Voorbeelden

  dz = pdx + qdy cdx²− 2bdxdy + ady2= 0 adydp + cdxdq = f dxdy (3.13) Merk op dat dit een stelsel is met vijf onbekende functies, maar slechts drie vergelijkingen. De oplossingen van de stelsels (3.14) en (3.15) zijn ook oplossingen van (3.13).

   dz = pdx + qdy dy = λ₁dx aλ1dp + cdq = f λ1dx (3.14)    dz = pdx + qdy dy = λ₂dx aλ2dp + cdq = f λ2dx (3.15) Zonder bewijs geven we volgende eigenschappen.

Stelling 3.4.1 Als v(x, y, z, p, q) = c een eerste integraal is van (3.13), dan zijn de oplossingen van de parti¨ele differentiaalvergelijking van eerste orde

v(x, y, z, p, q) = 0 ook oplossingen van (3.1)

Stelling 3.4.2 Als v₁(x, y, z, p, q) = c₁ en v₂(x, y, z, p, q) = c₂ twee verschillende eerste integralen zijn van (3.14), dan is (3.1) equivalent met de vergelijking

φ(v₁(x, y, z, p, q), v₂(x, y, z, p, q)) = 0 waarbij φ een willekeurige functie van twee veranderlijken is.

Opmerkingen 3.4.3 1) Uiteraard mogen we in stelling 3.4.2 ook twee verschillende eerste in-tegralen van (3.15) nemen. De stelling is wel niet geldig als we een eerste integraal van (3.14) combineren met een van (3.15).

2) Als we twee verschillende integralen van (3.14) kunnen vinden, dan laat stelling 3.4.2 toe om de oplossing van de parti¨ele differentiaalvergelijking (3.1) te herleiden tot de oplossing van een parti¨ele differentiaalvergelijking van orde ´e´en, met daarin een willekeurige functie. De algemene integraal van (3.1) zal dus afhangen van twee willekeurige functies.

3.5 Voorbeelden

Voorbeeld 1

De vergelijking (3.9) wordt

x²dx²+ 2xydxdy + y²dy²= 0 of

xdx + ydy = 0

We hebben dus een parabolische vergelijking. De stelsels (3.14) en (3.15) vallen samen, en worden    dz = pdx + qdy xdx + ydy = 0 y²dp − xydq + (z − px − qy)dx = 0 De tweede vergelijking geeft als eerste integraal:

x²+ y²= c₁ We herschrijven de derde vergelijking:

y(ydp − xdq) + zdx + y(pdy − qdx) = 0 d(py − qx) +^z

ydx = 0 De eerste twee vergelijkingen geven samen

dz = ^py− qx y dx en we krijgen dus

d(py − qx) + ^zdz py− qx ^{= 0} en dit geeft als tweede eerste integraal

(py − qx)²+ z²= c₂

Uit stelling 3.4.2 volgt dat het probleem herleid wordt tot het integreren van de parti¨ele differenti-aalvergelijking

(py − qx)²+ z²= f (x²+ y²) (3.17) waarbij f een willekeurige functie van 1 veranderlijke is. We kunnen deze herleiden tot een lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van orde ´e´en:

py− qx = ± q

f(x2+ y2) − z2

met geassocieerd stelsel

dx y = ^dy

−x⁼

dz

±^pf(x2+ y2) − z2

De eerste vergelijking levert een eerste integraal: x²+ y²= c²₁

Als we deze substitueren in het stelsel krijgen we dx q c²₁− x2 = ^dz ± q f(c²₁) − z2 of ±bgsin_q ^z f(c²₁) = bgsin ^x c₁+ c₂ We nemen de sinus van beide leden:

±_q ^z f(c²₁)

= sin^bgsin ^x

c₁+ c₂^ = ^x

c₁cos c₂+ sin c₂cos^bgsin ^x c₁  = ^x c₁cos c₂+ sin c₂ s 1 − x c₁ 2 = ^x c₁cos c₂+ ^y c₁sin c₂ = ¹ c₁(x cos c₂+ y sin c₂)

en als we de eerste integraal opnieuw invullen, krijgen we als tweede eerste integraal z= ±

s

f(x2+ y2)

x2+ y2 (x cos c₂+ y sin c₂)

De algemene integraal van (3.17), en dus van (3.16) vinden we door c₂= g(c₁) te stellen, met g een willekeurige functie van ´e´en veranderlijke:

z= ± s f(x2+ y2) x2+ y2 (x cos g(x²+ y²) + y sin g(x²+ y²)) of z= xφ(x²+ y²) + yψ(x²+ y²) waarbij φ en ψ willekeurige functies in ´e´en variabele.

Voorbeeld 2: De golfvergelijking a^2∂ 2z ∂x²−^∂ 2z ∂t² = 0 (3.18) waarbij a > 0. De vergelijking (3.9) wordt

of (adt − dx)(adt + dx) = 0. We hebben dus een hyperbolische vergelijking. (3.14) en (3.15) zijn nu    dz = pdx + qdt adt − dx = 0 adp − dq = 0 en    dz = pdx + qdt adt + dx = 0 adp + dq = 0 We vinden gemakkelijk twee eerste integralen van het eerste stelsel:

at− x = c₁ en ap − q = c₂ De differentiaalvergelijking is dus gelijkwaardig met

ap− q = f (at − x)

waarbij f een willekeurige functie van ´e´en veranderlijke is. Het geassocieerd stelsel van deze lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van eerste orde is

dx a = ^dt

−1 ⁼ dz f(at − x) De eerste gelijkheid geeft een eerste integraal van dit stelsel:

at+ x = c₁ Een tweede eerste integraal bepalen we als volgt:

adz = f (at − x)dx = f (c₁− 2x)dx Integreren geeft

z= φ(c1− 2x) + c₂= φ(at − x) + c2

waarbij φ een nieuwe willekeurige functie. De algemene integraal vinden we door c2= ψ(c1) te stellen, zodat

z= φ(at − x) + ψ(at + x) de algemene integraal is van de golfvergelijking.

De functies φ en ψ kunnen we bepalen als we rand- en beginvoorwaarden kennen. We geven een fysisch voorbeeld.

Beschouw een oneindig lange buis, gevuld met een flu¨ıdum, waarvan de as langs de x-as ligt. Op t = 0 wordt in het punt x = 0 het evenwicht van het flu¨ıdum verbroken.

Onder ideale voorwaarden (volmaakt flu¨ıdum, onvervormbare buis) zal de longitudinale verplaat-sing z(x,t) van een schijf flu¨ıdum in het punt x op het tijdstip t voldoen aan (3.18), waarbij a afhankelijk is van het flu¨ıdum.

We onderstellen dat het flu¨ıdum op tijdstip t = 0 in rust is, en we gaan na wat er gebeurt in het deel van de buis dat overeenkomt met x ≥ 0. De rand- en beginvoorwaarden zijn dan



z(x, 0) = 0 en ∂z

∂t(x, 0) = 0 voor x ≥ 0 z(0,t) = f (t) als t ≥ 0

0 ^x

Figuur 3.1: Voortplanting van een storing

f(t) hangt af van de storing die in x = 0 wordt gegeven. Als we de rand- en beginvoorwaarden invullen in de algemene integraal vinden we

φ(−x) + ψ(x) = 0 (3.19) a(φ⁰(−x) + ψ⁰(x)) = 0 (3.20) φ(at) + ψ(at) = f (t) (3.21) voor x ≥ 0 en t ≥ 0. Afleiden van (3.19) naar x geeft

−φ⁰(−x) + ψ⁰(x) = 0

Uit (3.20) volgt dan dat ψ⁰(x) = 0, zodat ψ(x) = c, en dus ook φ(−x) = −c, voor elke x ≥ 0. Uit vergelijking (3.21) volgt φ(x) voor x ≥ 0:

φ(x) = f (x/a) − ψ(x) = f (x/a) − c Als at − x ≤ 0 vinden we dus

z= φ(at − x) + ψ(at + x) = −c + c = 0 en voor at − x ≥ 0:

z= φ(at − x) + ψ(at + x) = f (t − x/a) − c + c = f (t − x/a) en de uiteindelijke oplossing is dus (voor x ≥ 0 en t ≥ 0):

z(x,t) =

0 als t ≤ x/a f(t − x/a) als t ≥ x/a

De storing die werd aangebracht in x = 0 verplaatst zich dus zonder vervorming in de x-richting met snelheid a.

Voorbeeld 3: vergelijking van Laplace ∂²z ∂x²+^∂ 2z ∂y² = 0 (3.22) De vergelijking (3.9) wordt dx²+ dy²= 0

of (dx + idy)(dx − idy) = 0. We hebben dus een elliptische vergelijking. (3.14) wordt nu    dz = pdx + qdy dx + idy = 0 idp + dq = 0

We vinden gemakkelijk twee eerste integralen van het eerste stelsel: x+ iy = c₁ en ip + q = c2

De differentiaalvergelijking is dus gelijkwaardig met ip+ q = f (x + iy)

waarbij f een willekeurige functie van ´e´en veranderlijke is. Het geassocieerd stelsel van deze lineaire parti¨ele differentiaalvergelijking van eerste orde is

dx i = ^dy

1 ⁼ dz f(x + iy) De eerste gelijkheid geeft een eerste integraal van dit stelsel:

x− iy = c₁ Een tweede eerste integraal bepalen we als volgt:

dz = f (x + iy)dy = f (2iy + c₁)dy Integreren geeft

z= φ(2iy + c1) + c₂= φ(x + iy) + c2

waarbij φ een nieuwe willekeurige functie. De algemene integraal vinden we door c₂= ψ(c1) te stellen, zodat

z= φ(x + iy) + ψ(x − iy) de algemene integraal is van de vergelijking van Laplace.

Hoe moeten we dit interpreteren? Zij f : R → R een functie die kan geschreven worden als een machtreeks op een omgeving van een punt a:

f(x) =

∞

∑

n=0

a_n(x − a)ⁿ Dan kunnen we ook de complexe functie

f(z) =

∞

∑

n=0

a_n(z − a)ⁿ

beschouwen. De machtreeks convergeert op een schijf met middelpunt a. We kunnen f schrijven als een som van een re¨eel en een imaginair gedeelte:

f - geschreven als een functie van x en y - voldoet aan de vergelijking van Laplace. Dus ook het re¨eel en imaginair gedeelte. Dit weten we reeds uit de cursus complexe analyse: uit de voor-waarden van Cauchy-Riemann volgt dat re¨eel en imaginair gedeelte van een analytische functie oplossingen zijn van de vergelijking van Laplace. We kunnen dit ook als volgt zien: als f (x + iy) een analytische functie, dan is

∂ f ∂y(x + iy) = f⁰(z)^{∂x + iy} ∂y = i f⁰(z) en ^∂ 2f ∂y²(x + iy) = − f⁰⁰(z) Op analoge wijze is ∂²f ∂x²(x + iy) = f⁰⁰(z)

Hetzelfde argument toont aan dat re¨eel en imaginair gedeelte van f (x − iy), waarbij f een analyti-sche functie, oplossingen zijn van de vergelijking van Laplace.

Hoofdstuk 4

Oneindigdimensionale Euclidische Ruimten

4.1 Genormeerde ruimten

De vectorruimten die we in dit hoofdstuk beschouwen zijn vectorruimten over R. Definitie 4.1.1 Een genormeerde ruimte is een vectorruimte V tesamen met een functie

k • k : V → R+, ~v 7→ k~vk

die voldoet aan volgende eigenschappen, voor alle~x,~y ∈ V en α ∈ R: 1. k~xk = 0 ⇐⇒ ~x =~0;

2. kα~xk = |α|k~xk; 3. k~x +~yk ≤ k~xk + k~yk.

We noemenk • k een norm op de vectorruimte V .

Voorbeeld 4.1.2 Op V = Rⁿ kunnen we verschillende normen defini¨eren: neem ~x = ∑ⁿ_i=1x_i~e_i, waarbij {~e₁, · · · ,~e_n} een basis is van Rn. De formules

k~xk₁ = n

∑

i=1 |x_i| k~xk₂ = s n

∑

i=1 x²_i k~xk_∞ = max{|x₁|, |x₂|, · · · , |x_n|}

Voorbeeld 4.1.3 Op de vectorruimte

B

[a, b] = { f : [a, b] → R | f is begrensd} defini¨eren we volgende norm:

k f k_∞= sup{| f (x)| : x ∈ [a, b]} (4.1) We noemen deze de supremumnorm.

Voorbeeld 4.1.4 We beschouwen nu de vectorruimte

C

[a, b] = { f : [a, b] → R | f is continu} Hierop kunnen we de volgende twee normen beschouwen:

k f k₁ = Z b a | f (x)|dx (4.2) k f k₂ = s Z b a f(x)2dx (4.3) Naar analogie met voorbeeld 4.1.2 noemen we k • k₂ de Euclidische norm. De formule (4.1) definieert een derde norm op

C

[a, b].

Voorbeeld 4.1.5 Een functie f : [a, b] → R wordt stuksgewijs continu genoemd als f continu is over [a, b], behalve in een eindig aantal punten, waarin wel de linker- en rechterlimiet moeten bestaan.

V = { f : [a, b] → R | f is stuksgewijs continu}

is dan een vectorruimte. De formules (4.2-4.3) defini¨eren nu een semi-norm op V . Hiermee bedoe-len we dat de tweede en derde eigenschap uit definitie 4.1.1 gelden, maar de eerste niet. Immers, neem een functie f die overal nul is, behalve in een eindig aantal punten. Dan is f stuksgewijs continu, f 6= 0, maar toch is k f k₁= k f k₂= 0. Om dit op te lossen voeren we volgende constructie uit. Neem f , g ∈ V . We zeggen dat f en g bijna gelijk zijn als

{x ∈ [a, b] | f (x) 6= g(x)}

eindig is. We noteren dit door f ' g. ' is dan een equivalentierelatie op V , en we kunnen de verzameling der equivalentieklassen beschouwen. We noteren deze als

P C

[a, b] = V / '

Dit betekent in feite dat we f en g met elkaar identificeren als ze slechts in een eindig aantal punten verschillen.

P C

[a, b] is nog steeds een vectorruimte, en (4.2) en (4.3) defini¨eren elk een norm op

Definitie 4.1.6 Zij V, k • k een genormeerde ruimte, en beschouw een rij (~x_n) in V en ~x ∈ V . We zeggen dat lim n→∞~x_n= ~x indien lim n→∞k~x_n−~xk = 0 of, gebruik makend van de gewone definitie van limiet:

∀ε > 0, ∃N > 0 : n ≥ N ⇒ k~x_n−~xk < ε

Op gelijkaardige wijze kunnen we in een genormeerde ruimte convergente en absoluut convergente reeksen invoeren. Zij(~u_n) een rij in V , en stel

~s_n= n

∑

k=1 ~u_k Dan is ∞

∑

n=1 ~u_n= lim n→∞~s_n

indien deze limiet bestaat. We zeggen dan dat de reeks convergent is. Indien

∞

∑

n=1

k~u_nk convergent is, dan noemen we de reeks absoluut convergent.

We hebben gezien dat op eenzelfde vectorruimte meer dan 1 norm kan gedefinieerd worden. Omdat definitie 4.1.6 afhangt van de gekozen norm, kan het zijn dat de limieten van een rij voor de ene norm niet dezelfde zijn als die voor een andere norm.

Definitie 4.1.7 Neem twee normen k • k₁ en k • k₂ op de vectorruimte V . We zeggen dat k • k₁ fijner is dank • k₂indien er een k> 0 bestaat zodat

k~xk₂≤ kk~xk₁

voor elke~x ∈ V . We noemen k • k₁ enk • k₂ equivalent indienk • k₂ fijner is dank • k₁ enk • k₁ fijner dank • k₂, m.a.w., er bestaan k, l > 0 zodat

k~xk₂≤ kk~xk₁≤ lk~xk₂ voor elke~x ∈ V .

Stelling 4.1.8 Als k • k₂fijner is dank • k₁, dan hebben we 2- lim

n→∞~x_n= ~x ⇒ 1- lim

n→∞~x_n= ~x

Als twee normen equivalent zijn, dan hebben beide normen dezelfde convergente rijen met dezelfde limieten.

Bewijs.k~x_n−~xk₁≤ kk~x_n−~xk₂^n→∞−→0.  In het eindigdimensionaal geval zijn alle normen equivalent. Alvorens we dit merkwaardig resul-taat kunnen bewijzen hebben we enkele hulpstellingen nodig.

Lemma 4.1.9 Zij V, k • k een genormeerde ruimte, en ~x ∈ V . Neem een convergente numerieke rij (λ_n), met limiet λ. Dan is

lim

n→∞^λn~x = λ~x

Bewijs.Gebruik makend van axioma 2 uit definitie 4.1.1 vinden we lim

n→∞kλ_n~x − λ~xk = lim

n→∞|λ_n− λ|k~xk = 0

 Het tweede lemma is een eigenschap van gewone numerieke rijen. We hadden dit eigenlijk al kunnen doen tijdens de cursus “Analyse I”.

Lemma 4.1.10 Elke begrensde numerieke rij (λ_n) heeft een convergente deelrij. Bewijs.Bekijk

X = {λn| n ∈ N} Er zijn twee gevallen.

1) X is eindig. Dan is er een a ∈ R zodat λn= a voor een oneindig aantal waarden van n. Schrap uit de rij alle elementen die niet gelijk zijn a. De deelrij die we op die manier verkrijgen is een constante, en dus convergente, rij.

2) X is oneindig. Omdat X ook begrensd, bezit X een verdichtingspunt c, vanwege de stelling van Bolzano-Weierstrass. Dit betekent dat we voor elke ε > 0 een oneindig aantal indexen n kunnen vinden zodat

|λn− c| < ε Kies een index n1zodat |λn₁− c| < 1.

Onderstel dat we indexen n₁< n₂< · · · < n_mgevonden hebben zodat |λ_nk− c| < ¹

k voor k = 1, · · · , m

Omdat |λ_n− c| < 1/(m + 1) voor een oneindig aantal waarden van n vinden we een index n_m+1> n_mwaarvoor

|λn_m+1− c| < ¹ m+ 1

De rij (λ_nk) is een deelrij van (λ_n) en convergeert naar c.  Stelling 4.1.11 Op een eindigdimensionale vectorruimte V zijn alle normen equivalent.

Bewijs.Neem een basis {~e1, · · · ,~e_n} van V . Op V hebben we de norm k n

∑

k=1 x_i~e_ik₁= |x₁| + |x₂| + · · · + |x_n| We zullen aantonen dat elke andere norm k • k equivalent is met k • k₁. 1) Stel d = max{k~e₁k, · · · , k~e_nk}. Dan is

k~xk = k n

∑

i=1 x_i~e_ik ≤ n

∑

i=1 |x_i|k~e_ik ≤ dk~xk₁ en dus is k • k fijner dan k • k₁.

2) Om aan te tonen dat k • k1fijner dan k • k moeten we bewijzen dat er een c > 0 bestaat zodat k~xk₁≤ ck~xk (4.4) voor elke ~x ∈ V . Voor ~x = ~0 is de bewering waar voor elke c > 0, en dus volstaat het om (4.4) te bewijzen voor elke ~x 6=~0. Verder is het voldoende om (4.4) te bewijzen in het geval k~xk₁= 1. Immers, als we voor een willekeurige ~y 6=~0 stellen

~x = ^~y k~yk₁ dan is k~xk1= 1 en

k~yk₁= k~yk₁k~xk₁≤ k~yk₁ck~xk = ck~yk

Onderstel dat we geen c > 0 kunnen vinden zodat (4.4) geldt voor elke~x met k~xk₁= 1. Dit betekent dat we voor elke m ∈ N een ~xmkunnen vinden zodat

k~x_mk₁= 1 en k~x_mk₁> mk~x_mk of

k~x_mk₁= 1 en k~x_mk < ¹ m Dit impliceert dat

lim

m→∞~x_m=~0 (convergentie in k • k-norm). Schrijf nu

~x_m=

n

∑

i=1

x_m,i~e_i Voor elke i and m geldt

|x_m,i| ≤

n

∑

i=1

|x_m,i| = k~x_mk₁= 1 en dus is voor elke i de rij (x_m,i) begrensd.

door de deelrij (~xm_k), en noteren deze opnieuw door (~x_m). We herhalen dit argument voor elk van de componenten, en vinden tenslotte een rij (~x_m) waarvoor nog steeds geldt

lim m→∞k~x_mk =~0 en k~x_mk₁= n

∑

i=1 |x_m,i| = 1 (4.5) en lim m→∞x_m,i = t_i (4.6) bestaat, voor elke i = 1, · · · , n. Als we in (4.5) de limiet nemen voor m → ∞, dan vinden we, rekening houdend met (4.6),

1 = lim m→∞ n

∑

i=1 |xm,i| = n

∑

i=1 |t_i| Maar we hebben ook dat

~0 = lim m→∞~x_m= lim m→∞ n

∑

i=1 x_m,i~e_i= n

∑

i=1 ( lim m→∞x_m,i)~e_i= n

∑

i=1 t_i~e_i

waaruit volgt dat t_i= 0 voor elke i. Dit is natuurlijk een contradictie.  Stelling 4.1.12 Op V =

C

[a, b] is de supremumnorm k • k_∞fijner dan de normenk • k₁enk • k₂. Bewijs.Neem f : [a, b] → R continu. Dan is

k f k²₂= Z b a | f (x)|²dx ≤ Z b a k f k²_∞dx = (b − a)k f k²_∞ zodat k f k₂≤^√b− ak f k_∞ en k f k₁= Z b a | f (x)|dx ≤ Z b a k f k_∞dx = (b − a)k f k_∞  De normen zijn niet equivalent, zoals blijkt uit volgend voorbeeld.

Voorbeeld 4.1.13 Voor n = 1, 2, · · · beschouwen we de functie f_n: [−1, 1] → R, fn(x) =        0 als |x| ≥ _n¹2 1 + n²x als −¹ n2 ≤ x ≤ 0 1 − n²x als 0 ≤ x ≤ ¹ n2 Dan is k f_nk_∞= 1

en k f_nk²₂= 2 Z 1/n2 0 (1 − n²x)²dx = −2 (1 − n2x)³ 3n2 1/n² 0 = ² 3n2 of k f_nk₂= √ 2 √ 3n en k f_nk₁= 2 Z 1/n² 0 (1 − n²x)dx = ¹ n² We concluderen dat 2- lim n→∞f_n= 1- lim n→∞f_n= 0 terwijl ∞- lim n→∞f_n niet bestaat.

Stelling 4.1.14 Een rij functies f_n: [a, b] → R convergeert uniform naar f over [a, b] als en slechts als ∞- lim n→∞f_n= f . Als 2- lim n→∞f_n= f ,

dan zeggen we dat ( f_n) in kwadratisch gemiddelde naar f convergeert. Convergentie in kwadra-tisch gemiddelde is dus zwakker dan uniforme convergentie.

In document Aanvullingen van de Wiskunde (pagina 25-38)