Erlang-verdeling

In het capaciteitsmodel van het referentiekader-2008 is het faalkansmodel gebruikt. Dit model gebruikt een Poisson-verdeling waarbij geen rekening kan worden gehouden met het ontstaan van een wachtrij. Er zijn methoden die daar wel rekening mee kunnen houden. Eén daarvan is het Erlang-C-model, kortweg Erlang-model. Met dit model is het mogelijk wachtrijen toe te laten in de gelijktijdigheidsberekeningen. Verder hanteert het model exactere berekeningen.

Huidige faalkansmodel

Het capaciteitsmodel van het referentiekader hanteert de aanname dat het aantal inzetten voor spoedvervoer per tijdsblok van 8 uur per RAV verdeeld is volgens de Poisson-verdeling. Deze verdeling heeft als parameter het

gemiddelde aantal inzetten in het betreffende tijdsblok. In het model wordt dit aantal met behulp van de gemiddelde ritduur omgerekend naar het aantal benodigde uren ambulancezorg, in het betreffende tijdsblok. Aan de hand van dit aantal inzetten wordt via de Poisson-verdeling de kans bepaald dat zich N inzetten in dat tijdsblok kunnen voordoen. In het capaciteitsmodel wordt deze formule gebruikt om het aantal benodigde ambulances voor het spoedvervoer te bepalen. Dit aantal wordt bepaald door in de verdeling te zoeken naar het aantal ambulances waarbij de kans op nog een inzet kleiner is dan 5%. Deze 5% is de faalkans van het capaciteitsmodel. We noemen dit onderdeel het faalkansmodel.

Wachtrijmodellen

Er zijn modellen die ook rekening houden met wachtrijen. Hierbij wordt gekeken naar een aantal ‘servers’ die de wachtrij van klanten bedienen. De wachtrij heeft in onze toepassing in de ambulancezorg de betekenis van het aantal inzetten, de servers zijn de ambulances. De theorie kent veel toepassingen op allerlei

gebieden, zoals het aantal bezoekers in een rij voor een loket, het aantal bezoekers van een webpagina, het aantal telefoontjes of tekstberichten bij een telefooncentrale. Er zijn varianten van deze wachtrijmodellen, met verschillen in wachtrijvorming, met of zonder verlaten van de wachtrij, en verschillen in de verdelingen van de binnenkomst van klanten.

Erlang-model

Een veel gebruikt model is het Erlang-C-model, genoemd naar de Deense

wiskundige die het model begin 20e _{eeuw formuleerde. In dit model is er één}

type aanvrager en elke aanvrager wacht op bediening door een server. In het model vindt wachtrijvorming plaats, maar klanten kunnen de wachtrij niet verlaten. Wel is er een maximaal toelaatbare lengte van de wachtrij. Het bepalen van het aantal benodigde ambulances bij een bepaalde faalkans, maximale wachtrijlengte en gegeven werklast (aantal uren ambulancezorg) kan alleen via ‘trial and error’. Wiskundig gezien moet hiervoor de berekening van het Erlang-model in omgekeerde volgorde uitgevoerd worden. In dit onderzoek is gebruik gemaakt van de Erlang-calculator van CC Math, een softwarebureau

voor workforce management (http://www.ccmath.com/).

Uitwerking van het Erlang-model

Het Erlang-model is gebruikt in de capaciteitsberekeningen voor de RAV's Drenthe, Utrecht en Amsterdam van het referentiekader-2008, voor werkdagen voor alle tijdsblokken. Dat wil zeggen dat de gebruikte aantallen ritten, de gemiddelde ritduren, tijdsblokken en dagsoorten conform het referentiekader- 2008 zijn. De Erlang-formule is alleen toegepast om de benodigde capaciteit voor het spoedvervoer te bepalen, met gebruik van de

gelijktijdigheidsstatistieken. Er is geen berekening en verevening gemaakt met de benodigde capaciteit voor geografische paraatheid noch besteld vervoer. Het Erlang-model is uitgewerkt voor wachtrijlengtes van 1 tot 10 inzetten.

Resultaten

Gebruik van het Erlang-model leidt tot 0, 1 of -1 ambulance verschil ten opzichte van het faalkansmodel, afhankelijk van het tijdsblok van de dag. Een uitkomst van 1 ambulance minder benodigd in een tijdsblok komt doordat het Erlang-model wachtrijen toestaat. Een enkele keer berekent het Erlang-model een ambulance meer dan het referentiekader-2008. Dat komt door de meer exacte berekening in het Erlang-model. Om de vergelijking van de twee

modellen te maken, is het aantal tijdsblokken geteld waarvoor het Erlang-model gelijk is, een ambulance minder of een ambulance meer berekent. De resultaten zijn gegeven in Tabel 15.

Tabel 15: Aantal tijdsblokken waarvoor het Erlang-model een gelijk aantal (=), één ambulance meer (+1) of één ambulance minder (-1) berekent dan het faalkansmodel, uitgezet tegen de toegestane maximale wachtrijlengte.

Amsterdam Utrecht Drenthe Maximaal toegestane wachtrijlengte + 1 = - 1 + 1 = - 1 + 1 = - 1 1 1 11 0 2 10 0 1 11 0 2 0 11 1 0 12 0 1 11 0 3 0 11 1 0 9 3 0 12 0 4 0 10 2 0 9 3 0 11 1 5 0 9 3 0 9 3 0 10 2 6 0 9 3 0 8 4 0 9 3 7 0 7 5 0 8 4 0 9 3 8 0 5 7 0 7 5 0 8 4 9 0 4 8 0 7 5 0 8 4 10 0 4 8 0 7 5 0 8 4

Betekenis voor het referentiekader

Belangrijkste observatie is dat toepassing van het Erlang-model in de het capaciteitsmodel mogelijk is en dat de verschillen met het referentiekader-2008 afhankelijk zijn van de maximale toegestane wachtrijlengte. Bij lengte nul geeft de Erlang-berekening in vrijwel alle gevallen eenzelfde uitkomst. Dat is te verwachten gezien de overeenkomstige wiskundige modellen. Dat er incidenteel toch een ambulance meer wordt berekend met het Erlang-model is te verklaren uit de meer exacte berekening van dit model. Als de maximaal toegestane wachtrijlengte toeneemt, zijn de uitkomsten van het Erlang-model steeds vaker een ambulance lager dan het faalkansmodel.

Conceptueel zijn er bezwaren tegen het gebruik van het Erlang-model met wachtrijvorming in de modellering van de benodigde capaciteit voor het spoedvervoer. Voor het verzorgen van spoedeisende ambulancezorg is het niet wenselijk dat wachtrijen ontstaan. Levensreddende zorg mag niet in de wacht komen te staan. Er zijn wel mogelijkheden om het model toe te passen op de capaciteitsberekeningen voor A2-inzetten omdat het daarbij niet om

levensbedreigende situaties gaat. Een bescheiden wachtrij zou hier toegestaan kunnen worden. Het daadwerkelijk implementeren van het Erlang-model voor A2-inzetten vergt echter ook een gescheiden berekening van A1- en A2- capaciteit. In het huidige capaciteitsmodel zijn deze twee urgentieklassen samengenomen en wordt de capaciteit voor het spoedvervoer als totaal

berekend. Een gescheiden berekening van de capaciteit voor A1- en A2-vervoer wordt pas zinvol als ook gekozen wordt voor vervoersdifferentiatie en A2- inzetten door minder uitgeruste ambulances kan worden uitgevoerd. In dit onderzoek is de variant met gescheiden A1- en A2-capaciteit met gebruik van een Erlang-model niet uitgewerkt.

Een toepassing van het Erlang-model met wachtrijvorming op het A2-vervoer heeft globaal gezien twee effecten. Deze effecten hebben tegengestelde

richtingen. Door het gescheiden berekenen van de A1- en A2-capaciteit zal naar verwachting meer capaciteit nodig zijn omdat geen capaciteit uitgewisseld wordt tussen deze vervoerssoorten. Andersom heeft het toepassen van het

wachtrijprincipe als gevolg dat de benodigde capaciteit voor A2-vervoer lager wordt. Toepassing van gescheiden berekening en gedifferentieerd vervoer lijkt pas zinvol bij voldoende grote productieomvang.