopgave die we hebben weten te wissen. Punt S wordt geheel bepaald wordt door de ligging van P, Q en R op de lijnen (of lijnstukken) AB, BC en

CA en het is vreemd dat punt S in de opgave ook nog

aan een eigen voorwaarde moet voldoen, terwijl voor S bij gegeven P, Q en R geen keus mogelijk is.