(of a a32) 1 • Dit geeft a =32 4 1 • Dus a = 316 (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1 of • De oppervlakte van het ene vlakdeel is d d a a x− x x= x x

wiskunde B vwo 2015-I

Wortelfuncties

1 maximumscore 6

• (De grafieken van f en g snijden elkaar in (0, 0) dus) er moet gelden:

( ¹2 ) ⁴¹2

0

d d

a

a

x− x x= x x

∫ ∫ ^{(ofwel 1}2 ⁴¹2

0

d d

a

a

x x= x x

∫ ∫ ^{) 2}

• Een primitieve van ¹₂ x is ¹₃x³² 1

• Invullen van de grenzen geeft ¹₃a³² = −⁸₃ ¹₃a³² 1

• Dit geeft a =³² 4 1

• Dus a = ³16 (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1 of

• Wegens f x( ) 2 ( )= ⋅g x zijn de begrensde vlakdelen links van x a= even groot en rechts van x a= ook, dus moeten de vier begrensde

vlakdelen even groot zijn 1

• Er moet gelden: ¹₂ ⁴

0 0

d d

a x x= ⋅ x x

∫ ∫ ^{(of 4}

0

d d

a

a

x x= x x

∫ ∫ ^{) 1}

• Een primitieve van x is ²₃x³² 1

• Invullen van de grenzen geeft ²₃a = ⋅ (of ^{32 1}_{2 3}^{16 2}₃a³² = −¹⁶₃ ²₃a³²) 1

• Dit geeft a =³² 4 1

• Dus a = ³16 (of een gelijkwaardige uitdrukking) 1 of

• De oppervlakte van het ene vlakdeel is ( ¹2 ) ¹2

0 0

d d

a a

x− x x= x x

∫ ∫ ¹

• ¹₂ ¹₃ ^{32 1}₃ ³²

0 0

a d a

x x = x  = a

∫ ¹

4

Vraag Antwoord Scores

wiskunde B vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

Cirkels en lijnstuk

2 maximumscore 5

• Er geldt: cos(2 ) 0t = 1

• Dit geeft t = π of ¹₄ t = π of ³₄ t = π of ⁵₄ t = π ⁷₄ 2

• x_A( ) sin( ) cos( )¹₄π = ¹₄π = ¹₄π = y_A( )¹₄π (=¹₂ 2),

3 3 3 3

4 4 4 4

( ) sin( ) cos( ) ( )

A A

x π = π = − π = −y π (=¹₂ 2),

5 5 5 5

4 4 4 4

( ) sin( ) cos( ) ( )

A A

x π = π = π = y π (= −¹₂ 2)en

7 7 7 7

4 4 4 4

( ) sin( ) cos( ) ( )

A A

x π = π = − π = −y π (= −¹₂ 2)

(, dus A bevindt zich op deze tijdstippen op de lijn met vergelijking

y x= of op de lijn met vergelijking y= −x) 2 of

• Er geldt: cos(2 ) 0t = 1

• Dit geeft cos²t−sin²t=0 1

• Dus (cos sin )(cost− t t+sin ) 0t = 1

• Hieruit volgt cost=sint of cost= −sint 1

• Dus A ligt op de lijn met vergelijking y x⁼ of op de lijn met

vergelijking y^{= −}x 1

Opmerking

Als bij de eerste werkwijze hierboven niet voor alle vier waarden van t de juistheid van de bewering is aangetoond, dan per ontbrekende situatie 1 scorepunt in mindering brengen.

wiskunde B vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

3 maximumscore 6

• Er moet gelden: 2cos(2 ) cost = t 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost 1

• Een oplossing behorende bij een negatieve y-coördinaat is t ≈2,21 (of 4,08

t ≈ ) 1

• De coördinaten van A zijn dan (ongeveer) (0,8; –0,6) (of (–0,8; –0,6)) 1

• De coördinaten van B zijn dan (ongeveer) (–1,9; –0,6) (of (1,9; –0,6))

(of een correcte beredenering waaruit de juiste ligging van B volgt) 1

• Een mogelijke tekening van lijnstuk AB (zie hieronder de

twee mogelijkheden) 1

of

• Er moet gelden: 2cos(2 ) cost = t 1

• Hieruit volgt 2(2cos²t− =1) cost ₁

• 4cos²t−cost− =2 0 geeft cos ^{1 33}

t= ±8 met als negatieve oplossing

cost ≈ −0,6 1

• De coördinaten van A zijn dan (ongeveer) (0,8; –0,6) (of (–0,8; –0,6)) 1

• De coördinaten van B zijn dan (ongeveer) (–1,9; –0,6) (of (1,9; –0,6))

(of een correcte beredenering waaruit de juiste ligging van B volgt) 1

• Een mogelijke tekening van lijnstuk AB (zie hieronder de twee

mogelijkheden) 1

wiskunde B vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

Helderheid van sterren

4 maximumscore 4

• Invullen van m =1 en L=10⁻⁶ in L=10^{p qm+} geeft p q+ = −6 1

• Invullen van m =6 en L=10⁻⁸ in L=10^{p qm+} geeft p+6q= −8 1

• Beschrijven hoe deze vergelijkingen kunnen worden opgelost 1

• p = −5,6 en q = −0,4 1

of

• Uit de tabelgegevens volgt voor de groeifactor g: ⁵ 1,0 10 ⁸₆ 10 ² 1,0 10

g = ⋅ ₋⁻ = ⁻

⋅ ¹

• Dit geeft g =10^−0,4, dus geldt: L b= ⋅10^−0,4m ₁

• Bijvoorbeeld 1,0 10⋅ ⁻⁶ = ⋅b 10^{−0,4 1⋅} geeft b=10^−5,6 1

• L=10^−5,6⋅10^−0,4m =10^{−5,6 0,4− m} (, dus p = −5,6 en q = −0,4) 1 of

• Beschrijven hoe met de GR met behulp van exponentiële regressie een

verband tussen L en m kan worden bepaald 1

• Het verband is L b g= ⋅ ^m _met b≈_{2,51 10}⋅ ⁻⁶ en g ≈0,40 (of

nauwkeuriger) 1

• Dit geeft logb = −5,6 en logg = −0,4 1

• Dus L=10^−5,6⋅(10^−0,4)^m =10^{−5,6 0,4− m} (, dus p = −5,6 en q = −0,4) 1 5 maximumscore 4

• Bij m =4,30 hoort L≈4,79 10⋅ ⁻⁸ (of L=10^−7,32) en bij m =3,58 hoort 9,29 10 8

L≈ ⋅ ⁻ (of L=10^−7,032) 1

• Voor de twee sterren samen geldt: L≈1,41 10⋅ ⁻⁷ 1

• Beschrijven hoe de vergelijking 1,41 10⋅ ⁻⁷ =10^{−5,6 0,4− m} kan worden

opgelost 1

• Het antwoord: 3,1 1

wiskunde B vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

6 maximumscore 4

• 10 ^{5,6 0,4m} C₂ x

− − = ₁

• 5,6 0,4m log C₂ x

 

− − =   ¹

• −5,6 0,4− m=logC−2logx 1

• 14,0+ = −m 2,5logC+5,0logx en dus m= −14,0 2,5log− C+5,0logx

(of m x( )= −14,0 2,5log− C+5,0logx) 1 of

• 10 ^{5,6 0,4m} C₂ x

− − = 1

• 5,6 0,4m log C₂ x

 

− − =  

  ¹

• m 14,0 2,5log C₂ x

 

= − −  

  ¹

• m= −14,0 2,5 log− ( C−2logx)= −14,0 2,5log− C+5,0logx

(of m x( )= −14,0 2,5log− C+5,0logx) 1 7 maximumscore 3

• d 5,0

d ln10

m x = x

⋅ ¹

• Voor de gegeven waarde van x geldt: ^{d 5,0}₁₇ d 6,3 10 ln10

m x =

⋅ ⋅ ¹

• ^{d 5,0}₁₇ 1,7 10¹² 5,9 10 ⁶ d 6,3 10 ln10

m t

= ⋅ ⋅ ≈ ⋅ −

⋅ ⋅ (of nauwkeuriger) (per jaar) 1

Opmerking Als ^d

d m

x foutief berekend wordt waarbij een constante term met C blijft staan en deze daarna op correcte wijze tot in het eindantwoord wordt meegenomen, dan maximaal 2 scorepunten voor deze vraag toekennen.

wiskunde B vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

Gelijke hoeken

8 maximumscore 4

• MA MB= (; cirkel) 1

• Boog boog MA= MB (dus ∠ANM = ∠BNM ); boog en koorde 2

• ∠ASM = ∠¹₂ ANM = ∠¹₂ BNM = ∠BSM; omtrekshoek 1 of

• MA MB= (; cirkel) en NA NB= (; cirkel) (en MN MN= ) 1

• ∆ANM ≅ ∆BNM ; ZZZ 1

• Hieruit volgt ∠ANM = ∠BNM 1

• ∠ASM = ∠¹₂ ANM = ∠¹₂ BNM = ∠BSM; omtrekshoek 1 of

• ∠ASM = ∠ABM; constante hoek 1

• ∠ABM = ∠BAM ; gelijkbenige driehoek 1

• ∠BAM = ∠BSM ; constante hoek 1

• Dus ∠ASM = ∠BSM ₁

9 maximumscore 5

• ∠AMS=90°; Thales 1

• ∠ASM = ∠¹₂ ASB(vorige vraag) 1

• ∠MAS=90° − ∠¹₂ ASB; hoekensom driehoek 1

• MC MA= (; cirkel), dus ∠MCA= ∠MAC=90° − ∠¹₂ ASB; gelijkbenige

driehoek 1

• ∠AMC=180 2 (90° − ⋅ ° − ∠¹₂ ASB)= ∠ASB; hoekensom driehoek 1 of

• ∠MCA+ ∠MAC=180° − ∠AMC; hoekensom driehoek

en MC MA= (; cirkel), dus ∠MCA=¹₂(180° − ∠AMC) 90= ° − ∠¹₂ AMC;

gelijkbenige driehoek 1

• ∠MCS=180 (90° − ° − ∠¹₂ AMC) 90= ° + ∠¹₂ AMC; gestrekte hoek 1

• ∠AMS=90°, dus ∠SMC=90° − ∠AMC; Thales 1

wiskunde B vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

Gelijke hellingen

10 maximumscore 3

• f ' x_a( ) cos sin(= x⋅ x a− +) sin cos(x⋅ x a− ) ₂

• Dan volgt ( ) sin(f ' x_a = x x a+ − ) sin(2= x a− ) ₁ of

• f x_a( )= −¹₂(cos(2x a− −) cos )a ₁

• f ' x_a( )= − −¹₂( 2sin(2x a− )) sin(2= x a− ) 2 11 maximumscore 6

• Als de hellingen gelijk zijn, dan geldt: sin(2x− π =¹₆ ) cosx 1

• Dit geeft sin(2x− π =¹₆ ) sin(¹₂π −x) 1

• Dit geeft 2x− π = π − + ⋅ π¹₆ ¹₂ x k 2 of 2x− π = π − π − + ⋅ π¹₆ (¹₂ x k) 2 1

• Op [0, ]π zijn de oplossingen x= π²₉ of x= π²₃ of x= π⁸₉ 2

• (Het raakpunt ligt bij x= π²₃ en dus geldt voor het gevraagde verschil:)

8 2 2

9π − π = π 9 3 1

Hardheid

12 maximumscore 5

•

2 1

1 2

( ) 2(25 ) 2

f ' x = −x ⁻ ⋅ − x ( ₂ 25

x

= − x

− ) 2

• ( ( ))^{2 2} ₂ 25 f ' x x

= x

− ¹

• 1 ( ( ))² 1 ² ₂ 25 ₂

25 25

f ' x x

x x

+ = + =

− − ¹

wiskunde B vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

14 maximumscore 5

• (5−h)²+( )¹₂d ² =5² (of ¹₂d f= (5−h)= 25 (5− −h)² ) 2

• h²−10h+¹₄d² =0 1

•

2 1 2 2

10 ( 10) 4 1 4 10 100

2 1 2

d d

h= ± − − ⋅ ⋅ = ± −

⋅ ¹

• 10 100 ²

2

h= + −d voldoet niet (omdat de kogel niet verder dan 5 mm

in het materiaal mag worden gedrukt) 1

of

• De afstand van het middelpunt van de bol tot de oorspronkelijke

bovenkant van het materiaal is 5²−( )¹₂d ² 2

• 25 ( )− ¹₂d ² + =h 5 1

• Dit geeft 5 100 ² 4

h= − −d 1

• Dus 10 100 ²

2

h − −d

= 1

of

• (10 2 )− h ²+d² =10² ₂

• 4h²−40h d+ ² =0 1

• ^{40 ( 40)2 4 4 2 10 100 2}

2 4 2

d d

h= ± − − ⋅ ⋅ = ± −

⋅ ¹

• ^{10 100 2}

2

h= + −d voldoet niet (omdat de kogel niet verder dan 5 mm

in het materiaal mag worden gedrukt) 1

15 maximumscore 5

• Uit 340= 0,102 29400⋅ volgt A =8,82 (mm²) 1

wiskunde B vwo 2015-I

Vraag Antwoord Scores

Raken aan een cirkel

16 maximumscore 5

• ∠MEA= ∠¹₂ DEA en ∠MAE= ∠¹₂ BAE (; bissectrice) 1

• ∠BAE= ∠AEP met P op m, links van E; Z-hoeken 1

• ∠DEA+ ∠BAE= ∠DEA+ ∠AEP=180°; gestrekte hoek 1

• Dus ∠MEA+ ∠MAE= ∠¹₂( DEA+ ∠BAE)= ⋅¹₂ 180° =90° ₁

• ∠AME=180 90° − ° =90°; hoekensom driehoek 1 of

• MB k⊥ , dus MB m⊥ ; raaklijn, F-hoeken 1

• MB m⊥ en MD m⊥ ; raaklijn, dus B, M en D liggen op één lijn,

dus ∠BMD=180° 1

• ∆ABM ≅ ∆ACM(gegeven), dus ∠AMB= ∠AMC en ECM EDM

∆ ≅ ∆ (gegeven), dus ∠EMC= ∠EMD ₂

• ∠AME= ∠AMC+ ∠EMC= ∠¹₂ BMD=90° ₁

17 maximumscore 4

• Als N het middelpunt van de cirkel is dan geldt: NF =d( , )N k , dus N

ligt op de getekende parabool (; afstand punt tot lijn, parabool) 1

• Ook geldt: d( , ) d( , )N k = N l , dus N ligt op de bissectrice van k en l

(; afstand punt tot lijn, bissectrice) 1

• Dus N is het (linker)snijpunt van de bissectrice van k en l en de

parabool 1

• Het tekenen van N 1