Vraag Beschrijvingvanhetprobleem Tellen

Technische Universiteit Delft

Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft

Tellen

Beschrijving van het probleem

Op een feest van een bedrijf zet men vijf medewerkers met hun partners aan een ronde tafel en wel zo dat er geen medewerkers naast elkaar zitten en geen partners naast elkaar.¹

Vraag

Op hoeveel manieren kan men de medewerkers en hun partners aan tafel laten plaatsnemen?

Dit aantal is gelijk aan het aantal verschillende manieren waarop de medewerkers kunnen plaatsnemen maal het aantal verschillende manieren waarop hun partners kunnen plaatsnemen.

(a) We bepalen eerst het aantal verschillende manieren waarop de medewerkers aan de tafel kunnen plaatsnemen. Daartoe geven we de medewerkers en de stoelen aan de ronde tafel (Zie: Figuur 1) als volgt een code: m1, m2, . . . , m5, s1, s2, . . . , s10.

Figuur 1: Nummering van de stoelen

De medewerkers kunnen op de stoelen met de even nummers plaatsnemen (dit kan op 5! manie-

Resultaat onderdeel (a)

2 · 5! (1)

(b) Rest ons te bepalen op hoeveel verschillende manieren hun partners aan tafel kunnen gaan zitten.

Dat is een stuk lastiger uit te rekenen.

We hernummeren daartoe de stoelen (Zie: Figuur 2) zodat naast medewerker mi de stoelen si

en si+1staan (1 ≤ i < 5) en naast naast medewerker m5 de stoelen s5 en s1.

Figuur 2: Nieuwe nummering van de stoelen

Laat nu p_i de code zijn van de partner van de medewerker met de code m_i (1 ≤ i ≤ 5) en verder S = {s1, s2, . . . , s5}, P = {p₁, p2, . . . , p5}.

We gaan afbeeldingen σ : P → S bekijken.

Is zo’n afbeelding niet bijectief dan moeten er partners zijn die op elkaars schoot zitten. Daarom bekijken we alleen afbeeldingen σ die bijectief zijn. In het vervolg wordt dat steeds aangenomen.

Iedere afbeelding σ : P → S correspondeert met een mogelijke plaatsing van de partners.

Er zijn 5! van dergelijke afbeeldingen.

Een aantal afbeeldingen σ : P → S hebben ´e´en of meerdere van de volgende eigenschappen:

σ(p_i) =





 si of s_i+1

(1 ≤ i ≤ 4)

σ(p₅) =





 s5 of s₁

Deze afbeeldingen corresponderen met ongewenste plaatsingen van partners aan tafel. We gaan het aantal afbeeldingen met een dergelijke eigenschap tellen. Om dit handig te kunnen doen

voeren we de volgende notaties in:

E(2i − 1) = {σ : P → S | σ(p_i) = s_i} (1 ≤ i ≤ 5) E(2i) = {σ : P → S | σ(p_i) = s_i+1} (1 ≤ i ≤ 4) E(10) = {σ : P → S | σ(p₅) = s₁}

Elk element van

10

S

j=1

E(j) correspondeert nu met een ongewenste plaatsing van de partners aan tafel. Daarom gaan we het aantal elementen van deze verzameling tellen.

Lemma 1. Als J ⊂ {1, 2, . . . , 10}, J 6= ∅ dan geldt:

\

j∈J

E(j) 6= ∅ ⇐⇒ als j ∈ J, j 6= 10 dan j + 1 /∈ J en als 10 ∈ J dan 1 /∈ J . Bewijs. “⇒”

Kies j ∈ J . We onderscheiden de volgende drie gevallen:

(i) als j = 2i − 1 voor zekere 1 ≤ i ≤ 5 dan σ(p_i) = s_i dus σ(p_i) 6= s_i+1 met als gevolg dat j + 1 = 2i /∈ J ,

(ii) als j = 2i voor zekere 1 ≤ i ≤ 4 dan σ(p_i) = s_i+1 dus σ(p_i+1) 6= s_i+1met als gevolg dat j + 1 = 2i + 1 = 2(i + 1) − 1 /∈ J en

(iii) als j = 10 dan σ(p5) = s1 dus σ(p1) 6= s1 met als gevolg dat 1 /∈ J .

“⇐”

Laat J de eigenschap hebben dat als j ∈ J voor zekere 1 ≤ j ≤ 9 dan (j + 1) /∈ J en als j = 10 dan 1 /∈ J .

Definieer σ : P → S als volgt:

σ(pi) =











s_i als j = 2i − 1 ∈ J si+1 als j = 2i ∈ J, j 6= 10 s₁ als j = 10 ∈ J.

σ kan worden uitgebreid, soms op verschillende manieren, tot een bijectieve afbeelding.

Omdat σ ∈ T

j∈J

E(j) is T

j∈J

E(j) 6= ∅.

Lemma 2. Als J ⊂ {1, 2, . . . , 10} k elementen heeft en T

j∈J

E(j) 6= ∅ dan is het aantal elementen van T

j∈J

E(j) gelijk aan

(5 − k)! (2)

Bewijs. Als J ⊂ {1, 2, . . . , 10} k elementen bevat en T

j∈J

E(j) 6= ∅ en σ ∈ T

j∈J

E(j) dan ligt σ(p_i) vast voor k waarden van i (1 ≤ i ≤ 5).

Er zijn (5 − k)! van dergelijke afbeeldingen dus bevat is het aantal elementen van T

j∈J

E(j) gelijk aan (5 − k)! .

Lemma 3. Het aantal deelverzamelingen J van {1, 2, . . . , 10} met k elementen waarvoor T

j∈J

E(j) 6= ∅ is gelijk aan:

10 10 − k

10 − k k



(3)

Bewijs. Laat J een deelverzameling zijn van {1, 2, . . . , 10} met k elementen waarvoor T

j∈J

E(j) 6= ∅.

Stel J = {j₁, j₂, . . . , j_k} waarbij 1 ≤ j₁ < j₂< . . . < j_k ≤ 10.

Uit Lemma 1. volgt dat zelfs 1 ≤ j₁ < j₂− 1 < j₃− 2 . . . < j_k− (k − 1) ≤ 10 − (k − 1).

We onderscheiden twee gevallen:

(i) 10 ∈ J .

Dan 1 /∈ J zodat 2 ≤ j₁ < j₂− 1 < j₃− 2 . . . < j_k− (k − 1) = 10 − (k − 1) en dus is het aantal deelverzamelingen J van {1, 2, . . . , 10} met k elementen gelijk aan

10 − (k − 1) − 2 k − 1



=9 − k k − 1



(ii) 10 /∈ J .

Dan 1 ≤ j1 < j2− 1 < j₃− 2 . . . < j_k− (k − 1) ≤ 9 − (k − 1) en dus is het aantal deelverzamelingen J van {1, 2, . . . , 10} met k elementen gelijk aan

9 − (k − 1) k



=10 − k k



Het is gemakkelijk in te zien dat9 − k k − 1



+10 − k k



= 10 10 − k

10 − k k



Combineren we de formules (2) en (3) dan vinden we dat aantal ongewenste plaatsingen van de partners gelijk aan het aantal elementen van

10

S

j=1

E(j) en dit is gelijk aan:

5

X

k=1

(−1)^k−1 10 10 − k

10 − k k



(5 − k)!

Het aantal mogelijke plaatsingen van de partners is dus gelijk aan

5!−

5

X

k=1

(−1)^k−1 10 10 − k

10 − k k



(5 − k)! =

5

X

k=0

(−1)^k 10 10 − k

10 − k k



(5 − k)!

Resultaat onderdeel (b)

5

X

k=0

(−1)^k 10 10 − k

10 − k k



(5 − k)! (4)

Tenslotte leveren de formules (1) en (4) dat de medewerkers en hun partners op

2 · 5! ·

5

X

k=0

(−1)^k 10 10 − k

10 − k k



(5 − k)!

verschillende manieren plaats kunnen nemen aan de ronde tafel.

Berekening geeft dat dit aantal gelijk is aan 2 · 5! · 13.

Natuurlijk kunnen we dezelfde vraag stellen voor n medewerkers en hun partners. Het zal duidelijk zijn dat zij op

2 · n! ·

n

X

k=0

(−1)^k 2n 2n − k

2n − k k



(n − k)!

verschillende manieren kunnen plaatsnemen aan een ronde tafel.