Voorbeeldoplossingen zelfstudie opgaven 1.

(1)

Voorbeeldoplossingen zelfstudie opgaven

1.  Bepaal de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de kwadraten van de afstanden tot de zijden van een gelijkzijdige driehoek constant is.

Kies het orthonormale assenstelsel zo dat de driehoek

 ABC

is, met

  ^{1, 0}

A

,

^{B }  ^{1, 0} 

^en

^C  ^{0, 3} 

. De vergelijkingen van de (dragers van de) zijden zijn dan AB y 0, AC  y 3x 3^en

3 3

AB y x .

Noem

^P  ^{ } ^, 

een punt van de meetkundige plaats

K

, en noem de gegeven constante

k

. Dan geldt:

2 2

2

3 3 3 3

3 1 3 1

P     k

 ^ ^ ^{ } ^ ^ ^ ^ ^{ } ^ ^

    

     

   

K

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

3 3 2 3 6 2 3 3 3 2 3 6 2 3

4 4

3 3 3 3 2 3 2 2

3 2 1

2 2 2 3 3 3 3

k

k k k

         



       

         

   

  

              

 

De vergelijking van de meetkundige plaats is dus

2

2 3 2 2

3 3

x



y



k



         

K , dit is een cirkel met als

middelpunt het zwaartepunt van de driehoek.

(merk op dat dit niet voor alle gekozen constanten geldt, omdat moet gelden dat

k  1

).

2.  Gegeven zijn twee rechten

x

^eny, met x



y. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van de cirkels die van

x

een lijnstuk van lengte

2a

en van y een lijnstuk van lengte

2b

afsnijden.

Het assenstelsel is eigenlijk gegeven. Noem nu dit middelpunt

 ^, 

M  

. Uit de figuur volgt dat voor een cirkel die voldoet aan de gegevens moet gelden dat:

2 2 2 2 2 2 2 2

b a a b

          

^.

(2x Pythagoras toegepast in de gearceerde driehoeken op de straal van zo’n cirkel.)

De meetkundige plaats van de middelpunten is dus de gelijkzijdige hyperbool ^H



x²



y²



a²



b²^.

(2)

3. ^ Ten opzichte van een assenstelsel zijn gegeven

^{A a}  ^{, 0} 

^en

^B  ^ ^a ^{, 0} 

^{, met}

^{a } ⁰

^{. Op de}^y-as liggen de punten

C

en D zodat

OC   3 OD

. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van

AC

^enBD. Noem

^D  ^0, ^d 

^zodat

^C  ^{0, 3} ^d 

^.

Dan is 1

3 x y

AC a d  en x y 1 BD ad 

 . We elimineren parameter

d

^:

 

1 3 3

3 3 3

3 3 1

4 2 0 0

x y ay

dx ay ad d ay ay

a d a x

x y dx ay ad ay a x a x

a d d a x

ay x a a

    

    

      

        

    

   

 

     0

2 y x a

   

De oplossing y 0 is de singuliere oplossing die we krijgen wanneer

d  0

(en de rechten

AC

en BD dus samenvallen). De verticale rechte

2

r x a is dus de gezochte meetkundige plaats.

4.  De normaal in een veranderlijk punt van een hyperbool H snijdt de assen van deze hyperbool in de punten A^enB. Bepaal de meetkundige plaats van het midden van

  ^AB

^.

Noem

2 2

1 x y a b

  

H

, en neem als het punt

^{P a}  ^{sec , tan} ^ ^b ^ 

^.

Dan is de raaklijn in P de rechte sec tan x y 1

t a b

 

   en de

normaal is ⁿ ^tan



^{x a}^sec



^sec



^{y b}^tan



⁰

b a

   

     .

Voor A en B geldt (snijpunten met de

x

-as en de y-as, dus stel y 0 en

x  0

):

   

² ²

tan sec

sec 0 tan 0 b sec sec c sec

x a b x a

b a a a

              

, dus

2

sec , 0 A c

a 

 

 

 

^.

B:

^tan  ⁰ ^a ^sec  ^sec  ^{y b} ^tan  ⁰ ^y ^a

²

^tan ^b ^tan ^c

²

^tan

b a b b

 

    

       

^{, dus}

2

0, c tan B ^ _ b  ^ _

 

^.

Het midden M van

  ^AB

ligt dus op de krommen

2

2 sec v x c

a 

 

^en

2

2 tan h y c

b 

 

^.

We elimineren hieruit de parameter



met behulp van het goniometrische verband sec²



tan²



1^:

2 2

se 2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

c tan

4 4

2

1

2

sec sec 2

2 2 4 4

2 1 1

tan 2 2 tan

c ax

x a c ax by a x b y

by c c c c

y c b c

 

 

   

 

            

         

    

 



.

De meetkundige plaats zal dus een hyperbool zijn met hetzelfde symmetriemiddelpunt, maar geperforeerd in zijn toppen (omdat punt A in dat geval niet gedefinieerd is).

(3)

5.  De driehoek

 ABC

is rechthoekig in het vaste hoekpunt

C

. De zijde AB is veranderlijk maar heeft een vaste richting. Buiten de driehoek construeert men de vierkanten

CADE

en

CBFG

. Bepaal de meetkundige plaats van het snijpunt van AF en BD.

Noem

^C   ^{0, 0}

^,

^{A a}  ^{, 0} 

^en

^B   ^0, ^b

^{, met}mAB  b am de gegeven richting. Hierbij stellen we uiteraard

a  0

en

b  0

zodat ook m  ℝ₀. Dan is

^AF ^  ^b ^ ⁰  ^{x a} ^   ^ ^{b a} ^  ^y ^ ⁰  ^ ^bx ^  ^{a b y} ^  ^ ^ab

^,

en

^BD ^  ^{b a} ^  ^{x a} ^   ^ ⁰ ^ â  ^y ^ â   ^ ^{b a x} ^  ^ ây ^ âb

^.

We elimineren uit deze voortbrengende krommen

a

^en

b

door ze eerst van elkaar af te trekken (of gelijk te stellen): ax by 0.

Omdat

 b a  m

, is dit equivalent met 1

y x

 m .

De gezochte meetkundige plaats is dus de rechte door hoekpunt

C

die loodrecht staat op AB^.

6.  Een gelijkbenige driehoek

 ABC

is ingeschreven in een vaste cirkel, met A 30^enBC 75^{. De} hoekpunten A B, en

C

zijn veranderlijk. Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt van de driehoek.

Noem M het middelpunt van de omgeschreven cirkel met straal r. Dit punt ligt sowieso op de zwaartelijn uit A, want die zwaartelijn is ook een middelloodlijn (omdat

 ABC

gelijkbenig is).

De driehoek

 BMC

is gelijkzijdig omdat BMC60 (verband middelpuntshoek en omtrekshoek).

Noemen we D het midden van

  ^BC

dan is dus 3 MD  2 r. We weten verder dat het zwaartepunt Z op afstand

2 3

van het hoekpunt ligt op het zwaartelijnstuk. Dus is 2 3

3 2

AZ r r

   

 

, en

dan is 2 3 3 1

3 2 3

MZ AZ r r r r  r

      

 

.

Het enige wat we kunnen doen met deze driehoek in de cirkel, omdat de hoeken gelijk moeten blijven, is hem draaien om het middelpunt M . Maar dan draait het zwaartepunt gewoon mee. De meetkundige plaats is dus de kleine cirkel met straal 3 1

3 r

en hetzelfde middelpunt als dat van de omgeschreven cirkel.

(Opm.: deze vraag analytisch oplossen is zéér moeilijk, en niet aan te raden.)

Voorbeeldoplossingen zelfstudie opgaven 1.