Cabri is een afkorting voor Cabri Géomètre II (CAhier de Brouillon Interactif, interactief schetsboek), een krachtig computerprogramma voor de ‘dynamische’ vlakke meetkunde. In het kort gezegd komt het erop neer dat met het programma vlakke figuren op het scherm kunnen worden getekend die daarna door verslepen kunnen worden veranderd en die zo op constante eigenschappen kunnen worden onderzocht.
Bijvoorbeeld: de som van de hoeken in een driehoek is
180º.
De gebruiker tekent een driehoek, laat het programma de grootte van de hoeken meten en deze bij elkaar optellen.
Versleep dan de hoekpunten en stel vast dat wèl de verschillende hoeken in grootte zijn veranderd, maar dat de som van de hoeken 180º is gebleven.
Zo verschaft het programma empirische zekerheid aan de gebruiker over een eigenschap van een vlakke figuur. Natuurlijk kan alleen het verstand wiskundige zekerheid verschaffen, maar het programma kan daar wel een handje bij helpen.
Cabri en wiskundige zekerheid
Wiskundige zekerheid vraagt om een bewijs. Dat wil zeggen: een redenering op basis van wiskundige argumenten waaruit de waarheid van de eigenschap volgt. Ondanks verwoede pogingen het bewijzen in de vlakke meetkunde te automatiseren, blijft het bewijzen in essentie toch gewoon denkwerk. En dat hoort het ook te blijven! Cabri kan dus geen bewijzen leveren, maar Cabri kan wel helpen op goede ideeën te komen. In het voorbeeld (op pagina 158) weten leerlingen wat
F- en Z-hoeken zijn. Dat is de wiskundige basis van
waarop ze hun argumenten mogen baseren.
Het gaat hierbij om het bedenken van een eenvoudige redenering die berust op het herkennen van de Z- hoeken in de figuur. Cabri speelt hierin een louter visuele rol. De veranderbaarheid van de situatie legt een duidelijk accent op de evenwijdigheid van de lijn met de basis (de stand van de lijn verandert mee met de stand van de basis) en vergroot zo de
herkenbaarheid van de Z-hoeken in de figuur. De redenering ligt voor het grijpen.
Veel leerlingen vinden de overstap van empirische zekerheid naar wiskundige zekerheid maar lastig en snappen niet waar dat voor nodig is. Hun reactie is: ‘Je ziet toch dat dat waar is. Waarom moet je dat dan nog een keer bewijzen?’ Ze hebben natuurlijk het grootste gelijk van de wereld. Hun zekerheden over de wereld ontlenen ze aan empirische zekerheden. Om te snappen wat nu precies wiskundige zekerheid is, zal er toch eerst een knop moeten worden omgezet. Je kunt je afvragen
HET TRAPHEKJE, WERKEN MET
CABRI IN DE ONDERBOUW
een hele klus, maar het is wel een essentieel onderdeel in de meetkunde van de bovenbouw. Dit kan de onderbouwleerlingen bespaard blijven door ze met ‘voorgemaakte’ figuren te laten werken, zoals hierboven is gebeurd. Deze figuren kunnen zelfs met een eenvoudige druk op de knop in HTML-code worden omgezet waarmee ze binnen Explorer - en dus ook via het schoolnetwerk - kunnen worden bekeken. Voor 3-mavo is zo een serie werkbladen gemaakt over hoeken. Het werkblad (op pagina 156) komt uit deze serie. De volledige serie kan worden gedownload vanaf
http://www.educadbv.nl.
Over de auteur
Sieb Kemme (e-mailadres: siebkemme@educadbv.nl) is als freelancer betrokken bij de ontwikkeling van middelen en materialen voor het wiskundeonderwijs. Daarnaast verkoopt hij wiskundesoftware, waaronder Cabri. In dat kader ontwikkelde hij werkbladen bij Cabri voor de onderbouw van het VO (website: http://www.educadbv.nl).
of het bestaan van Cabri daar wel een positieve bijdrage aan levert. In bovenstaande voorbeelden zal de
veranderbaarheid van de figuren de empirische argumentatie misschien zelfs versterken. Feit blijft dat leerlingen het uitdagend vinden om met behulp van de computer met meetkunde bezig te zijn en dat dit duidelijk de concentratie ten goede komt.
Cabri in de onderbouw
Doorgaans wordt het gebruik van Cabri geassocieerd met de meetkunde in het examenprogramma B2 van het profiel Natuur en Techniek in het vwo, dus voor de wiskundige bollebozen in klas 5 en 6 van het vwo. Inderdaad speelt het bedrijven van vlakke meetkunde met de computer een belangrijke rol bij deze leerlingen. Cabri stimuleert tot het zelf vinden van eigenschappen en tot het leveren van een wiskundig bewijs.
Maar ook in de onderbouw kan Cabri een rol spelen. Het is een plezierige opstap voor deze leerlingen om actief met meetkunde aan de gang te gaan. Over het algemeen is het construeren van een correcte figuur
1 5 8
Hoe eenvoudig en alledaags een bol er ook uitziet, de bol nodigt in allerlei verschijningsvormen uit tot diepere vragen, tot het bedrijven van wiskunde. In dit boekje voor vwo-leerlingen richten de schrijvers zich op ‘bollen’ in de gedaante van veelvlakken. Diverse illustraties tonen de fascinatie van mensen voor veelvlakken en voorbeelden ervan in de natuur. Tekst en opdrachten in het boekje voeren langs verscheidene typen veelvlakken, langs de formule van Euler, langs afknotten en uitstulpen en langs geodes (veelvlakken begrensd door louter driehoeken). Er wordt stilgestaan bij het begrip dualiteit maar ook bij fullerenen, veelvlakken die in de scheikunde een rol spelen bij koolstofstructuren, zoals de Bucky Ball met de structuur van een voetbal.
Veelvlakken zijn tamelijk gecompliceerd om zo maar uit je hoofd mee te exerceren; je zou ze graag willen
vasthouden, aan alle kanten bekijken, ze uit elkaar vouwen enzovoorts. Om experimenteren mogelijk te maken, hebben de auteurs een modern middel ingezet en een website bij het boek geleverd, waarin je via applets aan veelvlakken kunt sleutelen en aan de eindopdracht kunt werken (meer een feestopdracht: ontwerp je eigen kunstbol). Bij mij haperde er helaas wel eens wat (vastlopen, niet opstarten van applets), zodat ik niet alles kon uitproberen of gebruiken. Het immer aanwezige spanningsveld tussen de meer intuïtieve en visuele aanpak en wiskundige strengheid is in dit boekje enigszins voelbaar en kan wel eens tot verwarring leiden, maar wellicht vooral gezonde discussie uitlokken. Voor leerlingen vormen boek en website een pittige maar inspirerende kluif. Jammer overigens dat er redelijk wat typefouten in het boekje staan.