Aanvullingen van de Wiskunde

Aanvullingen van de Wiskunde

S. Caenepeel

Syllabus 131 bij 1009383BNR “Aanvullingen van de Wiskunde”AKA “Partieeldifferentiaalvergelijkingen”

Derde Bachelor Ingenieurswetenschappen: Electronica en Informatietechnologie, Fysica en Sterrenkunde, Wiskunde

en Datascience. 2020

Inhoudsopgave

1 Eerste integralen 3

1.1 Eerste integralen . . . 3

1.2 Het bepalen van eerste integralen . . . 5

2 Lineaire parti¨ele differentiaalvergelijkingen van orde 1 9 2.1 Inleiding . . . 9

2.2 Homogene lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde ´e´en . . . 11

2.3 De volledige lineaire vergelijking van orde ´e´en . . . 13

2.4 Het vraagstuk van Cauchy . . . 15

3 Parti¨ele differentiaalvergelijkingen van orde 2 18 3.1 Quasi-lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde 2 . . . 18

3.2 Het vraagstuk van Cauchy en karakteristieke krommen . . . 20

3.3 Herleiding tot de kanonische vorm . . . 21

3.4 Het geassocieerd stelsel . . . 23

3.5 Voorbeelden . . . 24

4 Oneindigdimensionale Euclidische Ruimten 31 4.1 Genormeerde ruimten . . . 31

4.2 Banachruimten . . . 37

4.3 Euclidische ruimten . . . 43

5 Fourierreeksen 52 5.1 Goniometrische veeltermen . . . 52

5.2 Veeltermen . . . 63

5.3 Trapfuncties . . . 67

5.4 Dubbele Fourierreeksen . . . 69

5.5 Orthogonale basissen en het Sturm-Liouville probleem . . . 70

5.6 Besselfuncties . . . 74

6 De methode van de scheiding der veranderlijken 77 6.1 Het vraagstuk van de trillende snaar . . . 77

6.2 De potentiaal binnen een bol . . . 80

6.3 De tweedimensionale warmtevergelijking . . . 82

6.4 De potentiaal binnen een cilinder . . . 85

6.5 Het drumstel . . . 86

Hoofdstuk 1

Eerste integralen

1.1 Eerste integralen

Beschouw een normaal stelsel differentiaalvergelijkingen van n vergelijkingen met n onbekende functies:











y⁰₁= f₁(x, y₁, y₂, · · · , y_n) y⁰₂= f₂(x, y₁, y₂, · · · , y_n) ...

y⁰_n= f_n(x, y₁, y₂, · · · , y_n)

(1.1)

Een eerste integraal van het stelsel (1.1) is een functie φ(x, y₁, y₂, · · · , y_n) die constant is (dit wil zeggen: onafhankelijk van x) als men y₁, y₂, · · · , y_nvervangt door een oplossing van het stelsel.

Een eerste integraal kunnen we dus schrijven als

φ(x, y₁, y₂, · · · , y_n) = c of, korter,

φ = c

Het is evident dat als φ = c een eerste integraal is van (1.1), en f : R → R een willekeurige functie is, dat dan f ◦ φ = c⁰ook een eerste integraal is. Immers, op een oplossing geldt dat

f(φ(x, y1, y₂, · · · , y_n)) = f (c) = c⁰

Deze nieuwe eerste integraal levert echter geen nieuwe informatie op over de oplossingen van het differentiaalstelsel. Daarom voeren we de volgende definitie in: twee eerste integralen φ₁= c₁ en φ₂ = c₂ worden verschillend genoemd als er geen enkele functie g bestaat zodanig dat φ1= g ◦ φ2 of φ2= g ◦ φ1. Meer algemeen zeggen we dat m eerste integralen φ1 = c₁, · · · , φ_m= c_m verschillend zijn als er er geen enkele functie in m − 1 veranderlijken bestaat zodat φ_i = g(φ1, · · · , φi−1, φi+1, · · · , φm).

Stelling 1.1.1 Als men een eerste integraal φ(x, y₁, · · · , y_n) = c van het stelsel (1.1) kent, dan kan men het stelsel vervangen door een equivalent stelsel van orde n− 1, waarin ook de constante c voorkomt.

Bewijs. Los een van de onbekende functies, bijvoorbeeld y1 op uit de eerste integraal. Men ver- krijgt

y₁= ψ(x, y2, · · · , y_n)

Substitutie hiervan in n − 1 vergelijkingen van het stelsel (1.1) geeft een stelsel in de n − 1 onbe-

kenden y₂, · · · , y_n, dat bovendien afhangt van c. 

Stelling 1.1.2 Als de algemene integraal van het stelsel (1.1) afhangt van n constanten, dan bezit het stelsel juist n verschillende eerste integralen. Omgekeerd, indien men n verschillende eerste integralen van het stelsel kent, dan kan men hieruit ook de algemene integraal van het stelsel bepalen.

Bewijs.Bij onderstelling is de algemene integraal van het stelsel van de vorm











y₁= y₁(x, c₁, · · · , c_n) y₂= y₂(x, c₁, · · · , c_n) ...

y_n= y_n(x, c₁, · · · , c_n)

(1.2)

Als we dit stelsel oplossen naar de constanten c₁, · · · , c_n dan verkrijgen we (met behulp van de stelling van de impliciete functies):











c₁= φ1(x, y₁, · · · , y_n) c₂= φ2(x, y₁, · · · , y_n) ...

c_n= φn(x, y₁, · · · , y_n)

(1.3)

We hebben dus n eerste integralen. Deze n eerste integralen zijn verschillend, want anders bestond er een betrekking van de vorm

φj= ψ(φ1, · · · , φj−1, φj+1, · · · , φn) met andere woorden

c_j= ψ(c1, · · · , c_j−1, c_j+1, · · · , c_n)

maar dit zou betekenen dat de constanten c₁, · · · , c_nniet willekeurig zijn.

We moeten nog aantonen dat er geen (n + 1)-de eerste integraal is die verschillend is van de vorige.

Onderstel dat

c_n+1= φn+1(x, y₁, · · · , y_n) (1.4) zulk een eerste integraal. (1.3) en (1.4) laten dan toe om x, y₁, · · · , y_nte berekenen in functie van de constanten c₁, · · · , c_n+1. Maar dan is x geen onafhankelijke veranderlijke meer.

Veronderstel tenslotte dat we n verschillende eerste integralen (1.3) kennen. Hieruit kunnen we y₁, y₂, · · · , y_n oplossen, zodat we een stelsel van de vorm (1.2) krijgen. Dit is een algemene inte-

graal. 

Men kan stelling 1.1.2 als volgt interpreteren: de algemene integraal van (1.1) is in feite een ver- zameling krommen in Rⁿdie afhangt van n parameters c₁, · · · , c_n. Als we deze algemene integraal

schrijven onder de vorm (1.2), dan betekent dit dat we van elke oplossing een stel parameterver- gelijkingen kennen. Als we n verschillende eerste integralen (1.3) kennen, dan betekent dit dat we elke oplossing kennen als de doorsnede van n hyperoppervlakken in Rⁿ⁺¹.

1.2 Het bepalen van eerste integralen

Om de eerste integralen van een differentiaalstelsel te bepalen volstaat het uiteraard om het stelsel op te lossen en dan stelling 1.1.2 toe te passen.

Zoals we reeds ondervonden is dit niet altijd mogelijk, en daarom is het nuttig om alternatieve technieken te bestuderen om eerste integralen te bepalen. Ook hier bestaan er geen algemene methoden; in deze paragraaf geven we enkele elementaire methoden.

Algemene natuurkundige wetten (bijvoorbeeld de wet van het behoud van energie of hoeveelheid beweging) leveren soms eerste integralen van stelsels differentiaalvergelijkingen die afkomstig zijn van fysische problemen.

Soms kan men ook op andere manieren eerste integralen vinden. We herschrijven het stelsel (1.1) onder de vorm

dx g =dy₁

g₁ = · · · =dy_n

g_n (= k) (1.5)

waarbij g, g₁, · · · , g_nfuncties zijn van x, y₁, · · · , y_n.

Als een van de vergelijkingen van het stelsel slechts x, y_i en y⁰_i bevat, dan levert de algemene integraal van deze vergelijking een eerste integraal.

Voorbeeld 1.2.1 We beschouwen het stelsel dx

x− y = dy x+ y =dz

z (1.6)

De eerste vergelijking is een homogene differentiaalvergelijking:

(x + y)dx = (x − y)dy We lossen deze op via de substitutie

y= ux ; dy = udx + xdu We vinden achtereenvolgens

(1 + u)dx = (1 − u)(udx + x du) dx

x = (1 − u)du 1 + u² ln |x| = bgtg u −1

2ln (1 + u²) + ln c en tenslotte vinden we dat

px²+ y² exp bgtg^y_x = c een eerste integraal is van (1.6).

Soms kan men ook op de volgende manier een eerste integraal vinden. Onderstel dat we functies α, α₁, · · · , αnvan x, y₁, · · · , y_nkan vinden zodat

αg + α1g₁+ · · · + αng_n= 0 en

αdx + α1dy₁+ · · · + αndy_n de totale differentiaal is van een functie h(x, y1, · · · , y_n).

Als (y₁, · · · , y_n) een oplossing is van het stelsel, dan geldt dus dh = αdx + α₁dy₁+ · · · + αndy_n

= k(αg + α1g₁+ · · · + α_ng_n) = 0 zodat

h(x, y₁, · · · , y_n) = c

een eerste integraal is. We noemen deze methode ook wel de methode der multiplicatoren. De moeilijkheid is natuurlijk om de functies α, α₁, · · · , αnte vinden. We bekijken enkele voorbeelden.

Voorbeeld 1.2.2 We beschouwen het stelsel dx

y− z = dy

z− x = dz

x− y (1.7)

Stel eerst α = α₁= α₂= 1. Dan is

α(y − z) + α₁(z − x) + α2(x − y) = 0 en bovendien is

dx + dy + dz = d(x + y + z) een totale differentiaal. We hebben dus een eerste integraal

x+ y + z = c₁ Stel nu α = x, α1= y, α2= z. Weer is

α(y − z) + α₁(z − x) + α2(x − y) = 0 en

xdx + ydy + zdz = 1

2d(x²+ y²+ z²) is een totale differentiaal. Een tweede eerste integraal is dus

x²+ y²+ z²= c₂ De oplossingen van (1.7) zijn dus de krommen

 x + y + z = c₁

x²+ y²+ z²= c₂ (1.8)

De oplossingen zijn dus cirkels met middelpunt op de as R(1, 1, 1) en gelegen in een vlak loodrecht op deze as.

Voorbeeld 1.2.3 We beschouwen weer het stelsel (1.6). We proberen α = −xz, α1= −yz, α2= x²+ y² Inderdaad is

−xz(x − y) − yz(x + y) + z(x²+ y²) = 0 Jammer genoeg is

−xzdx − yzdy + (x²+ y²)dz = −z

2d(x²+ y²) + (x²+ y²)dz

geen totale differentiaal. Alles zou ok zijn als de factor −1/2 er niet zou gestaan hebben. Merk op dat de factor

−1

2d(x²+ y²) voorkomt bij de differenti¨ering van (x²+ y²)^−1/2, immers

d(x²+ y²)^−1/2= −1

2(x²+ y²)^−3/2d(x²+ y²) Daarom delen we α, α₁en α₂door (x²+ y²)^3/2. We vinden dan

αdx + α₂dy + α₃dz = − zd(x²+ y²)

2(x²+ y²)^3/2+ (x²+ y²)dz (x²+ y²)^3/2

= d

 z

px²+ y²



zodat

z

px²+ y² = c₂

een tweede eerste integraal van het stelsel (1.6) levert. We kunnen dus concluderen dat de algemene integraal van het stelsel bestaat uit de krommen van de vorm











px²+ y² exp bgtg^y_x = c₁

z²

x²+ y² = c₂

Voorbeeld 1.2.4 Behoudswetten (behoud van energie, hoeveelheid van beweging,...) leiden soms tot eerste integralen. We zullen dit illustreren aan de hand van een eenvoudig voorbeeld: de valbe- weging. De differentiaalvergelijking die de val van een deeltje beschrijft is

h⁰⁰= −g

Hierbij is h(t) de hoogte op tijdstip t en g de valversnelling. De potenti¨ele energie van het deeltje is mgh, en de kinetische energie is mv²/2, waarbij v(t) de snelheid op tijdstip t is. De totale energie is constant:

E= mgh +mv² 2 = c

We zullen dit op een alternatieve manier aantonen. Eerst schrijven we de differentiaalvergelijking van orde 1 als een differentiaalstelsel:

 h⁰= v v⁰= −g

of dh

v = dv

−g= dt De eerste vergelijking geeft een eerste integraal:

−gdh = vdv

−gh + c = v² 2 gh+v²

2 = c₁ De tweede vergelijking geeft als tweede eerste integraal

v+ gt = c₂

Deze drukt de verandering van impuls uit als gevolg van de constante zwaartekracht mg.

Hoofdstuk 2

Lineaire parti¨ele differentiaalvergelijkingen

van orde 1

2.1 Inleiding

Een parti¨ele differentiaalvergelijking is een betrekking tussen een functie y van n veranderlijken x₁, x₂, · · · , x_n en de parti¨ele afgeleiden van y naar de x_i. De orde van de parti¨ele differentiaalverge- lijking is de hoogste orde van afleiden die voorkomt in de vergelijking.

Een oplossing van de differentiaalvergelijking is een functie y = f (x₁, · · · , x_n) die identiek voldoet aan de vergelijking (tenminste op een zeker domein). Een probleem dat men zich kan stellen is het bepalen van de algemene integraal van een parti¨ele differentiaalvergelijking. Uit de volgende voorbeelden zal blijken dat dit niet altijd een erg relevant probleem is.

Voorbeeld 2.1.1 z is een functie van de veranderlijken x en y. De oplossingen van de parti¨ele differentiaalvergelijking

∂z

∂x = 0 wordt gegeven door de formule

z= ψ(y)

waarbij ψ een willekeurige functie van ´e´en veranderlijke is. Immers, als we z afleiden naar de veranderlijke x, dan vinden we 0.

Men kan de willekeurige functie ψ vergelijken met de integratieconstante c bij een gewone diffe- rentiaalvergelijking. De algemene integraal van een parti¨ele differentiaalvergelijking van orde 2 hangt nu af van twee willekeurige functies. Dit blijkt uit het volgend voorbeeld.

Voorbeeld 2.1.2 We nemen nu de volgende parti¨ele differentiaalvergelijking van orde 2:

a²∂²z

∂x²−∂²z

∂y² = 0 (2.1)

Deze parti¨ele differentiaalvergelijking wordt ook wel de ´e´endimensionale golfvergelijking ge- noemd. We beweren nu dat

z= φ(x − ay) + ψ(x + ay)

een oplossing is van (2.1), ongeacht wat de (tweemaal differentieerbare) functies φ en ψ zijn.

Immers,

∂z

∂x = φ⁰(x − ay) + ψ⁰(x + ay)

∂z

∂y = −aφ⁰(x − ay) + aψ⁰(x + ay)

∂²z

∂x² = φ⁰⁰(x − ay) + ψ⁰⁰(x + ay)

∂²z

∂y² = a²φ⁰⁰(x − ay) + a²ψ⁰⁰(x + ay) en hieruit volgt onmiddellijk dat z een oplossing is van (2.1).

Voor een differentiaalvergelijking van drie veranderlijken wordt de situatie nog ingewikkelder: de algemene integraal hangt nu af van een willekeurige functie van twee veranderlijken.

Voorbeeld 2.1.3 u is een functie van drie veranderlijken x, y en z. De algemene integraal van de differentiaalvergelijking

∂u

∂x = 0 is nu

u= ψ(y, z)

waarbij ψ een willekeurige functie van twee veranderlijken is.

Uit deze voorbeelden blijkt dat een fysisch probleem dat zich laat vertalen in een parti¨ele differen- tiaalvergelijking nog niet opgelost is als we de algemene integraal van de parti¨ele differentiaalver- gelijking kunnen bepalen: we moeten ook nog de onbekende functies bepalen die in de algemene integraal optreden (gebruik makende van rand- of beginvoorwaarden), en dit probleem is dikwijls moeilijker dan het bepalen van de algemene integraal. Daarom tracht men dikwijls de oplossing van het probleem rechtstreeks te vinden, zonder eerst de algemene integraal uit te rekenen.

In dit hoofdstuk zullen we zien hoe men de algemene integraal van een lineaire parti¨ele differenti- aalvergelijking van orde ´e´en kan bepalen.

Notatie Zij z = f (x, y) een functie van twee veranderlijken. Men gebruikt dikwijls de volgende notaties:

p= ∂z

∂x q= ∂z

∂y r= ∂²z

∂x² s= ∂²z

∂x∂y t= ∂²z

∂y²

2.2 Homogene lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde

´e´en

Een parti¨ele differentiaalvergelijking van de vorm a₁(x₁, · · · , x_n) ∂y

∂x1

+ · · · + a_n(x₁, · · · , x_n)∂y

∂xn

= 0 (2.2)

noemt men homogene lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde ´e´en . Om deze te integre- ren beschouwt men het geassocieerd differentiaalstelsel.

dx1

a₁(x₁, · · · , x_n) = dx2

a₂(x₁, · · · , x_n) = · · · = dxn

a_n(x₁, · · · , x_n) (2.3) Zoals we zullen zien is er een verband tussen de oplossingen van (2.2) (meetkundig gezien hyper- oppervlakken in Rⁿ⁺¹) en de eerste integralen van (2.3).

Onderstel dat

f(x₁, x₂, · · · , x_n) = c

een eerste integraal is van het geassocieerd stelsel (2.3). Op een oplossing van (2.3) is dus d f = ∂ f

∂x₁dx₁+ ∂ f

∂x₂dx₂+ · · · ∂ f

∂x_ndx_n= 0 en, vanwege (2.3)

a₁(x₁, · · · , x_n)∂ f

∂x₁+ · · · + a_n(x₁, · · · , x_n)∂ f

∂x_n = 0 (2.4)

Waar (2.3) voldoet aan de voorwaarden van de bestaansstelling gaat er door elk punt een oplossing van (2.3). In een dergelijk punt geldt dus (2.4). (2.4) drukt dus uit dat y = f (x₁, · · · , x_n) een oplossing is van (2.2). Elke eerste integraal van (2.3) levert dus een oplossing van (2.2).

Omgekeerd, onderstel dat y = f (x₁, · · · , x_n) een oplossing is van (2.2). We zullen aantonen dat f(x₁, · · · , x_n) = c dan een eerste integraal is van (2.3). Uit het voorgaande hoofdstuk weten we dat we n − 1 verschillende eerste integralen van (2.3) kunnen bepalen. Beschouw zulk een stel verschillende eerste integralen.







f₁(x₁, · · · , x_n) = c₁ ...

f_n−1(x₁, · · · , x_n) = c_n−1

We weten dan ook dat y = f₁(x₁, · · · , x_n), · · · , y = f_n−1(x₁, · · · , x_n) oplossingen zijn van (2.2). We hebben dus























a₁(x₁, · · · , x_n)∂ f₁

∂x1

+ · · · + a_n(x₁, · · · , x_n)∂ f₁

∂xn

= 0 ...

a₁(x₁, · · · , x_n)∂ f_n−1

∂x₁ + · · · + a_n(x₁, · · · , x_n)∂ f_n−1

∂x_n = 0 a₁(x₁, · · · , x_n)∂ f

∂x₁+ · · · + a_n(x₁, · · · , x_n)∂ f

∂x_n = 0

We kunnen dit beschouwen als een lineair stelsel met a1, · · · , a_nals onbekenden. Omdat de ainiet allen identiek gelijk aan nul zijn (anders is de parti¨ele differentiaalvergelijking gewoon 0 = 0) bezit het stelsel een van nul verschillende oplossing. Dus is de determinant van het stelsel gelijk aan nul.

Deze determinant is de Jacobiaanse determinant van f1, · · · , f_n−1, f ten opzichte van x₁, · · · , x_n:

∂( f1, · · · , f_n−1, f )

∂(x₁, x₂, · · · , x_n) = 0

Uit Stelling 7.4.2, Analyse I, volgt nu dat er een betrekking bestaat tussen f1, · · · , f_n−1en f . Omdat de eerste integralen f₁= c₁, · · · , f_n−1= c_n−1verschillend zijn kan er geen betrekking bestaan tussen

f₁, · · · , f_n−1. Daarom is noodzakelijk

f = φ( f1· · · , f_n−1)

en dus is f = c een eerste integraal van (2.3). Hiermee hebben we de volgende stelling bewezen:

Stelling 2.2.1 y = f (x₁, · · · , x_n) is een oplossing van (2.2) als en alleen als f (x₁, · · · , x_n) = c een eerste integraal is van (2.3). Om de algemene integraal van (2.2) te vinden volstaat het om n− 1 verschillende eerste integralen f₁ = c₁, · · · , f_n−1 = c_n−1 van (2.3) te bepalen. De algemene integraal is dan

y= φ f1(x₁, · · · , x_n), · · · , f_n−1(x₁, · · · , x_n)
Voorbeeld 2.2.2 We beschouwen de parti¨ele differentiaalvergelijking

y∂u

∂x+ x∂u

∂y+ z∂u

∂z = 0 (2.5)

Het geassocieerd stelsel is

dx y = dy

x =dz z

We bepalen hiervan twee eerste integralen. De eerste vergelijking kan herschreven worden als xdx = ydy

en levert de eerste integraal

f₁(x, y, z) = x²− y²= c₁

Om een tweede eerste integraal te vinden gebruiken we de methode der multiplicatoren. We zoeken functies α, β, γ zodat

αy + βx + γz = 0 Stel

α = β = z en γ = −(x + y) We zouden willen dat

zd(x + y) − (x + y)dz

een totale differentiaal is. Dit is het geval als we alles delen door (x + y)², immers zd(x + y) − (x + y)dz

(x + y)² = d

− z

x+ y



De tweede eerste integraal is dus

f₂(x, y, z) = − z

x+ y = c₂ De algemene integraal van (2.5) is dus

u= φ

x²− y², z x+ y



waarbij φ een willekeurige functie in twee veranderlijken is.

2.3 De volledige lineaire vergelijking van orde ´e´en

Een parti¨ele differentiaalvergelijking van de vorm a₁(x₁, · · · , x_n, y)∂y

∂x₁+ · · · + a_n(x₁, · · · , x_n, y)∂y

∂x_n = b(x₁, · · · , x_n, y) (2.6) noemen we een lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde 1. We kunnen deze herleiden tot een homogene vergelijking. We zoeken oplossingen in impliciete vorm, d.w.z. y wordt bepaald als functie van x₁, · · · , x_ndoor een betrekking van de vorm

ψ(x₁, · · · , x_n, y) = 0 (2.7)

Dit betekent dat ψ nu de nieuwe onbekende functie is. Als we (2.7) afleiden naar x_i, dan vinden we

∂ψ

∂x_i+∂ψ

∂y

∂y

∂x_i = 0

(zie ook het hoofdstuk over impliciete functies in “Analyse I”). Als we deze betrekking substitue- ren in (2.6), dan vinden we

a₁(x₁, · · · , x_n, y)∂ψ

∂x₁+ · · · + a_n(x₁, · · · , x_n, y)∂ψ

∂x_n+ b(x₁, · · · , x_n, y)∂ψ

∂y = 0 (2.8)

Dit is een homogene lineaire vergelijking in ψ. Het geassocieerd stelsel is dx1

a₁ = dx2

a₂ = · · · = dx_n a_n = dy

b (2.9)

Dit is een stelsel van orde n, en het bezit n verschillende eerste integralen f₁= c₁, · · · , f_n= c_n. De algemene integraal van (2.8) is dus

ψ = φ( f1, f₂, · · · , f_n)

waarbij φ een willekeurige functie in n veranderlijken is. De oplossing van (2.6) wordt impliciet gegeven door de betrekking

φ( f₁, f₂, · · · , f_n) = 0 (2.10)

Voorbeeld 2.3.1 We beschouwen de parti¨ele differentiaalvergelijking

yp+ xq = z (2.11)

We zoeken oplossingen van de vorm

ψ(x, y, z) = 0 (2.8) wordt nu

y∂ψ

∂x + x∂ψ

∂y + z∂ψ

∂z = 0

en dit is juist (2.5). We hebben deze vergelijking reeds opgelost, (voorbeeld 2.2.2) en de algemene integraal is

ψ = φ



x²− y², z x+ y



De algemene integraal van (2.11) wordt dus in impliciete vorm gegeven door de formule φ



x²− y², z x+ y



= 0

Met behulp van de stelling van de impliciete functies kunnen we deze oplossen naar bijvoorbeeld de tweede veranderlijke. We vinden

z

x+ y = ϕ(x²− y²) of

z= (x + y)ϕ(x²− y²) waarbij ϕ een willekeurige functie van ´e´en variabele is.

Meetkundige interpretatie

We beschouwen het geval n = 2. De vergelijking (2.6) kunnen we dan schrijven als

a(x, y, z)p + b(x, y, z)q = c(x, y, z) (2.12) Elke oplossing van (2.12) stelt een oppervlak in R³ voor. We noemen zulk een oppervlak een integraaloppervlak.

Neem een integraaloppervlak, en een punt (x, y, z) op dit oppervlak. De vergelijking van het raak- vlak in dit punt is dan

(x − x)p + (y − y)q = z − z (2.13)

Hierbij is (x, y, z) een lopend punt in het raakvlak. Uit (2.12) en (2.13) volgt dat de rechte met vergelijking

x− x

a =y− y

b = z− z

c (2.14)

in het raakvlak (2.13) ligt. Voor elk punt (x, y, z) ∈ R³kunnen we de rechte met vergelijking (2.14) neerschrijven.

Een kromme die in elk punt raakt aan de rechte (2.14) door dat punt noemen we een karakteris- tieke kromme. Aangezien (dx, dy, dz) de componenten zijn van een vector aan de raaklijn van een kromme, worden de karakteristieke krommen bepaald door het stelsel

dx a = dy

b =dz

c (2.15)

en dit is juist het geassocieerd stelsel aan de parti¨ele differentiaalvergelijking (2.12). De karakte- ristieke krommen zijn dus de oplossingen van het geassocieerd differentiaalstelsel.

Onderstel nu dat

f₁(x, y, z) = c₁ en f₂(x, y, z) = c₂

twee verschillende eerste integralen zijn van het geassocieerd stelsel. Voor elke vaste waarde van c₁en c₂bepaalt het stelsel vergelijkingen

 f₁(x, y, z) = c₁ f₂(x, y, z) = c₂

een oplossing van het geassocieerd stelsel, en dus een karakteristieke kromme. Als we c₁ en c₂ over alle re¨ele getallen laten lopen, dan vinden we alle karakteristieke krommen. Beschouw nu de unie van alle karakteristieke krommen waarvoor de bijhorende constanten c₁en c₂voldoen aan een betrekking van de vorm

φ(c₁, c₂) = 0

De punten (x, y, z) die tot deze unie behoren voldoen aan de betrekking φ( f1(x, y, z), f₂(x, y, z)) = 0

en dit is de vergelijking van een integraaloppervlak. We kunnen dit nog als volgt herformuleren:

een integraaloppervlak ontstaat door van de verzameling karakteristieke krommen (die afhangt van de twee parameters c₁en c₂) een deelfamilie te nemen die afhangt van slechts 1 parameter, en dan de unie van deze familie te nemen.

Meer bepaald kunnen we besluiten dat elk integraaloppervlak beschreven wordt door karakteris- tieke krommen.

2.4 Het vraagstuk van Cauchy

Beschouw weer de parti¨ele differentiaalvergelijking (2.12) a(x, y, z)p + b(x, y, z)q = c(x, y, z)

Gegeven is een kromme k in R³. Gevraagd wordt om het integraaloppervlak van (2.12) te bepalen dat door deze kromme k gaat. Men kan dit beschouwen als het analogon van het vraagstuk bij gewone differentiaalvergelijkingen van orde 1 dat er in bestaat om een oplossing te vinden die door een gegeven punt gaat. In het geval van lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking en van orde 1 is de situatie iets ingewikkelder: we hebben namelijk twee verschillende gevallen.

Eerste geval k is geen karakteristieke kromme.

Men beschouwt alle karakteristieke krommen die door k gaan. Deze beschrijven een oppervlak dat door k gaat, en dat ook een integraaloppervlak is. Dit oppervlak is dus de gevraagde oplossing.

Onderstel dat k gegeven wordt door de vergelijkingen

 f(x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0

De karakteristieke krommen worden gegeven door de eerste integralen

 f₁(x, y, z) = c₁ f₂(x, y, z) = c₂

Neem een punt (x, y, z) gelegen op de kromme k. Dit punt moet aan de vier vergelijkingen voldoen.

Als we x, y en z uit de vier vergelijkingen elimineren, dan vinden we een betrekking tussen c₁ en c₂, namelijk

φ(c1, c₂) = 0

De c₁en c₂die behoren bij een karakteristieke vergelijking die het gevraagde oppervlak beschrijft moeten hieraan voldoen. De vergelijking van het gevraagde oppervlak is dus

φ( f₁(x, y, z), f₂(x, y, z)) = 0 (2.16) Tweede geval k is zelf een karakteristieke kromme.

Iedere familie karakteristieke krommen afhankelijk van ´e´en parameter, die k bevat is een oplossing van het vraagstuk. In dit geval zijn er dus oneindig veel oplossingen van het vraagstuk.

Om de vergelijking van een dergelijke oplossing neer te schrijven volstaat het om een willekeurige functie φ(u, v) van twee veranderlijken te beschouwen. Aangezien de kromme k een karakteristieke kromme is, kan deze geschreven worden onder de vorm

 f₁(x, y, z) = a f₂(x, y, z) = b

voor zekere a, b ∈ R. De familie karakteristieke krommen met vergelijking φ( f1, f₂) − φ(a, b) = 0

bevat k en is dus een oplossing van het vraagstuk.

Voorbeeld 2.4.1 We hernemen de parti¨ele differentiaalvergelijking yp+ xq = z

Welk integraaloppervlak gaat door de hyperbool met vergelijking

 y = 0 xz= 1

We elimineren x, y en z tussen de vergelijkingen









 y= 0 xz= 1 x²− y²= c₁

z x+y = c₂ Dit levert







xz= 1 x²= c₁

z x = c₂

of  x²= c₁ x²= _c¹

2

en dus

c₁c₂= 1 De vergelijking van het gevraagde oppervlak is dus

z(x − y) = 1

Dit is een cilinder waarvan de beschrijvenden evenwijdig zijn met de rechte

 x = y z= 0

Hoofdstuk 3

Parti¨ele differentiaalvergelijkingen van

orde 2

3.1 Quasi-lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde 2

We beperken ons tot het geval van functies van twee veranderlijken:

z= z(x, y)

We gebruiken de standaard notaties voor de eerste en tweede parti¨ele afgeleiden van z:

p= ∂z

∂x; q = ∂z

∂y r= ∂²z

∂x²; s = ∂²z

∂x∂y; t = ∂²z

∂y²

Een quasi-lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde twee is van de vorm

a(x, y)r + 2b(x, y)s + c(x, y)t = f (x, y, z, p, q) (3.1) De vergelijking is dus lineair in de tweede afgeleiden r, s en t, maar niet in x, y, z, p en q.

Voorbeelden 3.1.1 Hier zijn drie typische voorbeelden van quasi-lineare parti¨ele differentiaalver- gelijkingen van orde 2:

r− t = 0 de golfvergelijking r− q = 0 de diffusievergelijking

r+ t = 0 de vergelijking van Laplace In (3.1) voeren we een coordinatentransformatie uit:

 ξ = ϕ(x, y) η = ψ(x, y)

We onderstellen dat ϕ en ψ continue parti¨ele afgeleiden tot op orde twee bezitten en dat de Jacobi- aanse determinant

∂(ϕ, ψ)

∂(x, y) 6= 0

nergens nul is. Gebruik makend van de kettingregel vinden we p= ∂z

∂ξ

∂ϕ

∂x+ ∂z

∂η

∂ψ

∂x en

r= ∂z

∂ξ

∂²ϕ

∂x² +∂ϕ

∂x

∂²z

∂ξ²

∂ϕ

∂x + ∂²z

∂ξ∂η

∂ψ

∂x



+∂z

∂η

∂²ψ

∂x² +∂ψ

∂x

 ∂²z

∂ξ∂η

∂ϕ

∂x + ∂²z

∂η²

∂ψ

∂x



q, s en t worden op analoge manier berekend. Als we alles invullen in (3.1) krijgen we α∂²z

∂ξ²+ 2β ∂²z

∂ξ∂η+ γ∂²z

∂η² = φ

ξ, η, z,∂z

∂ξ,∂z

∂η



waarbij

α = a

∂ϕ

∂x

2

+ 2b∂ϕ

∂x

∂ϕ

∂y + c

∂ϕ

∂y

2

β = a∂ϕ

∂x

∂ψ

∂x + b

∂ϕ

∂x

∂ψ

∂y +∂ϕ

∂y

∂ψ

∂x

 + c∂ϕ

∂y

∂ψ

∂y

γ = a

∂ψ

∂x

2

+ 2b∂ψ

∂x

∂ψ

∂y + c

∂ψ

∂y

2

Na een beetje rekenwerk kunnen we hieruit afleiden dat

β²− αγ = (b²− ac)

∂(ϕ, ψ)

∂(x, y)

2

Het teken van b²− ac blijft dus ongewijzigd na een coordinatentransformatie. Daarom klasseren we quasi-lineaire vergelijkingen volgens het teken van b²− ac:

• als b²− ac > 0 over een domein D, dan noemen we de vergelijking hyperbolisch over dit domein;

• als b²−ac < 0 over een domein D, dan noemen we de vergelijking elliptisch over dit domein;

• in de punten waar b²− ac = 0 noemen we de vergelijking parabolisch.

De golfvergelijking is overal hyperbolisch; de vergelijking van Laplace is overal elliptisch; de diffusievergelijking is overal parabolisch.

3.2 Het vraagstuk van Cauchy en karakteristieke krommen

Het vraagstuk van Cauchy bestaat erin om een integraaloppervlak van (3.1) te vinden dat door een gegeven kromme k gaat, en zodanig dat het oppervlak in elk punt van k raakt aan een gegeven vlak.

We kunnen dit als volgt formuleren: gegeven zijn 5 functies van een veranderlijke ξ(t), η(t), ζ(t), p(t), q(t)

ξ(t), η(t), ζ(t) bepalen de vergelijking van k:







x= ξ(t) y= η(t) z= ζ(t)

De functies p(t) en q(t) bepalen de vergelijking van het raakvlak in het punt (ξ(t), η(t), ζ(t)):

z− ζ(t) = p(t)(x − ξ(t)) + q(t)(y − η(t))

We zoeken dan een integraaloppervlak z = φ(x, y) dat voldoet aan de voorwaarden

φ(ξ(t), η(t)) = ζ(t) (3.2)

∂φ

∂x(ξ(t), η(t)) = p(t) (3.3)

∂φ

∂y(ξ(t), η(t)) = q(t) (3.4)

(3.2) drukt uit dat het integraaloppervlak door k gaat, en (3.3) en (3.4) drukken uit dat het inte- graaloppervlak raakt aan het gegeven raakvlak. De 5 gegeven functies zijn niet onafhankelijk: als we (3.2) afleiden naar t, dan krijgen we, rekening houdend met (3.3) en (3.4),

ζ⁰(t) =∂φ

∂xξ⁰(t) +∂φ

∂yη⁰(t) = p(t)ξ⁰(t) + q(t)η⁰(t) (3.5) Dit kunnen we ook meetkundig inzien: de raaklijn aan de kromme k moet in het raakvlak liggen, dus is er maar een parameter nodig om het raakvlak vast te leggen. We onderstellen dus dat de vijf gegeven functies voldoen aan (3.5). Als we (3.3) en (3.4) afleiden naar t, dan krijgen we

p⁰(t) = ∂²φ

∂x²(ξ(t), η(t))ξ⁰(t) + ∂²φ

∂x∂y(ξ(t), η(t))η⁰(t) (3.6) q⁰(t) = ∂²φ

∂x∂y(ξ(t), η(t))ξ⁰(t) +∂²φ

∂y²(ξ(t), η(t))η⁰(t) (3.7) Aangezien de punten van k op het integraaloppervlak liggen hebben we ook

a(ξ(t), η(t))∂²φ

∂x²(ξ(t), η(t)) + 2b(ξ(t), η(t))∂²φ

∂x∂y(ξ(t), η(t)) + c(ξ(t), η(t))∂²φ

∂y²(ξ(t), η(t)) = f (ξ(t), η(t), φ(ξ(t), η(t)), p(t), q(t)) (3.8)

De vergelijkingen (3.6), (3.7) en (3.8) vormen een stelsel lineaire vergelijkingen in

∂²φ

∂x²(ξ(t), η(t)), ∂²φ

∂x∂y(ξ(t), η(t)),∂²φ

∂y²(ξ(t), η(t)) Als dit stelsel geen unieke oplossing heeft, dan is de determinant nul:

     

ξ⁰(t) η⁰(t) 0

0 ξ⁰(t) η⁰(t)

a(ξ(t), η(t)) 2b(ξ(t), η(t)) c(ξ(t), η(t))      

= 0

of

cξ⁰(t)²− 2bη⁰(t)ξ⁰(t) + aη⁰(t)²= 0 (3.9) Dit is een homogene kwadratische vergelijking in ξ⁰en η⁰; als we delen door (ξ⁰)²krijgen we een gewone kwadratische vergelijking in λ = η⁰/ξ⁰:

aλ²− 2bλ + c = 0 (3.10)

De twee (eventueel samenvallende of toegevoegd complexe) wortels λ₁(x, y) en λ2(x, y) interpre- teren we als richtingsco¨effici¨enten in het xy-vlak: het is de richtingsco¨effici¨ent van de raaklijn van k⁰, de projectie van k op het xy-vlak. We noemen de nulpunten van (3.10) de karakteristieke richtingen. Een kromme k⁰die in elk punt raakt aan een karakteristieke richting noemen we karak- teristieke grondkromme. De vergelijking van deze karakteristieke grondkromme is:

dy

dx = λ1(x, y) ; dy

dx = λ2(x, y)

In een hyperbolisch punt zijn er twee re¨ele karakteristieke richtingen; in een elliptisch punt zijn de karakteristieke richtingen toegevoegd complex; in een parabolisch punt is er slechts ´e´en karakte- ristieke richting.

3.3 Herleiding tot de kanonische vorm

De karakteristieke richtingen kunnen we gebruiken om (3.1) tot een eenvoudige vorm te herleiden.

Eerste geval

Onderstel dat de vergelijking hyperbolisch is in (een omgeving van) (x₀, y₀). (3.10) heeft dus twee verschillende re¨ele wortels λ₁(x, y) en λ2(x, y). Kies dan functies ϕ(x, y), ψ(x, y) zodat

( _∂ϕ

∂x+ λ1∂ϕ

∂y = 0

∂ϕ

∂y 6= 0 en

( _∂ψ

∂x + λ2∂ψ

∂y = 0

∂ψ

∂y 6= 0

op een omgeving van (x0, y₀). We voeren dan volgende co¨ordinatentransformatie uit:

 ξ = ϕ(x, y) η = ψ(x, y) De Jacobiaanse determinant van deze transformatie is

∂(ϕ, ψ)

∂(x, y) = ∂ϕ

∂x

∂ψ

∂y −∂ϕ

∂y

∂ψ

∂x = (λ₂− λ₁)∂ϕ

∂y

∂ψ

∂y 6= 0 zoals gewenst. Uit de berekeningen van § 3.1 volgt nu dat

α = a

∂ϕ

∂x

2

+ 2b∂ϕ

∂x

∂ϕ

∂y+ c

∂ϕ

∂y

2

= (aλ²₁− 2bλ1+ c)

∂ϕ

∂y

2

= 0 Op dezelfde manier vinden we dat γ = 0, en de vergelijking neemt volgende vorm aan:

∂²z

∂ξ∂η = Φ

ξ, η, z,∂z

∂ξ, ∂z

∂η



(3.11) Dit noemen we de kanonische vorm voor een hyperbolische vergelijking. We kunnen deze nog herschrijven na volgende transformatie:

 ξ = ξ + η η = ξ − η We krijgen dan

∂²z

∂ξ

2− ∂²z

∂η²

= Φ

ξ, η, z,∂z

∂ξ , ∂z

∂η



Tweede geval

Onderstel dat de vergelijking elliptisch is in (een omgeving van) (x₀, y₀). We kiezen ϕ en stellen dan ψ = ϕ, de complex toegevoegde van φ. De vergelijking neemt dan opnieuw de vorm (3.11) aan, maar uiteraard zijn de veranderlijken complex. Om een re¨ele vorm te krijgen, nemen we

ξ = ξ + η = ϕ(x, y) + ψ(x, y)

η = ¹_i(ξ − η) = ¹_i(ϕ(x, y) − ψ(x, y)) en dan wordt de vergelijking

∂²z

∂ξ² + ∂²z

∂η²

= Φ

ξ, η, z,∂z

∂ξ , ∂z

∂η



Derde geval

Onderstel dat de vergelijking parabolisch is op een omgeving van (x₀, y₀). Er is dan slechts een karakteristieke richting λ, en we kiezen ψ

( _∂ψ

∂x + λ^∂ψ

∂y = 0

∂ψ

∂y 6= 0 op een omgeving van (x0, y₀). Verder kiezen we ϕ zodat

∂(ϕ, ψ)

∂(x, y) 6= 0 We stellen dan weer

 ξ = ϕ(x, y) η = ψ(x, y)

Zoals in het hyperbolisch geval vinden we γ = 0. Omdat β²− αγ = 0, is ook β = 0, en de vergelij- king wordt

∂²z

∂ξ² = Φ

ξ, η, z,∂z

∂ξ, ∂z

∂η



3.4 Het geassocieerd stelsel

Beschouw weer het stelsel lineaire vergelijkingen (3.6), (3.7) en (3.8).

Als de determinant van het stelsel verschillend van nul is, dan heeft het stelsel precies 1 oplossing;

als de determinant nul is, dan zijn er twee mogelijkheden: er is geen enkele oplossing, of er zijn oneindig veel oplossingen. Er zijn oneindig veel oplossingen als de rang van de uitgebreide matrix van het stelsel





ξ⁰ η⁰ 0 p⁰ 0 ξ⁰ η⁰ q⁰

a 2b c f





kleiner is dan drie. Dit is het geval als twee drie maal drie deeldeterminanten van de matrix nul zijn. Een eerste deeldeterminant gelijk aan nul geeft (3.9). Een tweede deeldeterminant is:

     

ξ⁰ 0 p⁰ 0 η⁰ q⁰

a c f

     

= 0 of

ap⁰η⁰+ cq⁰ξ⁰= f ξ⁰η⁰ (3.12) Wat kunnen we besluiten: indien het vraagstuk van Cauchy een oneindig aantal oplossingen heeft, dan voldoen de functies ξ(t), η(t), ζ(t), p(t), q(t) aan de vergelijkingen (3.5), (3.9) en (3.12). We

veranderen de notatie door ξ, η en ζ te vervangen door x, y en z. Dit geeft het volgende differenti- aalstelsel, dat we het geassocieerd stelsel aan de vergelijking (3.1) noemen.







dz = pdx + qdy

cdx²− 2bdxdy + ady²= 0 adydp + cdxdq = f dxdy

(3.13)

Merk op dat dit een stelsel is met vijf onbekende functies, maar slechts drie vergelijkingen. De oplossingen van de stelsels (3.14) en (3.15) zijn ook oplossingen van (3.13).







dz = pdx + qdy dy = λ₁dx

aλ1dp + cdq = f λ1dx

(3.14)







dz = pdx + qdy dy = λ₂dx

aλ2dp + cdq = f λ2dx

(3.15)

Zonder bewijs geven we volgende eigenschappen.

Stelling 3.4.1 Als v(x, y, z, p, q) = c een eerste integraal is van (3.13), dan zijn de oplossingen van de parti¨ele differentiaalvergelijking van eerste orde

v(x, y, z, p, q) = 0 ook oplossingen van (3.1)

Stelling 3.4.2 Als v₁(x, y, z, p, q) = c₁ en v₂(x, y, z, p, q) = c₂ twee verschillende eerste integralen zijn van (3.14), dan is (3.1) equivalent met de vergelijking

φ(v₁(x, y, z, p, q), v₂(x, y, z, p, q)) = 0 waarbij φ een willekeurige functie van twee veranderlijken is.

Opmerkingen 3.4.3 1) Uiteraard mogen we in stelling 3.4.2 ook twee verschillende eerste in- tegralen van (3.15) nemen. De stelling is wel niet geldig als we een eerste integraal van (3.14) combineren met een van (3.15).

2) Als we twee verschillende integralen van (3.14) kunnen vinden, dan laat stelling 3.4.2 toe om de oplossing van de parti¨ele differentiaalvergelijking (3.1) te herleiden tot de oplossing van een parti¨ele differentiaalvergelijking van orde ´e´en, met daarin een willekeurige functie. De algemene integraal van (3.1) zal dus afhangen van twee willekeurige functies.

3.5 Voorbeelden

Voorbeeld 1

y²r− 2xys + x²t= px + qy − z (3.16)

De vergelijking (3.9) wordt

x²dx²+ 2xydxdy + y²dy²= 0 of

xdx + ydy = 0

We hebben dus een parabolische vergelijking. De stelsels (3.14) en (3.15) vallen samen, en worden







dz = pdx + qdy xdx + ydy = 0

y²dp − xydq + (z − px − qy)dx = 0 De tweede vergelijking geeft als eerste integraal:

x²+ y²= c₁ We herschrijven de derde vergelijking:

y(ydp − xdq) + zdx + y(pdy − qdx) = 0 d(py − qx) +z

ydx = 0 De eerste twee vergelijkingen geven samen

dz = py− qx y dx en we krijgen dus

d(py − qx) + zdz py− qx = 0 en dit geeft als tweede eerste integraal

(py − qx)²+ z²= c₂

Uit stelling 3.4.2 volgt dat het probleem herleid wordt tot het integreren van de parti¨ele differenti- aalvergelijking

(py − qx)²+ z²= f (x²+ y²) (3.17) waarbij f een willekeurige functie van 1 veranderlijke is. We kunnen deze herleiden tot een lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde ´e´en:

py− qx = ± q

f(x²+ y²) − z² met geassocieerd stelsel

dx y = dy

−x= dz

±p

f(x²+ y²) − z² De eerste vergelijking levert een eerste integraal:

x²+ y²= c²₁

Als we deze substitueren in het stelsel krijgen we dx

q c²₁− x²

= dz

± q

f(c²₁) − z² of

±bgsin z q

f(c²₁)

= bgsin x c₁+ c₂ We nemen de sinus van beide leden:

± z

q f(c²₁)

= sin

bgsin x

c₁+ c₂

= x

c₁cos c₂+ sin c₂cos

bgsin x c₁



= x

c₁cos c₂+ sin c₂ s

1 − x c₁

2

= x

c₁cos c₂+ y c₁sin c₂

= 1

c₁(x cos c₂+ y sin c₂)

en als we de eerste integraal opnieuw invullen, krijgen we als tweede eerste integraal

z= ± s

f(x²+ y²)

x²+ y² (x cos c₂+ y sin c₂)

De algemene integraal van (3.17), en dus van (3.16) vinden we door c₂= g(c₁) te stellen, met g een willekeurige functie van ´e´en veranderlijke:

z= ± s

f(x²+ y²)

x²+ y² (x cos g(x²+ y²) + y sin g(x²+ y²)) of

z= xφ(x²+ y²) + yψ(x²+ y²) waarbij φ en ψ willekeurige functies in ´e´en variabele.

Voorbeeld 2: De golfvergelijking

a²∂²z

∂x²−∂²z

∂t² = 0 (3.18)

waarbij a > 0. De vergelijking (3.9) wordt

a²dt²− dx²= 0

of (adt − dx)(adt + dx) = 0. We hebben dus een hyperbolische vergelijking. (3.14) en (3.15) zijn

nu 





dz = pdx + qdt adt − dx = 0 adp − dq = 0

en







dz = pdx + qdt adt + dx = 0 adp + dq = 0 We vinden gemakkelijk twee eerste integralen van het eerste stelsel:

at− x = c₁ en ap − q = c₂ De differentiaalvergelijking is dus gelijkwaardig met

ap− q = f (at − x)

waarbij f een willekeurige functie van ´e´en veranderlijke is. Het geassocieerd stelsel van deze lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van eerste orde is

dx a = dt

−1 = dz

f(at − x) De eerste gelijkheid geeft een eerste integraal van dit stelsel:

at+ x = c₁ Een tweede eerste integraal bepalen we als volgt:

adz = f (at − x)dx = f (c₁− 2x)dx Integreren geeft

z= φ(c1− 2x) + c₂= φ(at − x) + c2

waarbij φ een nieuwe willekeurige functie. De algemene integraal vinden we door c2= ψ(c1) te stellen, zodat

z= φ(at − x) + ψ(at + x) de algemene integraal is van de golfvergelijking.

De functies φ en ψ kunnen we bepalen als we rand- en beginvoorwaarden kennen. We geven een fysisch voorbeeld.

Beschouw een oneindig lange buis, gevuld met een flu¨ıdum, waarvan de as langs de x-as ligt. Op t = 0 wordt in het punt x = 0 het evenwicht van het flu¨ıdum verbroken.

Onder ideale voorwaarden (volmaakt flu¨ıdum, onvervormbare buis) zal de longitudinale verplaat- sing z(x,t) van een schijf flu¨ıdum in het punt x op het tijdstip t voldoen aan (3.18), waarbij a afhankelijk is van het flu¨ıdum.

We onderstellen dat het flu¨ıdum op tijdstip t = 0 in rust is, en we gaan na wat er gebeurt in het deel van de buis dat overeenkomt met x ≥ 0. De rand- en beginvoorwaarden zijn dan

 z(x, 0) = 0 en ^∂z

∂t(x, 0) = 0 voor x ≥ 0 z(0,t) = f (t) als t ≥ 0

0 x

Figuur 3.1: Voortplanting van een storing

f(t) hangt af van de storing die in x = 0 wordt gegeven. Als we de rand- en beginvoorwaarden invullen in de algemene integraal vinden we

φ(−x) + ψ(x) = 0 (3.19)

a(φ⁰(−x) + ψ⁰(x)) = 0 (3.20)

φ(at) + ψ(at) = f (t) (3.21)

voor x ≥ 0 en t ≥ 0. Afleiden van (3.19) naar x geeft

−φ⁰(−x) + ψ⁰(x) = 0

Uit (3.20) volgt dan dat ψ⁰(x) = 0, zodat ψ(x) = c, en dus ook φ(−x) = −c, voor elke x ≥ 0. Uit vergelijking (3.21) volgt φ(x) voor x ≥ 0:

φ(x) = f (x/a) − ψ(x) = f (x/a) − c Als at − x ≤ 0 vinden we dus

z= φ(at − x) + ψ(at + x) = −c + c = 0 en voor at − x ≥ 0:

z= φ(at − x) + ψ(at + x) = f (t − x/a) − c + c = f (t − x/a) en de uiteindelijke oplossing is dus (voor x ≥ 0 en t ≥ 0):

z(x,t) =

0 als t ≤ x/a

f(t − x/a) als t ≥ x/a

De storing die werd aangebracht in x = 0 verplaatst zich dus zonder vervorming in de x-richting met snelheid a.

Voorbeeld 3: vergelijking van Laplace

∂²z

∂x²+∂²z

∂y² = 0 (3.22)

De vergelijking (3.9) wordt

dx²+ dy²= 0

of (dx + idy)(dx − idy) = 0. We hebben dus een elliptische vergelijking. (3.14) wordt nu







dz = pdx + qdy dx + idy = 0 idp + dq = 0

We vinden gemakkelijk twee eerste integralen van het eerste stelsel:

x+ iy = c₁ en ip + q = c2

De differentiaalvergelijking is dus gelijkwaardig met ip+ q = f (x + iy)

waarbij f een willekeurige functie van ´e´en veranderlijke is. Het geassocieerd stelsel van deze lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van eerste orde is

dx i = dy

1 = dz

f(x + iy) De eerste gelijkheid geeft een eerste integraal van dit stelsel:

x− iy = c₁ Een tweede eerste integraal bepalen we als volgt:

dz = f (x + iy)dy = f (2iy + c₁)dy Integreren geeft

z= φ(2iy + c1) + c₂= φ(x + iy) + c2

waarbij φ een nieuwe willekeurige functie. De algemene integraal vinden we door c₂= ψ(c1) te stellen, zodat

z= φ(x + iy) + ψ(x − iy) de algemene integraal is van de vergelijking van Laplace.

Hoe moeten we dit interpreteren? Zij f : R → R een functie die kan geschreven worden als een machtreeks op een omgeving van een punt a:

f(x) =

∞

∑

n=0

a_n(x − a)ⁿ Dan kunnen we ook de complexe functie

f(z) =

∞ n=0

∑

a_n(z − a)ⁿ

beschouwen. De machtreeks convergeert op een schijf met middelpunt a. We kunnen f schrijven als een som van een re¨eel en een imaginair gedeelte:

f(z) = φ(x + iy) + iρ(x + iy)

f - geschreven als een functie van x en y - voldoet aan de vergelijking van Laplace. Dus ook het re¨eel en imaginair gedeelte. Dit weten we reeds uit de cursus complexe analyse: uit de voor- waarden van Cauchy-Riemann volgt dat re¨eel en imaginair gedeelte van een analytische functie oplossingen zijn van de vergelijking van Laplace. We kunnen dit ook als volgt zien: als f (x + iy) een analytische functie, dan is

∂ f

∂y(x + iy) = f⁰(z)∂x + iy

∂y = i f⁰(z) en ∂²f

∂y²(x + iy) = − f⁰⁰(z) Op analoge wijze is

∂²f

∂x²(x + iy) = f⁰⁰(z)

Hetzelfde argument toont aan dat re¨eel en imaginair gedeelte van f (x − iy), waarbij f een analyti- sche functie, oplossingen zijn van de vergelijking van Laplace.

Hoofdstuk 4

Oneindigdimensionale Euclidische Ruimten

4.1 Genormeerde ruimten

De vectorruimten die we in dit hoofdstuk beschouwen zijn vectorruimten over R.

Definitie 4.1.1 Een genormeerde ruimte is een vectorruimte V tesamen met een functie k • k : V → R+, ~v 7→ k~vk

die voldoet aan volgende eigenschappen, voor alle~x,~y ∈ V en α ∈ R:

1. k~xk = 0 ⇐⇒ ~x =~0;

2. kα~xk = |α|k~xk;

3. k~x +~yk ≤ k~xk + k~yk.

We noemenk • k een norm op de vectorruimte V .

Voorbeeld 4.1.2 Op V = Rⁿ kunnen we verschillende normen defini¨eren: neem ~x = ∑ⁿ_i=1x_i~e_i, waarbij {~e₁, · · · ,~e_n} een basis is van Rⁿ. De formules

k~xk₁ =

n i=1

∑

|x_i|

k~xk₂ = s n

i=1

∑

x²_i

k~xk_∞ = max{|x₁|, |x₂|, · · · , |x_n|}

bepalen normen op Rⁿ. We noemen k • k2de Euclidische norm, en k • k_∞de supremumnorm.

Voorbeeld 4.1.3 Op de vectorruimte

B

[a, b] = { f : [a, b] → R | f is begrensd}

defini¨eren we volgende norm:

k f k_∞= sup{| f (x)| : x ∈ [a, b]} (4.1) We noemen deze de supremumnorm.

Voorbeeld 4.1.4 We beschouwen nu de vectorruimte

C

[a, b] = { f : [a, b] → R | f is continu}

Hierop kunnen we de volgende twee normen beschouwen:

k f k₁ = Z _b

a

| f (x)|dx (4.2)

k f k₂ = s

Z _b

a

f(x)²dx (4.3)

Naar analogie met voorbeeld 4.1.2 noemen we k • k₂ de Euclidische norm. De formule (4.1) definieert een derde norm op

C

^{[a, b].}

Voorbeeld 4.1.5 Een functie f : [a, b] → R wordt stuksgewijs continu genoemd als f continu is over [a, b], behalve in een eindig aantal punten, waarin wel de linker- en rechterlimiet moeten bestaan.

V = { f : [a, b] → R | f is stuksgewijs continu}

is dan een vectorruimte. De formules (4.2-4.3) defini¨eren nu een semi-norm op V . Hiermee bedoe- len we dat de tweede en derde eigenschap uit definitie 4.1.1 gelden, maar de eerste niet. Immers, neem een functie f die overal nul is, behalve in een eindig aantal punten. Dan is f stuksgewijs continu, f 6= 0, maar toch is k f k₁= k f k₂= 0. Om dit op te lossen voeren we volgende constructie uit. Neem f , g ∈ V . We zeggen dat f en g bijna gelijk zijn als

{x ∈ [a, b] | f (x) 6= g(x)}

eindig is. We noteren dit door f ' g. ' is dan een equivalentierelatie op V , en we kunnen de verzameling der equivalentieklassen beschouwen. We noteren deze als

P C

[a, b] = V / '

Dit betekent in feite dat we f en g met elkaar identificeren als ze slechts in een eindig aantal punten verschillen.

P C

[a, b] is nog steeds een vectorruimte, en (4.2) en (4.3) defini¨eren elk een norm op

P C

^{[a, b].}

Definitie 4.1.6 Zij V, k • k een genormeerde ruimte, en beschouw een rij (~x_n) in V en ~x ∈ V . We zeggen dat

n→∞lim~x_n= ~x indien

n→∞limk~x_n−~xk = 0 of, gebruik makend van de gewone definitie van limiet:

∀ε > 0, ∃N > 0 : n ≥ N ⇒ k~x_n−~xk < ε

Op gelijkaardige wijze kunnen we in een genormeerde ruimte convergente en absoluut convergente reeksen invoeren. Zij(~u_n) een rij in V , en stel

~s_n=

n

∑

k=1

~u_k Dan is

∞

∑

n=1

~u_n= lim

n→∞~s_n

indien deze limiet bestaat. We zeggen dan dat de reeks convergent is. Indien

∞

∑

n=1

k~u_nk

convergent is, dan noemen we de reeks absoluut convergent.

We hebben gezien dat op eenzelfde vectorruimte meer dan 1 norm kan gedefinieerd worden. Omdat definitie 4.1.6 afhangt van de gekozen norm, kan het zijn dat de limieten van een rij voor de ene norm niet dezelfde zijn als die voor een andere norm.

Definitie 4.1.7 Neem twee normen k • k₁ en k • k₂ op de vectorruimte V . We zeggen dat k • k₁ fijner is dank • k₂indien er een k> 0 bestaat zodat

k~xk₂≤ kk~xk₁

voor elke~x ∈ V . We noemen k • k₁ enk • k₂ equivalent indienk • k₂ fijner is dank • k₁ enk • k₁ fijner dank • k₂, m.a.w., er bestaan k, l > 0 zodat

k~xk₂≤ kk~xk₁≤ lk~xk₂ voor elke~x ∈ V .

Stelling 4.1.8 Als k • k₂fijner is dank • k₁, dan hebben we 2- lim

n→∞~x_n= ~x ⇒ 1- lim

n→∞~x_n= ~x

Als twee normen equivalent zijn, dan hebben beide normen dezelfde convergente rijen met dezelfde limieten.