In 1999 zijn in ‘Pythagoras’, het wiskundetijdschrift voor jongeren, twee artikelen verschenen over Sangaku’s [1] In het onderstaande
4. De derde sangaku-cirkel
Zoals reeds aangekondigd zullen we de derde sangaku- cirkel met behulp van inversie construeren.
We kiezen de cirkel met middelpunt A en straal AB als inversiecirkel; zie figuur 8a. Je moet een inversiecirkel soms handig kiezen.
De lijn l wordt door deze inversie op zichzelf afgebeeld. Cirkel M1wordt afgebeeld op een lijn (m1) die,
vanwege de ligging, evenwijdig is met l.
Cirkel M2is bij deze inversie een bijzondere: hij snijdt de inversiecirkel loodrecht in het punt B. En daarom wordt cirkel M2op zichzelf afgebeeld. Het bewijs van deze eigenschap staat in het kader op pagina 163. Het gevolg is, dat de lijn m1raakt aan de tweede sangaku-cirkel.
Door deze inversie hebben we het constructieprobleem enigszins vereenvoudigd.
We zullen nu een cirkel construeren die raakt aan de drie inverse beelden, dus rakend aan l, m1en cirkel M2. En die cirkel onderwerpen we daarna weer aan de inversie.
We hebben ons wellicht nog niet gerealiseerd, dat punten van het binnengebied van de inversiecirkel Hieruit volgt dat k middelevenredig is tussen OP en
OP ’. De constructie van het beeld van P verloopt dan
via een raaklijn aan de inversiecirkel (zie figuur 5- links: P binnen de cirkel; rechts: P buiten de cirkel). Uit de definitie volgt direct dat PP’ als P op de inversiecirkel ligt.
B. Het beeld van een rechte lijn die niet door O gaat
Zie figuur 6. Als je van een rechte lijn de beelden van drie punten neemt, dan zie je dat de beeldpunten zeker niet op een rechte lijn liggen. We kunnen bewijzen (we laten het aan de lezer) dat ze op een cirkel liggen die door het punt O gaat.
Het middelpunt van de cirkel is het midden van OA’, waarbij A’ het inverse beeld is van het voetpunt A van de loodlijn uit O op de lijn. Je hoeft dus alleen maar het beeld van het punt A te bepalen om de cirkel te kunnen tekenen.
C. Het beeld van een rechte lijn die door O gaat
Eenvoudig blijkt, dat het beeld van een lijn die door O gaat, geen cirkel is. Het beeld van die lijn valt samen met de lijn zelf.
D. Het beeld van een cirkel die door O gaat
Uit de manier waarop we de afbeelding hebben gedefinieerd, blijkt dat het beeld van een cirkel die door O gaat een rechte lijn is (zie B en ook figuur 6).
E. Het beeld van een cirkel die niet door O gaat
We kunnen kort zijn (zeker als we het bewijs niet
1 6 2
euclides nr.4 / 2002
worden afgebeeld op punten buiten de inversiecirkel (en omgekeerd).
Wel, de cirkel die we zoeken, ligt geheel binnen de inversiecirkel. De te construeren cirkel ligt dus buiten de inversiecirkel. Nu is het verder niet ingewikkeld meer. Er is maar een cirkel die aan de gestelde eisen voldoet: cirkel M3’ (zie figuur 8b).
En als we deze cirkel inverteren, dan krijgen we de derde sangaku-cirkel (M3).
5. Tot slot
Door de Stichting Ars et Mathesis is (ook) in 1999 een ‘Sangaku-project’ uitgevoerd door Ineke Lambers (ars) en Zsòfia Ruttkay (mathesis) [5]. Uitgaande van enkele klassieke Japanse wiskunde-opgaven zijn bij dat project hedendaagse ‘sangaku-impressies’ ontworpen. In figuur 10zien we de impressie van de hand van Ineke Lambers van ‘onze’ sangaku. Deze sangaku is er een uit een serie van vier die worden uitgegeven door genoemde stichting in de vorm van een wenskaart met bijsluiter, waarop de sangaku-wiskunde wordt
behandeld. Op deze manier kunnen de sangaku’s eenvoudig worden verspreid. Ze blijven dan zeker niet verborgen onder tempeldaken.
Conway en Guy vermelden in The Book of Numbers [6]
nog een aardige bijzonderheid van de zogenoemde
Farey-rijen. Een Farey-rij is een rij bestaande uit alle
echte breuken met zo klein mogelijke noemer, gerangschikt van klein naar groot, beginnend bij een bepaalde breuk (die de orde van de rij aangeeft).
Stelling: Als twee cirkels elkaar loodrecht snijden, dan
beeldt de inversie met de ene cirkel als inversiecirkel de andere cirkel op zichzelf af.
Bewijs: In figuur 9 snijden de cirkels M1en M2elkaar loodrecht. De raaklijnen m1en m2in A en B aan cirkel
M2gaan dan door M1. We inverteren nu met cirkel M1 als inversiecirkel. Daardoor wordt cirkel M1op zichzelf afgebeeld. Dat is ook het geval met m1en m2(ze gaan immers door het punt M1; zie 3C). Cirkel M2wordt dus afgebeeld op een cirkel die gaat door de punten A en B en die in die punten raakt aan de lijnen m1en m2. En dat is cirkel M2.
FIGUUR 7 FIGUUR 8A, 8B
1 r3 1 r1 1 r2 hiermee nu duidelijk?
In het bovenstaande zijn er enkele zaken, wiskundig gezien, opengelaten. Maar dat is gedaan in de ‘traditie’ van de sangaku: ‘Kijk maar eens of je dit kunt’.
Naschrift
Met dank aan Gert de Kleuver voor de kritiek op een eerdere versie van dit artikel en aan Jan Meerhof voor diens inhoudelijke bijdrage.
Ten slotte zij opgemerkt, dat bovenstaande sangaku- constructie ook kan worden opgevat als een bijzonder geval van het Raakprobleem van Apollonius: het construeren van (alle) cirkels die raken aan drie gegeven cirkels [12, pp.101-106, en 14, XV]. Bij onze sangaku is één van die cirkels dan ontaard in een rechte lijn. Orde 1 10 11 2 10 12 11 3 10 13 12 23 11 4 10 14 13 12 23 34 11 5 10 15 14 13 25 12 35 23 43 45 11 6 10 16 51 14 13 25 21 35 23 34 45 56 11 Willen we uit een rij de volgende rij maken, dan voegen we telkens tussen de breuken a/b en c/d de ‘mediaanbreuk’ (ac)/(bd) in.
Om de Farey-rij van de 7e orde uit die van de 6e te krijgen moeten we invoegen:
Lester R. Ford heeft een fraaie manier gevonden om de
Farey-rijen te illustreren. Boven elk rationaal getal p/q op de getallenlijn tekenen we een cirkel met straal 1/q2. We krijgen dan figuur 11en figuur 12. De Ford-cirkels bij a/b en c/d raken elkaar indien de getallen ad en bc opvolgende gehele getallen zijn, en dan behoort de grootste cirkel daartussen bij de mediaanbreuk (ac)/(bd); zie figuur 13.
Is het verband tussen de stralen van de Ford-cirkels en de sangaku-formule 5 + 1 6 + 1 2 + 3 3 + 4 1 + 3 2 + 5 2 + 1 5 + 2 1 + 1 4 + 3 0 + 1 1 + 6
1 6 4
euclides nr.4 / 2002FIGUUR 11 Ford-cirkels voor gehelen, halven en derden ([6], p.153)
FIGUUR 10 Ineke Lambers: Sangaku-kwartet/2; kleur; 8,5 x 8,5 cm
Noten
[1] Zsòfia Ruttkay: Vier Sangaku-opdrachten, in Pythagoras (1998- 1999, juni)
http://www.science.uva.nl/misc/pythagoras/jaargang/9899/jun99/ sangaku.php3 en
Zsòfia Ruttkay: Oplossingen Vier Sangaku-opdrachten, in Pythagoras (1998-1999, augustus)
http://www.science.uva.nl/misc/pythagoras/jaargang/9899/aug99/ sangaku.php3
[2] Mathematics Museum, Japan
http://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/english.html
[3] Alle figuren in dit artikel zijn, waar niet anders vermeld, door de auteur getekend met behulp van het computerprogramma Cabri Géomètre II (Texas Instruments, Utrecht)
[4] Homepage Dick Klingens
http://www.pandd.demon.nl/inversie.htm (een webbpagina over Inversie) en
http://www.pandd.demon.nl/inversie/wbinversie.htm (een Cabri- werkblad over Inversie)
[5] Stichting Ars et Mathesis, p/a Beverodelaan 205, 6952 JH Dieren, tel. 0313-413307
http://www.arsetmathesis.nl en
http://www.cwi.nl/~zsofi/sangaku/site/MovingSan.html
Zie ook het artikel ‘Sangaku – wiskunde als kunst’ van Zsòfia Ruttkay via http://www.arsetmathesis.nl/sangatekst.htm
[6] John H. Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers, Springer Verlag (New York, 1996)
Literatuur
[7] O. Bottema: Hoofdstukken uit de Elementaire meetkunde, Epsilon Uitgaven (Utrecht, 1997), hfdst. XXI
[8] Howard Eves: A Survey of Geometry, Allyn and Bacon Inc. (Boston, 1972)
[9] H. Fukagawa, D. Pedoe: Japanese Temple Geometry Problems, Charles Babbage Research Foundation (Winnipeg, Canada, 1989) [10] H. Fukagawa, D. Sokolowsky: Traditional Japanese Mathematics Problems from the 18th and 19th Centuries, Science Culture Technology Publishing, Singapore (in druk)
[11] Yoshio Mikami: The Development of Mathematics in China and Japan, Chelsea Publishing Company (New York, 1974)
[12] Dan Pedoe: Geometry, a comprehensive course, Dover Publications (New York, 1988)
[13] Tony Rothman, Hidetoshi Fukagawa: Japanese Temple Geometry, in Scientific American (mei 1998)
ook: http://www.sciam.com/1998/0598issue/0598rothman.html [14] P. Wijdenes: Vlakke Meetkunde voor Voortgezette Studie, P. Noordhoff N.V.(Groningen, 1964)
Over de auteur
Dick Klingens (e-mail: dklingens@pandd.demon.nl) is eindredacteur van Euclides en als leraar wiskunde verbonden aan het
Krimpenerwaard College te Krimpen aan den IJssel.
FIGUUR 12 De uitvergrote tweede helft van de Farey- rij van de orde 7 ([6], p.153)
FIGUUR 13 Twee Ford-cirkels en hun mediaancirkel ([6], p.154)