Exact Periode 10.1 Juist & Precies Testen

(1)

Exact Periode 10.1 Juist & Precies

Testen

(2)

Exact Periode 10.1 2

Juist: gemiddeld klopt de uitkomst met wat het moet zijn.

Precies: Als we de meting herhalen komt er (bijna) hetzelfde uit.

Vijf schietschijven

JUIST NIET JUIST PRECIES NIET PRECIES OPMERKING A

B C D E

A B C D E

(3)

Exact Periode 10.1 3 Vijf apparaten

M.b.v. vijf apparaten wordt een aantal maal de pH van een HCl-oplossing bepaald.

De werkelijke waarde bedraagt:

4,33.

Welk apparaten zijn Juist en/of precies?

apparaat1 apparaat2 apparaat3 apparaat4 apparaat5

3,77 4,23 4,89 3,84 4,27 4,21 6,38 5,50 4,33 7,20 4,47 5,86 5,57 4,65 4,90 4,10 5,61 4,51 4,51 4,28 4,27

Gem:

Stdev:

(4)

Exact Periode 10.1 4 Dixon’s Q-test

Eenzelfde bepaling is meerdere malen gedaan.

Zit er een uitschieter (ook wel genoemd uitbijter) tussen de uitkomsten?

Dit is te ontdekken door een Q-test te doen.

Werkwijze:

 Je zet de waarden in volgorde.

 Je kijkt welke waarde verdacht is, de hoogste of de laagste.

 Je berekent Q uit de volgende formule:

𝑄

_{𝐵𝑒𝑟𝑒𝑘𝑒𝑛𝑑}

= | 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑐ℎ𝑡𝑒 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒 − 𝑛𝑎𝑎𝑠𝑡𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒

𝑠𝑝𝑟𝑒𝑖𝑑𝑖𝑛𝑔𝑠𝑏𝑟𝑒𝑒𝑑𝑡𝑒 |

 Je vergelijkt je uitkomst met de tabelwaarde. In de tabel staat de betrouwbaarheid. Dit is de betrouwbaarheid van de testuitkomst.

Meestal nemen we 95% betrouwbaarheid. (zie tabel hiernaast)

 Indien Qberekend >Qtabel , is (met de gekozen betrouwbaarheid) aangetoond dat de verdachte waarde een uitschieter is.

Tabel Dixon's Q-waarden

Aantal waarnemingen 90% 95% 99%

3 0,94 0,97 0,99 4 0,77 0,83 0,93 5 0,64 0,71 0,82 6 0,56 0,63 0,74 7 0,51 0,57 0,68 8 0,47 0,53 0,63 9 0,44 0,49 0,60 10 0,41 0,47 0,57 11 0,39 0,44 0,54 12 0,38 0,43 0,52 13 0,36 0,41 0,50 14 0,35 0,40 0,49 15 0,34 0,38 0,48 16 0,33 0,37 0,46 17 0,32 0,37 0,45 18 0,31 0,36 0,44 19 0,31 0,35 0,43 20 0,30 0,34 0,43

(5)

Exact Periode 10.1 5 Voorbeeld:

Een groep deelnemers bepaalt de concentratie NaOH van een oplossing.

Ze vinden:

Jan Karel Mieke Sjaak Evelien Wendy Roy Sharon 0,092 0,101 0,097 0,098 0,100 0,099 0,096 0,084 Zit er een uitschieter tussen deze waarden?

Oplossing:

In volgorde zetten:

Sharon Jan Roy Mieke Sjaak Wendy Evelien Karel 0,084 0,092 0,096 0,097 0,098 0,099 0,100 0,101 De uitkomst van Sharon (0,084) is verdacht.

We gaan Q berekenen:

Verdachte waarde: 0,084 Naastliggende waarde: 0,092 Spreiding: 0,101-0,084 =0,017

Qberekend = 0,47

We kijken in de tabel bij 8 waarnemingen en 95% betrouwbaarheid Qtabel= 0,53

Conclusie: Qberekend < Qtabel er is dus NIET aangetoond dat de waarde van Sharon een uitschieter is.

(6)

Opgaven:

Ga uit van 95% betrouwbaarheid

1.

Ga na of zich tussen de volgende waarden een uitschieter bevindt 7,12 7,11 7,10 7,21 7,10 7,11 7,10 7,11 7,12

2.

Ga na of zich tussen de volgende waarden een uitschieter bevindt 7,12 7,11 7,10 7,21 7,10 7,16 7,10 7,11 7,12

3.

Voor welke waarde van x is er nog net geen sprake van een uitbijter?

(er zijn twee oplossingen, geef ze beide.)

7,12 7,11 7,10 x 7,10 7,11 7,10 7,11 7,12

(7)

De F-test

Het vergelijken van de precisie van twee groepen meetwaarden.

Er zijn twee soorten F-test, de eenzijdige en de tweezijdige. Door de vraagstelling goed te lezen kies je de juiste F-test.

 eenzijdige F-test: Aantonen dat groep A preciezer is dan groep B (andersom is niet aan de orde)

 tweezijdige F-test: Aantonen dat er verschil in precisie is tussen groep A en groep B.

Formule :

𝐹

_{𝐵𝑒𝑟𝑒𝑘𝑒𝑛𝑑}

= 𝜎

₁²

𝜎

₂²

σ: standaarddeviatie

 Let op: In de teller vul je de grootste σ-waarde in, zodat F altijd groter dan of gelijk aan 1 is.

 Vergeet niet te kwadrateren!

Aanpak

1. Bereken van beide groepen de σ-waarden (n-1 of de sx-toets op je rekenmachine) 2. Bereken F (Let op :Fberekend is altijd groter dan of gelijk aan 1)

3. Bereken van beide groepen het aantal vrijheidsgraden

4. Kies tussen de eenzijdige of de tweezijdige F-tabel (let op hoe de vraag is geformuleerd) 5. Lees F-tabelwaarde af.

Let op: horizontaal aantal vrijheidsgraden van de groep met de grootste σ.

verticaal↓ aantal vrijheidsgraden van de groep met de kleinste σ.

6. Als de berekende F-waarde boven de tabelwaarde ligt is er verschil in precisie aangetoond.

Vrijheidsgraden: (df=Degree of Freedom)

df =aantal meetwaarden –1.

(8)

Opgaven:

1.

Twee studenten hebben de pH van hetzelfde monster gemeten.

student 1.

7,12 7,21 7,31 7,10 7,26

student 2

6,99 7,01 7,10 6,90

Ga na of er verschil in precisie aantoonbaar is.

2.

Een spectrofotometer wordt vergeleken met een nieuw type.

Beide meten de transmissie van hetzelfde monster een aantal maal.

oude type

nieuwe type

33 35

38 36

34 35

35 37

35 35

Ga na of je kunt aantonen dat het nieuwe type preciezer is dan het oude.

3.

De uitkomsten van Hb-bepalingen van twee laboratoria worden vergeleken.

lab 1: 8,1 8,2 8,3 8,0

lab 2: 8,3 8,1 9,2 8,1 8,2

a. Bevat de groep uitkomsten van lab 2 een uitschieter? Zo ja, verwijder deze. (zie pagina 5) b. Ga na of er verschil in precisie aantoonbaar is tussen lab1 en lab 2.

(9)

4.

Welke uitspraken over de F-test zijn waar?

a. Bij de F-test gaat het om het vergelijken van precisies b. De waarde van F kan niet negatief zijn.

c. De waarde van F kan niet kleiner dan 1 zijn.

d. Bij een eenzijdige F-test heb je geen vermoeden vooraf.

e. Het aantal vrijheidsgraden is altijd één meer dan het aantal waarnemingen.

5.

Bij een eerdere les heb je gegevens ontvangen van vijf apparaten.

Hierop staat onder andere:

apparaat 1

apparaat 2 3.77 4.23 4.21 6.38 4.47 5.86 4.10

4.28

gem: 4.17 5.49 std dev: 0.26 1.12

Ga na of je verschil in precisie kunt aantonen tussen apparaat 1 en apparaat 2

(10)

Exact Periode 10.1 10 Tabel F-waarden (95% betrouwbaarheid)

Horizontaal Vrijheidsgraden teller (grootste σ) Verticaal Vrijheidsgraden noemer

Eénzijdige toetsing Vrijheidsgraden Teller →

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 99999999

1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 245,95 248,01 254,31 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,43 19,45 19,50

3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,70 8,66 8,53

4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,86 5,80 5,63

5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,62 4,56 4,36

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 3,94 3,87 3,67

7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,51 3,44 3,23

8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,22 3,15 2,93

9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,01 2,94 2,71

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,85 2,77 2,54

15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,40 2,33 2,07

20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,20 2,12 1,84

99999999 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,67 1,57 1,00

(11)

Exact Periode 10.1 11 Tabel F-waarden (95% betrouwbaarheid)

Horizontaal Vrijheidsgraden teller (grootste σ) Verticaal Vrijheidsgraden noemer

Tweezijdige toetsing Vrijheidsgraden Teller →

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 99999999

1 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 968,63 984,87 993,10 1018,26 2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,43 39,45 39,50 3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,25 14,17 13,90

4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,66 8,56 8,26

5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,43 6,33 6,02

6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,27 5,17 4,85

7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,57 4,47 4,14

8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,10 4,00 3,67

9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,77 3,67 3,33

10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,52 3,42 3,08

15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 2,86 2,76 2,40

20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,57 2,46 2,09

99999999 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,29 2,19 2,11 2,05 1,83 1,71 1,00

(12)

𝒕

𝑩𝒆𝒓𝒆𝒌𝒆𝒏𝒅=|𝒙̅−𝝁|∙√𝒏 𝝈

1. hoe bereken je het aantal vrijheidsgraden?

2. Voor de betrouwbaarheid wordt meestal 95% genomen. Wat betekent die 95%?

3. Van een olie uit een gedumpt vat wordt vier maal het zwavelgehalte (mg·L^-1) bepaald:

0,051 0,055 0,049 0,052

Kan deze olie afkomstig zijn uit opslagplaats van olie waarvan het zwavelgehalte . precies bekend is: 0,057 mg·L^-1?

Geef t berekend, ttabel en de conclusie.

(gebruik 95% betrouwbaarheid)

Opmerking; William Sealy Gosset werkte onder het pseudoniem Student, vandaar de naam Students t-test.

vrijheidsgraden t

90% 95% 99%

1 6.31 12.71 63.66

2 2.92 4.30 9.92

3 2.35 3.18 5.84

4 2.13 2.78 4.60

5 2.02 2.57 4.03

6 1.94 2.45 3.71

7 1.90 2.36 3.50

8 1.86 2.31 3.36

9 1.83 2.26 3.25

10 1.81 2.20 3.11

11 1.80 2.20 3.11

12 1.78 2.18 3.06

13 1.77 2.16 3.01

14 1.76 2.14 2.98

 1.64 1.96 2.58

Students t-test herhaling

.

(13)

Exact Periode 10.1 13 Hieronder zie je de meetresultaten op één monster van twee analisten (A en B) .

Analist A 15.1 15.3 15.2 14.9 14.8 14.9

Analist B 14.6 14.6 14.7 17.4 14.5

1. Ga na of er een uitschieter is in de waarden van analist B. Zo ja, verwijder deze.

2. Ga na of je kan dat aantonen of er verschil in precisie is tussen de analisten.

3. Komen de waarden van analist A overeen met een normwaarde van 15,4?

(14)

De gepaarde t-test

De gepaarde t-test gebruik je als er door twee analisten ( of met twee methodes) aan een serie verschillende monsters is gemeten.

Het is dan niet toegestaan de t-test voor gemiddelden te gebruiken omdat we hier met verschillende monsters hebben te maken die niet gemiddeld mogen worden. Ook het bepalen van de standaarddeviatie zou onzinnig zijn.

Je berekent dan per monster de verschillen tussen de uitkomsten van beide methodes.

Met deze verschillen voer je een t-test uit; zo’n verschil is dan x.

Het gemiddelde kan nu negatief zijn.

Van de verschillen bereken je ook de standaarddeviatie s.

De formule.

In de ideale situatie is er (gemiddeld) geen verschil.

In de oorspronkelijke t-formule neem je voor  dus 0.

De formule wordt dan:

𝒕

𝑩𝒆𝒓𝒆𝒌𝒆𝒏𝒅=^{|𝒙̅−𝝁|∙√𝒏}_𝝈

Met μ = 0 geeft

𝒕

𝑩𝒆𝒓𝒆𝒌𝒆𝒏𝒅=^{|𝒙̅|∙√𝒏}_𝝈

Het aantal vrijheidsgraden is het aantal meetparen min 1.

Indien de berekende t-waarde groter is dan de tabel waarde, dan is aangetoond dat de uitkomsten verschillend zijn.

Vrijheidsgrade n

t

90% 95% 99%

1 6.31 12.71 63.66

2 2.92 4.30 9.92

3 2.35 3.18 5.84

4 2.13 2.78 4.60

5 2.02 2.57 4.03

6 1.94 2.45 3.71

7 1.90 2.36 3.50

8 1.86 2.31 3.36

9 1.83 2.26 3.25

10 1.81 2.20 3.11

11 1.80 2.20 3.11

12 1.78 2.18 3.06

13 1.77 2.16 3.01

14 1.76 2.14 2.98

 1.64 1.96 2.58

(15)

Oefenopdrachten gepaarde t-test

1

Er zijn twee methodes om %alcohol te meten. Ze worden op 6 verschillende drankjes toegepast.

Monsternummer Methode 1 Methode 2

1 13,2 13,0

2 14,8 14,6

3 10,2 10,3

4 11,1 10,8

5 7,6 7,6

6 6,2 5,9

Is er verschil aantoonbaar tussen methode 1 en methode 2?

2

Men wil weten of twee analisten dezelfde resultaten leveren.

Men geeft beiden drie verschillende monsters.

Monster analist1 analist2

1 4,67 4,74

2 45,78 51,56

3 12,41 12,56

a. Ga m.b.v. een significantietest na of de analisten verschillende resultaten geven.

b. Is aan deze gegevens te zien wie van deze analisten het meest precies is?

Verklaar je antwoord.

(16)

Exact Periode 10.1 16 3.

Op verschillende plaatsen in Zeeland wordt Het Na-gehalte van water gemeten (Veerse Meer; Oosterschelde) Er worden twee methodes gebruikt.

1. AAS (atoomabsorptiespectrofotometer) 2. VES (vlamemissiespectrofotometer)

Is er verschil aantoonbaar tussen de meetmethodes? Vrijheidsgraden t

90% 95% 99%

1 6.31 12.71 63.66

2 2.92 4.30 9.92

3 2.35 3.18 5.84

4 2.13 2.78 4.60

5 2.02 2.57 4.03

6 1.94 2.45 3.71

7 1.90 2.36 3.50

8 1.86 2.31 3.36

9 1.83 2.26 3.25

10 1.81 2.20 3.11

11 1.80 2.20 3.11

12 1.78 2.18 3.06

13 1.77 2.16 3.01

14 1.76 2.14 2.98

 1.64 1.96 2.58

Locatie AAS VES

Kamperland 0,024 0,022

Veere 0,023 0,021

De Piet 0,015 0,015

Zilveren Schor 0,022 0,020 Wolphaartsdijk 0,021 0,021 Kattendijke 0,031 0,029

Zierikzee 0,044 0,041

(17)

De t-test voor gemiddelden

Bij de t-test voor gemiddelden wordt onderzocht of de gemiddelden van twee groepen waarnemingen met elkaar in overeenstemming zijn.

Zo kan bijvoorbeeld geconstateerd worden dat twee monsters uit een zelfde container komen.

Het gaat dus niet om de vergelijking van een gemiddelde met een standaardwaarde , zoals bij de gewone t-test.

Er zijn twee mogelijkheden.

a. De standaarddeviaties mogen worden samengesteld

Je mag de standaarddeviaties alleen samenstellen als uit een (tweezijdige) F-test blijkt dat er geen verschil in precisie is aangetoond tussen groep 1 en groep 2.

Samengestelde σ berekenen:

𝜎 = √ (𝑛

₁

− 1) ∙ 𝜎

₁²

+ (𝑛

₂

− 1) ∙ 𝜎

₂²

𝑛

₁

+ 𝑛

₂

− 2

t berekenen;

𝑡 = |𝑥 ̅̅̅ − 𝑥

₁

̅̅̅|

₂

𝜎 ∙ √ 1

𝑛

₁

+ 1 𝑛

₂

Aantal vrijheidsgraden: n¹ + n² - 2 t berekend vergelijken met t tabel.

Net als bij een gewone t-test is er verschil aangetoond als t berekend > t tabel

(18)

b. De standaarddeviaties mogen niet worden samengesteld

Je mag de standaarddeviaties niet samenstellen als uit een (tweezijdige) F-test blijkt dat er verschil in precisie is aangetoond tussen groep 1 en groep 2.

t berekenen:

𝑡 = |𝑥 ̅̅̅ − 𝑥

₁

̅̅̅|

₂

√𝜎 𝑛

¹₁²

+ 𝜎

₂²

𝑛

₂

Aantal vrijheidsgraden =n

1

(=Aantal van groep met grootste σ) - 1

t berekend vergelijken met t tabel. Net als bij een gewone t-test is er verschil aangetoond als t berekend > t tabel

(19)

Oefenopdrachten

1.

Op zee wordt een olievlek aangetroffen. Men verdenkt een tanker van illegaal olie lozen.

Uit de vlek en uit de tanker worden oliemonsters genomen. Hiervan bepaalt men het zwavelgehalte.

Men vindt:

S-gehalte (%) vlek

S-gehalte (%) tanker

0,101 0,120

0,108 0,132

0,102 0,140

0,110 0,119

0,126

Bepaal of er overeenstemming is tussen de gemiddelden.

2.

Het loodgehalte in vervuilde grond wordt met twee methodes bepaald.

Ga na of de methodes hetzelfde gemiddelde opleveren.

methode 1 methode 2 0,021 0,023 0,021 0,014 0,022 0,018 0,021 3.

Hieronder zie je pH waarden van oplossingen uit twee bekerglazen.

Kunnen de oplossingen uit het zelfde vat komen?

Bekerglas1 5,14 5,14 5,13 5,13 5,14

Bekerglas2 5,16 5,15 5,16 5,16 5,16 5,14 5,15

(20)

Exact Periode 10.1 20 Haal het bijbehorende werkblad van de Start.me onder werkbladen: betrouwbaarheidsinterval van de monsterconcentratie Bij het bepalen van de monsterconcentratie wordt eerst een kalibratiereeks (n kalibratiepunten) gemaakt.

Het monster wordt m maal gemeten. Het gemiddelde staat in de grafiek.

Hoe betrouwbaar is de uitkomst van de monsterconcentratie?

Dit wordt aangegeven door de streepjes links en rechts van het monsterpunt (foutenbalken)

Door de berekeningen in Excel uit te voeren kun je ontdekken welke factoren een rol spelen in de betrouwbaarheid.

Hieronder zie je de formules

 Voor het bepalen van de t-waarde gebruik je de VERT.ZOEKEN-functie.

 Voer al de formules in en maak de grafiek.

 Vergeet de horizontale foutenbalken niet

0 1 2 3 4 5 6 7

-0, 5 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3

Het betrouwbaarheidsinterval van de monsterconcentratie

n s centratie t monstercon

i b

P a

y y

n m a s s

n x x

n P y s y

n b

ax ylijn

a b x y

m x

gem gem

m m

x lijn

gem m m

 

 







 

 









 

 



. .

% 95

) 1 (

1

) ( 2

) (

2 vr.gr

aantal

2

2 2

2

(21)

Exact Periode 10.1 21 Ga na hoe het betrouwbaarheidsinterval van de monsterconcentratie verandert als:

1. De y –waarde van het 4^de kalibratiepunt verandert in 3,3

Het b.i. van de monsterconcentratie wordt groter / blijft hetzelfde/ wordt kleiner 2. Voor de ym-waarden 5,1 5,0 en 5,2 wordt ingevuld.

Het b.i. van de monsterconcentratie wordt groter / blijft hetzelfde/ wordt kleiner

3. ym slechts éénmaal wordt gemeten.

4. Er slechts drie kalibratiepunten zouden zijn.

(22)