3.6 Analyse bestelpatroon
3.6.2 Kwantitatieve analyse bestelpatroon
Na de grafische analyse hebben we gecontroleerd of we met een kwantitatieve methode normaliteit kunnen aantonen. Hiervoor hebben we in eerste instan-tie naar de waardes van de skewness en de kurtosis gekeken. De skewness zegt wat over de symmetrie van de waardes, dus liggen er evenveel waarne-mingen links als rechts van het gemiddelde. Als er evenveel waarnewaarne-mingen links als rechts van het gemiddelde liggen, dan is de skewness nul. Bij een negatieve skewness zitten er meer waarnemingen links van het midden, bij een positieve rechts.
De kurtosis zegt iets over de gepiektheid van de verdeling. Een normale ver-deling heeft een piek in het midden en platte staarten. De verhouding tussen de piek en de staarten wordt gemeten met de kurtosis. Als een verdeling ’plat’ is krijgt deze een negatieve kurtosis, bij een positieve waarde is deze ’gepiekt’. De normale verdeling heeft een kurtosis van drie. SPSS4 trekt automatisch drie van de kurtosis berekening af, zodat in de tabel hieronder de ’beste’ waarde van de kurtosis nul is.
Om op een simpele manier vast te stellen of de standaard normaliteitstesten zoals de Kolmogorov-Smirnov test5 toepasbaar zijn berekenen we de kur-tosis en diens standaardafwijking voor 2003, en kijken we of 0 in het 95% betrouwbaarheidsinterval ligt. Hiervoor delen we de kurtosis door diens standaardafwijking. Als deze waarde niet tussen de -2 en 2 ligt, ligt 0 niet in het betrouwbaarheidsinterval en kunnen we de aanname dat de kurtosis 0 is verwerpen. Voor de producten A, B en C geldt dit. Voor de skew-ness geldt hetzelfde, ook hier kijken we of 0 in het betrouwbaarheidsinterval ligt. Ook dit geldt niet. Daarom voeren we geen normaliteitstesten uit. We kunnen dus nogmaals concluderen dat de aanname van normaliteit niet kan worden bevestigd. Zie de tabel hieronder.
Skewness en Kurtosis 2003
4Het door ons gebruikte statistische computerprogramma.
5
N Skewness Std. Error Kurtosis Std. Error Skewness/ Kurtosis/ Std.Err Std.Err Prod. A prd. 1 266 -0,515 0,149 2,134 0,298 -3,446 7,171 Prod. A prd. 2 526 -0,861 0,106 7,561 0,213 -8,084 35,562 Prod. A prd. 3 588 -1,372 0,101 3,660 0,201 -13,620 18,191 Prod. B prd. 1 38 -2,481 0,383 12,932 0,750 -6,482 17,249 Prod. B prd. 2 65 -2,735 0,297 13,277 0,586 -9,205 22,648 Prod. B prd. 3 73 -2,700 0,281 11,355 0,555 -9,606 20,451 Prod. C prd. 1 118 -1,178 0,223 4,193 0,442 -5,290 9,489 Prod. C prd. 2 529 -0,398 0,106 5,419 0,212 -3,745 25,561 Prod. C prd. 3 691 -0,282 0,093 3,746 0,186 -3,028 20,171
We kunnen nu analyseren of de aanname van een Poisson verdeling wel klopt voor deze producten in 2003. Hiervoor maken we gebruik van de Kolmogorov-Smirnov test. Deze geeft alleen voor product B geen significante afwijking aan, zodat we voor product B aan mogen nemen dat deze Poisson verdeeld is voor de drie periodes. Voor producten A en C kunnen we de conclusie trekken dat ze niet Poisson verdeeld zijn. De resultaten staan hieronder.
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 2003
N Poisson Differences Kolmogorov- Asymp. Sig. Mean Absolute Positive Negative Smirnov Z (2-tailed) Prod. A prd. 1 82 3,244 0,424 0,424 -0,140 3,843 0,000 Prod. A prd. 2 86 6,116 0,310 0,310 -0,117 2,874 0,000 Prod. A prd. 3 85 6,918 0,258 0,258 -0,154 2,377 0,000 Prod. B prd. 1 82 0,463 0,090 0,090 -0,037 0,818 0,514 Prod. B prd. 2 86 0,744 0,060 0,060 -0,018 0,554 0,919 Prod. B prd. 3 85 0,847 0,065 0,065 -0,028 0,603 0,860 Prod. C prd. 1 82 1,439 0,336 0,336 -0,100 3,043 0,000 Prod. C prd. 2 86 6,128 0,432 0,432 -0,118 4,005 0,000 Prod. C prd. 3 85 8,082 0,266 0,266 -0,141 2,451 0,000
Conclusies en aanbevelingen
4.1 Theorie
We komen nu bij de beantwoording van de centrale vraag:
Hoe kunnen we de kosten van het voorraadbeheer van PK Koop-mans Lakfabrieken minimaliseren onder de voorwaarde dat alle bestellingen die binnenkomen ook uitgeleverd worden?
Om te beginnen kijken we naar de toepasbaarheid van het compound Pois-son model. We zien dat dit model goed in de praktijk is te gebruiken zonder specialistische (mathematische) software. Helaas zijn de modellen nog iets te gecompliceerd om simpel mee te kunnen werken. Ook is de gebruikte soft-ware, Excel, niet krachtig genoeg om alle berekeningen die nodig zijn om het model door te rekenen in ´e´en keer uit te voeren, dit moet in verschillende stappen gedaan worden; hier lopen we tegen de limieten van het programma aan. De uitkomsten uit het compound Poisson model zijn erg interessant: voor de producten met een grote standaarddeviatie in de vraag presteert het model beter dan het EOQ model. Ook wordt het gewenste maximale percen-tage tijd met negatieve voorraad gemiddeld gezien maar net overschreden. Het product met het hoogste percentage negatieve voorraad is product C, met een percentage tijd met negatieve voorraad van 5,8%.
Als we het compound Poisson model vergelijken met de resultaten uit de werkelijkheid (dus met de werkelijke productiecijfers uit 2003 en 2004) zien we dat het compound Poisson model beduidend beter presteert: de gemid-delde voorraadkosten liggen een stuk lager dan de werkelijke voorraadkosten, en het percentage negatieve voorraad is een stuk lager. Dat het compound Poisson model beter presteert komt in eerste instantie doordat er in deze jaren zonder planningsmodel gewerkt werd, en doordat de werkelijke voor-raadhoeveelheid pas sinds 2003 op te vragen was; verder bestaat de produc-tie niet alleen uit deze twintig producten, maar uit zo’n 1800 producten,
waardoor een exacte planning veel lastiger is. We kunnen dus stellen dat met toepassing van ons model de kosten omlaag worden gebracht, terwijl de accuratesse daar niet onder te lijden heeft. We moeten hier uiteraard wel bij aantekenen dat wij met perfecte informatie hebben gewerkt: we wisten precies hoeveel er elke dag verkocht werd, en konden onze cijfers daar dus precies op aanpassen. In de praktijk zal het veel moeilijker zijn om te be-palen hoe groot de vraag zal zijn in de toekomst. Dat is een interessante vraag voor toekomstig onderzoek.
De belangrijkste vraag voor PK Koopmans lakfabrieken is onze subvraag: Met welke parameter is de meeste invloed op de kosten uit te oefenen? Als we kijken naar de enigszins be¨ınvloedbare parameters levertijd en vaste chargekosten, zien we dat het verlagen van de levertijd erg weinig invloed heeft op de kosten. Bij een afname van 10% zijn de kosten slechts rond de 1% lager. Als we daarentegen de vaste kosten van een charge verlagen met 10%, dan dalen de kosten gemiddeld met 5%, een stuk meer dus. De invloed van de negatieve voorraadindicator is minder goed aan te geven: als we deze verlagen van 1% naar 2,5%, dan dalen de kosten van een product met 2,25%, terwijl een ander product 8,23% minder kost per dag. In het algemeen is te stellen dat producten met een grote standaarddeviatie van de vraag het meest profiteren van een verhoging van de negatieve voorraadindicator.
4.2 Praktijk
Voor PK Koopmans hebben we een database ontwikkeld waarmee de hele productieplanning is uit te voeren. In deze database staan alle producten die op voorraad moeten liggen, zodat het Hoofd Magazijn kan opgeven wel-ke producten geproduceerd moeten worden; aan de hand van die informatie voert het Hoofd Productie zijn weekplanning in de database in, zodat het Hoofd Magazijn weet in welke week de producten geproduceerd worden. Elke nacht worden de actuele voorraad- en verkoopgegevens in de databa-se geplaatst, deze worden door het Hoofd Magazijn en Hoofd Productie gebruikt bij de planning. In de database staan ook de bestelpunten en be-stelhoeveelheden per product die berekend zijn via het EOQ model, maar deze worden (nog) niet gebruikt.
Doordat er nu veel beter gepland kan worden dan voorheen en doordat het voorraadniveau van elk product in een oogopslag te zien is, zijn de voorraden al flink gedaald. Er is dus voldaan aan de wens van PK Koopmans, namelijk een daling van de voorraad en tegelijktijd een vermindering van het aantal nabestellingen.
4.3 Aanbevelingen
De beste aanbeveling die we PK Koopmans kunnen doen is proberen het bestelpatroon beter in kaart te krijgen. Door de grilligheid in het bestel-patroon is het lastig om een goede uitspraak te doen over het toekomstige bestelpatroon, oftewel hoeveel blikken verf er de komende tijd verkocht zul-len worden. Deze informatie is nodig om nuttige cijfers uit ons model te kunnen krijgen, dus bestelpunten en bestelhoeveelheden die in de praktijk te gebruiken zijn.
De tweede aanbeveling is om te proberen de vaste kosten van een charge te verlagen. Dit heeft de meeste invloed op de kosten.
Appendix
Markov proces (uit [4])We introduceren een stochast X(t) en een index t ≥ 0, uit de set T , die noemen we de tijd. Een stochastisch proces {X(t), t ≥ 0} is een collectie van stochasten; dus voor elke t is X(t) een stochast. Een realisatie van X(t) voor een bepaalde t noemen we de toestand waarin het proces zich bevindt, dus als X(t) = i, dan bevindt het proces zich op tijdstip t in toestand i. Een speciaal geval van een stochastisch proces is een Markov proces. We nemen aan dat als het proces in toestand i is, er een vaste kans Pij bestaat dat het proces hierna in toestand j is. Dat betekent het volgende:
P {X(t + 1) = j|X(t) = i, X(t − 1) = it−1, . . . , X(1) = i1, X(0) = i0} = P (i, j) (A.1)
voor alle toestanden i0, i1, . . . , in−1, i, j en alle t ≥ 0. De uitleg van vergelij-king (A.1) is dat voor een Markov proces geldt dat de toekomste toestand X(t + 1) gegeven de huidige toestand X(t) en het verleden X(t − 1), X(t − 2), . . . alleen afhangt van het heden, dus onafhankelijk is van het verleden.
Poisson proces (uit [4])
Gegeven is een stochastisch proces {N (t), t ≥ 0} bestaande uit stochasten N (t). Dit proces wordt een telproces genoemd als N (t) het totaal aantal gebeurtenissen tot en met tijdstip t weergeeft. Dit proces noemen we een Poisson proces met parameter λ als het aan de volgende voorwaardes vol-doet:
1. N (0) = 0;
2. Het proces heeft onafhankelijke sprongen (waarde toenames van N (t)); dat wil zeggen dat de kans dat N (t) op tijstip t toeneemt onafhankelijk is van wat daarvoor gebeurd is;
3. Het aantal gebeurtenissen in elk interval met lengte t is Poisson ver-deeld met gemiddelde λt. Dus voor alle s, t ≥ 0 geldt:
P {N (t + s) − N (s) = n} = e−λt(λt)
n
n!
Een proces heet een compound Poisson proces als het genoteerd kan worden als X(t) = N (t) X i=1 Yi(t), t ≥ 0 (A.2)
waarbij {N (t), t ≥ 0} een Poisson proces is, en {Yn, n ≥ 0} een familie is van onafhankelijke en identiek verdeelde kans variabelen die ook onafhankelijk zijn van {N (t), t ≥ 0}.
[1] E. Bazsa, H. Frenk, and F. den Insinger. Inventory control and regene-rative processes: theory. 1999.
[2] F. Chen and Y. Zheng. Inventory policies with quantized ordering. Naval Research Logistics, 39:285–305, 1992.
[3] M. G. R. Kaas. Inleiding risicotheorie. Amsterdam : Instituut voor Actuariaat en Econometrie, Universiteit van Amsterdam, 2nd edition, 1998.
[4] S. M. Ross. Probability models. Academic Press, 5th edition, 1993. [5] P. Walters. An introduction to ergodic theory. Springer-Verlag, 1st
edi-tion, 1982.
[6] P. H. Zipkin. Foundations of inventory management. McGraw-Hill, 1st edition, 2000.