Banachruimten

2 √ 3n en k f_nk₁= 2 Z 1/n² 0 (1 − n²x)dx = ¹ n² We concluderen dat 2- lim n→∞f_n= 1- lim n→∞f_n= 0 terwijl ∞- lim n→∞f_n niet bestaat.

Stelling 4.1.14 Een rij functies f_n: [a, b] → R convergeert uniform naar f over [a, b] als en slechts als ∞- lim n→∞f_n= f . Als 2- lim n→∞f_n= f ,

dan zeggen we dat ( f_n) in kwadratisch gemiddelde naar f convergeert. Convergentie in kwadra-tisch gemiddelde is dus zwakker dan uniforme convergentie.

4.2 Banachruimten

Definitie 4.2.1 Neem een genormeerde ruimte (V, k • k). Een rij (~x_n) wordt een Cauchy rij ge-noemd als

∀ε > 0, ∃N : n, m > N ⇒ k~xn−~x_mk ≤ ε Stelling 4.2.2 Elke convergente rij is een Cauchy rij.

Bewijs.Onderstel dat

lim

n→∞~x_n= ~x. Dan geldt:

∀ε > 0, ∃N : n > N ⇒ k~xn−~xk ≤ ^ε 2 Voor n, m > N hebben we dan

k~x_n−~x_mk ≤ k~x_n−~xk + k~x −~x_mk ≤ 2^ε 2 = ε.

Stelling 4.2.3 Als k • k₂ een norm is op V die fijner is dan de normk • k₁, dan zijn alle 2-Cauchy rijen ook 1-Cauchy rijen. Equivalente normen hebben dus dezelfde Cauchy rijen.

Definitie 4.2.4 Een genormeerde ruimte (V, k • k) wordt volledig genoemd als elke Cauchy rij convergent is. In dit geval noemen we(V, k • k) een Banachruimte.

Stelling 4.2.5 Elke eindigdimensionale genormeerde ruimte is een Banachruimte.

Bewijs. Omdat alle normen op een eindigdimensionale ruimte equivalent zijn, mogen we werken met de norm die we willen. We werken met de supremumnorm

k

n

∑

i=1

x_i~e_ik_∞= max{|x₁|, · · · |x_n|}

Hierbij is {~e₁, · · · ,~e_n} een basis van V . Neem een Cauchy rij (~x_n) en schrijf ~x_n=

n

∑

i=1

x_ni~e_i

Voor elke i is (x_ni) een numerieke Cauchy rij, en dus convergent. Schrijf lim n→∞x_ni= x_i Dan is ∞- lim n→∞~x_n= n

∑

i=1 x_i~e_i  Stelling 4.2.6 De genormeerde ruimten (

C

[a, b], k • k_∞) en (

B

[a, b], k • k_∞) zijn Banachruimten. Bewijs. We hebben gezien (zie Analyse I) dat een rij functies een uniforme Cauchy rij is als een alleen als ze uniform convergeert. Bovendien is een uniforme limiet van continue functies continu, en een uniforme limiet van begrensde functies begrensd.  Voorbeeld 4.2.7 (

C

[a, b], k • k₂) is niet volledig. Immers, neem de rij functies

f_n: [−1, 1] → R, fn(x) =      0 als −1 ≤ x ≤ 0 nx als 0 ≤ x ≤ ¹_n 1 als ¹_n ≤ x ≤ 1 ( f_n) convergeert in kwadratisch gemiddelde naar

f : [−1, 1] → R, f (x) =

0 als −1 ≤ x < 0 1 als 0 < x ≤ 1 Deze functie is echter niet continu.

Voorbeeld 4.2.8 Zij V = { f : [a, b] → R | f stuksgewijs continu differentieerbaar} (V, k • k∞) is niet volledig. We geven een voorbeeld van een Cauchy rij die geen limiet heeft binnen

P C

[a, b]. We werken nu op het interval [0, 1]. Neem m ∈ N0, en definieer f_n als volgt. Voor k = 1, · · · , n stellen we:

Als ¹

2^k−1 ≥ x > ¹

2k dan f_n(x) = ¹ 2k

Dit definieert f_nover (1/2ⁿ, 1].

Als x ≤ ¹

2n dan f_n(x) = 0 We zien gemakkelijk in dat

k f_n− f_mk =     1 2n− ¹ 2m    

en dus is ( f_n) een uniforme Cauchy rij. ( f_n) convergeert uniform naar de functie f gedefinieerd door

f(x) = ¹

2k als ¹

2^k−1 ≥ x > ¹ 2k

voor elk positief natuurlijk getal x, en f (1) = 0. Immers: k f_n− f k_∞= ¹

2n n→∞

−→0

De functie f is niet stuksgewijs continu differentieerbaar, want ze heeft een oneindig aantal dis-continuiteiten.

We zullen nu de ruimte V uit voorbeeld 4.2.8 “uitbreiden”tot een volledige ruimte.

Definitie 4.2.9 Een functie φ : [a, b] → R wordt een trapfunctie genoemd indien er een partitie P= (a = x₀, x₁, · · · , x_n= b)

van het interval[a, b] bestaat zodanig dat φ constant is over elk open interval (xi−1, x_i).

Definitie 4.2.10 Een functie f : [a, b] → R wordt een regelfunctie genoemd indien er een rij trap-functies(φn) bestaat die uniform naar f convergeert, of, equivalent, indien f uniform kan benaderd worden door trapfuncties, d.w.z.: voor elke ε > 0 bestaat er een trapfunctie φ zodat

k f − φk∞< ε We noteren

T

[a, b] = {φ : [a, b] → R | φ is een trapfunctie}

R

[a, b] = {φ : [a, b] → R | φ is een regelfunctie}

Stelling 4.2.11 (

R

[a, b], k • k_∞) is een Banachruimte. Met andere woorden, een uniforme limiet van regelfuncties is opnieuw een regelfunctie.

Bewijs.Onderstel dat ( f_n) een rij regelfuncties is, die uniform convergeert naar de functie f : ∀ε > 0, ∃N : n > N ⇒ k fn− f k_∞< ε

Neem hierin ε = 1/(2k), waarbij k een natuurlijk getal, en neem een vaste n > N.

f_nkan uniform kan benaderd worden door trapfuncties, dus bestaat er een trapfunctie φ_k zodat kφk− f_nk_∞< ¹ 2k Maar dan is k f − φkk_∞≤ k f − f_nk_∞+ k f_n− φkk_∞< ¹ 2k⁺ 1 2k ⁼ 1 k k→∞ −→0 zodat ∞- lim k→∞^φk= f

en f is dus de uniforme limiet van een rij trapfuncties.  De functie f uit voorbeeld 4.2.8 is een regelfunctie. Zoals we gezien hebben zijn er een onein-dig aantal discontinu¨ıteitspunten; dit aantal is wel aftelbaar, hiermee bedoelen we dat ze kunnen ge¨ındexeerd worden door de natuurlijke getallen: de discontinu¨ıteiten zijn

{¹

k | k = 1, 2, 3, · · ·},

of, de verzameling van de discontinu¨ıteitspunten kan in een rij opgeschreven worden.

Stelling 4.2.12 Een regelfunctie heeft hoogstens een aftelbaar aantal discontinu¨ıteitspunten. Bewijs. Een regelfunctie is de uniforme limiet van een rij trapfuncties. In die punten waar alle trapfuncties continu zijn, is de regelfunctie continu. De overblijvende punten worden gegeven door de vereniging van de discontinu¨ıteitspunten van elk van de trapfuncties. Elk van de trapfuncties heeft slechts een eindig aantal discontinu¨ıteiten, en de vereniging kan in een rij opgeschreven worden: schrijf eerst de discontinu¨ıteiten van de eerste trapfunctie, dan die van de tweede, enz.  Regelfuncties kunnen ook als volgt gekarakteriseerd worden.

Stelling 4.2.13 Voor een functie f : [a, b] → R zijn de volgende uitspraken equivalent: 1. f is een regelfunctie, m.a.w. f kan uniform benaderd worden door trapfuncties; 2. f kan uniform benaderd worden door stuksgewijs continu differentieerbare functies; 3. f bezit in elk punt van[a, b] een eindige linker- en rechterlimiet.

Bewijs.1) ⇒ 3). Neem een regelfunctie f , en schrijf f = ∞- lim

n→∞^φn

waarbij elke φneen trapfunctie. Neem x0∈ [a, b). De rechterlimiet lim

x→x0+φ_n(x) = φn(x₀+) bestaat voor elke n. Als x > x₀voldoende dicht bij x₀ligt, dan is

φ_n(x) = φn(x₀+) want φ_nis een trapfunctie. Voor n, m voldoende groot is dus

|φn(x₀+) − φm(x₀+)| = |φn(x) − φm(x)| < ε en dus is (φ_n(x₀+)) een numerieke Cauchy rij, en dus convergent. Stel

lim

n→∞^φn(x₀+) = λ We beweren nu dat

λ = lim

x→x₀+f(x) Kies een willekeurige ε > 0, en h > 0. Voor elke n geldt:

| f (x₀+ h) − λ| ≤ | f (x0+ h) − φ_n(x₀+ h)| + |φ_n(x₀+ h) − φ_n(x₀+ 0)| + |φ_n(x₀+ 0) − λ| Omdat φ_nuniform naar f convergeert bestaat er een N₁zodat

n> N₁ ⇒ | f (x₀+ h) − φn(x₀+ h)| < ^ε 2 Omdat φ_n(x₀+) naar λ convergeert, bestaat er een N2zodat

n> N₂ ⇒ |φn(x₀+ 0) − λ| < ^ε 2

Neem een vaste n > max{N₁, N₂}. Omdat φneen trapfunctie is, is er een δ > 0 zodat 0 < h < δ ⇒ φn(x₀+ h) = φn(x₀+ 0) en dus 0 < h < δ ⇒ | f (x₀+ h) − λ| ≤ ^ε 2^{+ 0 +} ε 2 3) ⇒ 1). Neem ε > 0, en x ∈ [a, b]. Aangezien

lim

s→x−f(x) = f (x−) bestaat, is er een δ_x> 0 zodat

| f (s) − f (x−)| < ^ε 2

zodra s ∈ (x − δx, x). Als s,t ∈ (x − δx, x) = I_x, dan geldt dus

| f (s) − f (t)| ≤ | f (s) − f (x−)| + | f (x−) − f (t)| < ε

Op analoge manier vinden we voor elke x een interval (x, x + δ⁰_x) zodat | f (s) − f (t)| ≤ ε, voor alle s,t ∈ (x, x + δ⁰_x).

De unie van alle intervallen I_x= (x − δx, x + δ⁰_x), waarbij we x laten lopen over [a, b], omvat zeker [a, b]. Deze unie kan tot een eindige unie beperkt worden, vanwege de stelling van Heine-Borel. We krijgen dus een eindig aantal intervallen I_x1, · · · , I_xr die [a, b] overdekken.

We nemen de getallen a, b, x_i, x_i− δxi, x_i+ δ_x0

i en schrijven die in stijgende volgorde, en hernumme-ren. We krijgen dan een partitie

(a = c₁, · · · , c_m= b) van [a, b]. Uit de constructie volgt ook:

s,t ∈ (c_i−1, c_i) ⇒ | f (s) − f (t)| < ε We defini¨eren nu een trapfunctie φ als volgt:

φ(x) = ( f(^ci−1+ci 2 ) als c_i−1< x < c_i f(c_i) als x = c_i Als x = c_i, dan is | f (x) − φ(x)| = 0.

Als c_i−1< x < c_i, dan is | f (x) − φ(x)| = | f (x) − f (^ci−1+ci 2 )| < ε.

Voor elke x ∈ [a, b] geldt dus dat | f (x) − φ(x)| < ε, en dus kan f uniform benaderd worden door trapfuncties.

2) ⇒ 1). Uit de equivalentie van 1) en 3) volgt dat elke stuksgewijs continu differentieerbare functie een regelfunctie is, aangezien een stuksgewijze continu differentieerbare per definitie overal een linker- en rechterlimiet heeft. Uit stelling 4.2.11 volgt dan dat de uniforme limiet van een rij stuksgewijs continu differentieerbaren een regelfunctie is.

1) ⇒ 2) is triviaal. 

De bovenstaande constructie laat ons toe om de integraal van een regelfunctie te defini¨eren. Eerst formuleren we enkele hulpresultaten.

Lemma 4.2.14 Onderstel dat (φ_n) een uniforme Cauchy rij stuksgewijs continu differentieerbare functies is over[a, b]. Dan is de rij (Rb

a φ_n(x)dx) een numerieke Cauchy rij. Bewijs. ∀ε > 0, ∃N : n, m > N ⇒ kφ_n− φ_mk_∞< ε/(b − a) en dan is | Z b a φn(x)dx − Z b a φm(x)dx| ≤ Z b a |φn(x) − φm(x)|dx ≤ Z b a kφn− φmk_∞dx < ε 

Lemma 4.2.15 Onderstel dat (φ_n) een rij stuksgewijs continu differentieerbare functies is, en dat ∞- lim n→∞^φn= 0 Dan is lim n→∞ Z b a φ_n(x)dx = 0 Bewijs. | Z b a φ_n(x)dx| ≤ Z b a kφn(x)k_∞dx^n→∞−→0  Definitie 4.2.16 Zij f een regelfunctie over [a, b], en schrijf f als de uniforme limiet van een rij trapfuncties (of stuksgewijs continu differentieerbare functies)(φ_n). Dan defini¨eren we

Z b a f(x)dx = lim n→∞ Z b a φ_n(x)dx

Uit lemma 4.2.14 volgt dat de limiet bestaat, en uit lemma 4.2.15 dat hij onafhankelijk is van de gekozen rij trapfuncties of stuksgewijs continu differentieerbare functies.

Op

R

[a, b] hebben we nu ook de norm k • k₂: we kunnen nu ook regelfuncties integreren. Deze norm is minder fijn dan de norm k • k_∞, en men kan aantonen dat (

R

[a, b], k • k₂) een (semi-)genormeerde ruimte is, maar geen Banachruimte. Er bestaat een constructie die analoog is aan die van

R

[a, b].

R

[a, b] is in feite de vervollediging van de ruimte der trapfuncties - of stuksgewijs continu differentieerbare functies - met betrekking tot de norm k • k_∞. We kunnen dit ook doen voor de norm k • k₂, en we verkrijgen dan de ruimte

L

2[a, b] van de Lebesgue integreerbare functies. In vergelijking met de theorie van de integraal van een regelfunctie zijn er twee complicaties:

•

L

2[a, b] bestaat niet uit functies, maar uit klassen van functies; we hebben dit probleem reeds ontmoet wanneer we de ruimte

P C

[a, b] invoerden;

• de k • k₂ wordt gedefinieerd met behulp van de integraal. Om dus functies in kwadratisch gemiddelde te kunnen benaderen moeten we dus hun integraal kunnen uitrekenen. Maar de beste integratietheorie die we tot dusver hebben is die van de regelfuncties.

In document Aanvullingen van de Wiskunde (pagina 38-44)