Ook de driedeling van de hoek kan met extra machinerie worden opgelost. Een aantal mogelijke constructies staat op [2]. De meest eenvoudige, en tevens een van de oudste manieren om de driedeling van de hoek te verrichten, is met behulp van de kwadratrix van Hippias (ca. 420 v. Chr.). Om de kwadratrix te construeren ging Hippias uit van een vierkant. In vierkant ABCD vinden gelijktijdig twee
bewegingen plaats (zie figuur 3). Om A draait met constante hoeksnelheid een lijnstuk dat in AB begint, en naar AD toedraait. Gelijktijdig schuift een lijnstuk omhoog, beginnend in AB en steeds evenwijdig aan
AB. De bewegingen zijn zodanig op elkaar afgestemd
dat de roterende beweging in AD aankomt, juist op het moment dat het schuivende lijnstuk samenvalt met DC. De baan die het snijpunt van de beide lijnstukken doorloopt, PQRSTUVD, noemen we de kwadratrix. Dat de kwadratrix kan helpen bij de driedeling van de hoek, is erg eenvoudig in te zien. Neem een hoek tussen de 0 en 90 graden. Leg het hoekpunt in A en het ene been van de hoek langs AB. Het andere been snijdt de kwadratrix in een punt, bijvoorbeeld in U. Vanuit U trekken we de loodlijn op AD. Het gedeelte van AD onder het voetpunt van die loodlijn kunnen we eenvoudig in drie gelijke stukjes verdelen (volgens Euclides VI.9) en die stukjes corresponderen volgens de constructie van de kwadratrix ieder met een derde deel van de hoek waarmee is begonnen. In het geval van de hoek BAU, weten we dat BAQ precies een derde van die hoek vormt.
De constructie van de kwadratrix lukt echter niet met alleen passer en liniaal. Hetzelfde geldt voor alle andere krommen die bedacht zijn om het probleem van de driedeling van de hoek te kunnen oplossen. In het geval van de kwadratrix gebruikte Hippias zelfs een beweging om zijn kromme te definiëren. Dat werd door de Griekse meetkundigen over het algemeen niet toegestaan.
Onderwijzers 1800-1850
Nu maken we de sprong terug naar de vroege 19de eeuw. De hierboven beschreven pogingen om de drie klassieke problemen aan te pakken (en nog veel meer) waren bekend onder de goed opgeleide vroeg negentiende- eeuwse middenklasse. Tevens was de situatie rond meetkunde totaal veranderd. Het vak was in wiskundig opzicht lang niet meer zo belangrijk als in de Griekse oudheid, toen het de manier was om exacte kennis te verkrijgen en het gehele wiskundecorpus domineerde. Aan de andere kant was het ook niet meer het vak dat slechts was weggelegd voor een enkele staatsman of filosoof. Rond 1800 kwam in alle Europese landen een zwaarder accent op wiskunde in de programma’s van tal van onderwijsvormen. Faculteiten der wis- en
natuurkunde werden in deze periode opgericht. Vooral meetkunde werd beschouwd als een belangrijk onderdeel in de (wiskundige) vorming van jonge mensen. Meetkunde was het oudste onderdeel van de wiskunde: algebra en analyse hadden zich in de voorgaande eeuwen ontwikkeld, maar er bestonden nog nauwelijks lesboeken waarin die onderdelen zo systematisch van de grond af werden opgebouwd als in De Elementen gebeurde. Daar werd wel hard aan gewerkt, maar voor de meetkunde lag er dus al een voorbeeld, en dat diende als maatstaf voor een goede en gedegen (wiskundige) redenering.
In Nederland was sinds 1815 een stevige portie meetkunde verplicht onderdeel van het curriculum aan
drie klassieke problemen, waren gemakkelijk te begrijpen. Het is dan ook nauwelijks verrassend dat er veel aandacht was voor meetkunde onder de
Nederlandse onderwijzers, en dat er af en toe stukken over de klassieke problemen of andere meetkundige constructies werden gepubliceerd.
P.J. Baudet en zijn publiek
Pierre Joseph Baudet (1778-1858) was een Franse emigrant die zich tegen het einde van de achttiende eeuw te Deventer vestigde als onderwijzer in de Franse taal en de wiskunde. Voor beide vakken schreef hij lesmethoden die enige populariteit genoten en goede recensies kregen. De zoon van koning Willem I (de latere Willem II) kreeg bijvoorbeeld les uit de leerboekjes Frans van Baudet. Baudet was een warm voorstander van degelijk wiskundeonderwijs, maar wilde zijn leerlingen ook op het hart drukken dat kennis alleen dan nuttig was wanneer ze kon worden toegepast. Een praktisch vraagstuk kon voor hem aanleiding zijn om theorie te ontwikkelen, dit in tegenstelling tot andere opvattingen over didactiek in zijn tijd. Baudet was een goede onderwijzer, en al snel haalde hij het examen voor de hoogste rang. Dit stelde hem in staat om met enige kans op succes naar de betere posities te solliciteren. Korte tijd zou hij wiskunde doceren te Leeuwarden, maar door het wangedrag van een van zijn zoons (die later overigens ook onderwijzer zou worden) werd het leven hem daar onmogelijk gemaakt. Hij bouwde opnieuw aan zijn alle Latijnse en Fransche scholen (grofweg: middelbaar
onderwijs). Helemaal van harte ging dat niet, maar de veronderstelde ‘vormende waarde’ die van goed (lees: Euclidisch) meetkundeonderwijs zou uitgaan, won het van de oude opvatting die kennis van de oude talen als maatgevend beschouwde voor een goede opleiding [7]. In Duitsland was deze ontwikkeling met name van grote invloed op de beoefening van wiskunde, en die van meetkunde in het bijzonder. Gepromoveerden van de Duitse universiteiten vonden werk als onderwijzers wiskunde aan de gymnasia. Voor de goeden onder hen was een baan aan het gymnasium een soort
wachtkamer tot een aanstelling aan een universiteit in zicht kwam. Dat betekende onder andere dat Duitse wiskundeleraren zich verder in de wiskunde bekwaamden, en zij ook niet zelden nog wiskundige artikelen publiceerden [12]. Meetkunde was een geliefd onderwerp. De stelling van de negenpuntscirkel (zie [1] onder Feuerbach) werd bijvoorbeeld door een leraar wiskunde van het gymnasium te Erlangen
gepubliceerd.
In Nederland waren er beduidend minder vacatures en speelden de gymnasia nauwelijks de rol die zij in Duitsland vervulden. Wel was voor meetkunde een belangrijke functie weggelegd in de vorming van onderwijzers: door middel van een rangensysteem kwamen alleen mensen met een behoorlijke kennis van de elementaire meetkunde voor de betere onderwijs- baantjes in aanmerking [5]. Bovendien was meetkunde toegankelijk, en de openstaande problemen zoals de
1 4 0
euclides nr.4 / 2002
carrière aan een prestigieus instituut te Vaassen. Zijn werk werd beloond toen hij in 1838 tot onderwijzer in de wiskunde aan het gymnasium te Utrecht werd benoemd. Al met al een mooie loopbaan [6]. In 1824 schreef hij een meetkundeboek waarin hij in dialoogvorm een onderwijzer samen met een aantal leerlingen meetkunde liet bedrijven. De leerlingen werden door de onderwijzer gestimuleerd zelf bewijzen te formuleren voor de diverse stellingen die ze –veelal proefondervindelijk– op het spoor kwamen. Een van de onderwerpen die aan bod kwamen, was een algoritme voor de worteltrekking, inclusief een door de
leerlingen geformuleerd ‘bewijs’. De leerlingen waren tamelijk ideale leerlingen, maar desalniettemin wekt dit meetkundeboek bewondering. Baudet ging moeilijkheden niet uit de weg, en was zich duidelijk bewust van de problemen die leerlingen hadden met stukken van de stof. Men kan zich voorstellen dat de onderwijzer het boek naar aanleiding van zijn eigen lessen heeft geschreven [11].
Aan het instituut te Vaassen publiceerde hij in 1834 een stuk over de driedeling van de hoek: Korte
beschrijving eener tritmetische lijn heette het werk.
Traktaatjes zoals de Tritmetische lijn waren voor Baudet een manier om zijn professionaliteit te tonen: aan de buitenwereld te laten zien wat hij waard was. Hij stuurde exemplaren onder andere aan het Wiskundig Genootschap. Vermoedelijk had hij zijn carrière mede aan zijn geschriften te danken. Aan de andere kant was het een uiting van een interesse, die
hij met vele van zijn tijdgenoten deelde. Meetkunde was in, en het probleem van de driedeling van een hoek kon menigeen plaatsen. In de inleiding van het traktaatje liet Baudet zien dat hij echt wel wist dat het probleem reeds eerder met andere kromme lijnen was opgelost, en ook dat het geen belangrijk probleem was. Hij had er gewoon aardigheid in om aan de reeds bestaande oplossingen de zijne toe te voegen [8]. Collega’s waardeerden hem ook voor deze bijdrage.