Van de Grontregelen der DOORZIGTKUNDE, O F TEKENKONST (PERSPECTIEF,)

V E R H A N D E L I N G E

V an de Grontregelen der

DOORZIGTKUNDE,

O F

TEKENKONST (PERSPECTIEF,)

Leerende de middelen en w y z e , hoe alles in de D oorzigtkund e, kan werden afgeteekend.

Zeer dienflig voor Bouwmeejlers Schilders ^, Teekenaars ^, enz.

O p een korte manier afgebeeld en voorgedraagen,

Door H E N D R I K van H 0 V T E N.

By J A N ten H O O R N , Boekverkoper,

1707

.

.

- :>

BIBLIOTHEEK

RIJKSMUSEUM A M S T E R D A M

9 2 /wk<

* X!

V O O R R E D E N

Aan den Konft-beminnende

L E E Z E R.

|A t de D oorzigtkunde van veel nut en groot gebruik is, behoeven

!w y met veel omftandigheeden en omweegen niet te verklaaren »

“ maar d’ervarentheit to o n t’t genoeg aan die geen , dew elke hem van noden heeft; w aarvan w eld evoorn aam d ezyn , alIeBouwmeefters»

Schilders en Tekenaars, want men kan geen twee Voorbeelden op een plat vlak vertoonen , en die verfcheiden van ftant o f plaats zyn , o f de Doorzigtkunde openbaart zig hier aandonts in.

Darom hebben w y ons verpligt gevonden ., ( niet alleen om ’t groot gebruiks halven; maar o o k , om dat vvy bevonden hebben, dat ’er van deze fto f, zo w ynig in onzeN ederlantfche Spraak te vinden i s , ) de voornaamde gront regelen der Doorzigtkunde in ’t ligt te geeven, tot nut en dienft voor die geen , de welke deeze K o n d beminnen. Ik w il myn niet verzeekeren , dat ik z o volmaakt zalhebben gefchreeven, om ieder der Onderzoekers volkom e genoegen te geeven, te weeten, dat men alles z o ten eerden zal kunnen verdaan, zonder behulp van eenig onderwySj ’ t welk zo o myn dunkt ondoenlyk is: maar behalven dit*

fchoon dat ’t z o naakt en klaar w as, z o vereid deze K o n d dat eenzelfde za a k , wel meer als eenmaal onderzogt w il z y n , om tot de volkom e ver- flaaning hier van te geraaken : dierhalven verzoeken w y van die geen * die ons gefchrift, o f beter de befchreevene grontregelen der D o o rzigt.

zigtk u n d e, z o waardig agten, om het t’onderzoeken, hier niet z o lig- telyk van af dappen, met het maareens te d o o rzien , om ’er de grondi­

ge kennis van te hebben: maar w y zouden gaarn z ie n , dat men ’t ten min­

den eenige maaien onderzogt * vermits zulks doende de weg is , o m ’t klaar en naakt voor ’t verdant te brengen, ’t welk die geen zal bevinden*

die hier in volgens onze begeerte, geen verdriet heeft.

W y hebben alleen aangeteekent deze gevallen, die ons dagten ’t meeffe to t ’t gebruik te dienen * waarvan de voornaamde zyn aangeteekent in ons tweede, derde en vierde D e e l, behalven dat in ’t eerde H o o ftd u k van ’t eerde D eel, de voldrekte grontregels zyn getoont, waar van de Doorzigtkunde 'volmaakt afhangt ; want al ’t volgende daar door moet werden beweezen: maar die geen , de welke geen beginzel van de wiskond heeft, kanalleen beginnen van ons tweede D eel, alwaar alles eenvoudig door Regels wert afgeteekent, enz.

*

z

VAN

...

I N H O U T

D E Z E S

O E K S.

N

het eerfte H ooft-ftuk van het eerfte D e e l, hebben

wy

dc gront der Doorzigtkunde geto o n t, en de zelve volftrekt

W iskonftig beweezen.

In het tweede H oofdftuk hebben w y geftelt eenige Vraagftukken, met een byvoegzel van eenige werkdaadige W erkftukken.

In ’t tweede Deel en eerfte H ooftftuk , hebben w y de Regels be- fchreeven, z o als de zelve tot het gebruik van de Doorzigtkunde be- hooren; en deze zelfde Regels toegepaft tot de vlakke, lighamelyke, z o wel hangende als leunende Voorbeelden, ’t z y dat de zelve even- w yd ig o f onevenwijdig met de grondlyn zyn : en vervolgens getoont in de volgende Hoottftukken ’t gebruik van deze R egel tot onderfchei- delyke gevallen tot aan ’t vyfde Hooftftuk toe.

In ’t vyfde H oofdftuk hebben w y getoont de Regels van de Z on en Kaars Schaaduen, en de w yze hoe de zelve zullen moeten werden gevonden: met een b yv o eg zel, om de weerfchyn in ’t water te vinden.

In ’t derde Deel vertoonen wy de gelykzydige lighaamen , om der zelver gront en verheeve teekening te vinden , als ook hoe men de zelve na de gemelde Regel in de Doorzigtkunde zal afteekenen.

In ’t vierde en laatfte Deel wert vertoont, hoe men alle de Zolder- ftukken in de Doorzigtkunde kan alteekenen, dat is , a l’t geen men van onder na boven z ie t, om de verkorting te vinden, als ook om van bo­

ven na beneden te zien.

V A N D E

Pag. i

DOORZIGT-KUNDE,

TEKEN KON ST (PERSPECTIEF,)

F rw yl het niet nootzakelyk is , in die dingen , die de W iskonft betreffen, veel omftandigheden van woorden te ge­

bruiken, z o zullen w y het ook onnodig houden , hier veel welfpreekende omwegen te zoeken : maar w y zullen agten voldaan te hebben, z o wanneer w y z o veel ons mogelyk is , de zaak eenvoudiglyk komen voor te dragen. W eet dan dat U E. hier vertoont werd de grontregelen der Doorzigtkunde C

perjpefdief

) werdende met deze naam, zodanig by ons afgebeelt ; en op een w yze , gelyk die natuurelyk uit zyn eerfte oorzaak geboren werd : M et van d ’een- voudigfte te beginnen , en tot de fwaarder voort te gaan , gelyk als in

’t gevolg blykt : waar in w y eerftelyk van de voordellen hebben begonnen (behalve eenige weinige bepalingen, die nootzakelyk moe­

ten voor af gaan, ) daar na van de Vraagft ukken 5 en zo vervolgens de Werkftukken : om dat alles onderfcheidelyk zoude kunnen werden verftaan.

D eze Wetenfchap dan is zodanig, datze door regelen leert vinden d ’aftekening o f omtrek van een gegeve bepaalt voorbeelt , op een ge- geve plat vlak, met een gegeve ftant : zulks als dezeftant behorelyk gep laatftis, zo zal ons het Voorbeelt hier door zodanig vertonen, als o f w y het zelfs zagen. Maar om uit te fluiten het geenetotde Schil- derkonft b eh oort, z o zeggen w y door regelen , en niet enkel yk het

O f

E E R S T E T> E E L.

L H O O F D - S T U K .

Vin d' eigenfchapp en en hoedanigheden

,

welke in deze wetenfchap moet waargenomen werden.

A voor-

voorbeelt z e lfs : want wy gaan door regelen, ende Schilders alleen op het o o g : vvy tekenen ook alleenlyk af de omtrekken van ’t geheel, en de deelen in ’t bezondcr, en z y alle tuffcheplaatfen : wy tekenen ook alleenlyk a f de bepaalde Voorbeelden , en de Schilders alle zonder on- derfcheit; voorts al het geen, ’t welk hier gezegt is, moet zo wel op de fchaduvv , dewelke het lichaam van zig geeft verftaan werden, als van het lichaam zelfs ; omdat w y dit mede verhandelen zullen. W y zullen ook afteekenen de vermindering van ieder bepaalt lichaam, vlak o f lyn : ook de fchaduw van de Z on o f Kaars, om uit te fluiten, het geen van den dag voortgebragt w e rt, ’t welk men niet wel bepalen kan, vermits het een algemeen ligt is.

W yders in de Schilderkonft wert alles waargenomen , maar in de Doorzigtkunde alleen dat geene , ’t welk bepaalt kan werden : dier- halven de Schilderkonft gaat zonder , maar de Doorzigtkunde met volkome regelen; en by g e v o lg , kan de Schilderkonft miffen, maar de D oorzigtkunde niet : daarom als men door middel van de D oorzigt­

kunde de omtrekken bepaalt., endoordeSchilderkonftalledetuflchen plaatzen v u lt, zo kunnen de Voorbeelden volkomen werden; en hier om heeft de Schilderkonft de Doorzigtkunde van nooden , maar de Doorzigtkunde de Schilderkonft n iet: een Schilder die hen byde belït, kan volmaakt werden.

O m dan een grondige kennis van de Doorzigtkunde te krygen, z o wert hier toe vereift , eenige wetenfehap van de gront en verheve te­

kening te hebben, dat is , de

lconographia

en de

Orthographïa

, die feer ligt van die genen verftaan w e rt, dewelke alree de beginfelen der M eetkonft geleert hebben ; en w y verzoeken ook van die geen , de welke de Doorzigtkunde grondig begeeren te verftaan, dat fe ten minften de grond der Meetkonft leeren, om dat al het geen , ’t welk hier aan v o lg t , volmaaktlyk daar van afhangt.

N u om dan terzak e te komen , en fonder omwegen te gebruiken, en ook om alle duifterheit te m yden, z o fullen wy eenige bepalingen der namen voor af laten gaan , die ons dienftig fyn te kennen, en ook tot de Doorzigtkunde behoren.

I. Bepaling , het geene waar op de afteekening gefchiet o f ge­

daan w ert, zullen wy Glas noemen; eerftelyk om dat ’t als doorfchy- nent aangemerkt werd, en ten anderen om dat het van outs zo genoemt is: fchoon’tgemeenlyk Papier, Doek o f Panneelis, daar d’aftekening op gedaan wert.

II. Bepaling , gezigteinder (

Horizont

) is dat geen , aan’t welk het gezigt eindigt, o f is het uiterfte einde van het gezigt. III. Be-

2 Van de 'Doorzigtkundt , o f

Tckenkoftfi

(

TtrffeBief

.)

3

III.

B ep alin g, O ogpunt i s ’t uiterfte punt van de ftraal, getogen van het oog tot den gezigteinder: en verandert dit punt z o menigmaal als de ftant van den ziender verandert.

I V . Bepaling , B y voorwerp (

objeBum

) verftaan w y het d in g ,

’t welk aan den ziender vertoont wert : dat w ezen kan , o f op de gront o f in de lu c h t; en regt o f fcheefhoékig op de zelfde gront.

V . Bepaling , De aftekening van een p u n t, is in de fnee, van de ftraal, die van het voorwerp tot het oog gaat, in een rechte ly n , door het glas.

En dit is genoeg van de bepalingen , de reft zal zeer ligt verftaan werden , en zonder duifterheit z y n : en dierhalven zullen w y de vol­

gende hoedanigheden en eigenfchappen voordragen , om dat ze ons zeer dienftig z y n ; en ook , om de geenen welke daar aan v o lg e n , door te bewyfen.

I

. Votr/lel.

Indien het voorwerp een rechte lyn is , z o zal mede de aftekening een rechte lyn wefen.

Laat in ditnevenftaande Voorbeelt B C het voorwerp een rechte lyn w ezen , ( Q_ het glas ) z o zal D E d ’aftekening op dit glas, mede een rechte lyn zyn .

Bcwjs.

D it blykt hier u it , aanmerkende dat A B C A een plat vlak is, z o wel als het glas Q^, en dat deze beide vlakken elkander doorfnyden , z o is haar gemeene fnee, de rechte lyn D E : naar de 3 prop. van het 11 boek Euclidus; maar D E is de aftekening van B C , dicshalven de afteke­

ning D E een rechte ly n , ’ t geene enz.

II. Voorjiel.

Indien het voorwerp een regte lyn i s , evenwydig aan het g la s, z o zal de aftekening mede een regte lyn wefen, evenwydig aan het voor­

werp. A x Z o

Van de Voorzigt kunde

,

of

Z o B C het voorwerp evenwy­

dig aan het glas Q^is , zo fal de af­

tekening F G evenwydig aan het voorwerp zyn.

Bewys.

Aanmerkt in dit nevendaande Voorbcelt B C het voorwerp even­

w ydig aan het glas Q^te zyn , en laat ook het vlak A B C A van het glas doorfneden werden , zo is naar het eerde voordel haar gemeene fnee (d ie F G is) een rechte lyn-, en overfulks is F G d aftekening , evenwydig aan het voorwerp B C , na de 16 prop. van het 11 boek Euclidus: ’t genen men bewyfen moet.

Gevolg.

Indien ’er een onderlinge evenwydigheit in de voorwerpen is , en aan haar zelfs en aan het g la s, zo zullen ook de aftekeningen onder­

ling evenwydig z y n : want na ’t tweede voordel is de aftekening F G , evenwydig B C , ook F I I aan D E , maar B C is evenwydig D E , dierhalven F G evenwydig H I : na de 30 pro. 1 boek E u cl., ’t gene enz.

F

III. Voor [lel.

Indien eenig plat vlakkig voorbeelt, evenwydig aan het glas is

,

zo zal ook de aftekening evenwydigengelykform igaanlietvoorwerpzyn.

Z o P evenwydig aan het glas is , zo zal q de aftekening evenwydig en gelykvormig aan het voorwerp zyn .

Bevjys*

b c is evenwydig B C : en B D evenwydig b d ; na ’t tweede voordel : en dus met d’an- deren : en dieshalven zyn de hoeken D B C , d b c even w y tj enoverzulks is

b c - - B C — A b - - A B en b d - - B D — A b - - A

15

en daarom b c - - b d i— « B C - - B D.

en z o ook met d’andere , en vermits de hoeken gelyk , en de zyd e om deze hoeken evenredig z y n , daarom zyn de voorbeelden gelykvor- m ig ; ’t gene enz. en datze evenwydig zyn , is klaar genoeg door ’t eerfte en tweede V oord el. M erkt dat \vy by - - verfla t o t , en by

•--- als, en wederom by - - tot ; zo d a t ’t , het zelfden is , o f men fielt b c - - B C --- A b - - A B , dan o f men zegt b c tot B C als A b tot A B.

IV. Voorfiel.

7 ^ekenkcrntt ( Terfpeciief.) y

Indien het voorwerp een oneindige rechte lyn is, onevenwydigaan het glas , en die het glas aan de gront f lo o t , z o is de afteekening die lyn , dewelke getogen wert op het glas , van het (lotende punt tot aan de lyn o f draal, die getrokken is evenwydig aan het voorw erp , tot dat die het glas raakt.

Indien in dit nevendaande V oorbeelt , B C onevenwydig aan het glas Q_is, zodanig dat die het glas in B d o o r , en indien A O die genen is, dewelkeevenwydigaan B C is , en het plat vlakkig glas Q^ontmoet in O , z o zal B O , de afteekening van d ’oneindige B C z y n : indien m enzigverheelt dat C o n ein d igvan B is: maarnu is B P de aftekening van B C .

Be\i}ys.

O m dat B C en A O evenwy­

dig zyn , daarom is A C en B O mede in ’t zelfde vlak , waar in d a t B C e n A O is, ( 7 prop.des 11 t u c l .) dat is, alle deze lijnen zyn in een zelfde vlak ; en dies- halven moeten A C , B O elkan­

der zekerlyk fnyden: en vermits d ’eent n B O in het glas is, daarom moet de fnyding P nootzakelyk

3 * in

in het glas

xyn-,

en hier uit b lykt, dat de aftekening van alle de pun­

ten in de lyn B C , in B O moeten vallen, gelyk ook zekerlyk D in L va lt: C in 't oneindig van B nemende, z o zal P ook oneindig van B kom en, o f in ’t oneindig nader aan O ; en om dat ’t verfchil tuf­

fen P en O (hoe P nader aan O ko m t) zo klein zal werden, ja min­

der als de minfte grootheit , die men zal kunnen bedenken , z o ftelt men die gelyk niets, dat is P in O j en dierhalven is B O de aftcekc- ning van de oneindige B C , indien E oneindig ver van B genoomen word j ’t geenc enz.

6

Van de Door zigt kunde , ^{o f}

V. Voordel.

Z o ’er verfcheide lynen onderling evenwydig, en onevenwydigaan het glas zyn , zo vergaren hun afteekeningcn, wanneer men hen ver­

len gt, alle in dat punt, daar de ftraaldie evenwydig aan het voorwerp getogen is, het glas floot.

& b Z o B P en F L ver­

lengt werden, z o zullen die vergaren in O .

Bewys:

N a het 4 Voorftel is P de aftekening van C , en L degene van D ; en om dat A O evenwydig B C is , daarom is den hoek O A P gelyk B C P : (2 7 prop des 1 F ucl.) en als B P tot O verlengt w ert, z o zal den hoek A P O gelyk C P B w ezen , ( 15 prop. des 1 E u c l.) en by gevolg den hoek A O P , gelyk C B P : ( 1 6 prop. des 1 E u cl.) dat is , de ver- lengde B P in O j en om de zelfde reden de verlengde F L i n U , t

gene enz. „ .

6

VI. Voordel,

In d ien ’er in een zelfde vlakte, verfcheide lynen by verdeling on­

derling evenwydig , en onevenwydig aan het glas zyn , zo o zuj^en

hun aftekeningen alle niet in een zelfde punt vergaren } maar de ver­

gaar punten, zullen in een zelfde lyn z y n , die op het glas getogen is evenwydig aan de fne van het g la s, en het v la k , waar in dat de voor­

werpen zyn.

In dit nevenftaande V oorbeelt is B C even­

w yd ig F D , en B I e- v e n w y d ig F H , en alle in een zelfde v la k , wel­

ke vlak het glas Q^fnyt met de lyn B F : daar­

om zullen deevem vydi- ge B C , F D vergaren in het punt O ; en d ee- venwydige B I , F H zullen vergaaren in het ander punt o ; en z o men dan getogen heeft O o , die zal evenwydig zyn met de fnee B F ,

Bezeys.

A O is

evenwydig B C , en A o evenwydig F H , naar het y V o o r- f t e l , en B C , F H zyn in een zelfde vlakte , dierhalven is het vlak A O o evenwydig aan het vlak B F H C B : i y des 1 1 E ucl

. )

o f dat het zelfden is, het vlak A O o is evenwydig aan het vlak waar in de voorwerpen z y n ; en vermits B F en O o fneden van deze evenwydi- ge vlaktens en het glas z y n , daarom is O o evenwydig B F , na de

iG

des 11 Eucli. en dus met de anderen, ’t geenen enz.

Te ken konfi ( Terfpeftief .) ^j

II. H O O F D - S T U K .

V m de algemetneregelen tot deT)oorzigt kunde

,

het glas regt of'fcheef~

hoekig op de gr out zynde, hun aftekeningen te vinden

.

O

M dat de punten de lynen bepalen, delynen de vlaktens, en de vlaktens de lighamen, z o zal ’t geoorloft wezen , dat w y eerft

r e *

regelen op de aftekening der punten geven , en om dat een punt kan gegeven werden, o f op de gront o f in de lugt , zoo zullen w y hen beiden van noden hebben; en terwyl het glas voor o f agter het voor­

werp kan z y n , recht o f fcheefhoekig op de gront, z o zullen w y dit niet overllaan.

En vermits in zodanigen geval, gegeven is defneevandeglasgront, den hoek die het glas met de gront m aakt, de zienders voet ; en de hoogten van ’t oog boven de v o e t ; ook de voorwerpen op de gron t, o f in de lu g t, z o kan hier op aangemerkt werden , dit navolgende.

1 , Vraagfluk.

Indien de hoogten des zienders , het glas regthoekig op de gront , en het voorwerp agter het glas op de zelfde gront gegeven is, de af­

tekening te vinden.

D e hoogten des zienders is V A : het glas regthoekig op de gront is Q_; en het voorwerp agter het glas (zyn d eeen p un t) is C .

Ontbinding , trek van de voet des zien­

ders ( in ’t neven- ftaande voorbeelt)

8 Van de 'Doorzigtkundc , ^of

o j -

zodanig, dat die het glas Q_ regthoekig raakt in G : trekt ook van ’t punt C de grontlyn C B , evenwydig aan V G ; en trekt meede van het oog A , een lyn o f ftraal (evenwydig aan B C ) tot dat die het glas (loot in O ; die is de geene , dewelke men oogpunt noemt : maar O A wert afftant geheeten , en daarom A het afïlant punt. T re k t ook langs de vlakten van het glas , en regthoekig op V G de lyn G O : trekt ook van ’ t punt, B en regthoekig op B C , B F , langs de vlakten van ’t glas, en in lengten na gevallen ; trek mede met de wyten O A uit het punt O een b o o g , tot dat die O G fnytin D , zo is O D gelyk O A

■,

en laat ook ge-

getogen zy n uit het punt B , met de wy ten B C den boog C F , z o is B F gelyk B C : en voor ’t laatft getoogen hebbende B O , D F en A , z o fnyden deze drie lynen elkander in het p u n tP , de welke de aftekening is van C .

Men kan dit ligtelyk betogen ; want na het 4 V oorftel is P d d ’af- tekening van C ; en na ’t y Voorftel komt de verlengde B P in O ; en om dat A O evenwydig aan B C is , daarom is den hoek A O P gelyk P B C , na de 27 prop. des 1 Eucli. en den hoek A O P gelyk C P B , na de 15 pr. des 1 Eucli. en by gevolg zyn de drie h o e k e n A O P A e n

C

B P C gelykhoekig , en over zulks de z y d e , om gelyke hoeken,even- re d ig , 4 pr. des 6 Eucli.

D at is A O - - B C --- O P - - B P en A O - - B C — ~ A P - - C P o f D O - - B F ---- O P - - B P en daarom.

D O - - B F - D P - - F P .

W an t D O en B F in plaats van A O en B C nemende, om dat ze hier aangelyk zy n , en vermits de reden de zelfde blyft ; zo o betoont d i t , dat P de ware afteekening is van C , o f dat P het d oorzigt punt i s , ’t genen enz.

Tekenkonft ( Terfpectief .) <j

II. Vraagfhik.

Indien de hoogten des zienders gegeven is , het glas fcheefhoekig op de gro n t, hellende van den ziender a f , en ’ t voorwerp agter het glas op de zelfde g ro n t, de aftekening te vinden.

D e hoogten van den ziender ]# is V A : het glas hellende van den ziender a f is Q .j en het voorwerp agter het glas is C ; o f men kan het ook voor B C neemen , en dan is ’t voorwerp een rechte lyn.

O ntbind in g; trekt van de voet des zienders de regte lyn V G e- venwydig aan B C : trekt uit ’t punt G regthoekig op V G de lyn G K , tot dat die de ftraal getogen uit A en evenwydig aan B C raakt in K ; maar om dat deze G K buiten het glas is, z o kan die ’t begeerde niet voldoen 5 daarom

B moet

IO Van de ‘Doorzigtkunde, o f

moet de draal A K verlengt werden , tot dat die het glas f l o o t , ais hier in O , en dan is A O de atftant: trekt ook van O een Iyn op de vlaktens van het glas to tG , z o w yft den hoek K G O aan ,d e helling van het glas: voorts maakt O D gelyk O A , en B F (d ie evenwydig is aan G O ) gelyk B C ; en voor ’t laatft getogen hebbende B O , F D en A C , z o is P de aftekening van C , o f C is het doorzigt punt be­

palende de lyn B P

;

’t bewys hier af volgt klaar uit ’t gene in ’t eerfte Vraagftuk betoogt is : want de driehoeken A O P en C B P zyn ge- lvkhoekig, en overzulks zyn de z y d e , om gelykehoeken, evenredig , Dat is A O - - B C --- O P - - B P en

A O - - B C --- A P - - C P ook O D - - B F --- O P - - B P en daarom O D - - B F — D P - - F P .

Ik ftel in plaats van A O en B C , O D en B F , en om dat de redern de zelfde b l y f t , zo betoont dit dat B P de ware aftekening is van B C ,

’t geene enz.

Indien de hoogten des zienders, het glas fcheefhoekig op de gront hellende na den .ziender toe , en het voorwerp agter het glas op de zelfde gront gegeven is, de aftekening te vinden.

III. Vraagftuk.

§ Q J t g 'as hellende na den.

In dit nevenftaande V oorbeek is V A de hoogten des zienders :

^ ziender toe : C ’t voor­

werp op de gront en ag­

ter het glas: o f men kan het ook voor B C nemen, en dan is het voorwerp een rechte lyn.

Ontbinding ; in deze is de bewerking’t zelfde als in ’t tweede Vraag- ftuk getoont is, behal ven

het afftant p u n t , en den hoek O G K w yft aan de helling van ’t glas}

en men ziet ook ligtclyk dat de driehoeken A O P A e n C B P C g e l y k - hoekig z y n , en by gevolg de zyd e om gelyke hoeken evenredig , en dit met hettweede Vraagftuk vergeleken, men zal bevinden dat P de waaragtige aftekening is van C : o f anders B P de geene van B C , en dit is genoeg van dit Vraagftuk.

I V Vraagtuk.

Tekenkonft ( ‘ PerfpeÏÏief .) ïi

Indien de hoogten van den ziender, ’t glas regthoekig opdegrpnt, de voorwerpen agter ’t glas, en onderling evenwydig en onevenwydig aan ’t glas en aan de gront gegeven zyn , de aftekening te vinden.

D e hoogten des zienders is V A : ’t glas regt­

hoekig op de gront is : en de voorwer­

pen achter het glas onevenwy­

d ig aan de gront en aan ’t glas zyn B h ' , D G en L H : en alle - V onderling even­

w ydig.

Ontbinding ; trekt van de voet des zienders V D evenwydig aan B C : trekt van ’t punt D , die de gront van het glas r aakt , een lyn na gevallen op de vlakten van het g l a s , en regthoekig op V D : laat ook getogen zyn ,d e ftraal van A , en evenwydig aan B C , tot dat die de lyn getoogen op de vlakten van ’t glas, en regthoekig op V D raakt in O : maar om dat de voorwerpen buiten dit punt zullen vergaren , z o trekt van A een ftraal evenwydig aan B F , tot dat die de verlengde D O fn y t , als hier in K , die is ’t vergaar p u n t: trek dan L K en B K , en voor ’t laatft A F , A G en A H , z o zyn de punten P , I en M de afteekeningen van F , G en H ; o f anders, B P , D l en L M , zyn de ware afteeke­

ningen van B F , D G e n L H ,

B

2

Men

D e hoogten des zienders is V A : ’t glas regthoekig op de gront is Q j en ’t voorwerp agter ’t glas regthoekig op de zelfde gront is D C .

Ontbinding; trekt van de voet des zienders V C , dee- ze wert regthoekig doorfnee- den van de vlakten van ’tglas, in ’t punt B : trekt van A een

^j

ftraal ( evenwydig aan V C

)

v tot dat die de vlakten van ’t glas raakt; trekt dan uit ’t punt

15

, regthoekig op V C een lyn , tot dat die de ftraal ge­

togen uit A , fnyt in O , die is ’t oog en A ’t afftant p u n t , en vo o r’t laatft getogen A D en A C , dewelken B O doorfnyden in de punten F en P , z o is P F de aftekening van C D.

Hec Bewys hier a f is klaar , want het glas Q . is regthoekig op de g r o n t, en C D is mede regthoekig op de zelfde g ro n t, en daarom is C D evenwydig aan ’t glas Q_: en dierhalvcn wert het vlak A D C A doorfneeden evenwydig van ’t voorwerp, na ’t

z

voorftel, welkers ge- meene fnee P F is ; en om dat de driehoeken P O A P , P B C P gelyk- hoekig z y n , daarom zyn de zyd e om gelyke hoeken evenredig , en overzulks is P de afteekening van C , en om de zelfde reden is P F de afteekening van D : ’t welk genoegzaam in de voorgaande vraagftuk- ken bewezen is: en vermits de punten de lynen bepalen , gelyk alree gezegt is , daarom is P F de waare afteekening van D C , ’t geenc enz.

Vil. Vraagfluk.

Indien het voorbeeld een vierkant is, en van dit zelfde voorbeeldde afteekening in de doorzigtkunde gegeeven is , de afftant te vinden.

H et voorbeelt is A F G D A de afteekening in de doorzigtkunde is A B C D A .

Ontbinding; verlengt A B , D C d e z e f n y d e n malkander in de gc- zigteinder in O : trekt de hoek lyn A C , deze fnyt de gezigteinderin

: trek uit JM de regthoekige N M op

A

D : trekt ook de ly n A G , en

■ ver-

14 Van de Doorzigtkunde , o f

Tekenkonft

(

Terfpe&ief

. )

F verlengt O S , en getogen van M een lyn evenwydig aan A G , de­

z e fnyt de verlengde O S in P ; en daarom zal P S gelyk O N o f S M w ezen , en o v e r z u lk s is O N o f S P de afftant : ’t w elk zeer ligt te bewyzen isi verlengt G D tot Q^, zo o zyn de driehoeken M D Q M , M S P M gelykhoekig om dat den hoek M aan hen bei­

de gemeen is , en de zyd e D evenwydig aan S P : maar den drie­

hoek A G D A is ook gelykhoekig aan den driehoek D Q^M D , om dat den hoek A D G gelyk aan , . Q D M is , en G A evenwydig aan M Q _ ; en daarom is dan ook den driehoek A G D A gelykhoekig aan den driehoek M S P M , en overzulks zyn de zyd e om gelyke hoe­

ken evenredig, na de 4 prop. 6 b. £ucl.

En daarom A D — A G — D M m a a r O N o f S M - S P - A D - D G

A G , D M ---

30 M en A D

D M - A G , D M - G D - A G

~ D

D M , A G

30

A G , D M , c D A D

D M , A G ■— --- — - deelt 0 ® G D ? of,

A D

S J d , D G » S P , A D , . S M , D G

dat is ___ ,____

3

o A D en

S P ( daarom

G D

S M , D G

~s p~

30 G D

S M

* S F

deelt 30 o o f

E rgo A D 30 G D

S M au S P dat men bewyzen moeft.

VilL Vraag-

Indien een doorzigtkundige afteekening gegeeven i s , en de lengte hoe ver de zelve van de glas gront l e g t : te vinden het o o gp un t, de lengten van de afftant des zienders , • ook het voorheek waar van de doorzigtkundige afteekening voort gekomen is.

Laat a b c da de Doorzigtkundige afteekening zyn , en A B de lengten, z o ver het voor­

heek a b c da van de glas gront leit.

Ontbinding ;

— verlengt a b en d c

^ tot dat ze malkan­

der fnyden , als hier in O , die is

’t oogpunt, na ’t 7 vraagftuk : laat ook verlengt wer­

den de hoeklyn G a c , tot dat die de Gezigteinder fnyt in Q_, zo is deeze Q_het afftant punt : trek uit Q_de regthoekige Q_N op de grontlyn G N , en wanneer O P verlengt is , z o maakt P S gelyk N P, en getogen N S , z o is P S de afftant, na ’t 7 vraagftuk; wyders ver­

lengt Z E na believen, en om dat A B aan A G gelyk is, z o trekt van B een lyn evenwydig aan S N , deze fnyt de verlengde Z E in D , en getoogen B E , D C beide evenwydig aan de grontlyn G N , zoo is B E D C B het voorbeelt waar van a b c da de doorzigtkunde afge- teekent is, want na ’t 1 voordel is b c de afteekening van A Z , en van F G , maar a b is ook de afteekening van F G , en dierhalven is a b c d a en vierkant; en overzulks ook B C D E B een vierkant, ’t geen men be-

w yzen moeft.

1

IX. Vraag-

HU

j6

Van de Tloorzigtkunde, of V III. Vraagfluk.

Indien een doorzigtkundige afteekening gegeeven i s , en de lengte hoe ver de zelve van de glas gront l e g t : te vinden het o o gp un t, de lengten van de afftant des zienders , • ook het voorheek waar van de doorzigtkundige afteekening voort gekomen is.

Laat a b c da de Doorzigtkundige afteekening zyn , en A B de lengten, z o ver het voor­

heek a b c da van de glas gront leit.

Ontbinding ; verlengt a b en cl c

^ tot datze malkan­

der fnyden , als hier in O , die is

’t oogpunt, na ’t 7 vraagftuk : laat ook verlengt wer­

den de hoeklyn G a c , tot dat die de Gezigteinder fnyt in z o is deeze Q^het afftant punt : trek uit Q_de regthoekige Q .N op de grontlyn G N , en wanneer O P verlengt is, z o maakt P S g e l y k N P, en getogen N S , zo is P S de afftant, na ’t 7 vraagftuk; wyders ver­

lengt Z E na believen, en om dat A B aan A G gelyk is, z o trektvan B een lyn evenwydig aan S N , deze fnyt de verlengde Z E in D , en getoogen B E , D C beide evenwydig aan de grontlyn G N , zoo is B E D C B het voorbeelt waar van a b c d a de doorzigtkunde afge- teekent is, want na ’t 1 voorftel is b c de afteekening van A Z , en van F G , maar ab is ook de afteekening van E G , en dierhalven i s a b c d a en vierkant; en overzulks ook B C D E B een vierkant, ’t gecnme-nbe- w yzen moeft.

1

IX. Vraat-

■

Tekenkonjl ( Terfpettief .) J7

K _M /N

7

^X

Fraagfluk.

Gegeven zynde het langront d’afftant van de glas gront en de gront I yn: het oogpunt, en afftant van den ziender te vinden : als ook ’t voorbeelt, waar van het langront inde doorzigtkundeafgetekent is.

H et langront alree in de doorzigtkunde af- geteekent, (e n ’tw elk gegeven is)is A B : d ’af- ï l a n t , dat is z o ver ’t langront van de gront aflytis E S.

Ontbinding ; trekt de raak lynen D A O , E B O d e w e lk e z ig ver­

garen in O , z o is O ’t oogpunt» e n D E i s d e waare lengte van de middellyn. Maakt E K g e l y k E S , en getogen van K een lyn door V ( het middelpunt van ’t langront) deze fnyt de gezichteinder in C , z o is deze C ’t afftant punt:

trekt uit C de rechthoekige C N op d egro n tlyn , en maakt op de ver­

lengde O M , M R gelyk M N , en getogen N R , zo is M R de af­

ftant van den ziender , gelyk in ’t 7 vraagftuk beweezen is j wyders verlengt E S en hier aan evenwydig D T : trekt uit S een lyn evenwy.

dig aan N R 5 deze fnyt de verlengde D T in T : voorts maakt S L gelyk aan K P , ( te w eten , als men van C een lyn getogen heeft door B

,

de welke de grontlyn fnyt in P ) z o is deze S L de halve middellyn van het begeerde ront, trekt van S en L twee lynen evenwijdig aan de grontlijn D E , zo zal L Q^de lyn S T in twee gelyke deelen in X , deze is ’t middelpunt van het ront Q ^ L ; en dat Q_L de ware middel­

lijn van ’t begeerde ront is , volgt hier uit klaar genoeg , te weeten , om dat O V tot A B , als O M tot D E is, maar D E is gelijk en even­

w ydig aan Q L , en daarom Q L de waare middellyn.

C Indien

m m

);

Indien men om ’t langront A B een zodanigen vierkant befchryfd , gelyk hier gedaan is, door ’t trekken van de raaklijnenH I, F G , z o zal het middelpunt van H G altyt vallen in ’t middelpunt van ’t lang tont. W a n t.

O Y --- Y F . O Y — V A . O V — - V A . O W --- W H .

x8

Van de Doorzigtkunde , ^of

En daarom Y F --- V A --- - V A —— W H .

U it deze vergelyking volgt ’t geene gezegt is: dat is, om dat V A midden evenwijdig tuilchen Y F e n W H is , daarom vak ’ tm iddepunt van H G in 't middelpunt van V , van ’t langront A B.

Voorts door deeze regel kan men akyt vinden de afftant van den ziender, het oogpunt in de gezichteinder, en’tvoorbeelt zelfs, wan­

neer ’t voorwerp alree in de doorzichtkuude afgetekent, gegeeven is :

’t z y of de zelve evenwydig o f onevenvvydig met de gront zijn. W y hebben maaralleen deze aangetekend, de welke evenwijdig met de gront zijn : d’andere zijn alzo eenvoudig, en wy agten , dat die van zelfs door U E. zullen kunnen werden gevonden : hoewel ze niet zo nut als wel aanmerkelijk zyn.

W yders in ’t eerfte H ooft-ftuk is atfngeweezen de natuur en eigen- fchap der voorwerpen, de welke op ’t glas afgeteekent werden s en de gelijkvormigheit met. die geene, door de welke de afteekening ge- fchiet.

In ’t tweede H ooft-ftuk hebben w y aangeweezen, ’t glas voor het voorwerp geplaatft zijn d e, tuflehen den ziender en ’ t voorw erp, recht o f fcheefhoekig op de gron t, de middelen om ’t voorwerp op ’t glas af te reekenen , zodanig o f ons ’t voorwerp zelfs vertoonden: maar nu zullen wy regelen geven, 't glas vlak op de grond leggende , en ’t voorheek voor het glas geplaatft zynde de afteekening te vinden , welke regel van ’t grootfte gébruik is, en deze volgende regel is zoda­

nig , datze genoegzaam zonder de voorgaande kan geleert werden: en de reden, die w y hebben gehad, om deze beide Hooft-ftukken voor aan te fteilen, is om dat de volgende daar van afhangen, en als gevol­

gen z yn, uit dit voorgaande; en om te toonen, dat de doorzicht kun­

de zuiver] yk wiskonftig is.

Maar eer w y ter zake komen, zullen w y alvorens eenige meetkun-

/

lekenkon Pt

(

‘Perfpeltief

. ) 19 dige werkftukken voor a f befchryven , zeer dienftig zyndeom te ken­

nen , voor die geenen , welke de M eetkonft niet geleert hebben , en deze zyn van gedaante en inhout, als hier aan volgt.

Den hoek B A C is gegeeven gelyk den hoek B A E , daarom noemt men de hoeken B A C en B A E ieder regte hoeken : o f anders zo op de lyn E C de lyn B A getoogen is , zod an ig, dat den hoek B A C ge­

lyk aan B A E is, zo noemt men deze regte hoeken.

H ier uit volgt dat den hoek E A D minder is, als Regt jen denhoek D A C meerder, en daarom noemt men den hoek D A E fcherpen hoek, maar den hoek D A G wert botten hoek geheeten, in F . no. 1.

7

^.

Werkfluk.

Om uit een ge ge eve punt in een gegceve lyn, een lyn te trekken rechthoekig op de gcgeeve lyn.

’t W e rk ; laat ’t punt in de gegeeve lyn zyn E , en maakt E O ge­

lyk E Q ., trekt uit het punt O m eteenw yte na believen een b o o g , en met de zelfde wyte uit ’t punt Q_een andere boog , deeze fnyden mal­

kander in C , dan van C getoogen een lyn tot E , zo is C E regthoe- kig op O Q_, in F . no. 1.

77

^.

^Werkfluk.

Om van een gegeeve punt buiten een gegeeve lyn

,

een lyn te trekken regt hoekig op de zelven.

Laat de gegeeve lyn zyn Q O , en ’t punt hier buiten C , trekt uit

’ t punt C een b o o g , zodanig, dat die de gegeeve lyn f n y t , als hier in D en F , dan getogen uit D met de w yte D C een boog, ook uit F met de zelfde wyte , een ander, deze fnijden malkander in C : trekt ook met deze wijte uit de punten O en Q_twee bogen, die malkander fny­

den in A , dan getoogen C A gaande door de gegeeve lyn in O Q J n E , z o is C E o f A E rechthoekig op O Q _ , in F . no.

z.

C ² l i l . Werk-

20

III. Werkjluk.

Om aan een voorgegeve lyn een ander te trekken

,

zijnde met de zelve evenwijdig.

Laat deeze voorgegeeve lyn zijn C D : verkieft in de zelve een punt na gevalle als hier F : trekt uit F een lijn als F A met een hoek P z o gy wi l t , trekt dan van A een lyn , zodan ig, dat den hoek Q_

gelyk P is , zo zal de lijn van A getoogen, cvenwydig aan C D z y n , in F. no.

z.

IV. JVerkjluk.

Om van een voorgegeeve lijn

,

een vierkant te maken.

Laat de voorgegeve lyn zijn B , maakt aan de zeivegelijk C B } een der zijde van ’t vierkant: trekt met de lengte C B uit de punten C , en B twee boogen , de welke malkander fnijden in X , deelt B X o f C X in twee gelijke deelen, maakt X E en X D ieder, gelyk de helft van B X o f C X , en getoogen B D , E D en E C , zo is B D E C B ’t begeerde vierkant, in F . no. 4.

V. TVerkfluk.

Om van twee voorgegeve lijnen een raam te maken:

Laat A C gelijk A wezen , en trekt van de punten A en C twee lij­

nen rechthoekig op A C , zodanig als in ’t 1 werkftuk geleert is , als deze C D en A B ieder gelyk de lijn B , dan getoogen B D , zoo is.

C D B A C ’t begeerde raam, in F . no. 5.

VI. fVerkfuk.

Om van eengegeeve lyn, een gclijkzijdigen driehoek te maken.

Laat de voorgegeeve lijn zijn E , maakt F E gelyk E , dan van de beide punten F en E getoogen twee boge ( met de zelfde wyte van F E ) de welke malkander fnijden in G , dan getogen F G , E G , zo is F G E F d e g e ly k z ijd ig e n driehoek, in F . no.6.

Van de Door zigt kunde , ^of

VIL Werk-

V IL Werkjluk.

Om van twee^gegeeve lijnen

,

een gelijk beenigen driehoek temaken.

Laat de beide gegeeve lynen zijn E e n D j en maakt E D gelijk aan de gegeeve lijn E , en trekt van de punten

D,

E met de lengte van de lijn D twee bogen, deze fnijden malkander in C , dan getogen D C , E C , z o is deze de begeerde gelyk beenigen driehoek, in F . no. 7.

V III. Werkjluk.

Om een hoek te maken

,

even zijnde

,

aan eenvoorgegeeve r egt lint[e hoek.

Laat de voorgegeeve recht linife hoek zijn E A D : trekt uit ’tpunt A van D een boog ,fnijdende de lyn A E in C : trekt dan een rechte lijn na believen, als deze F G , dan van ’t punt F uit G getoogeneen b o o g , zodanig, dat F G gelyk is aan A D , dan uit G met de wyte D C getrokken een andere boog, fnijdende den boog G Qjin X , en ge- toogen hebbende F X z o is den hoek X F G gelyk aan C A D , in F . no, 8.

IX. Werkftuk.

Om van drie gegeeve punten een vierde te vinden

,

hebbende van de •zelve gelyke afflant.

Laat de drie gegeeve punten zyn A , B en C : trek van de punten A en B met een zelfde wijte twee boogen , de welke malkander fnij­

den , ook van de punten B en C , dan door deze fnijdende punten ge- toogen twee lijnen, deze fnyden malkander in X , zo is deze X het begeerde punt , hebbende een gelijke afftant van de punten A , B , C , in F . no. 9.

Tekenkon ft ( Terfpeblief. ) ^%%

3 ^{X. Werk} -

22

X. Werkfiuk.

tA lle de punten te vinden

»

hebbende van een gegeeve punt een gelyke afflant.

Laat het gegeevc punt z y n D : en verkieft een lengten nau believen, als deze D X trekt dan met deze D X een ront om ’t middelpunt D , z o hebben alle de punten X een gelyke afftant van ’t punt D , in F . no. io .

X I. Werkfiuk.

In een gegcve oneindige lijn

,

een punt te vinden , hebbende van twee gegeeve punten gelyke ajfiant.

Laat de gegeeve punten zyn A en B , en de oneindige l y nD: trekt uit de punten A e n B twee bogen, zodanig, dat deze malkander fny- den als hier in O en Q^, en getrokken door de fnijdende punten een rechte l yn, deze gaat door d’oneindige lyn D en wyft aan ’t begeerde punt X ', hebbende van A en B gelyke afftant, in F . no. 11.

X II. Werkfiuk.

Om een gegeeve regtliuïfiche hoek in twee gelyke deele te declen.

Laat de gegeeve rechtlinifche hoek zyn B A C : trekt uit ’t punt A een boog na believen als deze Q O , trekt uit de punten Q ., O met een lengte na gevalle twee bogen , deze fnyden malkander in D , dan getogen van A door D een rechte lijn , deze deelt den hoek B A C in tw een, gelyk in F. no. 12.

X III. Werkfiuk.

Om een gegeeve lyn in zo veel gelyke deelen te deelen, als men wil.

Laat de gegeeve lyn zyn A B , en men begeert de zelve te deelen m Vy f gelijke , zo trekt uit het punt A een lyn met zodanigen h oek, als men w il, gelyk deze A F : brengt op deze A F u v y f gelyke deelen.

Van de 'Dwrzigtkunde , ^of

Te ken konft ( T er ffe Hief.

) ^ als van A tot D gedaan is , en trekt van D een lyn tot B , en uit alle

de deelen lijnen getogen evenwydig aan D B , z o zal hier door de lyn A B in v y f g e ly k e , gedeelt z y n , in F .n o . 1 3.

X IV. Werkftuk.

Om tot drie evenredige éen vierde zodanig te vinden.

T re k t twee lynen na gevallen en met een hoek , zodanig alsgy wilt:

maakt in deze de drie gegeve evenredige lynen , als deze

z ,

be ne dan getoogen twee evenwydige lijnen, deze bepaalen de vierde evenredige x ; dat is a tot b , als c tot x , in F , no. 14.

XV. JVtrkjiuk.

Om tot twee voorgegeeve lijnen, een derde evenredige te vinden.

D eze is ’t zelfde als de voorgaande, behalven datdevoorgegevelyn b alhier tweemaal genomen w ert; en dan is a tot b als b tot x , als in F .n o . iy .

XVI. Werk (luk.

Om taffehen twee voor gegeve lynen een middel evenredige te

vinden.

Laat de beide evenredige, de welke gegeeven zyn A B , B C w ezen , deelt A C in twee gelyke deelen, en op de zei ve getogen een halfront;

dan B D rechthoekig op A C : z o is deze B D middel evenredig tuffen A B en B C , in F . no. 1

6.

X V I I Werkfluk.

In een gegeve rent > een gelykzydigen driehoek te befchryven.

Verkies in ’t gegeve ront een punt na believe, en trekt met de halve middellyn van dit ront den boog A C , en getoogen de rechte lyn A C : zo wert de reft voltrokken als in ’t werkftuk getoont is, in F . no. 17.

XV l i l . Werk -

Van de Door zigt kunde

,

of X V lil. Wcrk(luk.

In een gegeve ront

,

een vierkant te befchryven.

Laat in ’t gegeeve r o n t , de beide middellynen F H > E C , zoda­

nig getoogen z y n , dat de zelve malkander rechthoekig doorlhydenin het middelpunt D , dan getoogen , E H , H C j C F en F E , deeze bepaalen het vierkant, in F . no. 18.

X IX . Werkftuk.

Om in een gegeeve ront, een vyfboek te befchryven.

Deelt de halve middellyn A O in tween , gelyk in Q_> en getoogen Q R : trekt met de lengte Q_R. een boog R F , en dan trekt de rechte R F , deze gaat vyfmaal in de om trek, in F . no. 19.

X X. Werkttuk.

In een voorgegeve ront

,

een zes hoek te befchryven.

D eze is zeer eenvoudig, want neemende de halve middellyn van’t gegeeve ront, die zal zesmaal in de omtrek gaan , in F . no. 20. en dit is genoeg van de meetkundige werkftukken voor z o ver de zelve ons tot dit voorneemen dienftig z y n , wy zullen nu wederom tot ons werk gaan.

TWEEDE