1 Inleiding 5
2 De theorie 9
2.1 Het model . . . 9
2.1.1 Introductie variabelen en parameters . . . 9
2.1.2 Introductie kostenfunctie . . . 13
2.1.3 Uitwerking model . . . 15
2.1.4 Berekening IN . . . 17
2.1.5 Model met vaste chargekosten . . . 20
2.2 Berekening optimum . . . 22 2.3 Compound Poisson . . . 25 3 De praktijk 27 3.1 Inleiding . . . 27 3.2 Berekening parameters . . . 29 3.2.1 Keuze vraagdistributie . . . 30
3.2.2 Berekening optimaal bestelpunt basisvoorraadmodel . 31 3.3 Berekening voorraadkosten . . . 32
3.3.1 Berekening bestelpunt en bestelhoeveelheid . . . 32
3.4 Bespreking resultaten . . . 34
3.4.1 Voorraadverloop . . . 34
3.4.2 Vergelijking resultaten . . . 36
3.5 Gevoeligheidsanalyse . . . 42
3.6 Analyse bestelpatroon . . . 45
3.6.1 Grafische analyse bestelpatroon . . . 45
4.2 Praktijk . . . 54 4.3 Aanbevelingen . . . 55
Inleiding
De verffabriek P.K. Koopmans heeft een magazijn waar meer dan duizend verfproducten opgeslagen liggen. Elke dag komen daar bestellingen van klanten binnen. Deze bestellingen worden in principe binnen vierentwintig uur uitgeleverd, soms wordt dit door omstandigheden 48 uur. Alle bestel-lingen die voor 12 uur ’s middags binnenkomen worden nog dezelfde dag uitgeleverd aan de klanten, de overige gaan een dag later de deur uit. De voorraad is sinds het begin van 2004 continu uit te lezen uit het elek-tronische ERP (Enterprise Resource Planning) systeem, doordat alle gepro-duceerde producten en alle verkopen in het systeem ingevoerd worden. Het hoofd van het magazijn controleert de voorraad geregeld en als hij het nodig acht stuurt hij een productieorder voor een bepaald product naar de fabriek. Er is tot nu toe dus nog geen vast beleid ontwikkeld op welk moment er een productieorder geplaatst moet worden, daar moet deze scriptie aan bijdra-gen. De productie wordt in deze scriptie als een externe partij gezien die tegen een bepaalde ’prijs’ en met een bepaalde levertijd levert. De kwali-teit is altijd voldoende en er bestaan geen verloren orders1. De capaciteit van de productie wordt als oneindig beschouwd. In de praktijk is dit niet het geval, maar er is niet een vast maximum aan te geven doordat er door effici¨entieslagen overcapaciteit is die weer wordt opgevuld met de productie van verf voor een andere fabrikant.
In deze scriptie wordt gepoogd het voorraadverloop zo waarheidsgetrouw mogelijk te modelleren. Het voorraadsysteem loopt al een tijd en er is geen indicatie dat de fabriek binnen afzienbare terwijn stopt met verkopen van verf, dus we nemen aan dat de verkoop eeuwig doorloopt. Met behulp van het model proberen we de kosten van het voorraadsysteem te minimaliseren.
1
Een order wordt als verloren beschouwd als een klant de intentie heeft om een bestel-ling te doen en daar vervolgens vanaf ziet door een bepaald handelen van het bedrijf (bv. niet op tijd kunnen leveren).
Doordat we naar de kosten in een interval met oneindige lengte kijken is het onmogelijk om de totale kosten te berekenen, aangezien deze continu toenemen en oneindig worden. Daarom moeten we een andere methode gebruiken om de kosten te berekenen. We bespreken twee methodes: de gemiddelde kosten en de present value (contante waarde) van de kosten. Bij de gemiddelde kosten worden alle kosten die gemaakt worden opgeteld en worden ze gedeeld door de tijdsperiode die gekozen wordt; in ons geval is deze tijdsperiode oneindig, daarom wordt het een limiet. Bij de present value-berekening worden alle kosten die gemaakt worden in de loop van de tijd teruggerekend naar de waarde die ze nu vertegenwoordigen. In het algemeen is te stellen dat de present value-benadering dichter bij de waarheid zit als de rente hoog is, dus als de waarde van een product snel minder wordt in de loop van de tijd. De directe toekomst is dan een stuk belangrijker dan de verre toekomst. Als de rente laag is, wordt de rente invloed minder en kan de aanname worden gemaakt dat deze geen significante invloed heeft op de resultaten. De rente is momenteel historisch laag, en dus kiezen we voor de gemiddelde kosten aanpak.
Het doel van de stage waarop deze scriptie gebaseerd is, is het adviseren van PK Koopmans lakfabrieken op welke manier zij de kosten van hun voorraad-beheer kunnen verminderen. Hiervoor hebben we naar bestaande modellen gezocht en deze toegepast op de situatie bij het stageadres. Vervolgens heb-ben we de parameters die gedefinieerd zijn in het model geschat. Een model dat is gedefinieerd in het boek van Zipkin sluit nauw aan bij de bestaande praktijk in het magazijn, daarom is dit model als uitgangspunt gekozen [6]. Het doel van de scriptie en de stage bij PK Koopmans Lakfabrieken vatten we samen in een centrale vraag en een daaruit voortkomende subvraag. Centrale vraag
Hoe kunnen we de kosten van het voorraadbeheer van PK Koop-mans Lakfabrieken minimaliseren onder de voorwaarde dat alle bestellingen die binnenkomen ook op tijd uitgeleverd worden? Subvraag
Hoeveel invloed hebben de parameters op de optimale kosten? In het bij-zonder willen we weten welke invloed een verandering van de waarde van een parameter heeft op de minimale kosten.
De theorie
2.1
Het model
2.1.1 Introductie variabelen en parameters
Zoals gezegd hebben we te maken met een magazijn van waaruit verf aan meerdere klanten verkocht wordt. Om het model simpel te houden nemen we aan dat we ´e´en soort product verkopen. Dit product wordt per stuk verkocht. De klanten kunnen de hele dag door bestellen, de voorraad wordt continu bijgehouden en op elk moment kan er een order1 bij de fabriek geplaatst worden.
T = tijdsas, gemeten in tijdseenheden t. De tijd loopt van [0, ∞) (2.1) Als tijdseenheid kiezen we een dag.
We nemen aan dat de vraag van de klanten volgens een Poisson proces met parameter λ loopt. Een Poisson proces is een stochastisch proces; een sto-chastisch proces bestaat uit een collectie van stosto-chastische variabelen (hier {D(t)}), die we de toestanden van het proces noemen, en een index (in dit geval index t, die de tijd voorstelt). Het Poisson proces is een telproces; dat wil zeggen dat elke keer dat er een bestelling gedaan wordt, de waarde van D(t) met ´e´en toeneemt. We hebben nu te maken met een Poisson proces doordat er, kort gezegd, per heel klein tijdsinterval geen of maximaal ´e´en product besteld wordt (oftewel de kans dat er twee bestellingen tegelijker-tijd gedaan worden is nul). Of er op een bepaald moment een bestelling plaatsvindt is onafhankelijk van wat er eerder gebeurd is (in welke toestan-den het proces zich eerder heeft bevontoestan-den) en wat er later gebeurd. Zie
1
Om een verschil te maken tussen bestellingen van klanten en een bestelling aan de fabriek voor nieuwe voorraad, praten we in het laatste geval over orders ipv. over bestel-lingen.
voor een uitgebreid verhaal over Poisson processen ([4]), sectie 5.4). Klan-ten kunnen alleen hele eenheden van het product bestellen, dus de vraag en alle afgeleide functies nemen alleen discrete waardes aan. We defini¨eren de cumulatieve vraag per tijdseenheid D(t) en het vraagproces D, de collectie van stochasten D(t).
λ = gemiddelde vraag per tijdseenheid, λ ≥ 0 (2.2) D(t) = cumulatieve vraag tot en met tijdstipt, D(t) ≥ 0 (2.3) D(t1, t2] = cumulatieve vraag in het interval (t1, t2], t1< t2, D(t1, t2] ≥ 0(2.4)
= D(t2) − D(t1) (2.5)
D = {D(t), t ≥ 0} Het vraagproces (2.6)
Het voorraadniveau is zoals gezegd op elk tijdstip bekend. Door bestellin-gen van de klanten daalt de voorraad die aanwezig is, de fysieke voorraad. Als deze voorraad op is en er komt een bestelling binnen wordt dit een na-bestelling. Dat betekent dat deze bestelling niet direct aan de klant is te leveren, maar pas aan de klant (na)geleverd wordt zodra er weer voorraad in het magazijn aanwezig is, dus zodra de fysieke voorraad weer positief is. De nabestellingen op tijdstip t zijn dus bestellingen die nog niet geleverd zijn en al wel besteld zijn. De fysieke voorraad I(t) en de nabestellingen B(t) zijn dus nooit tegelijkertijd positief: als de fysieke voorraad positief is zijn de na-bestellingen nul (I(t) > 0 → B(t) = 0), en andersom (B(t) > 0 → I(t) = 0). De netto voorraad IN (t) is gelijk aan de fysieke voorraad min de nabestel-lingen. Dus [IN (t)]+ = I(t) en [IN (t)]− = B(t). Ook introduceren we de
negatieve voorraad indicator, deze variabele geeft aan welk percentage van de tijd de fysieke voorraad op is.
I(t) = De fysieke voorraad op tijdstip t, I(t) ≥ 0 (2.7) B(t) = De nabestellingen op tijdstip t, B(t) ≥ 0 (2.8)
IN (t) = De netto voorraad (2.9)
= I(t) − B(t) (2.10)
A(t) = De negatieve voorraad indicator = 1{IN (t) < 0} (2.11) Dit zijn alle vier stochasten. We kunnen ook praten over I = {I(t) : t ≥ 0}, de collectie van de stochasten I(t), en over B, IN en A. Deze processen hangen alle vier af van D(t); de waardes van IN (t) (en dus I(t) en B(t)) en A(t) veranderen alleen als de waarde van D(t) verandert, voor willekeu-rige t: als D(t) voor een bepaalde t met ´e´en eenheid toeneemt, daalt IN (t) met ´e´en eenheid, en als IN (t) kleiner of groter dan nul zou worden, ver-andert ook A(t)). Deze processen zijn rechts continu in t, dat wil zeggen: limx↓tI(x) = I(t), oftewel als er op tijdstip t een order uit de fabriek wordt
Naast de fysieke voorraad introduceren we ook de voorraad op order, dat is de voorraad waar al wel een order voor geplaatst is maar die nog niet is geleverd, en de voorraadpositie, dat is de netto voorraad plus de voor-raad in bestelling. Deze hangen af van de netto voorvoor-raad, dus ook dit zijn stochasten.
IO(t) = De voorraad op order (2.12)
IP (t) = De voorraadpositie (2.13)
= IN (t) + IO(t) (2.14)
Het voorraadbeheer gaat als volgt: door bestellingen van klanten daalt de netto voorraad IN (t). Als we de netto voorraad willen verhogen plaatsen we een order bij de fabriek van grootte q, de frequentie waarmee dat gebeurt noemen we de orderfrequentie OF (t1, t1). De ordergrootte is vast. Een order
plaatsen we als de voorraadpositie IP (t) een bepaalde waarde heeft bereikt, het zogeheten bestelpunt r. Ook deze waarde is vast. De geplaatste order komt na een bepaalde vaste levertijd met lengte L binnen en kan dan direct weer verkocht worden. Het is belangrijk op te merken dat dus de voor-raadpositie bepalend is of er actie genomen wordt, niet de netto voorraad IN (t). De reden hiervoor is dat het voor kan komen dat de voorraad onder het bestelpunt r blijft nadat een order is gearriveerd; dat kan komen doordat er erg veel is besteld tussen het moment dat er een order is geplaatst en het moment dat de order binnenkomt. Als we voor de beslissing of we wel of geen order plaatsen zouden kijken naar de hoogte van de netto voorraad, dan zou er in dat geval nooit meer een order geplaatst worden en zou het bedrijf failliet gaan, er wordt immers niets meer verkocht zodra de voorraad op is, terwijl de naleverkosten wel doorlopen.
OF (t1, t2) = De orderfrequentie, het aantal orders in het interval (t1, t2], t1< t2, OF (t1, t2) ≥ 0
L = De levertijd, L ≥ 0 (2.15)
tijdens het interval [0, T ]. Ook die uitkomst delen we door de lengte van het interval, T , en we nemen de limiet naar oneindig.
I = lim T →∞ 1 T Z T 0 I(t)dt (2.16) B = lim T →∞ 1 T Z T 0 B(t)dt (2.17) A = lim T →∞ 1 T Z T 0 A(t)dt (2.18) OF = lim T →∞ 1 T · OF (0, T ) (2.19)
Q en r zijn de beslissingsvariabelen van ons model.
r = Het bestelpunt, r ∈ Z
q = De ordergrootte, q ∈ N (2.20)
De kosten die gemaakt worden zijn de voorraadkosten voor het in het maga-zijn bewaren van het product, de strafkosten als een product moet worden nageleverd en de vaste en variabele orderkosten per order. De kosten die gemaakt worden als een product moet worden nageleverd noemen we straf-kosten omdat deze voortkomen uit het niet voldoen aan de verwachting van de klant, namelijk levering binnen 24 uur. Dit kan er voor zorgen dat de klant minder of helemaal niet meer gaat bestellen in de toekomst. Deze strafkosten zijn per definitie hoger dan de voorraadkosten, anders zou het theoretisch voordeliger zijn om nooit meer te produceren (in de praktijk zal er niemand meer bij je bestellen). Deze kosten worden bepaald buiten het model, ze zijn dus expliciet gegeven.
h = Opslagkosten per product per tijdseenheid (2.21)
k = Vaste kosten per charge (2.22)
c = Variabele kosten per charge (2.23)
b = Naleverkosten per product per tijdseenheid (2.24) Het tijdstip van bestellen wordt bepaald door de hoeveelheid voorraad die nog aanwezig is en de hoeveelheid die we reeds besteld hebben maar nog niet ontvangen.
We beginnen met een bepaalde voorraad. Door bestellingen van klanten neemt de voorraadpositie en de netto voorraad af. Als de voorraadpositie op tijdstip t−gelijk is aan r + 1, en op tijdstip t vindt er een verkoop plaats, dan wordt er een order geplaatst bij de fabriek en neemt de voorraadpositie toe tot r + q (IP (t) wordt dus nooit gelijk aan r). De nettovoorraad daalt van IN (t−) tot IN (t−) − 1 = IN (t). Bij elke volgende bestelling dalen de voorraapositie en de netto voorraad opnieuw. Op tijdstip t + L komt de order het magazijn binnen en stijgt de netto voorraad met q. IP (t) springt dus omhoog als er een order geplaatst wordt, IN (t) springt omhoog als een order binnenkomt.
Figuur 2.1: Voorraad verloop
2.1.2 Introductie kostenfunctie
Het doel van de scriptie is zoals gezegd het minimaliseren van de totale gemiddelde kosten die betrekking hebben op het voorraadbeheer. De kos-tenfunctie is opgebouwd uit drie componenten:
1. De gemiddelde kosten van het plaatsen van een order in de fabriek. 2. De gemiddelde kosten van het gebruik van het magazijn voor de
3. De gemiddelde kosten van het ongenoegen van de klant als hij of zij een product besteld heeft maar niet binnen 24 uur geleverd heeft gekregen; dit zijn de nabestellingen.
We kunnen nu de totale gemiddelde kostenfunctie introduceren. Aangezien onze beslissingsvariabelen r en q zijn, zetten we deze als argumenten achter de gemiddelde kostenfuncties, behalve bij de gemiddelde orderfrequentie, aangezien de r hier geen invloed op heeft:
I = I(r, q) B = B(r, q)
OF = OF (q)
De totale gemiddelde kostenfunctie ziet er als volgt uit:
C(r, q) = (k + cq)OF (q) + hI(r, q) + bB(r, q) (2.25) De gemiddelde kosten van het plaatsen van een order bij de fabriek wor-den bepaald door de gemiddelde orderfrequentie OF (q), die eenvoudig is te berekenen. De gemiddelde orderfrequentie hangt niet meer af van het tijdsinterval dat gekozen wordt, maar van de ordergrootte. Dat volgt uit de berekening: we plaatsen per keer een order van grootte q, en de voorraad neemt gemiddeld af met snelheid λ. Als we de gemiddelde vraagsnelheid delen door de vaste order grootte, λ/q, weten we hoe vaak we gemiddeld per tijdseenheid bestellen.
OF (q) = λ
q (2.26)
Bij het berekenen van de kosten hebben we te maken met variabele en vaste kosten per charge. De variabele kosten per order c hebben geen invloed op de optimale waardes van r en q, en zijn dus niet van belang bij het bepalen van het minimum van de kostenfunctie. Deze stellen we daarom op nul zodat ze wegvallen uit de kostenfunctie.
cq · OF (q) = cq · λ
q = c · λ (2.27)
De kostenfunctie wordt dus
deze kunnen berekenen. Om deze vraag te beantwoorden kijken we naar de karakteristieken van de verschillende processen. Al deze processen hebben dezelfde karakteristieken, daarom kijken we alleen naar het proces dat de waarde van de fysieke voorraad aangeeft, I(t). Dit proces heeft onder meer de volgende eigenschappen, die we zonder wiskundig bewijs presenteren. Het proces is:
• aperiodisch. Dat betekent dat, als het proces zich op tijdstip t1 in
toestand i bevindt, het zich op tijdstip t2, t2 > t1 ook nog in toestand
i kan bevinden (de kans dat het proces zich een tijdsperiode verder in dezelfde toestand bevindt is positief). Voor proces I(t) klopt dat, er kan voor langere tijd geen bestelling of order binnenkomen, dan blijft het proces dus in dezelfde toestand.
• positief recurrent. Een proces is positief recurrent als er, gegeven dat het proces zich op tijdstip t in toestand i bevindt, de verwachte tijd dat het proces zich nogmaals in toestand i zal begeven eindig is. Dit klopt ook voor het proces: elke waarde van de fysieke voorraad kan op een later tijdstip opnieuw bereikt worden.
• irreducibel. Als elke toestand vanuit elke andere toestand is te berei-ken, noemen we het proces irreducibel. Ook dit geldt voor het proces: in de loop van de tijd kan elke toestand op elk moment bereikt worden, dus is elke toestand vanuit elke andere toestand te bereiken.
Doordat het proces aperiodisch, positief recurrent en irreducibel is, is het proces ook ergodisch. In het kort wil dat zeggen dat de lange termijn fre-quentie verdeling van het proces in de tijd gelijk is aan de kansverdeling van de afzonderlijke toestanden van het proces, met kans ´e´en. Voor een uigebreide uitleg van ergodiciteit verwijzen we naar ([6], sectie C.3.2.5, en [5]). Doordat dit proces ergodisch is weten we dat limieten (2.16) tot (2.19) bestaan (met kans ´e´en).
2.1.3 Uitwerking model
Een andere eigenschap die geldt doordat we te maken hebben met een er-godisch proces, is dat de volgende limiet bestaat (de zogeheten gemiddelde terugkeertijd of sojour time; zie [6], sectie 6.2.1):
gI(i) = lim T →∞[ 1 T Z T 0 1{I(t) = i}dt] (2.29)
Deze functie voldoet aan de voorwaarden van een verdelingsfunctie van een kansdistributie: de functie is een niet-negatieve lebesque-integreerbare func-tie en de totale integraal is gelijk aan ´e´en. Stel nu dat I een stochast is met de distributie gI(i), dan geldt dat E(I) = I. Hieronder volgt een bewijsidee,
het echte bewijs is te complex om hier te behandelen2,3.
E[I] = ∞ X n=0 ngI(n) = ∞ X n=0 n lim T →∞[ 1 T Z T 0 1{I(t) = n}dt] = lim T →∞ 1 T ∞ X n=0 n Z T 0 1{I(t) = n}dt = lim T →∞ 1 T Z T 0 ∞ X n=0 n1{I(t) = n} ! dt = lim T →∞ 1 T Z T 0 I(t)dt = I
Als we dus een stochast I vinden met een verdelingsfunctie die gelijk is aan (2.29) kunnen we I uitrekenen door de verwachting van deze stochast uit te rekenen. Aangezien I(t) ergodisch is weten we dat I(t) voor t → ∞ in verdeling convergeert, en deze waarde niet afhangt van initi¨ele condities4. Deze verdeling noemen we de limietverdeling. De stochast met deze limiet-verdeling is precies I, en diens limiet-verdelingsfunctie is dus gelijk aan (2.29) (zie [6], sectie 6.2.1 en [5]).
I =evenwichtsvoorraad, een stochast met de limietverdeling vanI(t) (2.30)
2
De complexiteit zit in de omkering van de som, de limiet en de integraal. Dit is niet zomaar toegestaan.
3
Dat E[I] = I geldt heeft te maken met het begrip measure preserving transformation, zie voor een uitleg [5].
4
Aangezien I(t) ergodisch is heeft dit proces een limietverdeling en is de verdelingsfunctie van deze limietverdeling gI(i). Dit is dus de stochast die we
zoeken: met de verdelingsfunctie van I kunnen we I uitrekenen. Hetzelfde geldt voor B. Om I en B uit te rekenen volgen we daarom de volgende aanpak: we bepalen
IN =de netto evenwichtsvoorraad, een stochast met de limietverdeling vanIN (t) (2.31) en bepalen hiermee I en B. Dan bereken we I = E[I] en B = E[B].
2.1.4 Berekening IN Het basisvoorraadmodel
De volgende sectie is gebasseerd op sectie 6.2.2 uit het boek van Zipkin [6]. Om te beginnen maken we de aanname dat de ordergrootte q gelijk is aan 1. Dit is logisch als er geen schaalvoordelen te behalen zijn door orders te plaatsen voor grotere batches, dus als de bestelkosten k nul zijn. Later zien we dat het resultaat zonder deze aanname volgt uit het resultaat met deze aanname. De enige beslissingsvariabele die we nog hebben is r. Voor het gemak introduceren we een nieuwe beslissingsvariabele gebaseerd op r, namelijk
s = r + 1 (2.32)
Het model dat we nu presenteren heet het basisvoorraadmodel. Het voor-raadbeheer gaat nu als volgt: als het systeem met een voorraad kleiner dan s begint, bestellen we direct het verschil zodat de voorraadpositie IP (t) gelijk aan s wordt; iedere keer dat er vervolgens een bestelling binnenkomt zou de voorraadpositie naar r dalen en wordt er dus een order van grootte q = 1 geplaatst. De voorraadpositie IP (t) blijft dus altijd gelijk aan s.
IP (t) = s (2.33)
De kostenfunctie gedefinieerd in (2.28) zag er als volgt uit:
C(r, q) = kOF (q) + hI(r, q) + bB(r, q) (2.34) Deze verandert enigszins in het baisvoorraadmodel:
• r wordt vervangen door s
• het eerste deel kOF (q) valt weg, doordat k = 0; .
De kostenfunctie van het basisvoorraadmodel ziet er nu als volgt uit:
C(s) = hI(s) + bB(s) (2.35)
We willen weten hoe het nettovoorraadproces IN loopt om IN te kunnen bepalen. We weten alleen hoe D, het vraagproces, loopt, namelijk volgens een Poisson proces. We kijken nu naar de samenhang tussen IN en het vraagproces D. Eerst kijken we naar IO(t), de voorraad op bestelling. Kijk naar een bepaalde t > L. Alle orders die voor t − L zijn geplaatst zijn al binnengekomen, dus die zitten niet meer in IO(t). Toekomstige orders zitten er uiteraard ook niet in. IO(t) is dus gelijk aan de orders die in het interval (t − L, t] geplaatst zijn, dus
IO(t) = D(t − L, t] (2.36)
Doordat D een Poisson proces is, heeft D(t − L, t) een Poisson verdeling met parameter λL, en IO(t) dus ook. Verder weten we dat IP (t) = s voor voldoende grote t. De definitie van IP (t) is
IP (t) = IN (t) + IO(t) (2.37)
Dus
IN (t) = s − IO(t) (2.38)
We zien dus dat IN (t) een translatie is van IO(t) = D(t − L, t]. Alhoewel IP (t) op tijdstip 0 nog ongelijk aan s kan zijn zal dit voor voldoende grote t niet gelden. IO(t) heeft voor elke voldoende grote t dezelfde verdeling en daarom zal IO een limietdistributie hebben, en dus ook IN. Om het overzichtelijker te maken introduceren we een nieuwe stochast:
D = de vraag tijdens de levertijd, een stochast met een Poisson verdeling met parameter λL
D heeft dezelfde kansverdeling als D(t − L, t] en als IO(t). De limietdis-tributie IO heeft dus ook een Poisson verdeling met parameter λL. Omdat IN (t) een translatie is van IO(t) weten we dat IN in verdeling gelijk is aan s − IO5:
IN = s − IOd (2.39)
5We gebruiken de notatie d
De verdeling van IO is weer gelijk aan de verdeling van D, dat gecombineerd met de bovenstaande observatie geeft het volgende resultaat:
IN = s − Dd (2.40)
We kunnen nu I en B gaan uitrekenen. De complementaire cumulatieve distributie functie (cdf) P (D ≥ s) defini¨eren we als F0(s). De zogeheten loss functie van een willekeurige stochast D (met pdf f (s)) defini¨eren we als volgt (met y ∈ Z) F1(s) = E[[D − s]+] (2.41) = P y≥s (y − s)f (y) (2.42) = P y≥s F0(y) (2.43)
De laatste stap volgt door sommatie in delen (zie appendix C.2.2 van [6]). Doordat D niet-negatief is, kunnen we F1(s) opschrijven op een manier die makkelijk is uit te rekenen; er geldt F1(0) = E[D] , dus we kunnen F1(s)
ook schrijven als
F1(s) = E[D] −
s−1
X
y=0
F0(y) (2.44)
Deze functie is niet-negatief, niet-stijgend en convex in s (zie appendix C.2.2 van [6]). De onderdelen I(s) en B(s) uit de kosten functie (2.35) kunnen nu berekend worden. Naast I(s) en B(s) berekenen we ook de negatieve voorraad indicator A(s). Om duidelijke te maken dat I, B en IN van s afhangen, krijgen ze het subscript s mee, I wordt dus Is, B wordt Bsen IN
wordt INs.
B(s) = E[Bs] = E[[INs]−] = E[[s − D]−] = E[[D − s]+] = F1(s) (2.45)
I(s) = E[Is] = E[[INs]+] = E[INs+ [INs]−] = s − λL + B (2.46)
A(s) = E[As] = 0 ∗ P (INs> 0) + 1 ∗ P (INs< 0) (2.47)
= P (s − D < 0) = P (D > s) = P (D ≥ s − 1) = F0(s − 1)
Dit kunnen we invullen in de kostenfunctie (2.35):
C(s) = hI(s) + bB(s) (2.48)
De functie B(s) is dalend in s en convex, en de functie I(s) is stijgend in s en convex. De gemiddelde kosten functie C(s) is daarom ook convex.
2.1.5 Model met vaste chargekosten
We kennen nu de kostenfunctie voor q = 1, deze aanname laten we nu varen. De kostenfunctie ziet er weer uit als in (2.28):
C(r, q) = kλ
q + hI(r, q) + bB(r, q) (2.51)
De dynamiek van het systeem verandert doordat IP (t) niet meer constant is. Eerst moeten we weten hoe IP (t) loopt. Daarna bepalen we de relatie tussen IP en D. Vervolgens bepalen we de limiet distributie van IN, de verdeling van IN . We gebruiken een aantal lemma’s en stellingen die we zonder bewijs presenteren. Voor de bewijzen verwijzen we naar sectie 6.2.5 van Zipkin[6].
Lemma 2.1 De limiet distributie van IP, IP , is uniform verdeeld op de integers in het interval [r + 1, r + q], dus
P r{IP = i} = 1
q i = r + 1, ..., r + q (2.52)
Verder geldt nog steeds dat
IN (t + L) = IP (t) − D(t, t + L] (2.53)
Nu komen we bij een zeer belangrijk resultaat:
Theorem 2.2 De limiet distributie van de netto voorraad is beschreven door de volgende vergelijking:
IN = IP − Dd (2.54)
P (s − D < 0) is gelijk aan A(s) (vgl. (2.47)), en we hebben net gegeven dat de stochast IP uniform verdeeld is.
A(r, q) = P (IN (r, q) < 0) = P (IP − D < 0) = r+q X s=r+1 P (IP − D < 0 en IP = s) = r+q X s=r+1 P (s − D < 0|IP = s)P (IP = s) = r+q X s=r+1 A(s) 1 q . (2.55)
Voor I en B geldt dezelfde redenatie.
I(r, q) = 1 q r+q X s=r+1 s − λL + F1(s) (2.56) B(r, q) = 1 q r+q X s=r+1 F1(s) (2.57)
De berekening van de orderfrequentie OF blijft hetzelfde (zie (2.26)). We kunnen nu alle elementen uit de kostenfunctie uitrekenen. Ook introduceren we parameter sb ∈ Z. Deze parameter heeft geen relatie met de parameters
s en r. C(r, q) = kλ q + hI(r, q) + bB(r, q) = kλ q + h 1 q r+q X s=r+1 s − λL + F1(s) + b1 q r+q X s=r+1 F1(s) = kλ + Pr+q sb=r+1C(sb) q (2.58)
Deze laatste notatie, waarin C(sb) gedefini¨eerd is zoals in (2.35), geeft
dui-delijk de verwantschap aan tussen het basisvoorraadmodel en het algemene model. Als we in plaats van C(sb), C(s) hadden geschreven kan er
2.2
Berekening optimum
Nu kennen we de kostenfunctie en kunnen we het optimum (in ons geval het minimum) gaan berekenen. We passen een methode toe die gebruik maakt van een algoritme om tot de optimale oplossing te komen.
We starten met de kostenfunctie zoals genoteerd in (2.58)
C(r, q) = kλ + Pr+q
sb=r+1C(sb)
q (2.59)
Om te beginnen zetten we q vast. Als we C(r, q) voor een vaste q willen minimaliseren, zien we dat we alleen de sommatie Pr+q
sb=r+1C(sb) moeten
minimaliseren, de andere onderdelen uit de functie zijn vast. Om de som-matie van de functie C(sb) over q elementen te minimaliseren, moeten we de
q kleinste waardes van die functie vinden. We defini¨eren C1 als de kleinste
waarde van C(sb) (dus het minimum van het basisvoorraadmodel), C2 als de
op twee na kleinste waarde van C(sb), C3 als de op drie na kleinste waarde
van C(sb), enz. We moeten dus r kiezen zodat {C(sb) : r + 1 ≤ sb≤ r + q}
de eerste q waardes van de set {C1, C2, C3, ...} bevat. Dit optimale
bestel-punt r noemen we r∗(q). De sbwaarvoor C(sb) de kleinste waarde aanneemt
noemen we s∗b. De overige corresponderende sb-waardes zijn niet willekeurig:
als we op de sb-waardes sorteren, zijn deze waardes (ook) opeenvolgend. Dit
komt door de convexiteit van C(sb). Zie figuur (2.2) voor een voorbeeld.
We hebben nu r∗(q) bepaald, de optimale waarde van r gegeven q. We verhogen nu q met ´e´en, en willen weten wat r∗(q + 1) is, de optimale waarde van r gegeven q + 1. Als we naar de functie C(r, q) kijken, en voor q we vullen q + 1 in, dan komt er in de sommatie een element bij: de sommatie gaat niet meer over q elementen, maar over q + 1 elementen. Om r∗(q + 1) te vinden hoeven we simpelweg Cq+1 (de op q na kleinste waarde van C(sb))
te vinden en deze toe te voegen aan de reeds gevonden set {C1, C2, ..., Cq}.
Door de convexiteit van C(sb) weten we dat de bijbehorende sbnet buiten het
interval [r∗(q)+1, r∗(q)+q] ligt. Daarom zijn er maar twee mogelijkheden: of Cq+1 = C(r∗(q)), dan geldt r∗(q + 1) = r∗(q) − 1, of Cq+1 = C(r∗(q) + q + 1),
dan is r∗(q + 1) = r∗(q).
Dit verduidelijken we met een plaatje, zie figuur (2.2). In het plaatje zien we C(sb), een convexe functie, en sC1, sC2, sC3 en sC4, de sb waardes die horen
bij de vier kleinste waardes van C(sb). Verder zien we s∗b, de waarde van sb
waarvoor C(sb) een minimum aanneemt, en r∗+ 1 en r∗+ q, de grenzen van
het interval waarbinnen de kleinste waardes van C(sb) liggen gegeven een
bepaalde q. Als we nu C5 willen bepalen, de op vijf na kleinste waarde van
C(sb), zien we dat de bijbehorende sC5 ´of direct links van sC3 ligt ´of direct
Figuur 2.2: De kostenfunctie van het basisvoorraadmodel.
hebben gevonden. Zoals we in het plaatje zien, zijn de twee grooste waardes van dat rijtje (dus Cq−1 en Cq) r∗+ 1 en r∗+ q, de grenzen van het interval.
We kunnen dus de optimale r bij een gegeven q vinden, nu moeten we nog de optimale q vinden. Laat C∗(q) = C[r∗(q), q] de optimale kosten bij een vaste q zijn. Uit vergelijking (2.58) volgt:
C∗(q + 1) = kλ + Pq j=1Cj+ Cq+1 q + 1 (q + 1)C∗(q + 1) = kλ + q X j=1 Cj+ Cq+1 = qC∗(q) + Cq+1 = (q + 1)C∗(q) − [C∗(q) − Cq+1] dus C∗(q + 1) = C∗(q) −[C ∗(q) − C q+1] q + 1
Oftewel: de kosten nemen alleen af als Cq+1 kleiner is dan C∗(q). Hieruit
q∗= min {q > 0 : Cq+1≥ C∗(q)}
We gaan nu een algoritme opstellen om de r∗ en de q∗ te vinden. Dit algorit-me heeft om te beginnen de optimale waarde van het basisvoorraadmodel, s∗b, nodig als invoer. Definieer ∆C(sb) als C(sb+ 1) − C(sb). Doordat C(sb)
convex is, geldt dat de unieke oplossing s∗b gelijk is aan de s die voldoet aan het volgende:
∆C(sb− 1) < 0 ≤ ∆C(sb) (2.60)
Door de convexiteit geldt ∆C(sb) < 0 voor alle sb < s∗b, en ∆C(sb) ≥ 0 voor
alle sb ≥ s∗b. Gebruik nu (2.45) en (2.46) en de definitie van F1(sb) zoals in
(2.43) om het volgende resultaat te krijgen ∆B(sb) = B(sb+ 1) − B(sb) = F1(sb+ 1) − F1(sb) = ∞ X sb+1 F0(sb) − ∞ X sb F0(sb) = −F0(sb)
∆I(sb) = I(sb+ 1) − I(sb)
= sb+ 1 − λL + B(sb+ 1) −sb− λL + B(sb) = sb+ 1 − λL + ∞ X sb+1 F0(sb) − [sb− λL + ∞ X sb F0(sb)] = 1 − F0(sb).
Invullen in functie (2.35) geeft:
∆C(sb) = h∆I(sb) + b∆B(sb) = h[1 − F0(sb)] − bF0(sb).
Dit kunnen we weer invullen in vergelijking (2.60):
h[1 − F0(sb− 1)] − bF0(sb− 1) < 0 ≤ h[1 − F0(sb)] − bF0(sb)
F0(sb) < 1 − ω ≤ F0(sb− 1)
waarbij ω als volgt gedefinieerd is:
ω = b
b + h, (2.61)
(2.47)).
Dit betekent dat s∗b is te vinden door in een tabel met waardes voor F0(sb)
te zoeken. De eerste waarde die net kleiner is dan 1−ω is de gezochte waarde.
Met de waarde van s∗b kennen we alle ingredi¨enten om het algoritme uit te rekenen:
Stap 0 (initialiseren) Bepaal s∗b.
Stel q = 1, r = s∗b − 1, C∗ = kλ + C(s∗ b).
Stap 1 (bepaal de volgende kleinste C(sb), Cq+1)
Stel c∗= min {C(r), C(r + q + 1)}
Stap 2 (stop test)
Als c∗≥ C∗ → STOP. r∗ = r, q∗= q
Stap 3 (update)
Stel q = q + 1, C∗ = (C∗− c∗)/q
Als C(r) in stap 1 minimaal was: Stel r = r − 1.
Ga naar stap 1.
2.3
Compound Poisson
Tot nu toe bestaat de restrictie dat er in ieder heel klein tijdsinterval maxi-maal ´e´en item tegelijkertijd besteld kan worden. Deze restrictie vervalt nu. Het vraagproces verandert daardoor van een Poisson proces in een samen-gesteld of compound Poisson proces. Dit proces is gelijk aan een Poisson proces, alleen kan er meer dan een item tegelijkertijd besteld worden. Het vraagproces ziet er nu als volgt uit:
D(t) =
N (t)
X
i=1
Yi(t), t ≥ 0
waarbij {N (t), t ≥ 0} een Poisson proces is en aangeeft hoeveel klanten het product tot en met tijdstip t besteld hebben, en {Yn, n ≥ 0} een familie van
onafhankelijke en gelijk verdeelde discrete variabelen die aangeeft hoeveel er per keer van het product besteld wordt; de Yn zijn onafhankelijk van
deze klant alvast een deel van zijn of haar bestelling accepteert en de rest nageleverd krijgt. Als een klant dus op tijdstip t een bestelling van Y = 5 doet van een product en er zijn er net voor de bestelling nog maar 2 op voorraad (I(t−) = 2, B(t−) = 0 (dus IN (t−) = 2), dan accepteert de klant de 2 producten en komen er 3 op nalevering te staan (I(t) = 0, B(t) = 3 (dus IN (t) = −3). Verder verandert het orderpatroon enigszins: als na een bestelling de voorraadpositie kleiner dan of gelijk zou worden aan r, dan wordt er een order geplaatst bij de fabriek. De grootte van de order is een veelvoud van de ordergrootte q en moet zo groot zijn dat de voorraadpositie weer boven het bestelpunt komt te liggen.
Dit model wordt op dezelfde manier geanalyseerd als eerder: eerst wordt de verdeling van de stochast IP beschreven, vervolgens karakteriseren we de relatie tussen de stochasten IP en D; daarna wordt de distributie van de stochast IN bepaald en als laatste berekenen we B, I, A en OF .
De verdeling van de stochast IP is gelijk aan de verdeling in het model met pure Poisson vraag, namelijk uniform over het interval [r + 1, r + q]. De stochast D heeft een compound Poisson verdeling met parameter λE[Y ]. IP (t) en D(t, t + L] zijn nog steeds onafhankelijk, de voorraad hangt nog steeds af van de vraag ervoor, niet erna. Mede daardoor blijft 2.53 geldig, en geldt dus nog steeds
IN = IP − D
waarbij IP en D onafhankelijk zijn. De verdeling van de stochast IN be-schrijft de lange termijn frequentie verdeling van IN (t) zoals eerder. Ver-geleken met de eerder ontwikkelde theorie is er dus geen verschil, daardoor blijven de resultaten 2.55, 2.56 en 2.57 geldig. In de vergelijkingen wordt alleen λ vervangen door λE[Y ]. Verdere informatie over het compound Pois-son model is te vinden in sectie 6.6.2 van Zipkin ([6]).
De praktijk
3.1
Inleiding
Na deze theoretische uitwerking zijn we benieuwd in hoeverre het hierbo-ven gepresenteerde compound Poisson model aansluit op de praktijk, om precies te zijn in de praktijk bij PK Koopmans lakfabrieken, en hoe het model in de praktijk presteert. Dat doen we door een computermodel te ontwikkelen op basis van dit compound Poisson model. Het uitgangspunt bij het ontwikkelen van dit model is dat dit in de alledaagse praktijk bij PK Koopmans is te gebruiken. Dat betekent dat het door ons te ontwikkelen model een koppeling moet hebben met het systeem waarin de dagelijkse be-stellingen worden geregistreerd en met het systeem waarin de fabrieksorders worden geregistreerd. Ook moet het door ons te bouwen model te gebruiken zijn in de bestaande softwareomgeving, dat betekent dat we geen specialis-tische econometrische software kunnen gebruiken, aangezien PK Koopmans daar geen licentie voor heeft. We hebben ervoor gekozen om het model in Microsoft Excel te programmeren, een spreadsheet programma dat reeds aanwezig is op alle werkplekken bij PK Koopmans, zodat iedereen die het model wil gebruiken (Hoofd Magazijn, Hoofd Productie, Hoofd Financi¨en, Hoofd Fabriek) er gebruik van kan maken zonder extra software te moeten installeren.
De prestatie van het compound Poisson model meten we door voor twin-tig veel verkochte producten de in werkelijkheid gemaakte voorraadkosten van 2003 en 2004 te vergelijken met de voorraadkosten die gemaakt zou-den zijn als voor het voorraadbeheer het compound Poisson model gebruikt was. We gaan nader in op drie producten; een van die producten presteert heel goed onder het compound Poisson model, de twee anderen vertonen systematische afwijkingen. We proberen na te gaan waar deze afwijkingen door ontstaan. Ook rekenen we de voorraadkosten uit als het EOQ model
met levertijd1 gebruikt was. De kosten van het compound Poisson model berekenen we door het algoritme, dat we een aantal pagina’s hiervoor heb-ben gepresenteerd, te gebruiken om een bestelpunt en een bestelhoeveelheid te berekenen; met dit bestelpunt en deze bestelhoeveelheid kunnen we een virtueel voorraadverloop cre¨eren voor de jaren 2003 en 2004. De berekening van de voorraadkosten bij gebruik van het EOQ model gaat op dezelfde manier. Ook hebben we berekend welk percentage van de tijd de voorraad negatief is, zowel in het echt als met gebruik van het compound Poisson model. Als input voor alle kostenberekeningen gebruiken we de bestellingen en de fabrieksorders van 2003 en 2004 van PK Koopmans.
We voeren daarna een gevoeligheidsanalyse uit op het compound Poisson model om te onderzoeken welke parameter de meeste invloed op de kosten heeft.
Als laatste controlleren we de aannames over de vraagdistributie. De volgende punten zullen opeenvolgend uitgewerkt worden:
• Het schatten van de parameters uit het compound Poisson model en het bepalen van de distributie van de vraaggrootte Y (t).
• Opdeling jaren in periodes. In het compound Poisson model is de vraagdistributie constant, alleen in de praktijk is dat niet zo, deze fluctueert door het jaar heen; om de invloed van deze fluctuatie te minimaliseren delen we het jaar op in een aantal periodes. We stellen dat deze periodes onafhankelijk van elkaar zijn.
• Berekening van het optimale bestelpunt van het basisvoorraadmodel s∗ (zie (2.35)).
• Toepassing algoritme om een oplossing voor het compound Poisson model te vinden.
• Opstellen van het virtuele voorraadverloop.
• Uitrekenen van de voorraadkosten en het precentage negatieve voor-raad voor het compound Poisson model en het EOQ model.
• Vergelijking uitkomsten van het compound Poisson model en het EOQ model. De uitkomsten vergelijken we met de werkelijk gemaakte voor-raadkosten en we controleren of het compound Poisson model beter presteert dan de werkelijkheid en het EOQ model qua kosten en qua percentage negatieve voorraad.
1
• Gevoeligheidsanalyse
• Het controleren van de aannames over de vraagdistributie door een grafische analyse. We presenteren een aantal grafieken voor een drietal producten; aan de hand van deze grafieken doen we een uitspraak over de juistheid van de aannames. Dit doen we alleen voor 2003, aangezien we verwachten dat we voor 2004 dezelfde conclusies kunnen trekken. • Het controleren van de aannames over de vraagdistributie door een
kwantitatieve analyse.
3.2
Berekening parameters
Om het algoritme te kunnen berekenen moeten we om te beginnen de waar-des van de parameters λE[Y ], de gemiddelde vraag per dag, b, de nalever kosten, h, de opslagkosten en k, de vaste kosten van een charge, bepalen. De parameters zijn geschat op basis van cijfers verstrekt door het management van PK Koopmans en verkregen via een niet significante steekproef in de fa-briek. Het doel van deze praktijkoefening is niet om op de komma precies uit te rekenen welke kosten nu gemaakt zijn, maar om te kijken of de theorie in de praktijk bij PK Koopmans is toe te passen en daarnaast om te zien welke parameters de meeste invloed hebben op de kosten. Het toepasbaar zijn van de stof heeft te maken met de de vraag of de berekening van de optimale bestelhoeveelheid en het optimale bestelpunt op reguliere basis (minimaal ´e´en keer per maand) te maken is met behulp van de bestaande hard- en software, en om een gevoeligheidsanalyse uit te kunnen voeren. Als het niet mogelijk is om de berekeningen met de bestaande hard- en software uit te voeren wordt de theorie als niet toepasbaar in de praktijk bij PK Koopmans beschouwd.
De levertijd L is vastgesteld op 20 werkdagen.
De opslagkosten h bestaan uit de renteafschrijving op de producten. De-ze renteafschrijving wordt berekend over de intrinsieke waarde van de pro-ducten die in het magazijn liggen, vermenigvuldigd met een factor om de arbeidskosten mee te nemen. De intrinsieke waarde van een product is de sommatie van de kosten van de grondstoffen waaruit het product bestaat (dus de chemicali¨en die gebruikt worden, de deksel, het blikje, het label enz.). De arbeidskosten zitten daar niet bij, daarom nemen we aan dat deze 20% van de intrinsieke waarde van het product bedragen. Dit getal is gebas-seerd op dezelfde steekproef als genoemd in de vorige alinea; ook dit is dus een ruwe schatting2. De rente is door het management vastgesteld op 7%
2Er kan ook worden gekozen voor een vaste bijtelling bij elk product of bij elke
per jaar. Als voorbeeld nemen we een product met een intrinsieke waarde van e1,43. Als we dit vermeerderen met 20%, dat vermenigvuldigen met 7%, en dat delen door 365, dan komen we op 0,033 cent, dus de opslagkosten h van dit product zijn 0,00033 per dag.
Ook de vaste kosten van het maken van een charge k zijn berekend tijdens de steekproef. In de week werd bijgehouden hoeveel tijd de verschillende stappen van het productieproces kostten. Aan de hand van deze gegevens is berekend hoeveel tijd men kwijt is aan handelingen die onafhankelijk zijn van de chargegrootte, zoals het bijeenbrengen van de grondstoffen, het mengen van de ingredi¨enten enz.. Met deze gemiddelde tijd is, samen met de gemiddelde loonkosten, de waarde van k bepaald. Deze is e60,- voor alle producten. We gebruiken dit cijfer voor beide jaren en dus voor alle periodes.
Het berekenen van de kosten van het naleveren b is erg lastig, aangezien dit betrekking heeft op de perceptie van de klant die zijn of haar bestelling niet direct geleverd krijgt. De ene klant zal het niet zo erg vinden, een ander heeft de bestelling wellicht direct nodig en zal uitwijken naar een andere leverancier, waardoor de bestelling en wellicht de klant verloren gaat. Om toch een schatting te kunnen maken is gebruik gemaakt van het feit dat de tekort kosten b zijn gerelateerd aan de opslagkosten h via de volgende gelijkheid (zie vergelijking (2.61))
ω = b
b + h
Als de producten niet per blikje, maar in elke willekeurige hoeveelheid ver-kocht zouden kunnen worden, is deze ω gelijk aan het gemiddelde percentage negatieve voorraad A(s) (zie (2.11, 2.47)). Doordat de producten in het mo-del alleen in gehele aantallen verkocht worden, is de ω net iets kleiner dan het gemiddelde percentage negatieve voorraad (zie (2.61)). Dat betekent dat er in plaats van een waarde voor b ook een streefwaarde voor A(s) gekozen kan worden. Als we ω hieraan gelijk stellen en zo een waarde voor b vinden, weten we dat A(s) in de buurt van deze waarde zal liggen. Het is wel zo dat de waarde van ω geen harde limiet is, dus als het management een harde eis wil stellen aan het gemiddelde percentage negatieve voorraad, dan moet er een andere aanpak gekozen worden. In onze situatie wil het management dat er in 99% van de tijd direct geleverd kan worden, dus het gemiddelde streefpercentage negatieve voorraad is 1%.
3.2.1 Keuze vraagdistributie
lognormale distributie. Dat is een continue verdeling, geen discrete, daarom rekenen we de kansmassa die rond een punt ligt als kansmassa op dat punt. Alle kansmassa in het interval (1,5, 2,5] wordt gerekend als kansmassa op het punt 2 (de kans dat x = 2 stellen we gelijk aan de kans dat x in het interval (1,5, 2,5] ligt). Een probleem is dat de vraag fluctueert door het jaar heen en van jaar tot jaar. In het model daarentegen zit geen tijdsparameter, er wordt dus uitgegaan van een constante verdeling van de vraag. Om dit op te lossen hebben we het jaar op basis van grafische analyse verdeeld in drie periodes. We hebben deze jaarindeling zo gemaakt dat de vraag binnen een periode min of meer constant is. De drie periodes zijn:
1. januari, februari, november en december 2. maart, april, september en oktober
3. de zomermaanden mei, juni, juli en augustus
3.2.2 Berekening optimaal bestelpunt basisvoorraadmodel Vervolgens kijken we hoe we het optimale bestelpunt van het basisvoorraad-model s∗ kunnen uitrekenen. Om die te kunnen berekenen moeten we de loss functie uitrekenen. Deze kunnen we niet direct berekenen, maar wel benaderen met de formule die al eerder is gegeven in (2.50):
F1(s) = λE[Y ]L −
s−1
X
j=0
F0(j) (3.1)
(In de vergelijking is λ vervangen door λE[Y ].) Dit verplaatst het probleem naar het berekenen van F0(x), de complementaire cumulatieve verdelings-functie (ccdf) van de compound Poisson distributie. Om de ccdf van de compound Poisson distributie uit te kunnen rekenen maken we gebruik van een stelling uit het boek van Kaas[3].
Theorem 3.1 De compound Poisson distributie, waarvan de cumulatieve verdelingsfunctie is gedefinieerd door Fs(x) =
∞
P
k=0
e−λ λk!kFY i(x), met FYi(x)
gedefinieerd als de cumulatieve verdelingsfunctie van Yi(x) en fs(x) de
mar-ginale verdelingsfunctie van Fs(x), voldoet aan
Met deze stelling kunnen we F0(x) berekenen, en daarmee F1(s). Dit levert een tabel met waardes voor F1(s) op. Uit deze tabel kunnen we de waarde van s∗ halen, dit is de waarde van s waarvoor F1(s) net kleiner is dan 1 − ω, waarbij ω het gemiddelde percentage negatieve voorraad is (zie (2.61)). We kunnen nu C(s∗) uitrekenen door gebruik te maken van vergelijking (2.48) met de aanpassing voor compound Poisson (λ vervangen door λE[Y ]):
C(s∗) = h(s∗− λE[Y ]L + F1(s∗)) + bF1(s∗) (3.2) We kennen nu alle waardes die nodig zijn om het algoritme uit te rekenen.
3.3
Berekening voorraadkosten
Per periode hebben we nu voor de jaren 2003 en 2004 berekend hoe vaak een product gemiddeld per werkdag besteld werd. Dit hebben we gedaan met de echte verkoopcijfers over die periodes. Dit is de waarde voor parameter λ. Daarnaast hebben we voor elke periode uitgerekend wat het gemiddelde en wat de standaarddeviatie was van de natuurlijke logaritme van de hoe-veelheid die besteld werd. Met dit gemiddelde en deze standaarddeviatie hebben de verwachte waarde van de bestelhoeveelheid E[Y ] uitgerekend.
3.3.1 Berekening bestelpunt en bestelhoeveelheid
We hebben voor de jaren 2003 en 2004 tweemaal een bestelpunt r en een bestelhoeveelheid q berekend: eenmaal via het EOQ model en eenmaal via het compound Poisson model. Vervolgens hebben we driemaal de voorraad-kosten berekend: eenmaal de werkelijk gemaakte voorraadvoorraad-kosten, eenmaal de EOQ voorraadkosten en eenmaal de ’compound Poisson’ voorraadkosten. Hoe we deze kosten precies hebben berekend behandelen we later in detail. Om het theoretische model te kunnen toepassen in de praktijk hebben we om te beginnen een aantal aanpassingen moeten maken:
verleden kijken); als dat zo is wordt er op die dag een order geplaatst en springt de voorraadpositie dus omhoog op die dag. Een voorbeeld: stel op dag t is de voorraadpositie gelijk aan 100. Het bestelpunt is 80 en de bestelhoeveelheid is 250. Als er nu op/tijdens dag t + 1 30 besteld wordt, stellen we de voorraadpositie op dag t + 1 op 320: 100-30+250. Als er slechts 15 besteld zou zijn zou de voorraadpositie op dag t + 1 gelijk zijn aan 85.
• Doordat Excel maximaal 255 kolommen heeft, en wij de berekeningen in eerste instantie voor alle voorraadproducten wilden maken (zo’n 1800 producten), hebben we niet alle dagen van 2003 en 2004 mee kunnen nemen, alleen de werkdagen. Aangezien er ook in het week-end voorraadkosten gemaakt worden, kan dit dus een afwijking in de gemiddelde voorraad opleveren. Als in het vervolg over een dag wordt gesproken betekend dat dus een werkdag. Ook is door het gebrek aan kolommen december 2004 niet meegenomen in de voorraadbere-kening. Dit heeft uiteraard invloed op de gemiddeldes die over 2004 zijn berekend. Aangezien de bestellingen in december voor de meeste producten achterlopen op de bestellingen in de andere maanden uit die zelfde periode (januari, februari en november), is het aannemelijk dat de gemiddelde nettovoorraad over het hele jaar hoger had gelegen, en daarmee de negatieve voorraadindicator lager.
Voorraadberekening werkelijkheid
We hebben een overzicht gemaakt van de werkelijke dagelijkse voorraad in 2003 en 2004. Door het jaar heen wordt de historie van de voorraad niet bij-gehouden, die moeten we dus achteraf berekenen. Hiervoor hebben we voor elke dag berekend hoeveel er verkocht is en hoeveel charges er aan het ma-gazijn geleverd zijn. Daarmee kunnen we voor elke dag het voorraadniveau berekenen. Het nulpunt van de voorraadbepaling is de voorraadtelling van eind december 2002. Tussen kerst en oud en nieuw is het magazijn gesloten en wordt elk jaar de voorraad geteld. De voorraad van dag t berekenen we door de voorraad van dag t − 1 te nemen, daar de verkopen van dag t van af te trekken en de geleverde charges van dag t bij op te tellen. Met de eerder berekende kostenparameters kunnen we nu per dag berekenen wat de voorraadkosten zijn.
alle producten waarvan de verkoopinhoud groter is dan 1 liter hebben we de bestellingen in stuks berekend; voor de producten met een verkoopinhoud kleiner dan een liter zijn de bestellingen berekend in liters3. Alhoewel er bij de verpakkingen onder de liter dan resultaten uitkomen die niet afge-rond zijn op de gebruikte verpakking, is dit in de praktijk geen probleem, aangezien er nooit een exact aantal liters geproduceerd wordt. Dit komt doordat er o.a. geregeld bijstellingen plaatsvinden als de kwaliteit van de geproduceerde verf niet goed genoeg is; hierbij wordt er een hoeveelheid van een halffabrikaat toegevoegd om de gewenste kwaliteit te verkrijgen. Ook is er altijd sprake van productieverlies door verkeerd gevulde blikjes etc..
Om de kosten per product van het compound Poisson model te kunnen berekenen beginnen we met het berekenen van de voorraadpositie IP (t). Hiervoor gebruiken we de berekende bestelpunten en -hoeveelheden van de zes periodes. De beginhoeveelheid van de voorraadpositie is zoals gezegd de telling van december 2002. De berekening van de voorraadpositie gaat nu als volgt: om te beginnen trekken we elke dag de verkopen van die dag van de voorraadpositie van de dag ervoor af; zodra deze uitkomst onder het bestelpunt r zou zakken, wordt er een (virtuele) order geplaatst en tellen we bij de uitkomst de ordergrootte Q op, zodat de voorraadpositie nooit onder het bestelpunt zakt. Aan de hand van de voorraadpositie kunnen we de virtuele voorraad bepalen: de berekening is gelijk aan de berekening van de voorraadpositie, alleen stijgt de voorraad twintig dagen later, namelijk als de (virtuele) order uitgeleverd wordt aan het magazijn.
Op deze manier kunnen we voor het hele jaar zowel de werkelijke voorraad als de voorraad van het compound Poisson model bepalen, en dus de voor-raadkosten.
3.4
Bespreking resultaten
3.4.1 Voorraadverloop
We gaan nu de resultaten van drie producten op een rij zetten. Bij toepassing van het compound Poisson model laat product A een heel mooi voorraad-verloop zien: het produkt is altijd voorradig, maar de fysieke voorraad is wel bijna op voordat de orders uit de fabriek binnenkomen; het voorraadverloop van de andere produkten zien er minder mooi uit. Bij product B zien we dat de gemiddelde voorraad te hoog is, bij product C is deze te laag. We proberen uit te vinden waar dat aan ligt.
3Als er dus een blik van 5 liter is verkocht rekenen we dat als 1 eenheid. Als er een
We zijn benieuwd in hoevere de voorraadkosten in de drie periodes in 2003 en 2004 afwijken van de theoretische optimale kosten, en of het percentage negatieve voorraad afwijkt van de gewenste bovengrens van 1%. We kijken daarvoor naar een grafiek die het virtuele voorraadverloop laat zien. Als het bestelpunt juist berekend is moet de voorraad steeds pas dicht bij het nulpunt omhoog schieten en bijna nooit negatief worden (1% van de tijd, dus ongeveer 2,5 dag per jaar). Als ook de bestelhoeveelheid juist is berekend moeten ook de uiteindelijke voorraadkosten niet ver afwijken van de optimale voorraadkosten.
Product A:
De uiteindelijke grafiek van het voorraadverloop ziet er erg mooi uit (zie figuur 3.1). De rode lijn geeft het voorraadverloop aan volgens het compound Poisson model. De blauwe lijn geeft het werkelijke voorraadverloop aan. De groene lijn is het bestelpunt van het compound Poisson model. De gehele twee jaar daalt de voorraad netjes tot net boven de nul lijn voordat hij weer omhoogschiet. Het bestelpunt lijkt dus juist berekend te zijn. We zien verder dat de werkelijke voorraad aan het eind van 2004 negatief wordt en niet meer positief wordt. Of de voorraad in werkelijkheid zo gelopen is kunnen we helaas niet meer achterhalen. We zien dit gedrag ook bij een aantal andere producten waarvoor we deze berekeningen hebben uitgevoerd.
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 V rd02 28-1-2003 20-2-2003 18-3-2003 10-4-2003 9-5-2003 6-6-2003 2-7-2003 28-7-2003 21-8-2003 16-9-2003 10-10-2003 5-11-2003 29-11-2003 28-12-2003 26-1-2004 18-2-2004 12-3-2004 7-4-2004 5-5-2004 1-6-2004 23-6-2004 16-7-2004 10-8-2004 3-9-2004 27-9-2004 21-10-2004 16-11-2004 Product A Bestelpunt Werkelijk
Figuur 3.1: Voorraad verloop product A in 2003 en 2004.
Product B:
korte periode negatief wordt, dit komt door een grote bestelling van 360 stuks, terwijl het bestelpunt daar op 295 ligt. In vergelijking met product A zien we dat er veel minder vaak besteld wordt (gemiddeld 0,68 keer per dag tegenover 5,43), waardoor de vraagfluctuatie groter wordt: misschien wordt er per dag gemiddeld wel even veel besteld, maar van dit product wordt er minder vaak een grotere hoeveelheid besteld, waardoor een paar bestellingen meer op een dag een grote invloed hebben op de totale bestelhoeveelheid van die dag. Als er vaker een kleinere hoeveelheid besteld wordt, zoals bij product A, hebben een aantal bestellingen meer of minder veel minder invloed.
Ook hier zien we een vreemd werkelijk voorraadverloop aan het eind van 2004. Ook dit is niet te verklaren.
Figuur 3.2: Voorraad verloop product B
Product C:
Bij dit product lijkt het bestelpunt juist veel te laag te liggen, de grafiek duikt tot het eind van het jaar steeds onder het nulpunt (zie figuur 3.3). Hoewel de afzet in periode drie redelijk stabiel is (zie figuur 3.15), lijkt ook dat bestelpunt te laag te liggen.
3.4.2 Vergelijking resultaten Voorraadkosten
Figuur 3.3: Voorraad verloop product C
gebruikt waren in 2003 en 2004? Die vraag kunnen we beantwoorden door te kijken naar de grafieken: overal wordt de werkelijke voorraad negatief aan het eind van 2004. Laten we kijken hoe groot het verschil is:
Product Optimaal Berekend % hoger Werkelijk
gemiddelde gemiddelde gemiddelde
A e 1,71 e 1,73 2,8% e 22,86
B e 1,91 e 1,94 1,7% e 6,84
C e 2,39 e 6,47 170,8% e 39,20
We zien dat de gemiddelde kosten die gemaakt zouden zijn als de compound Poisson waardes gebruikt zouden zijn heel dicht bij het theoretische com-pound Poisson minimum liggen. Als we naar alle veel verkochte producten kijken (zie de tabel op de volgende pagina), zien we dat er zelfs producten zijn waarvoor het gemiddelde onder het theoretische minimum ligt. Dat geeft dus aan dat het theoretische minimum niet optimaal is, en dat de aannames over het bestelpatroon niet kloppen.
Percentage negatieve voorraad compound Poisson model
Product Berekend Werkelijk
A 0% 19,6%
B 3,8% 27,0%
C 5,8% 32,5%
In de tabel zien we dat de accuratesse goed is; alleen voor product C is deze duidelijk lager dan gewenst, maar we zien dat ook terug in de grafiek. Als we naar de door het compound Poisson model gegenereerde waardes van andere producten kijken zien we dat ze gemiddeld boven de 1% grens liggen, hun gemiddelde is namelijk 1,8%. Dit ligt dicht bij de gewenste waarde van 1%. De onderstaande tabel geeft de kosten en de accuratesse van alle berekende producten aan; producten A, B en C staan bovenaan. In de eerste kolom staan de optimale waardes van het compound Poisson model, in de tweede kolom staan de kosten als in de werkelijkheid het compound Poisson model gebruikt was, in de derde kolom staan de werkelijk gemaakte kosten, en in de vierde kolom staat het percentage negatieve voorraad die behaald was als in de werkelijkheid het compound Poisson model gebruikt was.
Optimaal Comp. Poi. Werkelijk % Negatieve gemiddelde gemiddelde gemiddelde voorraad
Percentage negatieve voorraad EOQ model
We zijn uiteraard benieuwd of het compound Poisson model beter presteert dan het traditionele EOQ model. We hebben voor de drie producten de bestelhoeveelheden en bestelpunten voor het EOQ model berekend en de-ze vergeleken met de cijfers van het compound Poisson model. Als eerste presenteren we een tabel met de gevonden waardes naast elkaar:
Jaar 2003 2004 Periode 1 2 3 1 2 3 Product A Q C. Poisson 894 1064 1078 915 1042 1072 Q EOQ 864 1078 1064 838 1034 1090 Verschil -3,4% 1,3% -1,3% -8,4% -0,8% 1,7% r C. Poisson 233 322 352 220 281 297 r EOQ 206 318 333 175 265 294 Verschil -11,6% -1,2% -5,4% -20,5% -5,7% -1,0% Product B Q C. Poisson 672 1070 971 811 960 744 Q EOQ 599 936 859 474 907 696 Verschil -10,8% -12,4% -11,5% -41,5% -5,4% -6,3% r C. Poisson 191 505 394 370 450 295 r EOQ 103 260 217 64 243 141 Verschil -45,6% -48,4% -44,8% -82,5% -46,0% -52,0% Product C Q C. Poisson 702 1366 1504 819 1140 1286 Q EOQ 670 1426 1584 793 1235 1390 Verschil -4,5% 4,4% 5,3% -3,1% 8,4% 8,1% r C. Poisson 187 644 760 249 448 560 r EOQ 143 670 818 203 495 627 Verschil -23,2% 4,0% 7,7% -18,2% 10,6% 12,1%
van het bestelpunt van het EOQ model ten opzichte van het bestelpunt van het compound Poisson model:
• Het bestelpunt van het compound Poisson model voor product A ligt iets boven het bestelpunt van het EOQ model. Dit is logisch, aange-zien het bestelpunt (mede) bepaald wordt door de verwachte verkopen tijdens de levertijd: we willen namelijk niet (te lang) een negatieve voorraad hebben. Het grote verschil tussen het EOQ model en het compound Poisson model is dat het compound Poisson model de vari-antie in de verkopen meeneemt, terwijl het EOQ model dat niet doet; in dat model wordt uitgegaan van een constante vraag.
• Het bestelpunt van het compound Poisson model voor product B ligt ver boven het bestelpunt van het EOQ model. Dit komt overeen met het idee dat het bestelpunt van het compound Poisson model te hoog ligt.
• Het bestelpunt van het compound Poisson model voor product C ligt gemiddeld bijna gelijk met het bestelpunt van het EOQ model. Dit komt overeen met het idee dat het bestelpunt van het compound Pois-son model te laag ligt.
Presteert het compound Poisson model beter dan het EOQ model? We ver-gelijken het percentage negatieve voorraad en de kosten voor de producten A, B en C:
% pos. voorraad Kosten
Product Comp. Poi. EOQ Comp. Poi. EOQ
A 0,0% 0,6% e 1,73 e 1,73
B 3,8% 4,4% e 2,14 e 2,12
C 5,8% 1,8% e 4,52 e 2,99
% neg. voorraad Kosten
Comp. Poi. EOQ Comp. Poi. EOQ 0,0% 0,6% e 1,73 e 1,73 3,8% 4,4% e 2,14 e 2,12 5,8% 1,8% e 4,52 e 2,99 2,2% 3,2% e 2,78 e 2,85 0,0% 3,6% e 1,69 e 1,75 0,2% 13,9% e 2,15 e 3,56 7,3% 15,9% e 11,45 e 11,04 1,2% 4,6% e 1,80 e 2,53 0,8% 2,0% e 1,68 e 1,81 0,0% 1,6% e 0,97 e 0,93 0,0% 5,0% e 2,80 e 5,29 0,2% 5,4% e 2,48 e 3,11 1,6% 1,0% e 1,89 e 1,73 0,4% 1,2% e 1,66 e 1,81 5,6% 2,2% e 2,80 e 2,40 0,6% 1,0% e 1,99 e 1,97 1,4% 1,4% e 1,70 e 1,77 1,8% 2,6% e 1,70 e 1,71 1,0% 3,6% e 1,91 e 2,04 1,6% 8,9% e 2,79 e 3,56
3.5
Gevoeligheidsanalyse
Tot slot kijken we naar de gevoeligheid van de gevonden waardes. We hebben voor de bestelhoeveelheden q = 1, ..., 3000 de optimale kosten en het opti-male bestelpunt berekend. Om te beginnen hebben we gekeken met welk percentage de (optimale) kosten stegen als de bestelhoeveelheid daalt. De meeste berekende bestelhoeveelheden liggen flink hoger dan de ’standaard’ gebruikte en/of praktische bestelhoeveelheden, dus om de uitkomsten uit het model in de praktijk te kunnen gebruiken moet deze bestelhoeveelheid niet al te gevoelig zijn. We zien dat dat ook zo is. We kunnen de bestel-hoeveelheid 23% laten zakken, terwijl de kosten slechts 2,5% stijgen. Bij een verdere daling van de bestelhoeveelheid nemen de kosten snel toe: bij een 30% afname stijgen de kosten al 5%. We zien een duidelijke trend in deze kosten stijging, zie grafiek (3.4). De procentuele daling van de bestel-hoeveelheid (vanaf het optimale punt, x-as) is afgezet tegen de procentuele kostenstijging.
Figuur 3.4: De stijging van de kosten bij een daling van de bestelhoeveelheid.
de kosten sneller dalen als de standaarddeviatie in de cijfers groter wordt. Ook dat is logisch: de onzekerheid over de verkoophoeveelheid tijdens de le-vertijd neemt dan toe, en die wordt opgevangen door een hoger bestelpunt, waardoor de gemiddelde voorraadhoeveelheid stijgt en dus de gemiddelde voorraadkosten.
Figuur 3.5: De gevoeligheid van de levertijd.
0,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00% 70,00% 80,00% 90,00% 100,00% 0,00%3,33%6,67%10,0 0% 13,3 3% 16,6 7% 20,0 0% 23,3 3% 26,6 7% 30,0 0% 33,3 3% 36,6 7% 40,0 0% 43,3 3% 46,6 7% 50,0 0% 53,3 3% 56,6 7% 60,0 0% 63,3 3% 66,6 7% 70,0 0% 73,3 3% 76,6 7% 80,0 0% 83,3 3% 86,6 7% 90,0 0% 93,3 3% 96,6 7% 100 ,00% Prod. A per. 1 Prod. A per. 2 Prod. A per. 3 Prod. B per. 1 Prod. B per. 2 Prod. B per. 3 Prod. C per. 1 Prod. C per. 2 Prod. C per. 3
Figuur 3.6: De gevoeligheid van de vaste charge kosten.
0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 10,00% 12,00% 14,00% 16,00% 99,0%98,8%98,6%98,4%98,2%98,0%97,8%97,6%97,4%97,2%97,0%96,8%96,6%96,4%96,2%96,0%95,8%95,6%95,4%95,2%95,0% Prod. A per. 1 Prod. A per. 2 Prod. A per. 3 Prod. B per. 1 Prod. B per. 2 Prod. B per. 3 Prod. C per. 1 Prod. C per. 2 Prod. C per. 3
3.6
Analyse bestelpatroon
3.6.1 Grafische analyse bestelpatroon
Om de periode indeling te controleren beginnen we met een grafiek van de afzet per maand voor alle producten die PK Koopmans verkocht heeft (zie figuur 3.8). De afzet moet dus binnen een periode niet al te sterk fluctueren.
Figuur 3.8: De totale afzet per maand in 2003 plus 2004.
We zien de seizoensopbouw naar de zomer toe en de afname na de zomer. Bij de periode indeling hebben een aantal factoren meegespeeld. Ten eerste hebben we geprobeerd het aantal periodes binnen een jaar laag te houden, aangezien er per (extra) periode een berekening per product moet worden gemaakt; daarnaast moeten er voldoende waarnemingen binnen een periode vallen om een uitspraak te kunnen doen over de verdeling van de vraag in die periode.
De analyse van de juistheid van de aannames over het vraagverloop doen we in twee stappen. Later berekenen we of we met statistische significantie kunnen aantonen of de aannames kloppen. Eerst kijken we naar de volgende grafieken:
1. De cumulatieve afzet per maand voor 2003.
3. Het histogram van de log van de afzet per periode voor 2003. Deze zou een normale verdelingsvorm moeten hebben.
Om te beginnen kijken we naar product A , een witte muurverf. We bespre-ken de grafiebespre-ken ´e´en voor ´e´en.
1. We zien dat de omzet redelijk gelijk verdeeld is door het jaar heen, en dat de periode indeling redelijk klopt: de afzet neemt toe naar de zomer toe en neemt daarna weer af (zie figuur 3.9).
2. De histogrammen zijn scheef naar rechts, maar veel waarnemingen zitten er niet, bijna alle waarnemingen concentreren zich rond het ge-middelde. Ook kleine bestellingen zijn er bijna niet. De waarnemingen zijn duidelijk niet erg verspreid. Dit komt doordat er relatief heel veel bestellingen van dezelfde grootte gedaan worden (zie figuur 3.10). 3. Bij de histogrammen van de log zien we dat de massa eerder aan de
rechterkant zit dan aan de linkerkant. Hierdoor ligt het gemiddelde iets rechts van het midden. De grafiek voor periode drie van 2003 lijkt het meest normaal verdeeld (zie figuur 3.11).
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Januari Februari Maart April Mei Juni Juli Augustus September Oktober November December 2003 2004
Figuur 3.9: Afzet product A in 2003 en 2004
Voor product B, ook een witte verf maar dan voor vloeren, analyseren we dezelfde grafieken:
Figuur 3.10: Histogram van afzet product A
2. In het histogram zien we duidelijker de scheefheid, vooral in periode 1. Ook zien we de concentratie van bestellingen rond het midden (zie figuur 3.13).
3. Aan het histogram is te zien dat de waardes niet mooi verdeeld zijn. Rechts van het gemiddelde lijkt het er nog wel op, maar links missen te veel waarnemingen (zie figuur 3.14).
Figuur 3.12: Afzet product B
Dan product C:
Figuur 3.14: Histogram van log afzet product B
1. Er is een seizoensverloop te zien, maar het is duidelijk dat het voorjaar beter loopt dan het najaar, waardoor ook hier de periode indeling niet helemaal klopt (zie figuur 3.15).
2. We zien een aantal uitschieters aan de rechterkant, maar bijna alle massa concentreert zich in het midden (zie figuur 3.16).
3. Zowel links als rechts van het gemiddelde zijn er waarnemingen, ook hier zit bijna alle massa in het midden (zie figuur 3.17).
Figuur 3.15: Afzet product C
Figuur 3.16: Histogram van afzet product C
histogrammen van log van de afzet, deze zijn, zeker aan de linkerkant, te leeg (er zitten weinig tot geen waarnemingen), bijna alle massa zit in het midden. Er zit dus minder variatie in de vraag dan wij aannemen. Hierdoor zou je verwachten dat de berekende bestelpunten te hoog liggen, maar dat vinden we niet terug in de cijfers: het streefpercentage negatieve voorraad wordt niet gehaald.
3.6.2 Kwantitatieve analyse bestelpatroon
Na de grafische analyse hebben we gecontroleerd of we met een kwantitatieve methode normaliteit kunnen aantonen. Hiervoor hebben we in eerste instan-tie naar de waardes van de skewness en de kurtosis gekeken. De skewness zegt wat over de symmetrie van de waardes, dus liggen er evenveel waarne-mingen links als rechts van het gemiddelde. Als er evenveel waarnewaarne-mingen links als rechts van het gemiddelde liggen, dan is de skewness nul. Bij een negatieve skewness zitten er meer waarnemingen links van het midden, bij een positieve rechts.
De kurtosis zegt iets over de gepiektheid van de verdeling. Een normale ver-deling heeft een piek in het midden en platte staarten. De verhouding tussen de piek en de staarten wordt gemeten met de kurtosis. Als een verdeling ’plat’ is krijgt deze een negatieve kurtosis, bij een positieve waarde is deze ’gepiekt’. De normale verdeling heeft een kurtosis van drie. SPSS4 trekt
automatisch drie van de kurtosis berekening af, zodat in de tabel hieronder de ’beste’ waarde van de kurtosis nul is.
Om op een simpele manier vast te stellen of de standaard normaliteitstesten zoals de Kolmogorov-Smirnov test5 toepasbaar zijn berekenen we de kur-tosis en diens standaardafwijking voor 2003, en kijken we of 0 in het 95% betrouwbaarheidsinterval ligt. Hiervoor delen we de kurtosis door diens standaardafwijking. Als deze waarde niet tussen de -2 en 2 ligt, ligt 0 niet in het betrouwbaarheidsinterval en kunnen we de aanname dat de kurtosis 0 is verwerpen. Voor de producten A, B en C geldt dit. Voor de skew-ness geldt hetzelfde, ook hier kijken we of 0 in het betrouwbaarheidsinterval ligt. Ook dit geldt niet. Daarom voeren we geen normaliteitstesten uit. We kunnen dus nogmaals concluderen dat de aanname van normaliteit niet kan worden bevestigd. Zie de tabel hieronder.
Skewness en Kurtosis 2003
4Het door ons gebruikte statistische computerprogramma.
5
N Skewness Std. Error Kurtosis Std. Error Skewness/ Kurtosis/ Std.Err Std.Err Prod. A prd. 1 266 -0,515 0,149 2,134 0,298 -3,446 7,171 Prod. A prd. 2 526 -0,861 0,106 7,561 0,213 -8,084 35,562 Prod. A prd. 3 588 -1,372 0,101 3,660 0,201 -13,620 18,191 Prod. B prd. 1 38 -2,481 0,383 12,932 0,750 -6,482 17,249 Prod. B prd. 2 65 -2,735 0,297 13,277 0,586 -9,205 22,648 Prod. B prd. 3 73 -2,700 0,281 11,355 0,555 -9,606 20,451 Prod. C prd. 1 118 -1,178 0,223 4,193 0,442 -5,290 9,489 Prod. C prd. 2 529 -0,398 0,106 5,419 0,212 -3,745 25,561 Prod. C prd. 3 691 -0,282 0,093 3,746 0,186 -3,028 20,171
We kunnen nu analyseren of de aanname van een Poisson verdeling wel klopt voor deze producten in 2003. Hiervoor maken we gebruik van de Kolmogorov-Smirnov test. Deze geeft alleen voor product B geen significante afwijking aan, zodat we voor product B aan mogen nemen dat deze Poisson verdeeld is voor de drie periodes. Voor producten A en C kunnen we de conclusie trekken dat ze niet Poisson verdeeld zijn. De resultaten staan hieronder.
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 2003
Conclusies en aanbevelingen
4.1
Theorie
We komen nu bij de beantwoording van de centrale vraag:
Hoe kunnen we de kosten van het voorraadbeheer van PK Koop-mans Lakfabrieken minimaliseren onder de voorwaarde dat alle bestellingen die binnenkomen ook uitgeleverd worden?
Om te beginnen kijken we naar de toepasbaarheid van het compound Pois-son model. We zien dat dit model goed in de praktijk is te gebruiken zonder specialistische (mathematische) software. Helaas zijn de modellen nog iets te gecompliceerd om simpel mee te kunnen werken. Ook is de gebruikte soft-ware, Excel, niet krachtig genoeg om alle berekeningen die nodig zijn om het model door te rekenen in ´e´en keer uit te voeren, dit moet in verschillende stappen gedaan worden; hier lopen we tegen de limieten van het programma aan. De uitkomsten uit het compound Poisson model zijn erg interessant: voor de producten met een grote standaarddeviatie in de vraag presteert het model beter dan het EOQ model. Ook wordt het gewenste maximale percen-tage tijd met negatieve voorraad gemiddeld gezien maar net overschreden. Het product met het hoogste percentage negatieve voorraad is product C, met een percentage tijd met negatieve voorraad van 5,8%.
Als we het compound Poisson model vergelijken met de resultaten uit de werkelijkheid (dus met de werkelijke productiecijfers uit 2003 en 2004) zien we dat het compound Poisson model beduidend beter presteert: de gemid-delde voorraadkosten liggen een stuk lager dan de werkelijke voorraadkosten, en het percentage negatieve voorraad is een stuk lager. Dat het compound Poisson model beter presteert komt in eerste instantie doordat er in deze jaren zonder planningsmodel gewerkt werd, en doordat de werkelijke voor-raadhoeveelheid pas sinds 2003 op te vragen was; verder bestaat de produc-tie niet alleen uit deze twintig producten, maar uit zo’n 1800 producten,
