Om het algoritme te kunnen berekenen moeten we om te beginnen de waar-des van de parameters λE[Y ], de gemiddelde vraag per dag, b, de nalever kosten, h, de opslagkosten en k, de vaste kosten van een charge, bepalen. De parameters zijn geschat op basis van cijfers verstrekt door het management van PK Koopmans en verkregen via een niet significante steekproef in de fa-briek. Het doel van deze praktijkoefening is niet om op de komma precies uit te rekenen welke kosten nu gemaakt zijn, maar om te kijken of de theorie in de praktijk bij PK Koopmans is toe te passen en daarnaast om te zien welke parameters de meeste invloed hebben op de kosten. Het toepasbaar zijn van de stof heeft te maken met de de vraag of de berekening van de optimale bestelhoeveelheid en het optimale bestelpunt op reguliere basis (minimaal ´e´en keer per maand) te maken is met behulp van de bestaande hard- en software, en om een gevoeligheidsanalyse uit te kunnen voeren. Als het niet mogelijk is om de berekeningen met de bestaande hard- en software uit te voeren wordt de theorie als niet toepasbaar in de praktijk bij PK Koopmans beschouwd.
De levertijd L is vastgesteld op 20 werkdagen.
De opslagkosten h bestaan uit de renteafschrijving op de producten. De-ze renteafschrijving wordt berekend over de intrinsieke waarde van de pro-ducten die in het magazijn liggen, vermenigvuldigd met een factor om de arbeidskosten mee te nemen. De intrinsieke waarde van een product is de sommatie van de kosten van de grondstoffen waaruit het product bestaat (dus de chemicali¨en die gebruikt worden, de deksel, het blikje, het label enz.). De arbeidskosten zitten daar niet bij, daarom nemen we aan dat deze 20% van de intrinsieke waarde van het product bedragen. Dit getal is gebas-seerd op dezelfde steekproef als genoemd in de vorige alinea; ook dit is dus een ruwe schatting2. De rente is door het management vastgesteld op 7%
2Er kan ook worden gekozen voor een vaste bijtelling bij elk product of bij elke
per jaar. Als voorbeeld nemen we een product met een intrinsieke waarde van e1,43. Als we dit vermeerderen met 20%, dat vermenigvuldigen met 7%, en dat delen door 365, dan komen we op 0,033 cent, dus de opslagkosten h van dit product zijn 0,00033 per dag.
Ook de vaste kosten van het maken van een charge k zijn berekend tijdens de steekproef. In de week werd bijgehouden hoeveel tijd de verschillende stappen van het productieproces kostten. Aan de hand van deze gegevens is berekend hoeveel tijd men kwijt is aan handelingen die onafhankelijk zijn van de chargegrootte, zoals het bijeenbrengen van de grondstoffen, het mengen van de ingredi¨enten enz.. Met deze gemiddelde tijd is, samen met de gemiddelde loonkosten, de waarde van k bepaald. Deze is e60,- voor alle producten. We gebruiken dit cijfer voor beide jaren en dus voor alle periodes.
Het berekenen van de kosten van het naleveren b is erg lastig, aangezien dit betrekking heeft op de perceptie van de klant die zijn of haar bestelling niet direct geleverd krijgt. De ene klant zal het niet zo erg vinden, een ander heeft de bestelling wellicht direct nodig en zal uitwijken naar een andere leverancier, waardoor de bestelling en wellicht de klant verloren gaat. Om toch een schatting te kunnen maken is gebruik gemaakt van het feit dat de tekort kosten b zijn gerelateerd aan de opslagkosten h via de volgende gelijkheid (zie vergelijking (2.61))
ω = b
b + h
Als de producten niet per blikje, maar in elke willekeurige hoeveelheid ver-kocht zouden kunnen worden, is deze ω gelijk aan het gemiddelde percentage negatieve voorraad A(s) (zie (2.11, 2.47)). Doordat de producten in het mo-del alleen in gehele aantallen verkocht worden, is de ω net iets kleiner dan het gemiddelde percentage negatieve voorraad (zie (2.61)). Dat betekent dat er in plaats van een waarde voor b ook een streefwaarde voor A(s) gekozen kan worden. Als we ω hieraan gelijk stellen en zo een waarde voor b vinden, weten we dat A(s) in de buurt van deze waarde zal liggen. Het is wel zo dat de waarde van ω geen harde limiet is, dus als het management een harde eis wil stellen aan het gemiddelde percentage negatieve voorraad, dan moet er een andere aanpak gekozen worden. In onze situatie wil het management dat er in 99% van de tijd direct geleverd kan worden, dus het gemiddelde streefpercentage negatieve voorraad is 1%.
3.2.1 Keuze vraagdistributie
Voordat we de waarde van λE[Y ] kunnen bepalen moeten we eerst een distributie voor Y (t) kiezen. We kiezen op basis van grafische analyse een
lognormale distributie. Dat is een continue verdeling, geen discrete, daarom rekenen we de kansmassa die rond een punt ligt als kansmassa op dat punt. Alle kansmassa in het interval (1,5, 2,5] wordt gerekend als kansmassa op het punt 2 (de kans dat x = 2 stellen we gelijk aan de kans dat x in het interval (1,5, 2,5] ligt). Een probleem is dat de vraag fluctueert door het jaar heen en van jaar tot jaar. In het model daarentegen zit geen tijdsparameter, er wordt dus uitgegaan van een constante verdeling van de vraag. Om dit op te lossen hebben we het jaar op basis van grafische analyse verdeeld in drie periodes. We hebben deze jaarindeling zo gemaakt dat de vraag binnen een periode min of meer constant is. De drie periodes zijn:
1. januari, februari, november en december 2. maart, april, september en oktober
3. de zomermaanden mei, juni, juli en augustus
3.2.2 Berekening optimaal bestelpunt basisvoorraadmodel Vervolgens kijken we hoe we het optimale bestelpunt van het basisvoorraad-model s∗ kunnen uitrekenen. Om die te kunnen berekenen moeten we de loss functie uitrekenen. Deze kunnen we niet direct berekenen, maar wel benaderen met de formule die al eerder is gegeven in (2.50):
F1(s) = λE[Y ]L −
s−1
X
j=0
F0(j) (3.1)
(In de vergelijking is λ vervangen door λE[Y ].) Dit verplaatst het probleem naar het berekenen van F0(x), de complementaire cumulatieve verdelings-functie (ccdf) van de compound Poisson distributie. Om de ccdf van de compound Poisson distributie uit te kunnen rekenen maken we gebruik van een stelling uit het boek van Kaas[3].
Theorem 3.1 De compound Poisson distributie, waarvan de cumulatieve verdelingsfunctie is gedefinieerd door Fs(x) =
∞
P
k=0
e−λ λk!kFY i(x), met FYi(x) gedefinieerd als de cumulatieve verdelingsfunctie van Yi(x) en fs(x) de mar-ginale verdelingsfunctie van Fs(x), voldoet aan
fs(x) = λ x x X y=1 yfx(y)fs(x − y), x = 1, 2, 3, . . . met fs(0) = e−λ
Met deze stelling kunnen we F0(x) berekenen, en daarmee F1(s). Dit levert een tabel met waardes voor F1(s) op. Uit deze tabel kunnen we de waarde van s∗ halen, dit is de waarde van s waarvoor F1(s) net kleiner is dan 1 − ω, waarbij ω het gemiddelde percentage negatieve voorraad is (zie (2.61)). We kunnen nu C(s∗) uitrekenen door gebruik te maken van vergelijking (2.48) met de aanpassing voor compound Poisson (λ vervangen door λE[Y ]):
C(s∗) = h(s∗− λE[Y ]L + F1(s∗)) + bF1(s∗) (3.2) We kennen nu alle waardes die nodig zijn om het algoritme uit te rekenen.
3.3 Berekening voorraadkosten
Per periode hebben we nu voor de jaren 2003 en 2004 berekend hoe vaak een product gemiddeld per werkdag besteld werd. Dit hebben we gedaan met de echte verkoopcijfers over die periodes. Dit is de waarde voor parameter λ. Daarnaast hebben we voor elke periode uitgerekend wat het gemiddelde en wat de standaarddeviatie was van de natuurlijke logaritme van de hoe-veelheid die besteld werd. Met dit gemiddelde en deze standaarddeviatie hebben de verwachte waarde van de bestelhoeveelheid E[Y ] uitgerekend.
3.3.1 Berekening bestelpunt en bestelhoeveelheid
We hebben voor de jaren 2003 en 2004 tweemaal een bestelpunt r en een bestelhoeveelheid q berekend: eenmaal via het EOQ model en eenmaal via het compound Poisson model. Vervolgens hebben we driemaal de voorraad-kosten berekend: eenmaal de werkelijk gemaakte voorraadvoorraad-kosten, eenmaal de EOQ voorraadkosten en eenmaal de ’compound Poisson’ voorraadkosten. Hoe we deze kosten precies hebben berekend behandelen we later in detail. Om het theoretische model te kunnen toepassen in de praktijk hebben we om te beginnen een aantal aanpassingen moeten maken:
• Hoewel de tijd in ons compound Poisson model continu is, zijn de verkoopcijfers die we hebben gebruikt niet nauwkeuriger dan per dag. Dit heeft geen invloed op de berekening van de bestelhoeveelheid en het bestelpunt, aangezien we voor deze berekeningen de gemiddelde waardes gebruiken, en die zijn gelijk. Het heeft wel invloed op het orderpatroon: als er op een dag zoveel besteld wordt dat de voorraad-positie onder het bestelpunt zakt, dan weten we alleen d´at dat gebeurt, niet op welk tijdstip op die dag. Daarom wordt er bij het bepalen van de dagelijkse voorraadpositie in het compound Poisson model gekeken of de voorraadpositie op een dag onder het bestelpunt zou komen, ge-geven de bestellingen van die dag (die bekend zijn aangezien we in het
verleden kijken); als dat zo is wordt er op die dag een order geplaatst en springt de voorraadpositie dus omhoog op die dag. Een voorbeeld: stel op dag t is de voorraadpositie gelijk aan 100. Het bestelpunt is 80 en de bestelhoeveelheid is 250. Als er nu op/tijdens dag t + 1 30 besteld wordt, stellen we de voorraadpositie op dag t + 1 op 320: 100-30+250. Als er slechts 15 besteld zou zijn zou de voorraadpositie op dag t + 1 gelijk zijn aan 85.
• Doordat Excel maximaal 255 kolommen heeft, en wij de berekeningen in eerste instantie voor alle voorraadproducten wilden maken (zo’n 1800 producten), hebben we niet alle dagen van 2003 en 2004 mee kunnen nemen, alleen de werkdagen. Aangezien er ook in het week-end voorraadkosten gemaakt worden, kan dit dus een afwijking in de gemiddelde voorraad opleveren. Als in het vervolg over een dag wordt gesproken betekend dat dus een werkdag. Ook is door het gebrek aan kolommen december 2004 niet meegenomen in de voorraadbere-kening. Dit heeft uiteraard invloed op de gemiddeldes die over 2004 zijn berekend. Aangezien de bestellingen in december voor de meeste producten achterlopen op de bestellingen in de andere maanden uit die zelfde periode (januari, februari en november), is het aannemelijk dat de gemiddelde nettovoorraad over het hele jaar hoger had gelegen, en daarmee de negatieve voorraadindicator lager.
Voorraadberekening werkelijkheid
We hebben een overzicht gemaakt van de werkelijke dagelijkse voorraad in 2003 en 2004. Door het jaar heen wordt de historie van de voorraad niet bij-gehouden, die moeten we dus achteraf berekenen. Hiervoor hebben we voor elke dag berekend hoeveel er verkocht is en hoeveel charges er aan het ma-gazijn geleverd zijn. Daarmee kunnen we voor elke dag het voorraadniveau berekenen. Het nulpunt van de voorraadbepaling is de voorraadtelling van eind december 2002. Tussen kerst en oud en nieuw is het magazijn gesloten en wordt elk jaar de voorraad geteld. De voorraad van dag t berekenen we door de voorraad van dag t − 1 te nemen, daar de verkopen van dag t van af te trekken en de geleverde charges van dag t bij op te tellen. Met de eerder berekende kostenparameters kunnen we nu per dag berekenen wat de voorraadkosten zijn.
Voorraadberekening compound Poisson model en EOQ model Om te beginnen hebben we zoals gezegd het bestelpunt en de bestelhoeveel-heid per periode per jaar uitgerekend in Excel. Wegens beperkingen van Excel hebben we voor alle producten de ’kleinste’ eenheid gekozen: voor
alle producten waarvan de verkoopinhoud groter is dan 1 liter hebben we de bestellingen in stuks berekend; voor de producten met een verkoopinhoud kleiner dan een liter zijn de bestellingen berekend in liters3. Alhoewel er bij de verpakkingen onder de liter dan resultaten uitkomen die niet afge-rond zijn op de gebruikte verpakking, is dit in de praktijk geen probleem, aangezien er nooit een exact aantal liters geproduceerd wordt. Dit komt doordat er o.a. geregeld bijstellingen plaatsvinden als de kwaliteit van de geproduceerde verf niet goed genoeg is; hierbij wordt er een hoeveelheid van een halffabrikaat toegevoegd om de gewenste kwaliteit te verkrijgen. Ook is er altijd sprake van productieverlies door verkeerd gevulde blikjes etc..
Om de kosten per product van het compound Poisson model te kunnen berekenen beginnen we met het berekenen van de voorraadpositie IP (t). Hiervoor gebruiken we de berekende bestelpunten en -hoeveelheden van de zes periodes. De beginhoeveelheid van de voorraadpositie is zoals gezegd de telling van december 2002. De berekening van de voorraadpositie gaat nu als volgt: om te beginnen trekken we elke dag de verkopen van die dag van de voorraadpositie van de dag ervoor af; zodra deze uitkomst onder het bestelpunt r zou zakken, wordt er een (virtuele) order geplaatst en tellen we bij de uitkomst de ordergrootte Q op, zodat de voorraadpositie nooit onder het bestelpunt zakt. Aan de hand van de voorraadpositie kunnen we de virtuele voorraad bepalen: de berekening is gelijk aan de berekening van de voorraadpositie, alleen stijgt de voorraad twintig dagen later, namelijk als de (virtuele) order uitgeleverd wordt aan het magazijn.
Op deze manier kunnen we voor het hele jaar zowel de werkelijke voorraad als de voorraad van het compound Poisson model bepalen, en dus de voor-raadkosten.