Drievoudige integralen
In het vervolg wordt {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}
genoteerd als [a, b] × [c, d] × [r, s].
Laat f een continue functie zijn op G = [a, b] × [c, d] × [r, s].
Dan is f Riemannintegreerbaar over G en de Riemann- integraal van f over G wordt genoteerd als
Z Z Z
G
f (x, y, z) dV
May 25, 2010 1
Er kan worden bewezen (stelling van Fubini) dat
deze Riemann-integraal op zes verschillende manieren kan worden geschreven als herhaalde integraal.
Als D = [a, b] × [c, d] dan Z Z Z
G
f (x, y, z) dV = Z s
r
Z Z
D
f (x, y, z) d(x, y)
dz Z Z
D
Z s r
f (x, y, z) dz
d(x, y)
Als G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, µ1(x, y) ≤ z ≤ µ2(x, y)} dan Z Z Z
G
f (x, y, z) dV = Z Z
D
(Z µ2(x,y)
µ1(x,y)
f (x, y, z) dz )
d(x, y)
D kan worden gevonden door het gebied G te projecteren op het vlak z = 0.
en als G = {(x, y, z) | r ≤ z ≤ s, (x, y) ∈ Dz} dan Z Z Z
G
f (x, y, z) dV = Z s
r
Z Z
Dz
f (x, y, z) d(x, y)
dz
[r, s] kan worden gevonden door het gebied G te projecteren op de z-as.
May 25, 2010 3
Als G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, µ1(x, y) ≤ z ≤ µ2(x, y)} dan Z Z Z
G
f (x, y, z) dV = Z Z
D
(Z µ2(x,y)
µ1(x,y)
f (x, y, z) dz )
d(x, y)
D kan worden gevonden door het gebied G te projecteren op het vlak z = 0.
en als G = {(x, y, z) | r ≤ z ≤ s, (x, y) ∈ Dz} dan Z Z Z
G
f (x, y, z) dV = Z s
r
Z Z
Dz
f (x, y, z) d(x, y)
dz
De overgang op cilinderco¨ ordinaten
Als
x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = ζ
dan heten x, y en z de rechthoekige (Cartesische) co¨ordinaten van een punt en r, θ en ζ de cilinderco¨ordinaten van hetzelfde punt.
May 29, 2009 1
∆ri
rijk∆θj
∆ζk
Als E de beschrijving is van een deelverzameling van R3 in rechthoekige co¨ordinaten en H is de beschrijving van dezelfde deelverzameling in cilinderco¨ordinaten, f is Riemann-
integreerbaar over E dan geldt Z Z Z
E
f (x, y, z) d(x, y, z) = Z Z Z
H
f (r cos θ, r sin θ, ζ)rd(r, θ, ζ) r is de absolute waarde van de zogenaamde determinant van Jacobi (Jacobiaan).
May 29, 2009 3
De overgang op bolco¨ ordinaten
Als
x = ρ cos(θ) sin(φ) y = ρ sin(θ) sin(φ) z = ρ cos(φ)
dan heten x, y en z de rechthoekige (Cartesische) co¨ordinaten van een punt en ρ, θ en φ de bolco¨ordinaten van hetzelfde punt.
ρijk∆φk
straal =
ρijksin(φijk)
boog =
ρijksin(φijk)∆θj ∆ρi
De inhoud van het volume-element is dus
≈ ρ2ijksin φijk∆ρi∆θj∆φk
May 29, 2009 5
Als E de beschrijving is van een deelverzameling van R3 in rechthoekige co¨ordinaten en H is de beschrijving van dezelfde deelverzameling in bolco¨ordinaten, f is Riemannintegreerbaar over E dan geldt
Z Z Z
E
f (x, y, z) d(x, y, z) = Z Z Z
H
f (ρ cos(θ) sin(φ), ρ sin(θ) sin(φ), ρ cos(φ))ρ2sin(φ)d(ρ, θ, φ)
ρ2sin(φ)is de absolute waarde van de zogenaamde determinant
